Estadística de Fermi-Dirac frente a estadística de Maxwell-Boltzmann en semiconductores.

Las estadísticas de Fermi-Dirac y de Maxwell-Boltzmann se utilizan en la modelización de dispositivos semiconductores para relacionar las densidades de portadores con la posición de los niveles de quasi-Fermi. Estas estadísticas determinan cómo los electrones ocupan los estados de energía disponibles dentro de la densidad de estados y, por lo tanto, controlan directamente las concentraciones de portadores, la electrostática, las tasas de recombinación y el comportamiento del transporte.

Esta página explica cómo se obtienen las densidades de portadores en los semiconductores a partir de la densidad de estados y la distribución de Fermi-Dirac, antes de derivar la aproximación de Maxwell-Boltzmann, que se utiliza habitualmente en la modelización de dispositivos semiconductores basada en la deriva y la difusión. A continuación, se analizan las diferencias entre las estadísticas de Fermi-Dirac y Maxwell-Boltzmann, su significado físico, el coste computacional y la validez en semiconductores degenerados y no degenerados.

1. La densidad de estados

La densidad de estados describe la cantidad de estados electrónicos disponibles para cada nivel de energía dentro de la banda de conducción. Cada estado puede albergar un electrón, o dos electrones si se tiene en cuenta el espín. La distribución de los estados disponibles se ilustra esquemáticamente en ??.

Para un semiconductor tridimensional con una banda de conducción parabólica, la densidad de estados se expresa mediante:

\[ g_{c}(E)=\frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} \]

donde \(g_{c}(E)\) es la densidad de estados, \(m_{n}^{*}\) es la masa efectiva del electrón, \(\hbar\) es la constante de Planck reducida y \(E_{c}\) es el borde de la banda de conducción.

La densidad de estados es cero por debajo del borde de la banda de conducción, ya que no existen estados de conducción en esa zona. Por encima de \(E_{c}\), el número de estados disponibles aumenta con la energía.

2. Estadística de Fermi-Dirac

Si bien la densidad de estados describe cuántos estados electrónicos están disponibles para cada nivel de energía, la distribución de Fermi-Dirac describe la probabilidad de que cada uno de estos estados esté ocupado por un electrón. Esta distribución se ilustra esquemáticamente en ??.

\[ f(E)=\frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)} \]

Aquí, \(f(E)\) representa la probabilidad de que un estado de energía \(E\) esté ocupado por un electrón, \(E_{F}\) es el nivel de Fermi, \(k_{B}\) es la constante de Boltzmann y \(T\) es la temperatura.

Los estados que se encuentran muy por debajo del nivel de Fermi tienen una alta probabilidad de estar ocupados, mientras que los estados que se encuentran muy por encima del nivel de Fermi tienen una baja probabilidad de contener electrones. Cerca del nivel de Fermi, la probabilidad de ocupación varía de forma gradual entre los estados ocupados y los estados vacíos.

3. Densidad de electrones en la banda de conducción, utilizando la estadística de Fermi-Dirac.

La densidad de electrones en la banda de conducción se obtiene multiplicando la densidad de estados por la probabilidad de ocupación de Fermi-Dirac e integrando con respecto a la energía, como se muestra en ??.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red} f(E)} \,dE \]

Al sustituir la densidad de estados de la banda de conducción y la función de ocupación de Fermi-Dirac, se obtiene:

4. Notación de la integral de Fermi-Dirac

La integral completa de la densidad de portadores que se obtuvo anteriormente no suele tener una solución analítica sencilla. En cambio, es común reescribirla utilizando la notación abreviada de la integral de Fermi-Dirac.

Esta notación aparece con frecuencia en la física de los semiconductores porque ofrece una forma concisa de expresar las estadísticas de los portadores en condiciones de degeneración.

Aquí, \(F_{1/2}\) es la integral de Fermi-Dirac de orden medio y \(N_c\) es la densidad de estados efectiva de la banda de conducción.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue}{ \frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} }} {\color{red}{ \frac{1}{ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right)} }} \,dE \]

Aquí, el término azul representa el número de estados electrónicos disponibles en cada nivel de energía, mientras que el término rojo representa la probabilidad de que estos estados estén ocupados por electrones.

3. Obtención de la aproximación de Maxwell-Boltzmann.

La aproximación de Maxwell-Boltzmann es válida cuando el semiconductor no está degenerado, lo que significa que la densidad de electrones es lo suficientemente baja como para que la mayoría de los estados electrónicos en la banda de conducción permanezcan vacíos. En estas condiciones, el nivel de Fermi se encuentra varios \(k_{B}T\) por debajo del borde de la banda de conducción, de modo que \(E-E_{F_n} \gg k_{B}T\) y la probabilidad de ocupación satisface \(f(E)\ll1\). Físicamente, esto significa que los electrones están suficientemente dispersos como para que el principio de exclusión de Pauli no limite significativamente la ocupación de los estados. En otras palabras, los electrones se comportan aproximadamente como un gas clásico porque hay muchos más estados disponibles que electrones que los ocupan. Esta aproximación es precisa para la mayoría de los dispositivos semiconductores convencionales que funcionan con densidades de portadores moderadas, incluidos muchos diodos de silicio, células solares y dispositivos semiconductores orgánicos. Sin embargo, comienza a fallar a densidades de portadores muy altas, niveles de dopaje elevados o una fuerte acumulación de portadores, donde una fracción significativa de los estados disponibles se ocupa. En estas condiciones, \[ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \approx \exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \] y la distribución de Fermi-Dirac se reduce a

\[ f(E)\approx \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) \]

Al sustituir esto en la integral de la densidad de portadores, obtenemos:

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red}{ \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) }} \,dE \]

Evaluando los resultados globales.

\[ {\color{green} n} = N_{c} \exp\left( \frac{E_{F_n}-E_{c}}{k_{B}T} \right) \qquad N_{c}=2 \left( \frac{2\pi m_{n}^{*}k_{B}T}{h^{2}} \right)^{3/2} \]

donde \(N_c\) es la densidad efectiva de estados de la banda de conducción. Esta es la ecuación estándar de Maxwell-Boltzmann para la densidad de portadores, que se utiliza en la mayoría de los modelos de dispositivos semiconductores basados en la deriva y la difusión.

4. ¿Cuándo debo utilizar la estadística de Maxwell-Boltzmann y cuándo debo utilizar la estadística de Fermi-Dirac?

Se deben utilizar las estadísticas de Maxwell-Boltzmann cuando el semiconductor se encuentra en un estado de... no degeneradolo que significa que la densidad de portadores libres es lo suficientemente baja como para que la mayoría de los estados en las bandas de conducción y valencia permanezcan vacíos. En estas condiciones, los niveles de cuasi-Fermi permanecen en un valor relativamente bajo. \(k_{B}T\) Los efectos de borde de la banda y los efectos relacionados con el llenado de estados son despreciables cuando nos alejamos de estos bordes. Esta aproximación es válida para la mayoría de los dispositivos semiconductores convencionales que operan con densidades de portadores moderadas, incluidos muchos dispositivos de unión pn de silicio, simulaciones de deriva y difusión de OLED, dispositivos fotovoltaicos orgánicos y células solares de película delgada que operan lejos de la degeneración.

Por el contrario, para los semiconductores degenerados, es necesario utilizar la estadística de Fermi-Dirac, ya que la densidad de portadores se vuelve lo suficientemente alta como para que una fracción significativa de los estados electrónicos disponibles se ocupen. En estas situaciones, el nivel de Fermi cuasi se acerca o entra en una banda, y el principio de exclusión de Pauli afecta significativamente la distribución de portadores. Algunos ejemplos en los que a menudo se requiere la estadística de Fermi-Dirac incluyen semiconductores con una alta concentración de impurezas, pozos cuánticos, LED con una alta corriente de inyección, capas con una alta acumulación de portadores y algunas estructuras láser inorgánicas.

En las simulaciones numéricas de semiconductores, generalmente se prefiere la estadística de Maxwell-Boltzmann siempre que sea posible, ya que las ecuaciones resultantes para la densidad de portadores pueden evaluarse de forma analítica y muy eficiente. Esto hace que las ecuaciones sean más sencillas, más rápidas y numéricamente más estables. En cambio, la estadística de Fermi-Dirac es significativamente más lenta de evaluar numéricamente, ya que la densidad de portadores suele obtenerse evaluando explícitamente la integral de Fermi-Dirac. En la práctica, esto a menudo requiere un bucle numérico sobre la energía o la evaluación repetida de integrales tabuladas, lo que introduce una carga computacional considerable en comparación con la aproximación analítica de Maxwell-Boltzmann.

Por lo tanto, cuando no es necesario modelar las poblaciones de portadores degeneradas, generalmente es preferible utilizar la estadística de Maxwell-Boltzmann. Sin embargo, cuando las poblaciones de portadores degeneradas son importantes desde el punto de vista físico, se debe utilizar la estadística completa de Fermi-Dirac para captar correctamente los efectos del llenado de los estados y la ocupación de los portadores. La discusión aquí se centra únicamente en la estadística de las poblaciones de portadores libres en las bandas de conducción y de valencia. En general, los estados de trampa muy profundos requieren la estadística de ocupación de Fermi-Dirac, independientemente de si los portadores libres son degenerados o no, aunque esto queda fuera del alcance de la presente discusión.

5. Ejemplos de código para generar gráficos de las estadísticas de Fermi-Dirac y Maxwell-Boltzmann.

Se puede analizar la diferencia entre las estadísticas de portadores de Maxwell-Boltzmann y Fermi-Dirac utilizando los siguientes ejemplos de código en Python y MATLAB/Octave. Estos códigos reproducen el comportamiento que se ilustra en ?? y permiten investigar de forma interactiva el efecto de modificar la temperatura, la densidad de portadores y el nivel de quasi-Fermi.

import math
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
k_B = 8.617333262e-5
T = 300.0
Nc = 2.8e19

# Generate energy axis
Ef_minus_Ec = []

x = -0.4

while x <= 0.2:
    Ef_minus_Ec.append(x)
    x += 0.002

# Maxwell-Boltzmann carrier density
n_mb = []

for eta in Ef_minus_Ec:
    n = Nc * math.exp(eta / (k_B * T))
    n_mb.append(n)

# Approximate Fermi-Dirac carrier density
n_fd = []

for eta in Ef_minus_Ec:

    arg = eta / (k_B * T)

    fd = Nc * math.log(1.0 + math.exp(arg))

    n_fd.append(fd)

# Plot
plt.figure(figsize=(7,5))

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_mb,
    color='#d00000',
    linewidth=3,
    label='Maxwell-Boltzmann'
)

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_fd,
    color='#0044ff',
    linewidth=3,
    label='Fermi-Dirac'
)

plt.xlabel(r'$E_{F_n}-E_c$ (eV)')
plt.ylabel(r'Electron density (cm$^{-3}$)')

plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

k_B = 8.617333262e-5;
T = 300.0;
Nc = 2.8e19;

Ef_minus_Ec = -0.4:0.002:0.2;

n_mb = Nc .* exp(Ef_minus_Ec ./ (k_B*T));

arg = Ef_minus_Ec ./ (k_B*T);
n_fd = Nc .* log(1.0 + exp(arg));

semilogy(Ef_minus_Ec, n_mb, 'r', 'LineWidth', 3);
hold on;
semilogy(Ef_minus_Ec, n_fd, 'b', 'LineWidth', 3);

xlabel('E_F - E_c (eV)');
ylabel('Electron density');

legend('Maxwell-Boltzmann', 'Fermi-Dirac');

grid on;