Estatística de Fermi-Dirac versus estatística de Maxwell-Boltzmann em semicondutores

As estatísticas de Fermi-Dirac e de Maxwell-Boltzmann são utilizadas na modelagem de dispositivos semicondutores para relacionar as densidades de portadores com a posição dos níveis de quasi-Fermi. Essas estatísticas determinam como os eletrões ocupam os estados de energia disponíveis dentro da densidade de estados e, portanto, controlam diretamente as concentrações de portadores, a eletrostática, as taxas de recombinação e o comportamento do transporte.

Esta página explica como as densidades de portadores em semicondutores são obtidas a partir da densidade de estados e da distribuição de Fermi-Dirac, antes de apresentar a aproximação de Maxwell-Boltzmann, que é comumente utilizada na modelagem de dispositivos semicondutores baseada nos processos de deriva e difusão. Em seguida, são discutidas as diferenças entre as estatísticas de Fermi-Dirac e Maxwell-Boltzmann, o seu significado físico, o custo computacional e a validade em semicondutores degenerados e não degenerados.

1. A densidade de estados

A densidade de estados descreve o número de estados eletrónicos disponíveis em cada nível de energia dentro da banda de condução. Cada estado pode conter um eletrão ou dois eletrões, caso se considere o spin. A distribuição dos estados disponíveis é ilustrada esquematicamente em ??.

Para um semicondutor tridimensional com uma banda de condução parabólica, a densidade de estados é dada por:

\[ g_{c}(E)=\frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} \]

onde \(g_{c}(E)\) é a densidade de estados, \(m_{n}^{*}\) é a massa efetiva do eletrão, \(\hbar\) é a constante de Planck reduzida e \(E_{c}\) é a extremidade inferior da banda de condução.

A densidade de estados é nula abaixo do limite da banda de condução, pois não existem estados de condução nessa região. Acima de \(E_{c}\), o número de estados disponíveis aumenta com a energia.

2. Estatística de Fermi-Dirac

Embora a densidade de estados descreva o número de estados eletrónicos disponíveis em cada nível de energia, a distribuição de Fermi-Dirac descreve a probabilidade de cada um desses estados estar ocupado por um eletrão. Esta distribuição é ilustrada esquematicamente em ??.

\[ f(E)=\frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)} \]

Aqui, \(f(E)\) representa a probabilidade de um estado de energia \(E\) ser ocupado por um eletrão, \(E_{F}\) é o nível de Fermi, \(k_{B}\) é a constante de Boltzmann e \(T\) é a temperatura.

Os estados que se encontram bem abaixo do nível de Fermi têm uma probabilidade muito elevada de estarem ocupados, enquanto os estados que se encontram muito acima do nível de Fermi têm uma probabilidade baixa de conterem eletrões. Próximo do nível de Fermi, a probabilidade de ocupação varia gradualmente entre os estados ocupados e os estados vazios.

3. Densidade de eletrões na banda de condução, utilizando a estatística de Fermi-Dirac.

A densidade de eletrões na banda de condução é obtida multiplicando a densidade de estados pela probabilidade de ocupação de Fermi-Dirac e integrando em relação à energia, conforme ilustrado em ??.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red} f(E)} \,dE \]

Ao substituir a densidade de estados da banda de condução e a função de ocupação de Fermi-Dirac, obtemos:

4. Notação da integral de Fermi-Dirac

A integral completa da densidade de portadores, obtida anteriormente, geralmente não possui uma solução analítica simples. Em vez disso, é comum reescrevê-la utilizando a notação abreviada da integral de Fermi-Dirac.

Esta notação surge com frequência na física de semicondutores, pois oferece uma forma concisa de apresentar as estatísticas dos portadores de carga em condições degeneradas.

Aqui, \(F_{1/2}\) representa a integral de Fermi-Dirac de ordem um meio e \(N_c\) representa a densidade de estados efetiva da banda de condução.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue}{ \frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} }} {\color{red}{ \frac{1}{ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right)} }} \,dE \]

Aqui, o termo azul representa o número de estados eletrónicos disponíveis em cada nível de energia, enquanto o termo vermelho representa a probabilidade de esses estados estarem ocupados por eletrões.

3. Obtenção da aproximação de Maxwell-Boltzmann

A aproximação de Maxwell-Boltzmann é válida quando o semicondutor não é degenerado, o que significa que a densidade de eletrões é suficientemente baixa para que a maioria dos estados eletrónicos na banda de condução permaneça vazia. Nestas condições, o nível de Fermi situa-se vários \(k_{B}T\) abaixo da extremidade da banda de condução, de modo que \(E-E_{F_n} \gg k_{B}T\) e a probabilidade de ocupação satisfaz \(f(E)\ll1\). Fisicamente, isto significa que os eletrões estão suficientemente dispersos para que o princípio de exclusão de Pauli não limite fortemente a ocupação dos estados. Em outras palavras, os eletrões comportam-se aproximadamente como um gás clássico porque existem muito mais estados disponíveis do que eletrões a ocupá-los. Esta aproximação é precisa para a maioria dos dispositivos semicondutores convencionais que operam em densidades de portadores moderadas, incluindo muitos diodos de silício, células solares e dispositivos semicondutores orgânicos. No entanto, começa a perder a sua validade em densidades de portadores muito elevadas, níveis de dopagem elevados ou forte acumulação de portadores, onde uma fração significativa dos estados disponíveis se torna ocupada. Nestas condições, \[ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \approx \exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \] e a distribuição de Fermi-Dirac reduz-se a

\[ f(E)\approx \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) \]

Ao substituir este valor na integral da densidade de portadores, obtemos:

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red}{ \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) }} \,dE \]

Analisando os resultados globais.

\[ {\color{green} n} = N_{c} \exp\left( \frac{E_{F_n}-E_{c}}{k_{B}T} \right) \qquad N_{c}=2 \left( \frac{2\pi m_{n}^{*}k_{B}T}{h^{2}} \right)^{3/2} \]

onde \(N_c\) é a densidade efetiva de estados da banda de condução. Esta é a equação padrão de Maxwell-Boltzmann para a densidade de portadores, utilizada na maioria dos modelos de dispositivos semicondutores baseados nos fenómenos de deriva e difusão.

4. Em que situações devo usar a estatística de Maxwell-Boltzmann e em que situações devo usar a estatística de Fermi-Dirac?

A estatística de Maxwell-Boltzmann deve ser utilizada quando o semicondutor estiver em... não degenerado, o que significa que a densidade de portadores livres é suficientemente baixa para que a maioria dos níveis nas bandas de condução e de valência permaneça vazia. Nestas condições, os níveis de quasi-Fermi permanecem em valores relativamente altos. \(k_{B}T\) longe das bordas da banda e os efeitos de preenchimento do estado são insignificantes. Esta aproximação é válida para a maioria dos dispositivos semicondutores convencionais que operam em densidades de portadores moderadas, incluindo muitas junções pn de silício, simulações de deriva e difusão de OLED, dispositivos fotovoltaicos orgânicos e células solares de película fina que operam longe da degenerescência.

Em contrapartida, as estatísticas de Fermi-Dirac devem ser utilizadas para semicondutores degenerados, nos quais a densidade de portadores se torna suficientemente alta, de modo que uma fração significativa dos estados eletrónicos disponíveis fica ocupada. Nestas situações, o nível de quasi-Fermi aproxima-se ou entra numa banda e o princípio de exclusão de Pauli afeta fortemente a distribuição de portadores. Exemplos em que as estatísticas de Fermi-Dirac são frequentemente necessárias incluem semicondutores fortemente dopados, poços quânticos, LEDs com injeção elevada, camadas com forte acumulação de portadores e algumas estruturas de laser inorgânicas.

Em simulações numéricas de semicondutores, as estatísticas de Maxwell-Boltzmann são geralmente preferidas sempre que possível, porque as equações resultantes da densidade de portadores podem ser avaliadas analiticamente e de forma muito eficiente. Isso torna as equações mais simples, mais rápidas e numericamente mais estáveis. Em contraste, as estatísticas de Fermi-Dirac são significativamente mais lentas para serem avaliadas numericamente, pois a densidade de portadores geralmente deve ser obtida através da avaliação explícita da integral de Fermi-Dirac. Na prática, isso frequentemente exige um ciclo numérico sobre a energia ou a avaliação repetida de integrais tabuladas, o que introduz uma sobrecarga computacional considerável em comparação com a aproximação analítica de Maxwell-Boltzmann.

Portanto, quando não é necessário modelar populações de portadores degeneradas, é geralmente preferível utilizar a estatística de Maxwell-Boltzmann. No entanto, quando as populações de portadores degeneradas são fisicamente relevantes, é necessário utilizar a estatística completa de Fermi-Dirac para descrever corretamente o preenchimento dos estados e os efeitos da ocupação dos portadores. A discussão aqui diz respeito apenas à estatística das populações de portadores livres nas bandas de condução e de valência. Estados de armadilha muito profundos geralmente exigem a estatística de ocupação de Fermi-Dirac, independentemente de os portadores livres serem degenerados, embora isso esteja fora do escopo da presente discussão.

5. Exemplos de scripts para gerar gráficos das estatísticas de Fermi-Dirac e Maxwell-Boltzmann.

A diferença entre as estatísticas de portadores de Maxwell-Boltzmann e Fermi-Dirac pode ser explorada através dos exemplos de código em Python e MATLAB/Octave apresentados abaixo. Estes códigos reproduzem o comportamento ilustrado em ?? e permitem investigar de forma interativa o efeito da variação da temperatura, da densidade de portadores e do nível de quasi-Fermi.

import math
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
k_B = 8.617333262e-5
T = 300.0
Nc = 2.8e19

# Generate energy axis
Ef_minus_Ec = []

x = -0.4

while x <= 0.2:
    Ef_minus_Ec.append(x)
    x += 0.002

# Maxwell-Boltzmann carrier density
n_mb = []

for eta in Ef_minus_Ec:
    n = Nc * math.exp(eta / (k_B * T))
    n_mb.append(n)

# Approximate Fermi-Dirac carrier density
n_fd = []

for eta in Ef_minus_Ec:

    arg = eta / (k_B * T)

    fd = Nc * math.log(1.0 + math.exp(arg))

    n_fd.append(fd)

# Plot
plt.figure(figsize=(7,5))

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_mb,
    color='#d00000',
    linewidth=3,
    label='Maxwell-Boltzmann'
)

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_fd,
    color='#0044ff',
    linewidth=3,
    label='Fermi-Dirac'
)

plt.xlabel(r'$E_{F_n}-E_c$ (eV)')
plt.ylabel(r'Electron density (cm$^{-3}$)')

plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

k_B = 8.617333262e-5;
T = 300.0;
Nc = 2.8e19;

Ef_minus_Ec = -0.4:0.002:0.2;

n_mb = Nc .* exp(Ef_minus_Ec ./ (k_B*T));

arg = Ef_minus_Ec ./ (k_B*T);
n_fd = Nc .* log(1.0 + exp(arg));

semilogy(Ef_minus_Ec, n_mb, 'r', 'LineWidth', 3);
hold on;
semilogy(Ef_minus_Ec, n_fd, 'b', 'LineWidth', 3);

xlabel('E_F - E_c (eV)');
ylabel('Electron density');

legend('Maxwell-Boltzmann', 'Fermi-Dirac');

grid on;