Вбудований потенціал у моделюванні за допомогою методів дрейфу та дифузії

Вбудований потенціал, $V_{bi}$, – це внутрішній електростатичний потенціал, який виникає, коли два контакти або напівпровідникові області з різними положеннями рівня Фермі з’єднуються електрично. У моделюванні процесів дрейфу та дифузії вбудований потенціал визначає рівноважну кривизну енергетичних зон, задає початкове електричне поле та визначає початкову точку для розв’язання рівняння Пуассона та рівнянь неперервності носіїв заряду.

На рисунку ?? показано формування вбудованого потенціалу внаслідок узгодження рівнів Фермі. На панелі (a) зображено два ізольовані матеріали. Матеріал ліворуч містить велику концентрацію дірок, а матеріал праворуч – велику концентрацію електронів. Оскільки ці два матеріали ще не мають електричного контакту, їхні електрохімічні потенціали є незалежними, і їхні рівні Фермі не потребують узгодження.

Коли два матеріали зводяться в контакт, як показано схематично на рисунку (b), носії заряду можуть перерозподілятися між ними. Електрони переміщуються з матеріалу з вищим хімічним потенціалом електронів до матеріалу з нижчим хімічним потенціалом електронів, тоді як дірки перерозподіляються у протилежному напрямку. Цей процес передачі заряду не може тривати нескінченно: він залишає після себе іонізований заряд і створює внутрішнє електричне поле. У стані термодинамічної рівноваги сукупна рушійна сила для руху носіїв заряду зникає, і рівень Фермі стає просторово постійним у всій об’єднаній структурі.

Built-in potential formation from Fermi level alignment showing band bending and Vbi in a drift-diffusion device — (а) Два ізольовані матеріали з високою концентрацією дірок (ліворуч) і високою концентрацією електронів (праворуч), кожен з яких характеризується власним квазірівнем Фермі. (б) Під час контакту термодинамічна рівновага вимагає вирівнювання рівнів Фермі ($F_n = F_p$), що призводить до перерозподілу заряду. (в) Утворена внаслідок цього деформація зон створює просторово змінний електростатичний потенціал, що призводить до виникнення вбудованого потенціалу $\Phi_i$. Це ілюструє, як відмінності в початкових рівнях Фермі двох матеріалів перетворюються на внутрішнє електричне поле, як це відбувається в місцях контакту в пристрої.

На панелі (c) показано відповідну діаграму зон після досягнення рівноваги. Край зони провідності $E_C$ і край валентної зони $E_V$ викривлюються в місці контакту, оскільки електростатичний потенціал змінюється залежно від положення. Вбудований потенціал $\Phi_i$ – це різниця електростатичних потенціалів, необхідна для вирівнювання рівнів Фермі двох матеріалів, які спочатку були розділені. Іншими словами, це падіння потенціалу, пов’язане з внутрішнім електричним полем, що утворюється внаслідок перерозподілу заряду.

Це той самий фізичний механізм, який створює вбудовану напругу в напівпровідниковому переході або між двома асиметричними контактами в пристрої. До встановлення контакту обидві сторони можуть мати різні функції роботи, концентрації носіїв заряду або положення рівня Фермі. Після встановлення контакту для досягнення рівноваги необхідний єдиний рівень Фермі, а різниця компенсується викривленням зон і внутрішнім електростатичним потенціалом. У моделюванні за допомогою методів дрейфу та дифузії цей вбудований потенціал враховується через електростатичний потенціал і, отже, змінює локальні концентрації носіїв заряду, потік струму та бар’єри інжекції на контактах.

2. Обчислення вбудованого потенціалу

Наведений нижче вивід показує рівняння вбудованого потенціалу, яке використовується в моделюванні, і воно базується на щільності електронів і дірок у зоні контакту, а не на концентрації домішок. Ця форма є корисною для органічних напівпровідників, тонкоплівкових сонячних елементів, OLED-дисплеїв та інших пристроїв, де щільність носіїв заряду на межі задається безпосередньо.

У моделюванні за допомогою методів дрейфу та дифузії першим кроком є визначення вбудованого потенціалу структури пристрою. Це зумовлено вимогою, щоб рівень Фермі був просторово постійним у стані рівноваги (див. ??). Якщо два контакти створюють різні концентрації носіїв заряду, ця умова може бути виконана лише шляхом формування внутрішнього електростатичного потенціалу. Тут межі зон позначено як $E_C$ і $E_V$; в органічних напівпровідниках вони еквівалентно представлені рівнями LUMO та HOMO, $E_{LUMO}$ і $E_{HOMO}$.

У наведених нижче рівняннях $\phi$ позначає зміну електростатичного потенціалу, а $V_{bi}$ – загальний вбудований потенціал у межах пристрою.

Для оцінки вбудованого потенціалу необхідні такі показники:

Концентрації носіїв заряду в місцях контакту, $n$ і $p$.
Ефективні щільності станів, $N_c$ і $N_v$.
Ефективна ширина забороненої зони, $E_g$.

Лівий контакт приймається за точку відліку з електростатичним потенціалом $0$ В. Відповідно, межі зон будуть такими:

\[ E_C = -\chi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g \]

Якщо припустити, що діє статистика Максвелла–Больцмана, то концентрації носіїв заряду в лівій частині становлять:

\[ n_l = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_l = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \]

У стані рівноваги рівень Фермі $F$ є постійним у всьому пристрої. Якщо правий контакт створює різні концентрації носіїв заряду, ця умова виконується шляхом зміщення країв енергетичної зони за допомогою електростатичного потенціалу $\phi$:

\[ E_C = -\chi - q\phi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g - q\phi \]

Концентрації носіїв заряду на правій стороні тоді стають такими:

\[ n_r = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_r = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \]

Отже, вбудований потенціал у моделі дрейфу-дифузії є електростатичним зсувом, необхідним для узгодження заданих граничних концентрацій носіїв заряду з єдиним, просторово постійним рівнем Фермі. Явне вираження для $\phi$ безпосередньо випливає з цієї умови.

2.1 Вбудоване рівняння потенціалу, що базується на концентраціях носіїв заряду.

Перегрупувавши вираз для щільності електронів,

\[ n = N_c \exp\!\left(\frac{F-E_C}{kT}\right) \quad \Rightarrow \quad F - E_C = kT \ln\!\left(\frac{n}{N_c}\right) \]

Оцінювання цього параметра під час кожного контакту (перед електростатичним вирівнюванням) дає

\[ F_l = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \quad,\quad F_r = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) \]

У стані рівноваги рівні Фермі повинні збігатися, тому їх початкова різниця перетворюється на різницю електростатичних потенціалів:

\[ qV_{bi} = F_r - F_l \]

Після підстановки отримаємо:

\[ qV_{bi} = kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) - kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \]

і, отже

\[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{n_r}{n_l}\right) \]

Еквівалентно, використовуючи показник щільності отворів,

\[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{p_l}{p_r}\right) \]

Ця форма вбудованого рівняння потенціалу використовується в процесі внутрішніх обчислень у моделюванні дрейф-дифузії, де концентрації носіїв заряду в місцях контакту задаються безпосередньо.

Ця процедура визначає як вбудований потенціал, так і відповідну концентрацію неосновних носіїв заряду в місцях контакту. Припускається нескінченна швидкість рекомбінації, внаслідок чого концентрація носіїв заряду визначається локальною рівновагою. Скінченні швидкості рекомбінації вводять додаткові параметри, але зазвичай вони не потрібні для відтворення експериментальних характеристик пристрою.

Чому вбудований потенціал є важливим?

Вбудований потенціал визначає внутрішнє електричне поле пристрою і, отже, контролює розділення, ін’єкцію та вилучення заряду. Помилки в його обчисленні безпосередньо впливають на прогнозовані характеристики струм-напруга та профілі рекомбінації.

Враховуючи відомий вбудований потенціал, ми можемо зробити попередню оцінку профілю потенціалу по всьому пристрою, використовуючи лінійну апроксимацію. На основі цього отримують приблизні значення концентрації носіїв заряду. Ці значення слугують початковими даними для основного ітераційного розв’язувача Ньютона, який потім обчислює самоузгоджений потенціал і розподіл носіїв. Опис ітераційного розв’язувача Ньютона наведено в наступному розділі.