Статистика Фермі–Дірака проти статистики Максвелла–Больцмана в напівпровідниках.

Статистики Фермі–Дірака та Максвелла–Больцмана використовуються в моделюванні напівпровідникових приладів для встановлення зв’язку між концентраціями носіїв заряду та положенням квазірівнів Фермі. Ці статистики визначають, як електрони займають доступні енергетичні стани в межах щільності станів і, отже, безпосередньо впливають на концентрацію носіїв заряду, електростатичні властивості, швидкості рекомбінації та характеристики транспортування.

На цій сторінці пояснюється, як концентрації носіїв заряду в напівпровідниках визначаються на основі щільності станів і розподілу Фермі — Дірака, перш ніж перейти до виведення наближення Максвелла — Больцмана, яке зазвичай використовується в моделюванні напівпровідникових пристроїв, що базується на принципах дрейфу та дифузії. Далі обговорюються відмінності між статистикою Фермі — Дірака та статистикою Максвелла — Больцмана, їх фізичний зміст, обчислювальні витрати та сфера застосування в напівпровідниках, що перебувають у виродженому та невиродженому станах.

1. Щільність станів

Щільність станів показує, скільки електронних станів доступно для кожної енергетичної рівні в зоні провідності. Кожен стан може містити один електрон або два електрони, якщо враховується спін. Розподіл доступних станів схематично зображено на ??.

Для тривимірного напівпровідника з параболічною зоною провідності щільність станів визначається наступним чином:

\[ g_{c}(E)=\frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} \]

де \(g_{c}(E)\) – густина станів, \(m_{n}^{*}\) – ефективна маса електрона, \(\hbar\) – зведена стала Планка, а \(E_{c}\) – нижня межа зони провідності.

Щільність станів дорівнює нулю нижче межі зони провідності, оскільки в цій області жодних станів зони провідності не існує. Вище значення \(E_{c}\) кількість доступних станів збільшується зі збільшенням енергії.

2. Статистика Фермі–Дірака

У той час як функція щільності станів описує, скільки електронних станів доступно для кожної енергії, розподіл Фермі–Дірака описує ймовірність того, що кожен із цих станів зайнятий електроном. Цей розподіл схематично зображено на ??.

\[ f(E)=\frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)} \]

Тут \(f(E)\) – це ймовірність того, що певний енергетичний стан \(E\) зайнятий електроном, \(E_{F}\) – рівень Фермі, \(k_{B}\) – стала Больцмана, а \(T\) – температура.

Енергетичні рівні, які значно нижчі за рівень Фермі, найімовірніше будуть заповнені, тоді як рівні, які значно вищі за рівень Фермі, навряд чи міститимуть електрони. Поблизу рівня Фермі ймовірність заповнення рівнів плавно змінюється між заповненими та порожніми станами.

3. Щільність електронів у зоні провідності, розрахована з використанням статистики Фермі–Дірака.

Електронну густину в зоні провідності визначають шляхом множення густини станів на ймовірність заповнення Фермі–Дірака та інтегрування за енергією, як показано в ??.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red} f(E)} \,dE \]

Підставляючи щільність станів у зоні провідності та функцію Фермі–Дірака, отримаємо:

4. Позначення інтеграла Фермі–Дірака

Повний інтеграл густини носіїв заряду, отриманий вище, зазвичай не має простого аналітичного розв’язку. Замість цього, його зазвичай переписують, використовуючи скорочений запис інтеграла Фермі–Дірака.

Ця нотація часто зустрічається у фізиці напівпровідників, оскільки вона надає лаконічний спосіб запису статистичних даних про носії заряду за умов виродженості.

Тут \(F_{1/2}\) — інтеграл Фермі–Дірака першого порядку, а \(N_c\) — ефективна густина станів зони провідності.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue}{ \frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} }} {\color{red}{ \frac{1}{ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right)} }} \,dE \]

Тут синій термін позначає кількість доступних електронних станів для кожної енергетичної рівні, а червоний термін – ймовірність того, що ці стани зайняті електронами.

3. Виведення наближення Максвелла — Больцмана

Наближення Максвелла — Больцмана є дійсним, коли напівпровідник не є виродженим, тобто концентрація електронів достатньо низька, щоб більшість електронних станів у зоні провідності залишалися незаповненими. За таких умов рівень Фермі знаходиться на декілька \(k_{B}T\) нижче за межу зони провідності, тому \(E-E_{F_n} \gg k_{B}T\), і ймовірність заповнення станів відповідає \(f(E)\ll1\). Фізично це означає, що концентрація електронів є достатньо низькою, тому принцип виключення Паулі не сильно обмежує заповнення станів. Іншими словами, електрони поводяться приблизно як класичний газ, оскільки кількість доступних станів значно перевищує кількість електронів, що їх займають. Це наближення є точним для більшості звичайних напівпровідникових пристроїв, що працюють при помірних концентраціях носіїв заряду, зокрема для багатьох кремнієвих діодів, сонячних елементів і органічних напівпровідникових пристроїв. Однак, воно перестає бути дійсним при дуже високих концентраціях носіїв заряду, високих рівнях легування або значній концентрації носіїв, коли значна частина доступних станів стає заповненою. За таких умов \[ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \approx \exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \], і розподіл Фермі — Дірака зводиться до

\[ f(E)\approx \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) \]

Підставивши це значення в інтеграл, що визначає густину носіїв заряду, отримаємо:

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red}{ \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) }} \,dE \]

Оцінювання інтегральних показників.

\[ {\color{green} n} = N_{c} \exp\left( \frac{E_{F_n}-E_{c}}{k_{B}T} \right) \qquad N_{c}=2 \left( \frac{2\pi m_{n}^{*}k_{B}T}{h^{2}} \right)^{3/2} \]

де \(N_c\) – ефективна густина станів зони провідності. Це стандартне рівняння Максвелла–Больцмана для обчислення густини носіїв заряду, яке використовується в більшості моделей напівпровідникових приладів, що базуються на принципах дрейфу та дифузії.

4. У яких випадках слід використовувати статистику Максвелла — Больцмана, а в яких — статистику Фермі — Дірака?

Статистику Максвелла–Больцмана слід використовувати, коли напівпровідник перебуває у стані, коли невиродженийтобто концентрація вільних носіїв заряду є достатньо низькою, щоб більшість енергетичних рівнів у зонах провідності та валентності залишалися вільними. За таких умов рівні квазі-Фермі залишаються на декількох \(k_{B}T\) вдалині від країв зони та ефекти заповнення станів незначні. Це наближення є дійсним для більшості звичайних напівпровідникових пристроїв, що працюють при помірній концентрації носіїв заряду, зокрема для багатьох кремнієвих p-n переходів, моделей дрейфу та дифузії OLED, органічних фотоелектричних пристроїв і тонкоплівкових сонячних елементів, які працюють далеко від стану виродження.

На відміну від цього, для напівпровідників виродженого типу необхідно використовувати статистику Фермі–Дірака, оскільки концентрація носіїв заряду стає достатньо високою, і значна частина доступних електронних станів стає заповненою. У таких випадках квазірівень Фермі наближається до зони або потрапляє в неї, і принцип виключення Паулі суттєво впливає на розподіл носіїв заряду. Приклади, де часто потрібна статистика Фермі–Дірака, включають сильно леговані напівпровідники, квантові ями, сильно збуджені світлодіоди, шари з високою концентрацією носіїв заряду та деякі неорганічні лазерні структури.

У чисельних напівпровідникових моделюваннях, за можливості, зазвичай віддають перевагу статистиці Максвелла — Больцмана, оскільки отримані рівняння для концентрації носіїв заряду можна обчислити аналітично та дуже ефективно. Це робить рівняння простішими, швидшими та чисельно стабільнішими. На противагу цьому, обчислення за допомогою статистики Фермі — Дірака значно повільніше, оскільки концентрацію носіїв заряду зазвичай потрібно визначати шляхом явного обчислення інтеграла Фермі — Дірака. На практиці це часто вимагає чисельного ітераційного процесу для обчислення інтеграла для кожної енергії або багаторазового обчислення табличних інтегралів, що призводить до значних обчислювальних витрат порівняно з аналітичним наближенням Максвелла — Больцмана.

Отже, якщо немає потреби моделювати вироджені популяції носіїв заряду, зазвичай краще використовувати статистику Максвелла — Больцмана. Однак, коли вироджені популяції носіїв заряду мають фізичне значення, необхідно використовувати повну статистику Фермі — Дірака, щоб правильно врахувати заповнення енергетичних рівнів і вплив на заповнення носіями. Обговорення, наведене тут, стосується лише статистики вільних популяцій носіїв заряду в зонах провідності та валентності. Дуже глибокі пасткові стани зазвичай вимагають використання статистики Фермі — Дірака, незалежно від того, чи є вільні носії виродженими, хоча це виходить за межі даного обговорення.

5. Приклади скриптів для побудови графіків розподілів Фермі–Дірака та Больцмана–Максвелла.

Відмінності між статистиками носіїв заряду Максвелла — Больцмана та Фермі — Дірака можна вивчити за допомогою наведених нижче прикладів програм на Python та MATLAB/Octave. Ці програми відтворюють поведінку, продемонстровану в ??, і дозволяють інтерактивно досліджувати вплив зміни температури, концентрації носіїв заряду та квазірівня Фермі.

import math
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
k_B = 8.617333262e-5
T = 300.0
Nc = 2.8e19

# Generate energy axis
Ef_minus_Ec = []

x = -0.4

while x <= 0.2:
    Ef_minus_Ec.append(x)
    x += 0.002

# Maxwell-Boltzmann carrier density
n_mb = []

for eta in Ef_minus_Ec:
    n = Nc * math.exp(eta / (k_B * T))
    n_mb.append(n)

# Approximate Fermi-Dirac carrier density
n_fd = []

for eta in Ef_minus_Ec:

    arg = eta / (k_B * T)

    fd = Nc * math.log(1.0 + math.exp(arg))

    n_fd.append(fd)

# Plot
plt.figure(figsize=(7,5))

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_mb,
    color='#d00000',
    linewidth=3,
    label='Maxwell-Boltzmann'
)

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_fd,
    color='#0044ff',
    linewidth=3,
    label='Fermi-Dirac'
)

plt.xlabel(r'$E_{F_n}-E_c$ (eV)')
plt.ylabel(r'Electron density (cm$^{-3}$)')

plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

k_B = 8.617333262e-5;
T = 300.0;
Nc = 2.8e19;

Ef_minus_Ec = -0.4:0.002:0.2;

n_mb = Nc .* exp(Ef_minus_Ec ./ (k_B*T));

arg = Ef_minus_Ec ./ (k_B*T);
n_fd = Nc .* log(1.0 + exp(arg));

semilogy(Ef_minus_Ec, n_mb, 'r', 'LineWidth', 3);
hold on;
semilogy(Ef_minus_Ec, n_fd, 'b', 'LineWidth', 3);

xlabel('E_F - E_c (eV)');
ylabel('Electron density');

legend('Maxwell-Boltzmann', 'Fermi-Dirac');

grid on;