Ενσωματωμένο δυναμικό στις προσομοιώσεις διάχυσης-μεταφοράς

Το ενσωματωμένο δυναμικό, \(V_{bi}\), είναι το εσωτερικό ηλεκτροστατικό δυναμικό που δημιουργείται όταν δύο επαφές ή ημιαγωγικές περιοχές με διαφορετικές θέσεις επιπέδου Fermi έρχονται σε ηλεκτρική επαφή. Στις προσομοιώσεις διάχυσης-μεταφοράς, το ενσωματωμένο δυναμικό καθορίζει την ισορροπημένη κάμψη της ζώνης, ορίζει το αρχικό ηλεκτρικό πεδίο και προσδιορίζει το σημείο εκκίνησης για την επίλυση της εξίσωσης Poisson και των εξισώσεων συνέχειας των φορέων.

Το σχήμα ?? απεικονίζει τον σχηματισμό ενός ενσωματωμένου δυναμικού μέσω της ευθυγράμμισης των επιπέδων Fermi. Στο τμήμα (α), τα δύο υλικά είναι απομονωμένα. Το υλικό στα αριστερά περιέχει υψηλή συγκέντρωση οπών, ενώ το υλικό στα δεξιά περιέχει υψηλή συγκέντρωση ηλεκτρονίων. Επειδή τα δύο υλικά δεν είναι ακόμη σε ηλεκτρική επαφή, τα ηλεκτροχημικά τους δυναμικά είναι ανεξάρτητα και τα επίπεδα Fermi δεν χρειάζεται να είναι ευθυγραμμισμένα.

Όταν τα δύο υλικά έρχονται σε επαφή, όπως απεικονίζεται σχηματικά στο σχήμα (β), οι φορείς φορτίου μπορούν να αναδιανεμηθούν μεταξύ τους. Τα ηλεκτρόνια κινούνται από το υλικό με την υψηλότερη ηλεκτροχημική δυναμική προς το υλικό με τη χαμηλότερη ηλεκτροχημική δυναμική, ενώ οι οπές αναδιανέμονται στην αντίθετη κατεύθυνση. Αυτή η μεταφορά φορτίου δεν μπορεί να συνεχιστεί επ' άπειρον: αφήνει πίσω ιονισμένο φορτίο και παράγει ένα εσωτερικό ηλεκτρικό πεδίο. Στη θερμοδυναμική ισορροπία, η καθαρή κινητήρια δύναμη για την κίνηση των φορέων φορτίου μηδενίζεται και η στάθμη Fermi γίνεται χωρικά σταθερή σε όλη τη συνδυασμένη δομή.

Το σχήμα (c) παρουσιάζει το αντίστοιχο διάγραμμα ζωνών μετά την επίτευξη της θερμικής ισορροπίας. Η άκρη της ζώνης αγωγιμότητας, \(E_C\), και η άκρη της ζώνης σθένους, \(E_V\), κάμπτονται κατά μήκος της ένωσης επειδή το ηλεκτροστατικό δυναμικό μεταβάλλεται ανάλογα με τη θέση. Το ενσωματωμένο δυναμικό, \(\Phi_i\), είναι η διαφορά ηλεκτροστατικού δυναμικού που απαιτείται για την ευθυγράμμιση των επιπέδων Fermi των δύο αρχικά διαχωρισμένων υλικών. Ισοδύναμα, είναι η πτώση δυναμικού που σχετίζεται με το εσωτερικό ηλεκτρικό πεδίο που σχηματίζεται από την ανακατανομή του φορτίου.

Αυτός είναι ο ίδιος φυσικός μηχανισμός που δημιουργεί την ενσωματωμένη τάση σε μια ημιαγωγική σύνδεση ή μεταξύ δύο ασύμμετρων επαφών σε μια συσκευή. Πριν από την επαφή, οι δύο πλευρές μπορεί να έχουν διαφορετικές συναρτήσεις εργασίας, πυκνότητες φορέων ή θέσεις επιπέδου Fermi. Μετά την επαφή, η ισορροπία απαιτεί ένα ενιαίο επίπεδο Fermi και η διαφορά αντιμετωπίζεται μέσω της κάμψης των ενεργειακών ζωνών και ενός εσωτερικού ηλεκτροστατικού δυναμικού. Στις προσομοιώσεις διάχυσης-μεταφοράς, αυτό το ενσωματωμένο δυναμικό εισάγεται μέσω του ηλεκτροστατικού δυναμικού και, ως εκ τούτου, τροποποιεί τις τοπικές πυκνότητες φορέων, τη ροή ρεύματος και τα εμπόδια έγχυσης στις επαφές.

2. Υπολογισμός του ενσωματωμένου δυναμικού

Η παρακάτω ανάλυση παρουσιάζει την ενσωματωμένη εξίσωση δυναμικού που χρησιμοποιείται στην προσομοίωση, η οποία υπολογίζεται από τις πυκνότητες των ηλεκτρονίων και των οπών επαφής, και όχι από τις συγκεντρώσεις προσμίξεων. Αυτή η μορφή είναι χρήσιμη για οργανικούς ημιαγωγούς, ηλιακά κύτταρα λεπτών υμενίων, OLED και άλλες συσκευές όπου οι πυκνότητες των φορέων στα όρια καθορίζονται άμεσα.

Στις προσομοιώσεις διάχυσης-μεταφοράς, το πρώτο βήμα είναι ο προσδιορισμός του ενσωματωμένου δυναμικού της δομής της συσκευής. Αυτό προκύπτει από την απαίτηση ότι το επίπεδο Fermi πρέπει να είναι χωρικά σταθερό στην ισορροπία (βλ. ??). Εάν οι δύο επαφές επιβάλλουν διαφορετικές πυκνότητες φορέων, αυτή η συνθήκη μπορεί να ικανοποιηθεί μόνο μέσω του σχηματισμού ενός εσωτερικού ηλεκτροστατικού δυναμικού. Εδώ, οι άκρες της ζώνης γράφονται ως \(E_C\) και \(E_V\). Στα οργανικά ημιαγωγά, αυτά αναπαρίστανται ισοδύναμα από τα επίπεδα LUMO και HOMO, \(E_{LUMO}\) και \(E_{HOMO}\).

Στις παρακάτω εξισώσεις, το \(\phi\) συμβολίζει την μετατόπιση του ηλεκτροστατικού δυναμικού και το \(V_{bi}\) συμβολίζει το συνολικό ενσωματωμένο δυναμικό σε όλη τη συσκευή.

Για να αξιολογηθεί η ενσωματωμένη δυναμική, απαιτούνται οι ακόλουθες ποσότητες:

• Οι συγκεντρώσεις φορέων στις επαφές, \(n\) και \(p\).
• Οι αποτελεσματικές πυκνότητες καταστάσεων, \(N_c\) και \(N_v\).
• Το αποτελεσματικό ενεργειακό χάσμα, \(E_g\).

Η επαφή στην αριστερή πλευρά λαμβάνεται ως σημείο αναφοράς, με ηλεκτροστατικό δυναμικό \(0\) V. Οι αντίστοιχες άκρες ζώνης είναι, επομένως:

\[ E_C = -\chi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g \]

Υποθέτοντας τη στατιστική κατανομή Maxwell–Boltzmann, οι συγκεντρώσεις φορέων στην αριστερή πλευρά είναι:

\[ n_l = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_l = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \]

Σε κατάσταση ισορροπίας, η ενεργειακή στάθμη Fermi \(F\) είναι σταθερή σε όλη τη συσκευή. Εάν η δεξιά επαφή επιβάλλει διαφορετικές πυκνότητες φορέων, αυτή η συνθήκη ικανοποιείται μετατοπίζοντας τις άκρες της ενεργειακής ζώνης με ένα ηλεκτροστατικό δυναμικό \(\phi\):

\[ E_C = -\chi - q\phi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g - q\phi \]

Οι συγκεντρώσεις φορέων στην δεξιά πλευρά γίνονται τότε

\[ n_r = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_r = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \]

Επομένως, το ενσωματωμένο δυναμικό στο μοντέλο διάχυσης-μεταφοράς είναι η ηλεκτροστατική μετατόπιση που απαιτείται για να εναρμονιστούν οι επιβαλλόμενες πυκνότητες φορέων στα όρια με ένα ενιαίο, χωρικά σταθερό επίπεδο Fermi. Η ακριβής έκφραση για το \(\phi\) προκύπτει άμεσα από αυτήν την προϋπόθεση.

2.1 Ενσωματωμένη εξίσωση δυναμικού με βάση τις πυκνότητες φορέων.

Αναδιατάσσοντας την έκφραση για την πυκνότητα των ηλεκτρονίων,

\[ n = N_c \exp\!\left(\frac{F-E_C}{kT}\right) \quad \Rightarrow \quad F - E_C = kT \ln\!\left(\frac{n}{N_c}\right) \]

Η αξιολόγηση αυτού σε κάθε σημείο επαφής (πριν από την ηλεκτροστατική ευθυγράμμιση) δίνει:

\[ F_l = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \quad,\quad F_r = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) \]

Σε κατάσταση ισορροπίας, τα επίπεδα Fermi πρέπει να συμπίπτουν, επομένως η αρχική διαφορά τους μετατρέπεται σε μια ηλεκτροστατική διαφορά δυναμικού:

\[ qV_{bi} = F_r - F_l \]

Αντικαθιστώντας, παίρνουμε:

\[ qV_{bi} = kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) - kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \]

και ως εκ τούτου

\[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{n_r}{n_l}\right) \]

Εναλλακτικά, χρησιμοποιώντας την πυκνότητα των οπών,

\[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{p_l}{p_r}\right) \]

Αυτή η μορφή της ενσωματωμένης δυναμικής εξίσωσης είναι αυτή που χρησιμοποιείται εσωτερικά στις προσομοιώσεις διάχυσης-παρασυρμού, όπου οι πυκνότητες των φορέων στις επαφές καθορίζονται άμεσα.

Η διαδικασία αυτή προσδιορίζει τόσο την ενσωματωμένη τάση όσο και τις αντίστοιχες πυκνότητες μειονοτικών φορέων στις επαφές. Υποτίθεται άπειρη ταχύτητα ανασύνθεσης, έτσι ώστε οι πυκνότητες των φορέων να καθορίζονται από την τοπική ισορροπία. Πεπερασμένες ταχύτητες ανασύνθεσης εισάγουν επιπλέον παραμέτρους και συνήθως δεν απαιτούνται για την αναπαραγωγή των πειραματικών χαρακτηριστικών της συσκευής.

Γνωρίζοντας το ενσωματωμένο δυναμικό, μπορούμε να κάνουμε μια αρχική εκτίμηση του δυναμικού σε όλη τη συσκευή χρησιμοποιώντας μια γραμμική προσέγγιση. Από αυτό, λαμβάνονται κατά προσέγγιση πυκνότητες φορέων φορτίου. Αυτές χρησιμεύουν ως αρχικές τιμές για τον κύριο επιλυτή Newton, ο οποίος στη συνέχεια υπολογίζει το αυτοσυνεπές δυναμικό και τις κατανομές των φορέων. Ο επιλυτής Newton περιγράφεται στην επόμενη ενότητα.