Στατιστική Fermi–Dirac έναντι στατιστικής Maxwell–Boltzmann στα ημιαγωγά

Οι στατιστικές Fermi-Dirac και Maxwell-Boltzmann χρησιμοποιούνται στην μοντελοποίηση ημιαγωγικών διατάξεων για να συσχετίσουν τις πυκνότητες φορέων με τη θέση των επιπέδων quasi-Fermi. Αυτές οι στατιστικές καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο τα ηλεκτρόνια καταλαμβάνουν τις διαθέσιμες ενεργειακές καταστάσεις εντός της πυκνότητας των καταστάσεων και, ως εκ τούτου, ελέγχουν άμεσα τις συγκεντρώσεις των φορέων, την ηλεκτροστατική, τους ρυθμούς ανασύνθεσης και τη συμπεριφορά μεταφοράς.

Αυτή η σελίδα εξηγεί πώς οι πυκνότητες φορέων στα ημιαγωγά προκύπτουν από την πυκνότητα των καταστάσεων και την κατανομή Fermi-Dirac, πριν παρουσιαστεί η προσέγγιση Maxwell-Boltzmann, η οποία χρησιμοποιείται συνήθως στην μοντελοποίηση ημιαγωγικών συσκευών μέσω της μεθόδου της μεταφοράς-διάχυσης. Στη συνέχεια, συζητούνται οι διαφορές μεταξύ της στατιστικής Fermi-Dirac και της Maxwell-Boltzmann, η φυσική τους σημασία, το υπολογιστικό κόστος και η εγκυρότητά τους σε εκφυλισμένα και μη εκφυλισμένα ημιαγωγά.

1. Η πυκνότητα των καταστάσεων

Η πυκνότητα των καταστάσεων περιγράφει πόσες ηλεκτρονικές καταστάσεις είναι διαθέσιμες σε κάθε επίπεδο ενέργειας εντός της ζώνης αγωγιμότητας. Κάθε κατάσταση μπορεί να φιλοξενήσει ένα ηλεκτρόνιο ή δύο ηλεκτρόνια, εάν συμπεριληφθεί η ιδιοπεριστροφή. Η κατανομή των διαθέσιμων καταστάσεων απεικονίζεται σχηματικά στο ??.

Για έναν τρισδιάστατο ημιαγωγό με μια παραβολική ζώνη αγωγιμότητας, η πυκνότητα των καταστάσεων δίνεται από:

\[ g_{c}(E)=\frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} \]

όπου \(g_{c}(E)\) είναι η πυκνότητα των καταστάσεων, \(m_{n}^{*}\) είναι η αποτελεσματική μάζα των ηλεκτρονίων, \(\hbar\) είναι η σταθερά του Planck και \(E_{c}\) είναι η άκρη της ζώνης αγωγιμότητας.

Η πυκνότητα των καταστάσεων είναι μηδέν κάτω από το όριο της ζώνης αγωγιμότητας, επειδή δεν υπάρχουν καταστάσεις ζώνης αγωγιμότητας σε αυτή την περιοχή. Πάνω από το \(E_{c}\), ο αριθμός των διαθέσιμων καταστάσεων αυξάνεται με την ενέργεια.

2. Στατιστική Fermi–Dirac

Ενώ η πυκνότητα των καταστάσεων περιγράφει πόσες ηλεκτρονικές καταστάσεις είναι διαθέσιμες σε κάθε επίπεδο ενέργειας, η κατανομή Fermi-Dirac περιγράφει την πιθανότητα κάθε μιας από αυτές τις καταστάσεις να είναι κατειλημμένη από ένα ηλεκτρόνιο. Αυτή η κατανομή απεικονίζεται σχηματικά στο ??.

\[ f(E)=\frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)} \]

Εδώ, το \(f(E)\) είναι η πιθανότητα να καταλαμβάνεται μια ενεργειακή κατάσταση \(E\) από ένα ηλεκτρόνιο, το \(E_{F}\) είναι η στάθμη Fermi, το \(k_{B}\) είναι η σταθερά του Boltzmann και το \(T\) είναι η θερμοκρασία.

Οι ενεργειακές στάθμες που βρίσκονται πολύ κάτω από το επίπεδο Fermi είναι πολύ πιθανό να είναι κατειλημμένες, ενώ οι ενεργειακές στάθμες που βρίσκονται πολύ πάνω από το επίπεδο Fermi είναι απίθανο να περιέχουν ηλεκτρόνια. Κοντά στο επίπεδο Fermi, η πιθανότητα καταληψης μεταβάλλεται ομαλά μεταξύ κατειλημμένων και κενών σταθμών.

3. Πυκνότητα ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας χρησιμοποιώντας τη στατιστική Fermi-Dirac.

Η πυκνότητα των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την πυκνότητα των καταστάσεων με την πιθανότητα πληρότητας Fermi-Dirac και ολοκληρώνοντας ως προς την ενέργεια, όπως απεικονίζεται στο ??.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red} f(E)} \,dE \]

Αντικαθιστώντας την πυκνότητα των καταστάσεων της ζώνης αγωγιμότητας και τη συνάρτηση κατανομής Fermi-Dirac, λαμβάνουμε:

4. Σύμβολα για το ολοκλήρωμα Fermi–Dirac

Η πλήρης ολοκληρωμένη έκφραση της πυκνότητας των φορέων που προκύπτει παραπάνω δεν έχει συνήθως μια απλή αναλυτική λύση. Αντίθετα, συνήθως επαναδιατυπώνεται χρησιμοποιώντας τη συντομογραφημένη σημειογραφία της ολοκληρωμένης συνάρτησης Fermi–Dirac.

Αυτή η σημειογραφία εμφανίζεται συχνά στη φυσική των ημιαγωγών, επειδή παρέχει έναν συνοπτικό τρόπο για να εκφραστούν οι στατιστικές των φορέων σε συνθήκες εκφυλισμού.

Εδώ, το \(F_{1/2}\) είναι το ολοκλήρωμα Fermi-Dirac τάξης μισής και το \(N_c\) είναι η αποτελεσματική πυκνότητα των ενεργειακών καταστάσεων της ζώνης αγωγιμότητας.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue}{ \frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} }} {\color{red}{ \frac{1}{ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right)} }} \,dE \]

Εδώ, ο μπλε όρος αντιπροσωπεύει τον αριθμό των διαθέσιμων ηλεκτρονικών καταστάσεων σε κάθε επίπεδο ενέργειας, ενώ ο κόκκινος όρος αντιπροσωπεύει την πιθανότητα αυτές οι καταστάσεις να είναι κατειλημμένες από ηλεκτρόνια.

3. Απόδειξη της προσέγγισης Maxwell–Boltzmann.

Η προσέγγιση Maxwell–Boltzmann ισχύει όταν ο ημιαγωγός είναι μη εκφυλισμένοςδηλαδή, η πυκνότητα των ηλεκτρονίων είναι αρκετά χαμηλή ώστε οι περισσότερες ηλεκτρονικές καταστάσεις στη ζώνη αγωγιμότητας να παραμένουν κενές. Υπό αυτές τις συνθήκες, η στάθμη Fermi βρίσκεται αρκετά κάτω από \(k_{B}T\) κάτω από το όριο της ζώνης αγωγιμότητας, έτσι ώστε \(E-E_{F_n} \gg k_{B}T\) και η πιθανότητα κατοχής ικανοποιεί την εξίσωση \(f(E)\ll1\)Φυσικά, αυτό σημαίνει ότι τα ηλεκτρόνια είναι αρκετά αραιά, έτσι ώστε η αρχή αποκλεισμού του Pauli να μην περιορίζει σημαντικά την πληρότητα των ενεργειακών καταστάσεων. Με άλλα λόγια, τα ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται κατά προσέγγιση σαν ένα κλασικό αέριο, επειδή υπάρχουν πολύ περισσότερες διαθέσιμες καταστάσεις από όσα ηλεκτρόνια τις καταλαμβάνουν. Αυτή η προσέγγιση είναι ακριβής για τις περισσότερες συμβατικές ημιαγωγικές συσκευές που λειτουργούν σε μέτριες συγκεντρώσεις φορέων, συμπεριλαμβανομένων πολλών πυριτίων διόδων, ηλιακών κυττάρων και οργανικών ημιαγωγικών συσκευών. Ωστόσο, αρχίζει να αποτυγχάνει σε πολύ υψηλές συγκεντρώσεις φορέων, σε υψηλά επίπεδα προσμίξεων ή σε ισχυρή συσσώρευση φορέων, όπου ένα σημαντικό ποσοστό των διαθέσιμων καταστάσεων καταλαμβάνεται. Υπό αυτές τις συνθήκες, \[ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \approx \exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \] και η κατανομή Fermi–Dirac απλοποιείται σε

\[ f(E)\approx \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) \]

Αντικαθιστώντας αυτό στο ολοκλήρωμα της πυκνότητας των φορέων, παίρνουμε:

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red}{ \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) }} \,dE \]

Η υπολογισμός του ολοκληρώματος δίνει ως αποτέλεσμα:

\[ {\color{green} n} = N_{c} \exp\left( \frac{E_{F_n}-E_{c}}{k_{B}T} \right) \qquad N_{c}=2 \left( \frac{2\pi m_{n}^{*}k_{B}T}{h^{2}} \right)^{3/2} \]

όπου \(N_c\) είναι η αποτελεσματική πυκνότητα καταστάσεων της ζώνης αγωγιμότητας. Αυτή είναι η τυπική εξίσωση πυκνότητας φορέων Maxwell–Boltzmann που χρησιμοποιείται στα περισσότερα μοντέλα ημιαγωγών διάχυσης-παρεκτροπής.

4. Πότε πρέπει να χρησιμοποιώ τη στατιστική Maxwell–Boltzmann και πότε τη στατιστική Fermi–Dirac;

Η στατιστική Maxwell–Boltzmann θα πρέπει να χρησιμοποιείται όταν ο ημιαγωγός είναι μη εκφυλισμένος, πράγμα που σημαίνει ότι η πυκνότητα των ελεύθερων φορέων είναι αρκετά χαμηλή ώστε οι περισσότερες ενεργειακές καταστάσεις στη ζώνη αγωγιμότητας και στη ζώνη σθένους να παραμένουν κενές. Υπό αυτές τις συνθήκες, τα επίπεδα ψευδο-Fermi παραμένουν αρκετά \(k_{B}T\) μακριά από τις άκρες της ενεργειακής ζώνης και τα φαινόμενα πλήρωσης είναι αμελητέα. Αυτή η προσέγγιση είναι έγκυρη για τις περισσότερες συμβατικές ημιαγωγικές συσκευές που λειτουργούν σε μέτριες συγκεντρώσεις φορέων, συμπεριλαμβανομένων πολλών πυριτίων p-n, προσομοιώσεων μεταφοράς-διάχυσης OLED, οργανικών φωτοβολταϊκών συσκευών και λεπτών υμενών ηλιακών κυττάρων που λειτουργούν μακριά από την κατάσταση εκφυλισμού.

Αντίθετα, για τους εκφυλισμένους ημιαγωγούς πρέπει να χρησιμοποιούνται οι στατιστικές Fermi-Dirac, όπου η πυκνότητα των φορέων γίνεται αρκετά υψηλή, με αποτέλεσμα ένα σημαντικό ποσοστό των διαθέσιμων ηλεκτρονικών καταστάσεων να καταλαμβάνεται. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η σχετική ενεργειακή στάθμη Fermi πλησιάζει ή εισέρχεται σε μια ζώνη και η αρχή αποκλεισμού του Pauli επηρεάζει σημαντικά την κατανομή των φορέων. Παραδείγματα όπου συχνά απαιτούνται οι στατιστικές Fermi-Dirac περιλαμβάνουν τους ημιαγωγούς με υψηλή προσμείκτηση, τις κβαντικές πηγές, τις LED με υψηλή ένταση, τα στρώματα με υψηλή συσσώρευση φορέων και ορισμένες ανόργανες δομές λέιζερ.

Στις αριθμητικές προσομοιώσεις ημιαγωγών, η στατιστική Maxwell–Boltzmann προτιμάται συνήθως, όταν είναι εφικτό, επειδή οι προκύπτουσες εξισώσεις πυκνότητας φορέων μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά και με μεγάλη αποτελεσματικότητα. Αυτό καθιστά τις εξισώσεις απλούστερες, ταχύτερες και αριθμητικά πιο σταθερές. Αντίθετα, η στατιστική Fermi–Dirac είναι σημαντικά πιο αργή στον αριθμητικό υπολογισμό, επειδή η πυκνότητα των φορέων πρέπει συνήθως να υπολογίζεται με την ρητή αξιολόγηση του ολοκληρώματος Fermi–Dirac. Στην πράξη, αυτό συχνά απαιτεί έναν αριθμητικό βρόχο πάνω από την ενέργεια ή επαναλαμβανόμενους υπολογισμούς ταμπλαρισμένων ολοκληρωμάτων, γεγονός που εισάγει σημαντικό υπολογιστικό κόστος σε σύγκριση με την αναλυτική προσέγγιση Maxwell–Boltzmann.

Επομένως, όταν οι υποβαθμισμένες συγκεντρώσεις φορέων δεν χρειάζεται να μοντελοποιηθούν, είναι γενικά προτιμότερο να χρησιμοποιούνται οι στατιστικές Maxwell–Boltzmann. Ωστόσο, όταν οι υποβαθμισμένες συγκεντρώσεις φορέων είναι φυσικά σημαντικές, πρέπει να χρησιμοποιούνται οι πλήρεις στατιστικές Fermi–Dirac για να αποτυπωθούν σωστά οι επιπτώσεις της πληρότητας των ενεργειακών επιπέδων και της κατανομής των φορέων. Η συζήτηση εδώ αφορά μόνο τις στατιστικές των συγκεντρώσεων των ελεύθερων φορέων στις ζώνες αγωγιμότητας και σθένους. Οι πολύ βαθιές καταστάσεις παγίδευσης απαιτούν γενικά τις στατιστικές κατανομής Fermi–Dirac, ανεξάρτητα από το αν οι ελεύθεροι φορείς είναι υποβαθμισμένοι, αν και αυτό υπερβαίνει το πεδίο εφαρμογής της παρούσας συζήτησης.

5. Παραδείγματα κώδικα για τη δημιουργία γραφημάτων των στατιστικών Fermi–Dirac και Maxwell–Boltzmann.

Η διαφορά μεταξύ της στατιστικής κατανομής Maxwell–Boltzmann και της Fermi–Dirac μπορεί να εξερευνηθεί χρησιμοποιώντας τα παρακάτω παραδείγματα κώδικα Python και MATLAB/Octave. Αυτά τα σενάρια αναπαράγουν τη συμπεριφορά που απεικονίζεται στο ?? και επιτρέπουν τη διερεύνηση της επίδρασης της αλλαγής της θερμοκρασίας, της πυκνότητας φορέων και του επιπέδου quasi-Fermi με διαδραστικό τρόπο.

import math
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
k_B = 8.617333262e-5
T = 300.0
Nc = 2.8e19

# Generate energy axis
Ef_minus_Ec = []

x = -0.4

while x <= 0.2:
    Ef_minus_Ec.append(x)
    x += 0.002

# Maxwell-Boltzmann carrier density
n_mb = []

for eta in Ef_minus_Ec:
    n = Nc * math.exp(eta / (k_B * T))
    n_mb.append(n)

# Approximate Fermi-Dirac carrier density
n_fd = []

for eta in Ef_minus_Ec:

    arg = eta / (k_B * T)

    fd = Nc * math.log(1.0 + math.exp(arg))

    n_fd.append(fd)

# Plot
plt.figure(figsize=(7,5))

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_mb,
    color='#d00000',
    linewidth=3,
    label='Maxwell-Boltzmann'
)

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_fd,
    color='#0044ff',
    linewidth=3,
    label='Fermi-Dirac'
)

plt.xlabel(r'$E_{F_n}-E_c$ (eV)')
plt.ylabel(r'Electron density (cm$^{-3}$)')

plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

k_B = 8.617333262e-5;
T = 300.0;
Nc = 2.8e19;

Ef_minus_Ec = -0.4:0.002:0.2;

n_mb = Nc .* exp(Ef_minus_Ec ./ (k_B*T));

arg = Ef_minus_Ec ./ (k_B*T);
n_fd = Nc .* log(1.0 + exp(arg));

semilogy(Ef_minus_Ec, n_mb, 'r', 'LineWidth', 3);
hold on;
semilogy(Ef_minus_Ec, n_fd, 'b', 'LineWidth', 3);

xlabel('E_F - E_c (eV)');
ylabel('Electron density');

legend('Maxwell-Boltzmann', 'Fermi-Dirac');

grid on;