Statistiques de Fermi-Dirac et de Maxwell-Boltzmann dans les semi-conducteurs

Les statistiques de Fermi-Dirac et de Maxwell-Boltzmann sont utilisées dans la modélisation des dispositifs à semi-conducteurs pour établir une relation entre les densités de porteurs et la position des niveaux quasi-Fermi. Ces statistiques déterminent la manière dont les électrons occupent les états d’énergie disponibles dans la densité d’états et contrôlent donc directement les concentrations de porteurs, l’électrostatique, les taux de recombinaison et le comportement du transport.

Cette page explique comment les densités de porteurs dans les semi-conducteurs sont obtenues à partir de la densité d’états et de la distribution de Fermi-Dirac, avant de présenter l’approximation de Maxwell-Boltzmann, qui est couramment utilisée dans la modélisation des dispositifs semi-conducteurs par les mécanismes de dérive et de diffusion. On aborde ensuite les différences entre les statistiques de Fermi-Dirac et de Maxwell-Boltzmann, leur signification physique, leur coût de calcul et leur validité dans les semi-conducteurs dégénérés et non dégénérés.

1. La densité d’états

La densité d’états décrit le nombre d’états électroniques disponibles pour chaque niveau d’énergie dans la bande de conduction. Chaque état peut accueillir un électron, ou deux électrons si l’on tient compte du spin. La distribution des états disponibles est illustrée schématiquement dans ??.

Pour un semi-conducteur tridimensionnel doté d’une bande de conduction parabolique, la densité d’états est donnée par :

\[ g_{c}(E)=\frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} \]

où \(g_{c}(E)\) représente la densité d’états, \(m_{n}^{*}\) la masse effective de l’électron, \(\hbar\) la constante de Planck réduite et \(E_{c}\) le bord de la bande de conduction.

La densité d’états est nulle en dessous du seuil de la bande de conduction, car il n’existe aucun état dans cette bande à ce niveau d’énergie. Au-dessus de \(E_{c}\), le nombre d’états disponibles augmente avec l’énergie.

2. Statistiques de Fermi-Dirac

Bien que la densité d’états indique le nombre d’états électroniques disponibles pour chaque niveau d’énergie, la distribution de Fermi-Dirac décrit la probabilité que chacun de ces états soit occupé par un électron. Cette distribution est illustrée schématiquement dans ??.

\[ f(E)=\frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)} \]

Ici, \(f(E)\) représente la probabilité qu’un état d’énergie \(E\) soit occupé par un électron, \(E_{F}\) est le niveau de Fermi, \(k_{B}\) est la constante de Boltzmann et \(T\) est la température.

Les états situés bien en dessous du niveau de Fermi sont très susceptibles d’être occupés, tandis que les états situés bien au-dessus du niveau de Fermi sont peu susceptibles de contenir des électrons. À proximité du niveau de Fermi, la probabilité d’occupation évolue de manière continue entre les états occupés et les états vides.

3. Densité électronique dans la bande de conduction, calculée à l’aide de la statistique de Fermi-Dirac.

La densité d’électrons dans la bande de conduction s’obtient en multipliant la densité d’états par la probabilité d’occupation de Fermi-Dirac et en effectuant une intégration sur l’énergie, comme l’illustre ??.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red} f(E)} \,dE \]

En substituant la densité d’états de la bande de conduction et la fonction d’occupation de Fermi-Dirac, on obtient :

4. Notation de l’intégrale de Fermi-Dirac.

L’intégrale complète de la densité des porteurs, obtenue ci-dessus, n’admet généralement pas de solution analytique simple. On la réécrit donc habituellement en utilisant la notation abrégée de l’intégrale de Fermi-Dirac.

Cette notation est fréquemment utilisée en physique des semi-conducteurs, car elle permet de représenter de manière concise les statistiques des porteurs de charge dans des conditions dégénérées.

Ici, \(F_{1/2}\) représente l’intégrale de Fermi-Dirac d’ordre un demi, et \(N_c\) représente la densité d’états effective de la bande de conduction.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue}{ \frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} }} {\color{red}{ \frac{1}{ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right)} }} \,dE \]

Ici, le terme bleu représente le nombre d’états électroniques disponibles pour chaque niveau d’énergie, tandis que le terme rouge représente la probabilité que ces états soient occupés par des électrons.

3. Dérivation de l’approximation de Maxwell-Boltzmann.

L’approximation de Maxwell-Boltzmann est valide lorsque le semi-conducteur n’est pas dégénéré, ce qui signifie que la densité électronique est suffisamment faible pour que la plupart des états électroniques dans la bande de conduction restent vides. Dans ces conditions, le niveau de Fermi se situe plusieurs \(k_{B}T\) en dessous du bord de la bande de conduction, de sorte que \(E-E_{F_n} \gg k_{B}T\) et la probabilité d’occupation satisfait \(f(E)\ll1\). Physiquement, cela signifie que les électrons sont suffisamment dispersés pour que le principe d’exclusion de Pauli ne limite pas fortement l’occupation des états. En d’autres termes, les électrons se comportent approximativement comme un gaz classique, car il existe beaucoup plus d’états disponibles que d’électrons qui les occupent. Cette approximation est précise pour la plupart des dispositifs semi-conducteurs conventionnels fonctionnant à des densités de porteurs modérées, y compris de nombreuses diodes au silicium, des cellules solaires et des dispositifs semi-conducteurs organiques. Cependant, elle commence à devenir imprécise à des densités de porteurs très élevées, à des niveaux de dopage importants ou en cas d’accumulation importante de porteurs, où une fraction importante des états disponibles devient occupée. Dans ces conditions, \[ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \approx \exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \] et la distribution de Fermi-Dirac se réduit à

\[ f(E)\approx \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) \]

En substituant cette valeur dans l’intégrale de la densité des porteurs, on obtient :

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red}{ \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) }} \,dE \]

Évaluer les rendements globaux.

\[ {\color{green} n} = N_{c} \exp\left( \frac{E_{F_n}-E_{c}}{k_{B}T} \right) \qquad N_{c}=2 \left( \frac{2\pi m_{n}^{*}k_{B}T}{h^{2}} \right)^{3/2} \]

où \(N_c\) représente la densité d’états effective de la bande de conduction. Il s’agit de l’équation standard de Maxwell-Boltzmann pour la densité de porteurs, utilisée dans la plupart des modèles de dispositifs semi-conducteurs basés sur les phénomènes de dérive et de diffusion.

4. Dans quels cas dois-je utiliser la statistique de Maxwell-Boltzmann et dans quels cas dois-je utiliser la statistique de Fermi-Dirac ?

La statistique de Maxwell-Boltzmann doit être utilisée lorsque le semi-conducteur n’est pas dégénéré, ce qui signifie que la densité de porteurs libres est suffisamment faible pour que la plupart des états dans les bandes de conduction et de valence restent vides. Dans ces conditions, les niveaux quasi-Fermi restent éloignés de plusieurs \(k_{B}T\) des bords de bande et les effets de remplissage des états sont négligeables. Cette approximation est valable pour la plupart des dispositifs semi-conducteurs conventionnels fonctionnant à des densités de porteurs modérées, y compris de nombreuses jonctions pn au silicium, les simulations de dérive-diffusion des OLED, les dispositifs photovoltaïques organiques et les cellules solaires à couches minces fonctionnant loin de la dégénérescence.

À l’inverse, les statistiques de Fermi-Dirac doivent être utilisées pour les semi-conducteurs dégénérés, où la densité de porteurs devient suffisamment élevée pour qu’une fraction importante des états électroniques disponibles soit occupée. Dans ces situations, le niveau quasi-Fermi se rapproche ou entre dans une bande, et le principe d’exclusion de Pauli affecte fortement la distribution des porteurs. Les exemples où les statistiques de Fermi-Dirac sont souvent nécessaires comprennent les semi-conducteurs fortement dopés, les puits quantiques, les diodes électroluminescentes fortement excitées, les couches à forte accumulation de porteurs et certaines structures laser inorganiques.

Dans les simulations numériques des semi-conducteurs, les statistiques de Maxwell-Boltzmann sont généralement privilégiées chaque fois que possible, car les équations de densité de porteurs qui en découlent peuvent être résolues analytiquement et de manière très efficace. Cela simplifie les équations, les rend plus rapides et plus stables numériquement. En revanche, les statistiques de Fermi-Dirac sont beaucoup plus lentes à résoudre numériquement, car la densité de porteurs doit généralement être obtenue en calculant explicitement l’intégrale de Fermi-Dirac. En pratique, cela nécessite souvent une boucle numérique sur l’énergie ou le calcul répété d’intégrales tabulées, ce qui entraîne une surcharge de calcul importante par rapport à l’approximation analytique de Maxwell-Boltzmann.

Par conséquent, lorsque les populations de porteurs dégénérées n’ont pas besoin d’être modélisées, il est généralement préférable d’utiliser les statistiques de Maxwell-Boltzmann. Cependant, lorsque les populations de porteurs dégénérées sont physiquement importantes, il est nécessaire d’utiliser les statistiques complètes de Fermi-Dirac afin de prendre correctement en compte les effets liés au remplissage des états et à l’occupation des porteurs. La discussion qui suit concerne uniquement les statistiques des populations de porteurs libres dans les bandes de conduction et de valence. Les états de piège très profonds nécessitent généralement les statistiques d’occupation de Fermi-Dirac, que les porteurs libres soient dégénérés ou non, bien que cela ne relève pas du sujet de la présente discussion.

5. Exemples de scripts pour représenter graphiquement les statistiques de Fermi-Dirac et de Maxwell-Boltzmann.

La différence entre les statistiques de Maxwell-Boltzmann et de Fermi-Dirac pour les porteurs de charge peut être étudiée à l’aide des exemples de scripts Python et MATLAB/Octave ci-dessous. Ces scripts reproduisent le comportement illustré dans ?? et permettent d’étudier de manière interactive l’effet de la variation de la température, de la densité des porteurs et du niveau quasi-Fermi.

import math
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
k_B = 8.617333262e-5
T = 300.0
Nc = 2.8e19

# Generate energy axis
Ef_minus_Ec = []

x = -0.4

while x <= 0.2:
    Ef_minus_Ec.append(x)
    x += 0.002

# Maxwell-Boltzmann carrier density
n_mb = []

for eta in Ef_minus_Ec:
    n = Nc * math.exp(eta / (k_B * T))
    n_mb.append(n)

# Approximate Fermi-Dirac carrier density
n_fd = []

for eta in Ef_minus_Ec:

    arg = eta / (k_B * T)

    fd = Nc * math.log(1.0 + math.exp(arg))

    n_fd.append(fd)

# Plot
plt.figure(figsize=(7,5))

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_mb,
    color='#d00000',
    linewidth=3,
    label='Maxwell-Boltzmann'
)

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_fd,
    color='#0044ff',
    linewidth=3,
    label='Fermi-Dirac'
)

plt.xlabel(r'$E_{F_n}-E_c$ (eV)')
plt.ylabel(r'Electron density (cm$^{-3}$)')

plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

k_B = 8.617333262e-5;
T = 300.0;
Nc = 2.8e19;

Ef_minus_Ec = -0.4:0.002:0.2;

n_mb = Nc .* exp(Ef_minus_Ec ./ (k_B*T));

arg = Ef_minus_Ec ./ (k_B*T);
n_fd = Nc .* log(1.0 + exp(arg));

semilogy(Ef_minus_Ec, n_mb, 'r', 'LineWidth', 3);
hold on;
semilogy(Ef_minus_Ec, n_fd, 'b', 'LineWidth', 3);

xlabel('E_F - E_c (eV)');
ylabel('Electron density');

legend('Maxwell-Boltzmann', 'Fermi-Dirac');

grid on;