Wbudowany potencjał w symulacjach opartych na modelu dryfu i dyfuzji.
Wbudowany potencjał, \(V_{bi}\), to wewnętrzny potencjał elektrostatyczny, który powstaje, gdy dwa styki lub obszary półprzewodnikowe o różnych pozycjach poziomu Fermiego zostają połączone elektrycznie. W symulacjach opartych na modelu dryfu i dyfuzji, wbudowany potencjał określa równowagowe zakrzywienie pasm energetycznych, ustala początkowe pole elektryczne i definiuje punkt wyjścia do rozwiązywania równania Poissona oraz równań ciągłości nośników.
Na rysunku ?? przedstawiono powstawanie wbudowanego potencjału w wyniku wyrównania poziomów Fermiego. Na rysunku (a) przedstawiono dwa izolowane materiały. Materiał po lewej stronie zawiera dużą gęstość dziur, natomiast materiał po prawej stronie zawiera dużą gęstość elektronów. Ponieważ oba materiały nie są jeszcze w kontakcie elektrycznym, ich potencjały elektrochemiczne są niezależne, a ich poziomy Fermiego nie muszą być wyrównane.
Gdy dwa materiały zostają ze sobą zetknięte, jak to przedstawiono schematycznie na rysunku (b), nośniki ładunku mogą się między nimi przemieszczać. Elektrony przemieszczają się z materiału o wyższym potencjale chemicznym elektronów do materiału o niższym potencjale chemicznym elektronów, natomiast dziury przemieszczają się w przeciwnym kierunku. Ten transfer ładunku nie może trwać w nieskończoność: pozostawia on za sobą zjonizowane ładunki i generuje wewnętrzne pole elektryczne. W stanie równowagi termodynamicznej wypadkowa siła napędowa ruchu nośników ładunku zanika, a poziom Fermiego staje się stały w całej połączonej strukturze.
Na wykresie (c) przedstawiono odpowiadający mu diagram pasm po osiągnięciu stanu równowagi. Brzeg pasma przewodnictwa \(E_C\) i brzeg pasma walencyjnego \(E_V\) wyginają się wzdłuż złącza, ponieważ potencjał elektrostatyczny zmienia się w zależności od położenia. Wbudowany potencjał \(\Phi_i\) to różnica potencjałów elektrostatycznych, która jest niezbędna do wyrównania poziomów Fermiego dwóch pierwotnie oddzielnych materiałów. Równoważnie, jest to spadek potencjału związany z wewnętrznym polem elektrycznym, które powstaje w wyniku redystrybucji ładunku.
Jest to ten sam fizyczny mechanizm, który generuje wbudowane napięcie w złączu półprzewodnikowym lub między dwoma asymetrycznymi kontaktami w urządzeniu. Przed kontaktem obie strony mogą mieć różne funkcje pracy, gęstości nośników lub położenia poziomu Fermiego. Po kontakcie, aby osiągnąć stan równowagi, wymagany jest jeden poziom Fermiego, a różnica jest kompensowana przez zakrzywienie pasm energetycznych i wewnętrzny potencjał elektrostatyczny. W symulacjach opartych na dryfie i dyfuzji, ten wbudowany potencjał uwzględniany jest poprzez potencjał elektrostatyczny, co w konsekwencji modyfikuje lokalne gęstości nośników, przepływ prądu i bariery wstrzykiwania w kontaktach.
2. Obliczanie potencjału wewnętrznego
Poniżej przedstawiono wyprowadzenie równania potencjału wewnętrznego, które jest wykorzystywane w symulacji i które opiera się na gęstości elektronów i dziur na powierzchni kontaktu, a nie na stężeniu domieszek. Ta forma równania jest przydatna w przypadku organicznych półprzewodników, cienkowarstwowych ogniw słonecznych, diod OLED i innych urządzeń, w których gęstość nośników na granicy jest określana bezpośrednio.
W symulacjach opartych na modelu dryfu i dyfuzji pierwszym krokiem jest określenie wbudowanego potencjału struktury urządzenia. Wynika to z wymogu, aby poziom Fermiego był stały w przestrzeni w stanie równowagi (zob. ??). Jeśli dwa styki narzucają różne gęstości nośników, warunek ten może być spełniony tylko poprzez utworzenie wewnętrznego potencjału elektrostatycznego. W tym przypadku krawędzie pasm są oznaczone jako \(E_C\) i \(E_V\); w organicznych półprzewodnikach są one odpowiednio reprezentowane przez poziomy LUMO i HOMO, \(E_{LUMO}\) i \(E_{HOMO}\).
W poniższych równaniach \(\phi\) oznacza zmianę potencjału elektrostatycznego, a \(V_{bi}\) – całkowity potencjał wewnętrzny w całym urządzeniu.
Aby ocenić wbudowany potencjał, należy określić następujące wielkości:
- Stężenia nośników ładunku w miejscach kontaktów, oznaczonych jako \(n\) i \(p\).
- Efektywne gęstości stanów, \(N_c\) i \(N_v\).
- Efektywna szerokość pasma, \(E_g\).
Lewy kontakt przyjmuje się jako punkt odniesienia, przy czym jego potencjał elektrostatyczny wynosi \(0\) V. Odpowiadające mu krawędzie pasm energetycznych wynoszą zatem
\[ E_C = -\chi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g \]
Zakładając statystykę Maxwella-Boltzmanna, stężenia nośników po lewej stronie wynoszą:
\[ n_l = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_l = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \]
W stanie równowagi poziom Fermiego \(F\) jest stały w całym urządzeniu. Jeśli prawy kontakt wprowadza różne gęstości nośników, warunek ten jest spełniany poprzez przesunięcie brzegów pasm za pomocą potencjału elektrostatycznego \(\phi\):
\[ E_C = -\chi - q\phi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g - q\phi \]
Stężenia nośników po prawej stronie wynoszą wówczas:
\[ n_r = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_r = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \]
Zatem potencjał uwzględniony w modelu dryfu i dyfuzji to przesunięcie elektrostatyczne, które jest niezbędne do pogodzenia narzuconych wartości gęstości nośników na granicy z jednym, przestrzennie stałym poziomem Fermiego. Bezpośrednio z tego warunku wynika wyraźne równanie dla \(\phi\).
2.1 Wbudowane równanie potencjału, oparte na gęstościach nośników ładunku.
Przekształcając wyrażenie opisujące rozkład gęstości elektronowej,
\[ n = N_c \exp\!\left(\frac{F-E_C}{kT}\right) \quad \Rightarrow \quad F - E_C = kT \ln\!\left(\frac{n}{N_c}\right) \]
Ocena tego przy każdym kontakcie (przed wykonaniem elektrostatycznego wyrównania) daje w wyniku:
\[ F_l = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \quad,\quad F_r = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) \]
W stanie równowagi poziomy Fermiego muszą się pokrywać, dlatego początkowa różnica między nimi przekształca się w elektrostatyczną różnicę potencjałów:
\[ qV_{bi} = F_r - F_l \]
Po podstawieniu otrzymujemy:
\[ qV_{bi} = kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) - kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \]
a zatem
\[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{n_r}{n_l}\right) \]
Równoważnie, wykorzystując gęstość otworów,
\[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{p_l}{p_r}\right) \]
Ta forma równania potencjału wewnętrznego jest wykorzystywana w symulacjach opartych na modelu dryfu i dyfuzji, w których bezpośrednio określa się gęstość nośników w punktach styku.
Niniejsza procedura określa zarówno wbudowany potencjał, jak i związane z nim gęstości nośników mniejszościowych w miejscach kontaktów. Zakłada się nieskończoną prędkość rekombinacji, co oznacza, że gęstości nośników są ustalane przez lokalną równowagę. Skończone prędkości rekombinacji wprowadzają dodatkowe parametry, ale zazwyczaj nie są one konieczne do odtworzenia charakterystyk eksperymentalnych urządzenia.
Dlaczego wbudowany potencjał jest ważny?
Wbudowany potencjał określa wewnętrzne pole elektryczne urządzenia, a tym samym wpływa na separację, wstrzykiwanie i ekstrakcję ładunków. Błędy w jego obliczaniu bezpośrednio przekładają się na przewidywane charakterystyki prądowo-napięciowe i profile rekombinacji.
Mając świadomość wbudowanego potencjału, możemy dokonać wstępnej oceny jego rozkładu w całym urządzeniu, wykorzystując liniową aproksymację. Na jej podstawie uzyskujemy przybliżone wartości gęstości nośników ładunku. Służą one jako wartości początkowe dla głównego solvera Newtona, który następnie oblicza potencjał i rozkład nośników, zapewniając ich wzajemną spójność. Solver Newtona jest opisany w następnej sekcji.