Modèles d’interface pour les semi-conducteurs dans OghmaNano : modèles de dérive-diffusion, d’effet tunnel et de dopage par charge.

1. Introduction aux interfaces

Example heterojunction interface between two semiconductor materials with different morphologies and electronic properties — Exemple d’interface hétérojonction entre deux matériaux semi-conducteurs. Le matériau supérieur présente une morphologie granulaire plus désordonnée, tandis que le matériau inférieur forme une structure colonnaire plus dense. Les interfaces de ce type créent des décalages d’énergie dans les bandes de conduction et de valence, ce qui influe sur la manière dont les porteurs de charge se déplacent et se diffusent dans le dispositif.

Les interfaces jouent un rôle essentiel dans la physique des dispositifs à semi-conducteurs, car elles déterminent la manière dont les porteurs de charge se déplacent à l’intérieur d’un dispositif. En modifiant les différences d’énergie entre les matériaux, il est possible de concevoir des interfaces qui confinent les électrons et les trous, bloquent les flux de porteurs indésirables ou facilitent sélectivement l’extraction des charges. Presque tous les dispositifs à semi-conducteurs modernes utilisent les interfaces pour contrôler le transport, notamment les cellules solaires à hétérojonction, les OLED, les OFET, les jonctions tunnel, les dispositifs à pérovskite et les structures à puits quantiques.

Dans le cadre d’une simulation de dérive-diffusion, les interfaces sont représentées par des discontinuités dans les paramètres des matériaux, tels que l’affinité électronique, la largeur de bande interdite, la densité d’états, la mobilité ou la permittivité. Ces discontinuités entraînent des décalages dans les bandes de conduction et de valence, ce qui modifie le transport local des porteurs de charge. Selon l’alignement énergétique, une interface peut soit faciliter le transfert des porteurs de charge, soit entraver le flux de courant.

Dans OghmaNano, le traitement d’interface le plus simple consiste à ne pas appliquer de modèle de transport d’interface supplémentaire et à laisser les équations standard de dérive-diffusion déterminer naturellement le transport des porteurs en fonction de la structure de bande locale et des gradients de quasi-niveau de Fermi. Des modèles supplémentaires, tels que le transport par effet tunnel ou par saut, peuvent ensuite être ajoutés à cette description de base lorsque des mécanismes de transport supplémentaires sont nécessaires.

2. Transport par dérive et diffusion aux interfaces.

Drift diffusion transport across a heterojunction energy step — Transport par dérive et diffusion à travers une hétérojonction, sans modèle supplémentaire de transport à l’interface. Les porteurs se déplacent en fonction des gradients locaux de bande et des gradients de quasi-niveau de Fermi. Les différences d’énergie importantes réduisent naturellement le courant des porteurs.

Le modèle d’interface le plus simple consiste à permettre aux porteurs de charge de dériver et de diffuser directement à travers une hétérojonction, en fonction du potentiel électrostatique local et des gradients de densité des porteurs. Dans ce cas, aucun courant de tunneling ou de saut explicite n’est ajouté au niveau de l’interface. Au lieu de cela, les équations de dérive-diffusion déterminent de manière cohérente le transport des porteurs à partir de la structure de bande locale.

Un exemple de ce phénomène est illustré dans ??. On y observe que la bande de conduction présente un saut d’énergie abrupt d’une amplitude de \(\phi\). Les électrons qui s’approchent de l’interface doivent franchir cette barrière par le biais d’un transport par dérive et diffusion classiques. À mesure que le décalage d’énergie augmente, la densité de porteurs au-dessus de la barrière diminue de façon exponentielle, ce qui réduit naturellement le flux de courant à travers l’interface.

La représentation numérique de l’hétérojonction dépend fortement de la résolution du maillage spatial. Si l’interface est représentée à l’aide d’un maillage très fin, le gradient d’énergie devient plus abrupt et le champ électrique résultant à l’interface augmente considérablement. Dans ces conditions, les équations de dérive-diffusion peuvent prédire un blocage très important des porteurs de charge. Inversement, si l’interface est représentée à l’aide d’un nombre réduit de points de maillage, la transition énergétique devient plus douce, ce qui réduit le gradient local et permet aux porteurs de charge de diffuser plus facilement à travers la jonction.

Dans la pratique, cela signifie que les interfaces nécessitent souvent un maillage relativement fin afin de pouvoir modéliser avec précision leur comportement de blocage complet. C’est particulièrement important pour les hétérojonctions à variation rapide, les couches de transport minces et les structures électroniques fortement confinées.

Par défaut, les porteurs de charge dans OghmaNano ont tendance à dériver et à se diffuser à travers les interfaces en fonction des gradients des bandes de conduction et de valence. Les décalages de bande dans le sens opposé au gradient réduisent le flux de porteurs de charge, tandis que les alignements dans le sens du gradient facilitent le transfert des porteurs de charge. Les modèles d’interface supplémentaires décrits ci-dessous s’ajoutent à ce modèle de base de dérive et de diffusion, en fournissant des canaux de transport supplémentaires qui peuvent aider les porteurs de charge à surmonter les barrières énergétiques.

3. Forage direct.

Direct tunnelling across a heterojunction energy barrier — Effet tunnel direct à travers une barrière d’énergie d’hétérojonction. La fonction d’onde des porteurs pénètre dans la région classiquement interdite, ce qui entraîne une probabilité de transmission finie à travers l’interface.

Pour les interfaces suffisamment minces, l’effet tunnel quantique peut offrir une voie de transport supplémentaire à travers une barrière d’énergie. Au lieu d’exiger que les porteurs d’énergie surmontent thermiquement l’ensemble du décalage de bande, la fonction d’onde des porteurs peut pénétrer dans la région classiquement interdite, ce qui entraîne une probabilité finie de transmission à travers l’interface.

Un exemple de ce processus est illustré dans ??. Dans cet exemple, la bande de conduction présente un saut d’énergie de type hétérojonction d’une amplitude de \(\phi\). La zone ombragée au-dessus de la barrière représente l’amplitude de la fonction d’onde des porteurs, qui diminue de façon exponentielle à l’intérieur de la zone interdite. Bien que l’énergie des porteurs soit inférieure à la hauteur de la barrière, la fonction d’onde reste finie à travers l’interface, ce qui permet à un faible courant de tunneling de circuler.

La densité du courant de tunneling peut être approximée à l’aide d’une expression de type WKB de la forme suivante :

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -\frac{2d}{\hbar}\sqrt{2mq\phi} \right) \]

Ici, \(A\) représente un facteur prémultiplicateur contenant des constantes matérielles et géométriques, \(V\) est la tension de polarisation appliquée, \(\phi\) est la hauteur de la barrière, \(m\) est la masse effective des porteurs de charge, \(d\) est l’épaisseur effective de la barrière, \(q\) est la charge élémentaire et \(\hbar\) est la constante de Planck réduite. La dépendance exponentielle est due à la décroissance de la fonction d’onde des porteurs de charge à l’intérieur de la région interdite. Des barrières plus épaisses ou des différences d’énergie plus importantes réduisent donc le courant de tunneling de manière exponentielle.

Dans OghmaNano, cette expression est mise en œuvre sous une forme simplifiée :

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -B\sqrt{\phi} \right) \]

Voici le paramètre. \(B\) elle intègre l’épaisseur de la barrière, la masse effective et d’autres constantes physiques dans un seul paramètre d’ajustement. Cette forme simplifiée prend en compte la dépendance exponentielle dominante du courant de tunneling par rapport à la hauteur de la barrière, tout en maintenant une efficacité numérique. Les paramètres associés à ce modèle peuvent être configurés à l’aide de éditeur d’interface.

4. Transport facilité par une interface (entre composés organiques)

Au niveau des hétérojonctions organiques, le transfert de porteurs à travers l’interface est souvent assuré par des états localisés plutôt que par un transport direct dans la bande de conduction. Dans ce régime, l’interface se comporte comme une conductance finie qui permet aux porteurs de se déplacer entre les deux matériaux par le biais de processus assistés par des pièges ou de processus de type « saut ».

Le modèle OghmaNano représente ce comportement de manière phénoménologique, en le décrivant comme une réponse linéaire à l’écart par rapport à l’équilibre, ce qui garantit que le courant de transfert s’annule à l’équilibre et augmente avec le déséquilibre des porteurs de charge à l’interface.

Pour les trous : \[\boldsymbol{J_p} = q T_{h}\,\big((p_{1}-p_{1}^{eq})-(p_{0}-p_{0}^{eq})\big),\] et pour les électrons : \[\boldsymbol{J_n} = -q T_{e}\,\big((n_{1}-n_{1}^{eq})-(n_{0}-n_{0}^{eq})\big).\]

Dans ce cas, \(T_{h}\) et \(T_{e}\) représentent les coefficients de transfert phénoménologiques qui décrivent l’intensité du couplage à l’interface. Cette formulation est équivalente à l’introduction d’une vitesse de recombinaison de surface à deux faces ou d’une conductance d’interface, et peut être interprétée comme la limite linéarisée du transfert assisté par des pièges ou médiatisé par un saut entre des états localisés.

Il convient donc de considérer ce modèle comme un canal de transport efficace intégré aux équations de dérive-diffusion.permettant ainsi le passage du courant à travers les barrières énergétiques qui, autrement, empêcheraient fortement le transport des porteurs de charge. Les paramètres associés à ce modèle peuvent être configurés à l’aide de éditeur d’interface.

Effet Fowler–Nordheim

Sous l’effet de champs électriques suffisamment intenses, la forme d’une barrière d’énergie interfaciale peut se déformer considérablement, passant d’une barrière approximativement rectangulaire à une barrière triangulaire. Dans ces conditions, les porteurs de charge peuvent traverser la barrière, qui s’est rétrécie, par le biais d’un processus appelé effet tunnel de Fowler-Nordheim. Ce mécanisme est particulièrement important dans les couches diélectriques minces, les jonctions tunnel et les interfaces semi-conductrices soumises à des champs électriques élevés, où le transport par dérive et diffusion classique devient insuffisant pour décrire le courant des porteurs de charge.

Une expression simplifiée de la densité de courant de Fowler-Nordheim peut s’écrire comme suit :

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V^2 \exp\left( -\frac{4d\sqrt{2m}q\phi^{3/2}} {3\hbar V} \right) \]

Ici, \(A\) est un facteur prémultiplicateur contenant des constantes matérielles et géométriques, \(V\) est la tension de polarisation appliquée, \(d\) est l’épaisseur effective de la barrière, \(m\) est la masse effective des porteurs de charge, \(q\) est la charge élémentaire, \(\phi\) est la hauteur de la barrière calculée à partir de la structure de bande locale, et \(\hbar\) est la constante de Planck réduite. La dépendance caractéristique \(\phi^{3/2}/V\) est due à la forme triangulaire de la barrière qui se forme sous l’effet de champs électriques intenses.

Au sein d’OghmaNano, ce mécanisme de transport peut être représenté à l’aide de l’expression phénoménologique simplifiée suivante :

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V^2 \exp\left( -\frac{B\phi^{3/2}}{V} \right) \]

Dans ce modèle, le paramètre d’ajustement \(B\) regroupe l’épaisseur de la barrière, la masse effective et d’autres constantes physiques en un seul paramètre numérique. Cette forme simplifiée conserve la dépendance dominante du champ électrique sur le transport de Fowler-Nordheim, tout en restant efficace sur le plan computationnel.

Le support de l’effet Fowler–Nordheim pourrait être intégré dans les prochaines versions d’OghmaNano.

Émission thermoïonique

L’émission thermionique décrit le transport des porteurs de charge à travers une barrière d’énergie par le biais d’une activation thermique. Dans ce mécanisme, les porteurs acquièrent suffisamment d’énergie thermique pour franchir la barrière d’interface plutôt que de la traverser par effet tunnel. L’émission thermionique est couramment observée dans les contacts Schottky, les hétérojonctions semi-conductrices et les interfaces métal-semi-conducteur.

On peut exprimer la densité de courant d’émission thermoïonique simplifiée de la manière suivante :

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})T^2 \exp\left( -\frac{ q\phi - q\sqrt{\frac{qV}{4\pi\epsilon d}} } {kT} \right) \]

Ici, \(A\) représente un facteur prémultiplicateur contenant des constantes matérielles et géométriques, \(T\) est la température, \(V\) est la tension appliquée, \(\phi\) est la hauteur de la barrière, \(\epsilon\) est la permittivité, \(d\) est l’épaisseur effective de la barrière, \(q\) est la charge élémentaire et \(k\) est la constante de Boltzmann. La dépendance en \(\sqrt{V}\) décrit la réduction de la barrière due à la force d’image sous l’effet d’un champ électrique appliqué.

Dans le cadre d’OghmaNano, ce mécanisme peut être représenté à l’aide de la formule simplifiée suivante :

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})T^2 \exp\left( -\frac{ q\phi - B\sqrt{V} }{kT} \right) \]

Dans ce modèle, le paramètre \(B\) représente la diminution effective de la barrière d’énergie induite par le champ et les constantes matérielles associées. Cette forme simplifiée conserve la dépendance dominante de l’émission thermoïonique par rapport à la température et au champ, tout en réduisant la complexité numérique.

La prise en charge du transport d’interface par émission thermoïonique pourrait être ajoutée dans les prochaines versions d’OghmaNano.

Conduction par saut.

Dans les semiconducteurs présentant un fort degré de désordre, les porteurs de charge peuvent se localiser dans des états de piégeage ou des orbitales moléculaires, ce qui empêche le transport conventionnel de type bande. Dans ces conditions, le transport des porteurs peut se produire par le biais d’un saut activé thermiquement entre les états localisés. Le transport par saut est particulièrement important dans les semiconducteurs organiques, les matériaux amorphes et les interfaces fortement désordonnées.

Une densité de courant simplifiée, basée sur le transport par sauts, peut s’écrire comme suit :

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -\frac{q\phi}{kT} \right) \]

Ici, \(A\) est un facteur prémultiplicateur contenant des constantes matérielles et géométriques, \(V\) est la tension appliquée, \(\phi\) est l’énergie d’activation associée au saut entre les états localisés, \(q\) est la charge élémentaire, \(k\) est la constante de Boltzmann et \(T\) est la température. La dépendance exponentielle par rapport à la température reflète la nature du transport par saut, qui est activée thermiquement.

La prise en charge de modèles de transport d’interface basés sur le principe du « saut » pourrait être ajoutée dans les futures versions d’OghmaNano.

Recombinaison à l’interface SRH

La recombinaison de Shockley-Read-Hall (SRH) peut se produire par le biais d’états de défaut localisés à l’interface entre deux matériaux semi-conducteurs. Ces états offrent une voie de recombinaison non radiative supplémentaire et peuvent influencer considérablement les performances des cellules solaires à hétérojonction, des diodes électroluminescentes (DEL), des dispositifs à pérovskite et d’autres structures semi-conductrices multicouches.

Dans OghmaNano, les pièges d’interface sont décrits par une densité surfacique bidimensionnelle \(N_{t,\mathrm{interface}}\), exprimée en m-2. Ces pièges sont répartis de manière égale entre les deux points du maillage situés immédiatement de part et d’autre de l’interface du matériau. Pour les espacements de maillage gauche et droit \(\Delta x_L\) et \(\Delta x_R\), les densités locales de pièges correspondantes sont les suivantes :

\[ N_{t,L} = \frac{N_{t,\mathrm{interface}}}{2\Delta x_L}, \qquad N_{t,R} = \frac{N_{t,\mathrm{interface}}}{2\Delta x_R}. \]

La densité de pièges intégrée satisfait donc la condition suivante :

\[ N_{t,L}\Delta x_L + N_{t,R}\Delta x_R = N_{t,\mathrm{interface}}. \]

Le taux de recombinaison SRH est évalué indépendamment de chaque côté de l’interface en utilisant les populations locales d’électrons et de trous :

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{ np-n_{\mathrm{eq}}p_{\mathrm{eq}} }{ \tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1) }. \]

Ici, \(n\) et \(p\) représentent les concentrations locales d’électrons libres et de trous, \(n_{\mathrm{eq}}\) et \(p_{\mathrm{eq}}\) leurs valeurs d’équilibre, et \(n_1\) et \(p_1\) décrivent la position énergétique du piège à l’interface.

Les durées de vie de capture des électrons et des trous sont les suivantes :

\[ \tau_n = \frac{1} {\sigma_n v_{\mathrm{th},n}N_t}, \qquad \tau_p = \frac{1} {\sigma_p v_{\mathrm{th},p}N_t}, \]

où \(\sigma_n\) et \(\sigma_p\) représentent les sections efficaces de capture des électrons et des trous, et \(v_{\mathrm{th},n}\) et \(v_{\mathrm{th},p}\) représentent les vitesses thermiques correspondantes des porteurs de charge.

L’énergie du niveau de piégeage est définie par rapport au centre de la bande interdite locale :

\[ E_t = \frac{E_g}{2} + \Delta E_t. \]

Les concentrations correspondantes de porteurs auxiliaires SRH sont les suivantes :

\[ n_1 = n_i \exp\left( \frac{q(E_t-E_g/2)} {k_B T} \right), \qquad p_1 = n_i \exp\left( \frac{q(E_g/2-E_t)} {k_B T} \right). \]

La contribution de l’interface SRH est ajoutée aux équations de continuité locales des électrons et des trous de part et d’autre de la limite du matériau. Par conséquent, l’augmentation de la densité des pièges à l’interface, de la section efficace de capture ou de la concentration des porteurs à l’interface entraîne une augmentation du taux de recombinaison non radiative.

Ce modèle est particulièrement utile pour étudier la passivation des interfaces. Une réduction de \(N_{t,\mathrm{interface}}\), \(\sigma_n\)ou \(\sigma_p\) réduit la recombinaison SRH associée à la limite du matériau et peut, par conséquent, modifier la tension en circuit ouvert, le facteur de remplissage, l’efficacité de l’électroluminescence et d’autres caractéristiques du dispositif. Les paramètres d’interface SRH peuvent être configurés à l’aide de éditeur d’interface.

Références

S. M. Sze et K. K. Ng, Physique des dispositifs à semi-conducteurs, 3e édition, Wiley-Interscience, Hoboken, New Jersey, 2007. ISBN : 978-0-471-14323-9. DOI : 10.1002/0470068329.
J. G. Kushmerick et J. C. Love, « Propriétés électroniques des jonctions moléculaires d’alcanethiols : mécanismes de conduction, contacts métal-molécule et transport inélastique », in Nanotechnologie et nanosciences : une approche globaleElsevier, 2011. Disponible à l’adresse suivante : ScienceDirect.