Statystyka Fermiego-Diraca a statystyka Maxwella-Boltzmanna w półprzewodnikach.

Statystyki Fermiego-Diraca i Maxwella-Boltzmanna są wykorzystywane w modelowaniu elementów półprzewodnikowych do określania zależności między gęstością nośników a położeniem quasi-poziomów Fermiego. Statystyki te określają, w jaki sposób elektrony zajmują dostępne stany energetyczne w obrębie gęstości stanów, a tym samym bezpośrednio wpływają na koncentrację nośników, właściwości elektrostatyczne, szybkość rekombinacji i właściwości transportowe.

Na tej stronie wyjaśniono, w jaki sposób oblicza się stężenie nośników w półprzewodnikach, wykorzystując gęstość stanów i rozkład Fermiego-Diraca. Następnie przedstawiono przybliżenie Maxwella-Boltzmanna, które jest powszechnie stosowane w modelowaniu półprzewodnikowych urządzeń opartym na zjawiskach dryfu i dyfuzji. Ponadto omówiono różnice między statystyką Fermiego-Diraca i statystyką Maxwella-Boltzmanna, ich fizyczne znaczenie, koszty obliczeniowe oraz zakres stosowalności w półprzewodnikach zdegenerowanych i niezdegenerowanych.

1. Gęstość stanów.

Gęstość stanów określa, ile stanów elektronowych jest dostępnych dla każdej wartości energii w paśmie przewodnictwa. Każdy stan może zawierać jeden elektron lub dwa elektrony, jeśli uwzględni się spin. Rozkład dostępnych stanów przedstawiono schematycznie na rysunku ??.

Dla trójwymiarowego półprzewodnika o parabolicznej strukturze pasma przewodnictwa, gęstość stanów wyraża się wzorem:

\[ g_{c}(E)=\frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} \]

gdzie \(g_{c}(E)\) oznacza gęstość stanów, \(m_{n}^{*}\) to efektywna masa elektronu, \(\hbar\) to zredukowana stała Plancka, a \(E_{c}\) to dolna granica pasma przewodnictwa.

Gęstość stanów wynosi zero poniżej dolnej granicy pasma przewodnictwa, ponieważ w tym obszarze nie występują stany pasma przewodnictwa. Powyżej \(E_{c}\) liczba dostępnych stanów rośnie wraz ze wzrostem energii.

2. Statystyka Fermiego-Diraca

Gęstość stanów określa, ile stanów elektronowych jest dostępnych dla każdej wartości energii, natomiast rozkład Fermiego-Diraca opisuje prawdopodobieństwo, że każdy z tych stanów jest zajęty przez elektron. Rozkład ten przedstawiono schematycznie na rysunku ??.

\[ f(E)=\frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)} \]

W tym równaniu \(f(E)\) oznacza prawdopodobieństwo, że dany stan energetyczny \(E\) jest zajęty przez elektron, \(E_{F}\) to poziom Fermiego, \(k_{B}\) to stała Boltzmanna, a \(T\) to temperatura.

Stany o energii znacznie niższej od poziomu Fermiego są niemal na pewno zajęte, natomiast stany o energii znacznie wyższej od poziomu Fermiego prawdopodobnie nie zawierają elektronów. W pobliżu poziomu Fermiego prawdopodobieństwo zajęcia stanów zmienia się płynnie, przechodząc od stanów zajętych do stanów pustych.

3. Gęstość elektronów w paśmie przewodnictwa, obliczana z wykorzystaniem statystyki Fermiego-Diraca.

Gęstość elektronów w paśmie przewodnictwa oblicza się, mnożąc gęstość stanów przez prawdopodobieństwo zajęcia zgodnie z rozkładem Fermiego-Diraca, a następnie całkując po energii, co przedstawiono w ??.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red} f(E)} \,dE \]

Po podstawieniu gęstości stanów w paśmie przewodnictwa oraz funkcji rozkładu Fermiego-Diraca otrzymujemy:

4. Oznaczenia używane w całce Fermiego-Diraca

Pełna całka gęstości nośników, wyprowadzona powyżej, zazwyczaj nie ma prostego rozwiązania analitycznego. Zamiast tego, powszechnie stosuje się jej uproszczoną formę zapisu, wykorzystując skróconą notację całki Fermiego-Diraca.

Ta notacja często pojawia się w fizyce półprzewodników, ponieważ stanowi zwięzły sposób zapisu statystyk nośników ładunku w warunkach zdegenerowanych.

W tym przypadku \(F_{1/2}\) oznacza całkę Fermiego-Diraca pierwszego rzędu, a \(N_c\) – efektywną gęstość stanów w paśmie przewodnictwa.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue}{ \frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} }} {\color{red}{ \frac{1}{ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right)} }} \,dE \]

Na tym wykresie niebieski kolor symbolizuje liczbę dostępnych stanów elektronowych dla danego poziomu energii, natomiast czerwony kolor oznacza prawdopodobieństwo, że te stany są zajęte przez elektrony.

3. Wyprowadzenie przybliżenia Maxwella-Boltzmanna

Przybliżenie Maxwella-Boltzmanna jest poprawne, gdy półprzewodnik nie jest zdegenerowany, co oznacza, że gęstość elektronów jest na tyle niska, że większość stanów elektronowych w paśmie przewodnictwa pozostaje pusta. W takich warunkach poziom Fermiego znajduje się kilka \(k_{B}T\) poniżej krawędzi pasma przewodnictwa, co oznacza, że \(E-E_{F_n} \gg k_{B}T\), a prawdopodobieństwo zajętości spełnia \(f(E)\ll1\). Fizycznie oznacza to, że elektrony są wystarczająco rozrzedzone, aby zasada wykluczenia Pauliego nie ograniczała w znaczący sposób zajętości stanów. Innymi słowy, elektrony zachowują się w przybliżeniu jak gaz klasyczny, ponieważ dostępnych jest znacznie więcej stanów niż elektronów, które je zajmują. To przybliżenie jest dokładne dla większości konwencjonalnych urządzeń półprzewodnikowych, pracujących przy umiarkowanych gęstościach nośników, w tym dla wielu diod krzemowych, ogniw słonecznych i organicznych urządzeń półprzewodnikowych. Jednak przestaje być ono poprawne przy bardzo wysokich gęstościach nośników, dużych poziomach domieszkowania lub silnej akumulacji nośników, gdy znacząca część dostępnych stanów staje się zajęta. W takich warunkach \[ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \approx \exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \], a rozkład Fermiego-Diraca sprowadza się do

\[ f(E)\approx \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) \]

Po podstawieniu tego do całki gęstości nośników otrzymujemy:

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red}{ \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) }} \,dE \]

Ocena wartości całki.

\[ {\color{green} n} = N_{c} \exp\left( \frac{E_{F_n}-E_{c}}{k_{B}T} \right) \qquad N_{c}=2 \left( \frac{2\pi m_{n}^{*}k_{B}T}{h^{2}} \right)^{3/2} \]

gdzie \(N_c\) oznacza efektywną gęstość stanów w paśmie przewodnictwa. Jest to standardowe równanie Maxwella-Boltzmanna, określające gęstość nośników, stosowane w większości modeli półprzewodnikowych opartych na zjawiskach dryfu i dyfuzji.

4. Kiedy należy stosować statystykę Maxwella-Boltzmanna, a kiedy statystykę Fermiego-Diraca?

Statystyki Maxwella-Boltzmanna należy stosować, gdy półprzewodnik znajduje się w stanie... niezdegenerowanyco oznacza, że stężenie nośników ładunku jest na tyle niskie, że większość stanów w pasmach przewodnictwa i walencyjnych pozostaje pusta. W takich warunkach poziomy quasi-Fermiego pozostają na poziomie kilku... \(k_{B}T\) Wpływ oddalenia od krawędzi pasma energetycznego oraz efektów związanych z wypełnianiem stanów jest pomijalny. To przybliżenie jest poprawne dla większości konwencjonalnych urządzeń półprzewodnikowych, pracujących przy umiarkowanych stężeniach nośników, w tym dla wielu silikonowych złącz p-n, symulacji dryfu i dyfuzji w diodach OLED, organicznych ogniw fotowoltaicznych oraz cienkowarstwowych ogniw słonecznych, pracujących daleko od stanu degeneracji.

Z kolei w przypadku półprzewodników zdegenerowanych należy stosować statystykę Fermiego-Diraca, ponieważ gęstość nośników staje się na tyle wysoka, że znacząca część dostępnych stanów elektronowych zostaje zajęta. W takich sytuacjach quasi-poziom Fermiego zbliża się do pasma lub wchodzi w nie, a zasada wykluczenia Pauliego ma istotny wpływ na rozkład nośników. Przykłady, w których często wymagane jest stosowanie statystyki Fermiego-Diraca, obejmują silnie domieszkowane półprzewodniki, struktury kwantowe, diody LED o wysokim prądzie, warstwy o dużej akumulacji nośników oraz niektóre nieorganiczne struktury laserowe.

W numerycznych symulacjach półprzewodników zazwyczaj preferuje się statystykę Maxwella-Boltzmanna, o ile to możliwe, ponieważ wynikowe równania opisujące gęstość nośników można rozwiązywać analitycznie i bardzo efektywnie. Dzięki temu równania stają się prostsze, obliczenia przebiegają szybciej, a rozwiązanie jest numerycznie bardziej stabilne. Z kolei statystyka Fermiego-Diraca wymaga znacznie bardziej czasochłonnych obliczeń numerycznych, ponieważ gęstość nośników zazwyczaj uzyskuje się poprzez bezpośrednie obliczenie całki Fermiego-Diraca. W praktyce często wiąże się to z koniecznością iteracyjnego obliczania wartości dla różnych poziomów energii lub wielokrotnego obliczania wartości całek z tabel, co generuje znaczne obciążenie obliczeniowe w porównaniu z analitycznym przybliżeniem Maxwella-Boltzmanna.

W związku z tym, gdy nie ma potrzeby modelowania zdegenerowanych populacji nośników, zazwyczaj preferowane jest stosowanie statystyki Maxwella-Boltzmanna. Jednakże, gdy zdegenerowane populacje nośników mają istotne znaczenie fizyczne, należy stosować pełną statystykę Fermiego-Diraca, aby poprawnie uwzględnić efekty związane z wypełnianiem stanów i zajętością nośników. Niniejsza analiza dotyczy jedynie statystyki populacji swobodnych nośników w pasmach przewodnictwa i walencyjnych. Bardzo głębokie stany pułapkowe zazwyczaj wymagają stosowania statystyki zajętości Fermiego-Diraca, niezależnie od tego, czy swobodne nośniki są zdegenerowane, chociaż ten aspekt wykracza poza zakres niniejszej dyskusji.

5. Przykładowe skrypty do tworzenia wykresów rozkładów Fermiego-Diraca i Maxwella-Boltzmanna.

Różnice między statystyką nośników ładunku opisaną przez rozkład Maxwella-Boltzmanna i rozkład Fermiego-Diraca można zbadać, korzystając z poniższych przykładowych skryptów napisanych w językach Python i MATLAB/Octave. Skrypty te odtwarzają zachowanie opisane w ?? i umożliwiają interaktywne badanie wpływu zmian temperatury, gęstości nośników i quasi-poziomu Fermiego.

import math
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
k_B = 8.617333262e-5
T = 300.0
Nc = 2.8e19

# Generate energy axis
Ef_minus_Ec = []

x = -0.4

while x <= 0.2:
    Ef_minus_Ec.append(x)
    x += 0.002

# Maxwell-Boltzmann carrier density
n_mb = []

for eta in Ef_minus_Ec:
    n = Nc * math.exp(eta / (k_B * T))
    n_mb.append(n)

# Approximate Fermi-Dirac carrier density
n_fd = []

for eta in Ef_minus_Ec:

    arg = eta / (k_B * T)

    fd = Nc * math.log(1.0 + math.exp(arg))

    n_fd.append(fd)

# Plot
plt.figure(figsize=(7,5))

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_mb,
    color='#d00000',
    linewidth=3,
    label='Maxwell-Boltzmann'
)

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_fd,
    color='#0044ff',
    linewidth=3,
    label='Fermi-Dirac'
)

plt.xlabel(r'$E_{F_n}-E_c$ (eV)')
plt.ylabel(r'Electron density (cm$^{-3}$)')

plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

k_B = 8.617333262e-5;
T = 300.0;
Nc = 2.8e19;

Ef_minus_Ec = -0.4:0.002:0.2;

n_mb = Nc .* exp(Ef_minus_Ec ./ (k_B*T));

arg = Ef_minus_Ec ./ (k_B*T);
n_fd = Nc .* log(1.0 + exp(arg));

semilogy(Ef_minus_Ec, n_mb, 'r', 'LineWidth', 3);
hold on;
semilogy(Ef_minus_Ec, n_fd, 'b', 'LineWidth', 3);

xlabel('E_F - E_c (eV)');
ylabel('Electron density');

legend('Maxwell-Boltzmann', 'Fermi-Dirac');

grid on;