Моделі інтерфейсів напівпровідників в OghmaNano: модель дрейфу-дифузії, тунелювання та допування зарядами.

1. Вступ до інтерфейсів

Інтерфейси відіграють ключову роль у фізиці напівпровідникових пристроїв, оскільки вони визначають, як носії заряду переміщуються всередині пристрою. Завдяки створенню певних енергетичних бар’єрів між матеріалами, інтерфейси можуть утримувати електрони та дірки, блокувати небажаний потік носіїв або селективно сприяти вилученню заряду. Майже всі сучасні напівпровідникові пристрої використовують інтерфейси для керування транспортом, зокрема гетероструктурні сонячні елементи, OLED-дисплеї, OFET-транзистори, тунельні переходи, перовськітні пристрої та квантово-ямочні структури.

У рамках моделювання на основі рівнянь дрейфу та дифузії, межі між різними матеріалами відображаються у вигляді розривів у параметрах матеріалу, таких як спорідненість до електронів, ширина забороненої зони, щільність станів, рухливість або діелектрична проникність. Ці розриви створюють зсуви в зонах провідності та валентності, що змінює локальний транспорт носіїв заряду. Залежно від енергетичної відповідності, межа може сприяти передачі носіїв заряду або пригнічувати потік струму.

У OghmaNano найпростіший спосіб обробки міжфазної області полягає в тому, щоб взагалі не застосовувати жодних додаткових моделей для опису переносу в міжфазній області та дозволити стандартним рівнянням дрейфу-дифузії природним чином визначати перенесення носіїв заряду на основі локальної зонної структури та градієнтів квазі-рівня Фермі. Додаткові моделі, такі як тунелювання або стрибкоподібний перенос, можуть бути додані до цієї базової моделі, коли потрібні додаткові механізми переносу.

2. Дрейф-дифузія на межах розділу.

Найпростіша модель інтерфейсу передбачає, що носії заряду можуть безпосередньо дрейфувати та дифундувати через гетероперехід відповідно до локального електростатичного потенціалу та градієнтів концентрації носіїв. У цьому випадку на інтерфейсі не додається жоден окремий тунельний або стрибкоподібний струм. Натомість, рівняння дрейфу та дифузії визначають транспорт носіїв узгодженим чином на основі локальної зонної структури.

Приклад цього наведено в ??. Тут зона провідності містить різкий енергетичний перехід висотою \(\phi\). Електрони, що наближаються до межі поділу, повинні подолати цей бар’єр за допомогою звичайного дрейфового та дифузійного транспорту. У міру збільшення енергетичної різниці щільність носіїв заряду над бар’єром експоненціально зменшується, що природним чином пригнічує потік струму через межу поділу.

Числове представлення гетеропереходу значною мірою залежить від роздільної здатності просторової сітки. Якщо інтерфейс представлено за допомогою дуже дрібної сітки, енергетичний перехід стає крутішим, і внаслідок цього електричне поле на інтерфейсі значно збільшується. За таких умов рівняння дрейфу-дифузії можуть передбачати дуже виражену поведінку, пов’язану з блокуванням носіїв заряду. І навпаки, якщо інтерфейс представлено за допомогою меншої кількості точок сітки, енергетичний перехід стає більш плавним, що зменшує локальний градієнт і дозволяє носіям заряду легше дифундувати через перехід.

На практиці це означає, що для точного моделювання повної поведінки інтерфейсів часто потрібне досить дрібне розбиття на елементи. Це особливо важливо для гетеропереходів із різкими змінами, тонких транспортних шарів і сильно локалізованих електронних структур.

За замовчуванням, носії заряду в OghmaNano вже зазнають дрейфу та дифузії через межі між різними матеріалами відповідно до градієнтів провідності та валентної зони. Зміщення зон у напрямку збільшення енергії пригнічує потік носіїв, тоді як вирівнювання зон у напрямку зменшення енергії полегшує перенесення носіїв. Додаткові моделі міжфазних взаємодій, описані нижче, доповнюють цю базову картину дрейфу та дифузії, забезпечуючи додаткові канали транспортування, які можуть допомогти носіям долати енергетичні бар’єри.

3. Пряме прокладання тунелю.

Для досить тонких міжфазних шарів квантово-механічне тунелювання може забезпечити додатковий канал транспортування через енергетичний бар’єр. Замість того, щоб вимагати від носіїв заряду подолання всього енергетичного розриву за допомогою теплової енергії, хвильова функція носія може проникати крізь класично заборонену область, що призводить до скінченної ймовірності проходження крізь міжфазний шар.

Приклад цього процесу наведено в ??. Тут зона провідності містить гетероперехідний енергетичний схід висотою \(\phi\). Затінена область над бар’єром відображає експоненціально згасаючу хвильову функцію носіїв заряду всередині забороненої зони. Хоча енергія носіїв заряду нижча за висоту бар’єру, хвильова функція залишається скінченною на всій площі межі, що дозволяє невеликому тунельному струму проходити крізь неї.

Щільність тунельного струму можна наближено обчислити за допомогою виразу ВКБ наступного вигляду:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -\frac{2d}{\hbar}\sqrt{2mq\phi} \right) \]

Тут \(A\) – це коефіцієнт, що містить матеріальні та геометричні константи, \(V\) – прикладена напруга, \(\phi\) – висота бар’єра, \(m\) – ефективна маса носіїв заряду, \(d\) – ефективна товщина бар’єра, \(q\) – елементарний заряд, а \(\hbar\) – зведена стала Планка. Експоненціальна залежність виникає внаслідок згасання хвильової функції носіїв заряду всередині забороненої зони. Відповідно, товстіші бар’єри або більші енергетичні різниці призводять до експоненційного зменшення тунельного струму.

У OghmaNano цей вираз реалізовано в спрощеному вигляді:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -B\sqrt{\phi} \right) \]

Тут параметр \(B\) об’єднує товщину бар’єра, ефективну масу та інші фізичні константи в єдиний параметр для калібрування. Ця спрощена форма відображає основну експоненціальну залежність тунельного струму від висоти бар’єра, водночас залишаючись обчислювально ефективною. Параметри, пов’язані з цією моделлю, можна налаштувати за допомогою редактора інтерфейсу.

4. Транспорт, що здійснюється за допомогою міжфазної взаємодії (між органічними сполуками).

В органічних гетеропереходах перенесення носіїв заряду через межу поділу часто відбувається за допомогою локалізованих станів, а не шляхом безпосереднього транспорту в зоні провідності. В таких умовах межа поділу поводиться як скінченний провідник, що дозволяє носіям заряду переміщатися між двома матеріалами за допомогою процесів, пов’язаних із захопленням або стрибкоподібним переміщенням.

Модель OghmaNano описує цю поведінку феноменологічно як лінійну реакцію на відхилення від рівноваги, забезпечуючи зникнення транспортного струму в стані рівноваги та його збільшення зі збільшенням дисбалансу носіїв заряду на межі поділу.

Для позитивних зарядів (дірок): \[\boldsymbol{J_p} = q T_{h}\,\big((p_{1}-p_{1}^{eq})-(p_{0}-p_{0}^{eq})\big),\], а для електронів: \[\boldsymbol{J_n} = -q T_{e}\,\big((n_{1}-n_{1}^{eq})-(n_{0}-n_{0}^{eq})\big).\].

У цьому випадку \(T_{h}\) і \(T_{e}\) є феноменологічними коефіцієнтами переносу, які описують інтенсивність взаємодії на межі поділу. Ця формула еквівалентна введенню двосторонньої швидкості поверхневої рекомбінації або провідності на межі поділу і може бути інтерпретована як лінеаризована межа переносу, що відбувається за допомогою пасток або шляхом «стрибкоподібного» механізму між локалізованими станами.

Отже, до цієї моделі слід ставитися як до ефективний канал транспортування, накладений на рівняння переносу та дифузіїщо дозволяє струму протікати крізь енергетичні бар’єри, які в іншому випадку значно перешкоджали б транспортуванню носіїв заряду. Параметри, пов’язані з цією моделлю, можна налаштувати за допомогою редактор інтерфейсу.

Тунельний ефект Фаулера–Нордгейма

За достатньо сильних електричних полів форма міжфазного енергетичного бар’єра може значно деформуватися, перетворюючись із приблизно прямокутного бар’єра на трикутний. За таких умов носії заряду можуть проникати крізь звужений бар’єр за допомогою процесу, відомого як тунелювання Фаулера — Нордгейма. Цей механізм особливо важливий у тонких діелектричних шарах, тунельних переходах і напівпровідникових межах із високим електричним полем, де звичайний дрейфово-дифузійний транспорт стає недостатнім для опису струму носіїв заряду.

Спрощену формулу для щільності струму Фовлера — Нордгейма можна записати так:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V^2 \exp\left( -\frac{4d\sqrt{2m}q\phi^{3/2}} {3\hbar V} \right) \]

Тут \(A\) – це коефіцієнт, що містить матеріальні та геометричні константи, \(V\) – прикладена напруга, \(d\) – ефективна товщина бар’єра, \(m\) – ефективна маса носія заряду, \(q\) – елементарний заряд, \(\phi\) – висота бар’єра, розрахована на основі локальної зонної структури, а \(\hbar\) – зменшена стала Планка. Характерна залежність \(\phi^{3/2}/V\) виникає внаслідок трикутної форми бар’єра, що утворюється під дією сильного електричного поля.

У рамках моделі OghmaNano цей механізм транспортування можна представити за допомогою спрощеного феноменологічного виразу:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V^2 \exp\left( -\frac{B\phi^{3/2}}{V} \right) \]

Тут параметр \(B\), що використовується для налаштування, об’єднує товщину бар’єру, ефективну масу та інші фізичні константи в єдиний числовий параметр. Ця спрощена форма зберігає основну залежність транспорту Фоллера — Нордгейма від прикладеного поля, залишаючись при цьому обчислювально ефективною.

У майбутніх версіях OghmaNano може бути додано підтримку ефекту Фаулера–Нордгейма.

Термоелектронна емісія

Терміонна емісія описує процес перенесення носіїв заряду через енергетичний бар’єр шляхом термічної активації. У цьому механізмі носії отримують достатню термічну енергію, щоб подолати міжфазний бар’єр, а не проходити крізь нього шляхом тунелювання. Терміонна емісія зазвичай спостерігається в контактних переходах Шотткі, напівпровідникових гетеропереходах і на межі між металом і напівпровідником.

Спрощену формулу для щільності струму, що виникає внаслідок термоелектронної емісії, можна записати так:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})T^2 \exp\left( -\frac{ q\phi - q\sqrt{\frac{qV}{4\pi\epsilon d}} } {kT} \right) \]

Тут \(A\) – це коефіцієнт, що містить матеріальні та геометричні константи, \(T\) – температура, \(V\) – прикладена напруга, \(\phi\) – висота бар’єра, \(\epsilon\) – діелектрична проникність, \(d\) – ефективна товщина бар’єра, \(q\) – елементарний заряд, а \(k\) – стала Больцмана. Залежність \(\sqrt{V}\) описує зменшення висоти бар’єра під дією сили зображення в прикладеному електричному полі.

У рамках OghmaNano цей механізм можна представити у спрощеному вигляді:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})T^2 \exp\left( -\frac{ q\phi - B\sqrt{V} }{kT} \right) \]

Тут параметр \(B\) відображає ефективне зменшення висоти потенціального бар’єра, спричинене зовнішнім полем, і пов’язані з цим матеріальні константи. Ця спрощена форма зберігає основну температурну та польову залежність термоелектронної емісії, водночас зменшуючи обчислювальну складність.

У майбутніх версіях OghmaNano може бути додано підтримку транспортування через термоелектронний інтерфейс.

Стрибкоподібна провідність

У сильно дезорганізованих напівпровідниках носії заряду можуть локалізуватися в пасткових станах або молекулярних орбіталях, що перешкоджає звичайному зонному транспорту. За таких умов транспорт носіїв може відбуватися шляхом термічно активованих переходів між локалізованими станами. Транспорт за допомогою переходів особливо важливий в органічних напівпровідниках, аморфних матеріалах і сильно дезорганізованих міжфазних областях.

Спрощену формулу для щільності струму, що описує стрибкоподібний транспорт, можна записати так:

\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -\frac{q\phi}{kT} \right) \]

Тут \(A\) – це коефіцієнт, що містить матеріальні та геометричні константи, \(V\) – прикладена напруга, \(\phi\) – енергія активації, пов’язана з переходом між локалізованими станами, \(q\) – елементарний заряд, \(k\) – стала Больцмана, а \(T\) – температура. Експоненціальна залежність від температури відображає термічно активовану природу транспортного процесу, пов’язаного з перестрибуванням.

Підтримку моделей передачі даних на основі «стрибкоподібного» інтерфейсу може бути додано в майбутніх версіях OghmaNano.

Рекомбінація на межі розділу фаз.

Рекомбінація за Шоклі–Рідом–Голлом (SRH) може відбуватися через дефектні стани, локалізовані на межі між двома напівпровідниковими матеріалами. Ці стани забезпечують додатковий нерадіативний шлях рекомбінації та можуть суттєво впливати на характеристики гетероперехідних сонячних елементів, світлодіодів, перовськитних пристроїв та інших багатошарових напівпровідникових структур.

У OghmaNano інтерфейсні пастки описуються за допомогою двовимірної плотності шару \(N_{t,\mathrm{interface}}\), вимірюваної в одиницях м-2. Пастки рівномірно розподілені між двома точками сітки, що безпосередньо прилягають до інтерфейсу матеріалу. Для лівої та правої відстаней між точками сітки \(\Delta x_L\) і \(\Delta x_R\) відповідні локальні плотності пасток такі:

\[ N_{t,L} = \frac{N_{t,\mathrm{interface}}}{2\Delta x_L}, \qquad N_{t,R} = \frac{N_{t,\mathrm{interface}}}{2\Delta x_R}. \]

Отже, інтегрована густина пасток відповідає наступному:

\[ N_{t,L}\Delta x_L + N_{t,R}\Delta x_R = N_{t,\mathrm{interface}}. \]

Швидкість рекомбінації SRH оцінюється незалежно для кожної сторони межі, використовуючи локальні концентрації електронів і дірок:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{ np-n_{\mathrm{eq}}p_{\mathrm{eq}} }{ \tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1) }. \]

Тут \(n\) і \(p\) – локальні концентрації вільних електронів і дірок, \(n_{\mathrm{eq}}\) і \(p_{\mathrm{eq}}\) – їхні рівноважні значення, а \(n_1\) і \(p_1\) описують енергетичне положення інтерфейсної пастки.

Час життя електронів і дірок становить:

\[ \tau_n = \frac{1} {\sigma_n v_{\mathrm{th},n}N_t}, \qquad \tau_p = \frac{1} {\sigma_p v_{\mathrm{th},p}N_t}, \]

де \(\sigma_n\) і \(\sigma_p\) — перерізи захоплення електронів і дірок, а \(v_{\mathrm{th},n}\) і \(v_{\mathrm{th},p}\) — відповідні теплові швидкості носіїв заряду.

Енергія пастки визначається відносно центру локальної смуги заборонених енергій:

\[ E_t = \frac{E_g}{2} + \Delta E_t. \]

Відповідні концентрації допоміжних носіїв SRH такі:

\[ n_1 = n_i \exp\left( \frac{q(E_t-E_g/2)} {k_B T} \right), \qquad p_1 = n_i \exp\left( \frac{q(E_g/2-E_t)} {k_B T} \right). \]

Внесок міжфазної області до рівнянь неперервності електронів і дірок додається з обох боків матеріальної межі. Отже, збільшення щільності міжфазних пасток, ефективної площі захоплення або концентрації носіїв заряду на межі призводить до збільшення швидкості нерадіативної рекомбінації.

Ця модель особливо корисна для вивчення пасивації міжфазної поверхні. Зменшення концентрації \(N_{t,\mathrm{interface}}\), \(\sigma_n\) або \(\sigma_p\) призводить до зменшення рекомбінації за механізмом Шоклі-Рід-Холла, пов’язаної з межею матеріалу, і, як наслідок, може змінювати напругу розімкнутого контуру, коефіцієнт заповнення, ефективність електролюмінесценції та інші характеристики пристрою. Параметри міжфазної рекомбінації за механізмом Шоклі-Рід-Холла можна налаштувати за допомогою редактора міжфазних властивостей.

Посилання

• С. М. Ше та К. К. Нг, Фізика напівпровідникових приладів, 3-є видання, Wiley-Interscience, Хобoken, штат Нью-Джерсі, 2007. ISBN: 978-0-471-14323-9. DOI: 10.1002/0470068329.
• Дж. Ґ. Кушмерик і Дж. К. Лав, «Електронні властивості молекулярних переходів алкантіолів: механізми провідності, метало-молекулярні контакти та непружна передача», у збірнику «Комплексна нанонаука та технології», видавництво Elsevier, 2011. Доступно за посиланням: ScienceDirect.