Modele interfejsów półprzewodnikowych w oprogramowaniu OghmaNano: model dryfu i dyfuzji, model tunelowania oraz model domieszkowania.

1. Wprowadzenie do interfejsów.

Example heterojunction interface between two semiconductor materials with different morphologies and electronic properties — Przykład heterostruktury, czyli połączenia dwóch materiałów półprzewodnikowych. Górny materiał charakteryzuje się bardziej nieuporządkowaną, ziarnistą strukturą, natomiast dolny materiał tworzy bardziej zwartą strukturę kolumnową. Takie połączenia generują różnice energetyczne w pasmach przewodnictwa i walencyjnych, co wpływa na sposób, w jaki nośniki ładunku przemieszczają się i rozprzestrzeniają w urządzeniu.

Granice między różnymi materiałami odgrywają kluczową rolę w fizyce półprzewodników, ponieważ decydują o sposobie, w jaki nośniki ładunku przemieszczają się w urządzeniu. Poprzez odpowiednie zaprojektowanie różnic energetycznych między materiałami, można wykorzystać granice do zatrzymywania elektronów i dziur, blokowania niepożądanych przepływów nośników lub selektywnego wspomagania ekstrakcji ładunku. Prawie wszystkie nowoczesne urządzenia półprzewodnikowe wykorzystują granice do kontrolowania transportu, w tym ogniwa słoneczne o strukturze heterospójenia, diody OLED, tranzystory OFET, złącza tunelowe, urządzenia perowskitowe i struktury oparte na warstwach kwantowych.

W ramach symulacji opartej na modelu dryfu i dyfuzji, powierzchnie styku są reprezentowane za pomocą nieciągłości w parametrach materiałowych, takich jak powinowactwo elektronowe, przerwa energetyczna, gęstość stanów, ruchliwość lub przenikalność dielektryczna. Te nieciągłości powodują przesunięcia w pasmach przewodnictwa i walencyjnych, co modyfikuje lokalny transport nośników. W zależności od dopasowania energetycznego, powierzchnia styku może wspomagać transfer nośników lub tłumić przepływ prądu.

W programie OghmaNano najprostszym sposobem modelowania interfejsu jest zaniechanie stosowania jakichkolwiek dodatkowych modeli transportu na interfejsie i pozostawienie standardowych równań dryfu i dyfuzji, które naturalnie określają transport nośników na podstawie lokalnej struktury pasmowej i gradientów quasi-poziomu Fermiego. Dodatkowe modele, takie jak modelowanie tunelowania lub przeskoku, można następnie dodać do tej podstawowej metody, gdy wymagane są dodatkowe mechanizmy transportu.

2. Dyfuzja i dryf na granicach faz

Drift diffusion transport across a heterojunction energy step — Transport ładunków w obszarze przejściowym heterostruktury odbywa się poprzez dryf i dyfuzję, bez konieczności stosowania dodatkowych modeli opisujących transport na granicy. Nośniki ładunku przemieszczają się zgodnie z lokalnymi gradientami pasm energetycznych i quasi-poziomów Fermiego. Znaczne różnice energetyczne naturalnie tłumią prąd nośników.

Najprostszy model interfejsu zakłada, że nośniki ładunku mogą swobodnie przemieszczać się i rozpraszać bezpośrednio przez heterozłącze, zgodnie z lokalnym potencjałem elektrostatycznym i gradientami gęstości nośników. W tym przypadku nie wprowadza się żadnych dodatkowych mechanizmów, takich jak tunelowanie lub prąd skokowy, na granicy. Zamiast tego, równania dryfu i dyfuzji określają transport nośników w sposób spójny, na podstawie lokalnej struktury pasmowej.

Przykład tego zjawiska przedstawiono w ??. W tym przypadku pas przewodnictwa charakteryzuje się nagłą zmianą energii o wartości \(\phi\). Elektrony zbliżające się do powierzchni muszą pokonać tę barierę poprzez zwykły dryf i transport dyfuzyjny. Wraz ze wzrostem różnicy energii, gęstość nośników powyżej bariery maleje wykładniczo, co naturalnie ogranicza przepływ prądu przez powierzchnię.

Liczbowa reprezentacja heterozłącza w dużym stopniu zależy od rozdzielczości siatki przestrzennej. Jeśli interfejs jest reprezentowany za pomocą bardzo gęstej siatki, skok energii staje się bardziej stromy, a wynikające z tego pole elektryczne w interfejsie znacznie wzrasta. W takich warunkach równania dryfu i dyfuzji mogą przewidywać bardzo silne blokowanie nośników. Z kolei, jeśli interfejs jest reprezentowany za pomocą mniejszej liczby punktów siatki, przejście energetyczne staje się łagodniejsze, co zmniejsza lokalny gradient i umożliwia łatwiejszą dyfuzję nośników przez złącze.

W praktyce oznacza to, że w przypadku interfejsów często konieczne jest zastosowanie stosunkowo gęstej siatki elementów, aby dokładnie oddać ich pełne właściwości blokujące. Jest to szczególnie ważne w przypadku interfejsów o gwałtownie zmieniających się parametrach, cienkich warstw transportowych oraz struktur elektronicznych o silnie zlokalizowanych właściwościach.

Domyślnie nośniki ładunku w OghmaNano przemieszczają się i rozpraszają wzdłuż granic międzyfazowych zgodnie z gradientami pasm przewodnictwa i walencyjności. Przesunięcia pasm w kierunku zwiększania energii ograniczają przepływ nośników, natomiast wyrównanie pasm w kierunku zmniejszania energii ułatwia transfer nośników. Dodatkowe modele interfejsów opisane poniżej uzupełniają ten podstawowy model dryfu i dyfuzji, zapewniając dodatkowe kanały transportu, które mogą pomóc nośnikom w pokonywaniu barier energetycznych.

3. Bezpośrednie drążenie tunelu.

Direct tunnelling across a heterojunction energy barrier — Bezpośredni tunelowanie przez barierę energetyczną heterospójenia. Funkcja falowa nośnika przenika do obszaru, który klasycznie jest niedostępny, co prowadzi do skończonego prawdopodobieństwa transmisji przez granicę.

W przypadku wystarczająco cienkich warstw granicznych zjawisko kwantowo-mechanicznego tunelowania może zapewnić dodatkową ścieżkę transportu przez barierę energetyczną. Zamiast wymagać, aby nośniki pokonały termicznie całą różnicę poziomów energetycznych, funkcja falowa nośnika może przenikać przez klasycznie niedostępny obszar, co prowadzi do skończonego prawdopodobieństwa przenikania przez warstwę graniczną.

Przykład tego procesu przedstawiono w ??. Na ilustracji widać, że pas przewodnictwa zawiera heterozłącze, w którym występuje skok potencjału o wysokości \(\phi\). Zacieniony obszar powyżej bariery przedstawia wykładniczo zanikającą funkcję falową nośników wewnątrz obszaru zabronionego. Chociaż energia nośników jest niższa niż wysokość bariery, funkcja falowa pozostaje skończona na całej powierzchni złącza, co umożliwia przepływ niewielkiego prądu tunelowego.

Gęstość prądu tunelowego można przybliżyć, stosując wyrażenie WKB w następującej postaci:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -\frac{2d}{\hbar}\sqrt{2mq\phi} \right) \]

W powyższym równaniu \(A\) oznacza współczynnik zawierający stałe materiałowe i geometryczne, \(V\) to przyłożone napięcie polaryzacyjne, \(\phi\) to wysokość bariery, \(m\) to efektywna masa nośników, \(d\) to efektywna grubość bariery, \(q\) to ładunek elementarny, a \(\hbar\) to zredukowana stała Plancka. Eksponencjalna zależność wynika ze zaniku funkcji falowej nośników wewnątrz obszaru zabronionego. Grubsze bariery lub większe różnice energii tłumią zatem prąd tunelowy w sposób eksponencjalny.

W OghmaNano wyrażenie to jest zaimplementowane w uproszczonej formie:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -B\sqrt{\phi} \right) \]

W tym przypadku parametr \(B\) uwzględnia grubość bariery, efektywną masę oraz inne stałe fizyczne, łącząc je w jeden parametr do dopasowania. Ta uproszczona forma oddaje dominujący wykładniczy związek między prądem tunelowym a wysokością bariery, zachowując jednocześnie wysoką efektywność obliczeniową. Parametry związane z tym modelem można skonfigurować za pomocą edytora interface editor.

4. Transport wspomagany przez interakcję międzyfazową (organiczna–organiczna)

W organicznych heterozłączach transfer nośników przez powierzchnię styku często zachodzi za pośrednictwem zlokalizowanych stanów, a nie poprzez bezpośredni transport w paśmie przewodnictwa. W takim reżimie powierzchnia styku zachowuje się jak ograniczony przewodnik, umożliwiając transfer nośników między dwoma materiałami za pomocą procesów polegających na uwięziu nośników lub przeskakiwaniu między stanami.

Model OghmaNano opisuje to zachowanie w sposób fenomenologiczny, przedstawiając je jako liniową reakcję na odchylenie od stanu równowagi, co zapewnia zanik prądu przenoszenia w stanie równowagi oraz jego wzrost wraz ze wzrostem nierównowagi nośników ładunku na granicy.

Dla dziur: \[\boldsymbol{J_p} = q T_{h}\,\big((p_{1}-p_{1}^{eq})-(p_{0}-p_{0}^{eq})\big),\], a dla elektronów: \[\boldsymbol{J_n} = -q T_{e}\,\big((n_{1}-n_{1}^{eq})-(n_{0}-n_{0}^{eq})\big).\]

W tym przypadku \(T_{h}\) i \(T_{e}\) to fenomenologiczne współczynniki przenoszenia, które opisują siłę oddziaływania na granicy faz. To sformułowanie jest równoważne wprowadzeniu dwustronnej prędkości rekombinacji na powierzchni lub przewodności granicy i można je interpretować jako liniową aproksymację przenoszenia wspomaganego przez pułapki lub mediowanego przez skoki między zlokalizowanymi stanami.

Model ten należy zatem traktować jako skuteczny kanał transportu, nałożony na równania dryfu i dyfuzjiumożliwiają przepływ prądu przez bariery energetyczne, które w przeciwnym razie znacznie ograniczałyby transport nośników ładunku. Parametry związane z tym modelem można skonfigurować za pomocą edytor interfejsu.

Efekt Fowlera–Nordheima (tunelowanie Fowlera–Nordheima)

Pod wpływem wystarczająco silnych pól elektrycznych kształt bariery energii na granicy faz może ulegać znacznym zniekształceniom, przekształcając się z przybliżonej bariery prostokątnej w barierę trójkątną. W takich warunkach nośniki ładunku mogą przechodzić przez zwężoną barierę w procesie znanym jako tunelowanie Fowlera–Nordheima. Mechanizm ten jest szczególnie ważny w cienkich warstwach dielektrycznych, złączach tunelowych oraz w obszarach półprzewodników o wysokim polu elektrycznym, gdzie zwykły transport przez dryf i dyfuzję staje się niewystarczający do opisu prądu nośników.

Uproszczony wzór na gęstość prądu Fowlera–Nordheima można zapisać w następujący sposób:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V^2 \exp\left( -\frac{4d\sqrt{2m}q\phi^{3/2}} {3\hbar V} \right) \]

W powyższym równaniu \(A\) oznacza współczynnik zawierający stałe materiałowe i geometryczne, \(V\) to przyłożone napięcie polaryzacyjne, \(d\) to efektywna grubość bariery, \(m\) to efektywna masa nośników, \(q\) to ładunek elementarny, \(\phi\) to wysokość bariery obliczona na podstawie lokalnej struktury pasmowej, a \(\hbar\) to zredukowana stała Plancka. Charakterystyczna zależność \(\phi^{3/2}/V\) wynika z trójkątnego kształtu bariery, który powstaje pod wpływem silnego pola elektrycznego.

W ramach modelu OghmaNano dany mechanizm transportu można przedstawić za pomocą uproszczonego, fenomenologicznego wzoru:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V^2 \exp\left( -\frac{B\phi^{3/2}}{V} \right) \]

W tym przypadku parametr dopasowujący \(B\) uwzględnia grubość bariery, efektywną masę oraz inne stałe fizyczne, łącząc je w jeden parametr liczbowy. Ta uproszczona forma zachowuje dominujący wpływ pola na transport zgodnie z modelem Fowlera–Nordheima, przy jednoczesnym zachowaniu wysokiej efektywności obliczeniowej.

W przyszłych wersjach programu OghmaNano może zostać dodana obsługa tunelowania zgodnie z modelem Fowlera–Nordheima.

Emisja termoelektronowa

Emisja termojonowa opisuje transport nośników ładunku przez barierę energetyczną w wyniku aktywacji termicznej. W tym mechanizmie nośniki uzyskują wystarczającą energię termiczną, aby pokonać barierę na granicy, zamiast przechodzić przez nią w procesie tunelowania. Emisja termojonowa jest powszechnie obserwowana w kontaktach Schottky'ego, heterozłączach półprzewodnikowych oraz na granicach metal–półprzewodnik.

Uproszczoną postać gęstości prądu wynikającego z emisji termoelektronowej można zapisać w następujący sposób:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})T^2 \exp\left( -\frac{ q\phi - q\sqrt{\frac{qV}{4\pi\epsilon d}} } {kT} \right) \]

W powyższym równaniu \(A\) oznacza współczynnik zawierający stałe materiałowe i geometryczne, \(T\) to temperatura, \(V\) to przyłożone napięcie, \(\phi\) to wysokość bariery, \(\epsilon\) to przenikalność dielektryczna, \(d\) to efektywna grubość bariery, \(q\) to ładunek elementarny, a \(k\) to stała Boltzmanna. Zależność \(\sqrt{V}\) opisuje obniżenie bariery pod wpływem sił elektrostatycznych w przyłożonym polu elektrycznym.

W ramach systemu OghmaNano mechanizm ten można przedstawić w uproszczonej formie:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})T^2 \exp\left( -\frac{ q\phi - B\sqrt{V} }{kT} \right) \]

W tym przypadku parametr \(B\) uwzględnia efektywne obniżenie bariery potencjału wywołane polem oraz związane z tym stałe materiałowe. Ta uproszczona forma zachowuje dominujący wpływ temperatury i pola na emisję termojonową, jednocześnie zmniejszając złożoność obliczeniową.

W przyszłych wersjach programu OghmaNano może zostać dodana obsługa transportu w interfejsie opartego na emisji termoelektronowej.

Przewodnictwo skokowe

W silnie nieuporządkowanych półprzewodnikach nośniki ładunku mogą ulegać lokalizacji w stanach pułapkowych lub orbitalach molekularnych, co uniemożliwia konwencjonalny transport w pasmach energetycznych. W takich warunkach transport nośników może zachodzić poprzez aktywowany termicznie proces przeskoku między zlokalizowanymi stanami. Transport oparty na przeskoku jest szczególnie ważny w organicznych półprzewodnikach, materiałach amorficznych i silnie nieuporządkowanych strukturach międzyfazowych.

Uproszczoną zależność opisującą gęstość prądu w procesie transportu skokowego można zapisać w następujący sposób:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -\frac{q\phi}{kT} \right) \]

W powyższym równaniu \(A\) oznacza współczynnik zawierający stałe materiałowe i geometryczne, \(V\) to przyłożone napięcie, \(\phi\) to energia aktywacji związana z przejściem między zlokalizowanymi stanami, \(q\) to ładunek elementarny, \(k\) to stała Boltzmanna, a \(T\) to temperatura. Eksponencjalna zależność od temperatury odzwierciedla termicznie aktywowaną naturę transportu przez przeskoki.

W przyszłych wersjach OghmaNano może zostać dodane wsparcie dla modeli przesyłania danych opartych na mechanizmie „hopowania”.

Rekombinacja na granicy faz SRH

Rekombinacja Shockleya–Reada–Halla (SRH) może zachodzić poprzez defekty zlokalizowane na granicy między dwoma materiałami półprzewodnikowymi. Defekty te stanowią dodatkową ścieżkę nienapromieniowej rekombinacji i mogą znacząco wpływać na wydajność ogniw słonecznych opartych na złączach heterostrukturalnych, diodach LED, urządzeniach perowskitowych i innych wielowarstwowych strukturach półprzewodnikowych.

W modelu OghmaNano pułapki na granicy faz są opisywane za pomocą dwuwymiarowej gęstości powierzchniowej \(N_{t,\mathrm{interface}}\), wyrażonej w jednostkach m-2. Pułapki są równomiernie rozmieszczone pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami siatki, znajdującymi się bezpośrednio przy granicy materiału. Dla lewej i prawej odległości między punktami siatki \(\Delta x_L\) i \(\Delta x_R\), odpowiednie lokalne gęstości pułapek wynoszą:

\[ N_{t,L} = \frac{N_{t,\mathrm{interface}}}{2\Delta x_L}, \qquad N_{t,R} = \frac{N_{t,\mathrm{interface}}}{2\Delta x_R}. \]

W związku z tym, zintegrowana gęstość pułapek spełnia następujące warunki:

\[ N_{t,L}\Delta x_L + N_{t,R}\Delta x_R = N_{t,\mathrm{interface}}. \]

Współczynnik rekombinacji SRH jest oceniany niezależnie po każdej stronie granicy, z wykorzystaniem lokalnych populacji elektronów i dziur:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{ np-n_{\mathrm{eq}}p_{\mathrm{eq}} }{ \tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1) }. \]

W tym przypadku \(n\) i \(p\) oznaczają lokalne stężenia wolnych elektronów i dziur, \(n_{\mathrm{eq}}\) i \(p_{\mathrm{eq}}\) to ich wartości w stanie równowagi, a \(n_1\) i \(p_1\) opisują położenie energetyczne pułapki na granicy.

Czas życia elektronu i dziury wynosi:

\[ \tau_n = \frac{1} {\sigma_n v_{\mathrm{th},n}N_t}, \qquad \tau_p = \frac{1} {\sigma_p v_{\mathrm{th},p}N_t}, \]

gdzie \(\sigma_n\) i \(\sigma_p\) oznaczają odpowiednio efektywne przekroje czynne dla wychwytu elektronów i dziur, a \(v_{\mathrm{th},n}\) i \(v_{\mathrm{th},p}\) oznaczają odpowiadające im termiczne prędkości nośników ładunku.

Energia pułapki jest definiowana w odniesieniu do środka lokalowej przerwy energetycznej:

\[ E_t = \frac{E_g}{2} + \Delta E_t. \]

Odpowiednie wartości stężeń nośników pomocniczych SRH wynoszą:

\[ n_1 = n_i \exp\left( \frac{q(E_t-E_g/2)} {k_B T} \right), \qquad p_1 = n_i \exp\left( \frac{q(E_g/2-E_t)} {k_B T} \right). \]

Wkład związany z powierzchnią styku (interface SRH) jest dodawany do lokalnych równań ciągłości dla elektronów i dziur po obu stronach granicy materiału. Zwiększenie gęstości pułapek na powierzchni styku, przekroju czynnego lub koncentracji nośników na powierzchni styku powoduje zatem wzrost szybkości rekombinacji nieniepromienistej.

Ten model jest szczególnie przydatny do badania procesów pasywacji powierzchni. Zmniejszenie wartości \(N_{t,\mathrm{interface}}\), \(\sigma_n\) lub \(\sigma_p\) prowadzi do zmniejszenia rekombinacji SRH związanej z granicą materiału, co z kolei może wpłynąć na napięcie w obwodzie otwartym, współczynnik wypełnienia, efektywność elektroluminescencji i inne parametry urządzenia. Parametry SRH dotyczące powierzchni można konfigurować za pomocą narzędzia edytor interfejsu.

Bibliografia / Materiały źródłowe

S.M. Sze i K.K. Ng, Fizyka urządzeń półprzewodnikowych, wydanie III, Wiley-Interscience, Hoboken, NJ, 2007. ISBN: 978-0-471-14323-9. DOI: 10.1002/0470068329.
J. G. Kushmerick i J. C. Love, „Właściwości elektroniczne molekularnych połączeń alkano-tioli: mechanizmy przewodzenia, kontakty metal–cząsteczka i nieelastyczny transport”, w: Comprehensive Nanoscience and Technology, Elsevier, 2011. Dostępne pod adresem: ScienceDirect.