La relation d’Einstein dans le contexte de la dérive et de la diffusion dans les semi-conducteurs.

1. En quoi consistent les relations d’Einstein ?

À l’intérieur d’un semi-conducteur, les porteurs de charge sont transportés par deux mécanismes : la dérive, causée par les gradients dans les bandes d’énergie, et la diffusion, causée par les gradients dans la densité des porteurs. Les relations d’Einstein mettent en relation les mobilités et les coefficients de diffusion correspondants, de sorte que les deux mécanismes s’équilibrent correctement à l’équilibre thermique. Les équations de dérive-diffusion pour les électrons et les trous sont les suivantes :

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{J}_n &= \underbrace{\color{red}{\mu_n n\nabla E_c}}_{\text{drift}} + \underbrace{\color{blue}{qD_n\nabla n}}_{\text{diffusion}},\\[5pt] \boldsymbol{J}_p &= \underbrace{\color{red}{\mu_p p\nabla E_v}}_{\text{drift}} - \underbrace{\color{blue}{qD_p\nabla p}}_{\text{diffusion}}. \end{aligned} \]

Ici. \(\boldsymbol{J}_n\) et \(\boldsymbol{J}_p\) il s’agit des densités de courant conventionnelles des électrons et des trous. \(q\) est la charge élémentaire positive, \(n\) et \(p\) sont les densités de porteurs libres. \(\mu_n\) et \(\mu_p\) sont des formes de mobilité, et \(D_n\) et \(D_p\) il s’agit de coefficients de diffusion. \(E_c\) et \(E_v\) sont situés aux bords des bandes de conduction et de valence. énergies en joulesainsi, leurs gradients remplacent le terme explicite du champ électrique. Si les limites des bandes sont stockées en volts (énergie divisée par \(q\)), le terme équivalent pour la dérive est \(q\mu_n n\nabla (E_c/q)\)et de même pour les trous. Les expressions utilisées ici supposent un transport isotherme et une structure de bande localement fixe ; les gradients de température et les propriétés des matériaux qui varient en fonction de l’emplacement nécessitent une attention particulière. Pour plus d’informations, voir : Électrostatique, Mobilité des porteurs de charge et dérivation complète basée sur les équations de dérive-diffusion.

Chaque équation comporte deux termes. Le terme rouge, qui représente la dérive, décrit le transport induit par la pente de la bande de conduction ; le terme bleu, qui représente la diffusion, décrit le transport induit par les différences de densité. Dans la figure ??, les électrons se déplacent le long de la pente de la bande de conduction et s’accumulent sur la droite. La diffusion les repousse vers la région de plus faible densité. Bien que les électrons se déplacent dans la direction opposée au courant électronique conventionnel, les contributions au courant sont opposées et s’annulent à l’équilibre.

Dans un dispositif non éclairé, en équilibre thermique, comprenant une jonction p–n dotée d’un champ intégré, les courants nets d’électrons et de trous doivent chacun être nuls localement :

\[ \boldsymbol{J}_{n,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{n,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}, \qquad \boldsymbol{J}_{p,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{p,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}. \]

Si les relations d’Einstein sont incohérentes avec les statistiques des porteurs, il n’est pas nécessaire que la dérive et la diffusion s’annulent : une simulation peut alors prédire un courant d’obscurité erroné à une tension appliquée nulle, ou un décalage dans sa courbe courant d’obscurité-tension, comme illustré dans la figure ??. C’est particulièrement problématique lors de la simulation de très faibles courants. Une tension appliquée nulle ne signifie pas nécessairement l’équilibre si le dispositif est éclairé ou soumis à une autre excitation ; l’affirmation concernant le courant nul s’applique ici au dispositif en obscurité, en équilibre thermique.

Dans le cas habituel non dégénéré (de Boltzmann), les relations d’Einstein s’énoncent simplement comme suit :

\[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q},\qquad D_p=\mu_p\frac{k_BT}{q}.} \]

Ici, \(k_B\) représente la constante de Boltzmann et \(T\) représente la température absolue. Le rapport \(k_BT/q\) correspond à la tension thermique (environ 25,9 mV à 300 K). Une mobilité plus élevée nécessite donc un coefficient de diffusion proportionnellement plus élevé ; les deux ne sont pas des paramètres indépendants dans un modèle de dispositif cohérent. Les sections suivantes présentent cette équation et expliquent les modifications à apporter pour les bandes dégénérées ou non paraboliques.

2. Une dérivation simple : la relation classique d’Einstein.

Considérons les électrons dans un semi-conducteur uniforme, à température constante et non dégénéré. À l’équilibre thermique, le niveau de Fermi des électrons est le suivant : \(E_F\) est spatialement constant, et la densité des porteurs suit la distribution de Boltzmann. La distinction entre les distributions de Boltzmann et de Fermi-Dirac est abordée dans Statistiques de Fermi-Dirac par rapport aux statistiques de Maxwell-Boltzmann.:

\[ n=N_c\exp\!\left(\frac{E_F-E_c}{k_BT}\right). \]

Ici, \(E_c\) représente le bord de la bande de conduction et \(N_c\) représente la densité d’états effective de la bande de conduction. En supposant que \(N_c\) et \(T\) sont constants, le calcul du gradient spatial donne :

\[ \nabla n=-\frac{n}{k_BT}\nabla E_c. \]

En substituant directement ce gradient de densité dans l’expression du courant électronique, en utilisant la notation du gradient de la bande de conduction, on obtient :

\[ \boldsymbol{J}_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n =\mu_n n\nabla E_c-qD_n\frac{n}{k_BT}\nabla E_c =n\nabla E_c\left(\mu_n-\frac{qD_n}{k_BT}\right). \]

Étant donné que le courant d’équilibre doit être nul, même là où un champ électrique intrinsèque est présent, l’expression entre crochets doit être égale à zéro. Par conséquent,

\[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q}.} \]

En répétant l’argument concernant les trous, on obtient \(D_p=\mu_p k_BT/q\). Il s’agit de la relation classique bien connue d’Einstein. Elle est souvent dérivée à l’aide de bandes paraboliques, mais l’approximation décisive ici est la statistique de Boltzmann (non dégénérée) des porteurs : les porteurs sont suffisamment peu nombreux pour que l’occupation des états disponibles soit faible.

3. La relation généralisée d’Einstein.

Le résultat simple ne s’applique pas toujours. Dans les matériaux fortement dopés, ou lorsque le niveau de Fermi se rapproche d’une bande ou y pénètre, les porteurs obéissent aux statistiques de Fermi-Dirac plutôt qu’à l’approximation de Boltzmann. La densité de porteurs n’est alors plus une simple fonction exponentielle du niveau de Fermi. La densité d’états peut également être non parabolique, désordonnée ou obtenue numériquement à partir d’un calcul de la structure de bande. Le calcul de la densité de porteurs est décrit dans Densité des porteurs de charge.

Supposons que la densité électronique dépende de la différence d’énergie \(\xi_n=E_{Fn}-E_c\), à température constante et en maintenant la densité d’états locale fixe : \(n=n(\xi_n,T)\). Le niveau quasi-Fermi des électrons \(E_{Fn}\) est constant à l’équilibre. Par conséquent, en considérant un gradient spatial, on obtient :

\[ \nabla n =\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T (\nabla E_{Fn}-\nabla E_c) =-\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T\nabla E_c. \]

En intégrant ce résultat dans l’équation actuelle et en exigeant que le courant d’équilibre soit nul, on obtient la relation d’Einstein généralisée :

\[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{n}{q\left(\partial n/\partial\xi_n\right)_T} =\frac{1}{q}\left(\frac{\partial\xi_n}{\partial\ln n}\right)_T. } \]

Pour les trous, définissez \(\xi_p=E_v-E_{Fp}\), qui augmente en fonction du nombre de trous. La relation équivalente est alors la suivante :

\[ \boxed{ \frac{D_p}{\mu_p} =\frac{p}{q\left(\partial p/\partial\xi_p\right)_T}. } \]

Ces équations ont une interprétation physique intéressante : la dérivée nous indique à quel point la population de porteurs change facilement lorsque son potentiel chimique change. Une variation importante de la densité pour une faible variation de l’énergie quasi-Fermi implique une dérivée importante et une valeur \(D/\mu\) plus faible. Si les états se remplissent et que la densité réagit moins fortement, le rapport augmente. Ainsi, la relation d’Einstein est une propriété des statistiques des porteurs et de la densité des états, et non pas seulement un facteur numérique multipliant la mobilité.

Pour une densité d’états arbitraire de la bande de conduction \(g_c(E)\), la densité d’électrons peut être calculée comme suit :

\[ n=\int_{E_c}^{\infty}g_c(E) \frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}\,dE. \]

Pour une structure de bande et une température données, sa dérivée peut être calculée à partir des mêmes états :

\[ \left.\frac{\partial n}{\partial E_{Fn}}\right|_T =\frac{1}{k_BT}\int_{E_c}^{\infty}g_c(E)f(E)[1-f(E)]\,dE, \qquad f(E)=\frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}. \]

Étant donné que \(\partial\xi_n/\partial E_{Fn}=1\) est fixe à \(E_c\), cette dérivée peut être utilisée directement dans la relation d’Einstein généralisée. Cette approche fonctionne également avec une densité d’états numérique non parabolique. Pour les trous, utilisez la densité d’états correspondante de la bande de valence et l’occupation des trous \(1-f\), en calculant la dérivée par rapport à \(E_v-E_{Fp}\).

4. Bandes paraboliques : retrouver le résultat classique.

Pour une bande parabolique tridimensionnelle, la densité électronique peut être exprimée à l’aide d’une intégrale de Fermi-Dirac :

\[ n=N_c F_{1/2}(\eta_n), \qquad \eta_n=\frac{E_{Fn}-E_c}{k_BT}. \]

Nous utilisons la définition normalisée \(F_j(\eta)=\Gamma(j+1)^{-1} \int_0^\infty x^j/[1+\exp(x-\eta)]\,dx\). En utilisant \(dF_{1/2}/d\eta=F_{-1/2}\), la relation d’Einstein généralisée devient :

\[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{k_BT}{q} \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. } \]

Une équation analogue s’applique aux trous avec \(\eta_p=(E_v-E_{Fp})/(k_BT)\). Ce résultat est valable pour une bande parabolique tridimensionnelle, même lorsqu’elle est dégénérée. Le rapport des intégrales de Fermi-Dirac tient compte de l’effet du remplissage des niveaux d’énergie.

Dans la limite non dégénérée, où \(\eta_n\ll-1\), les deux intégrales de Fermi-Dirac convergent vers \(\exp(\eta_n)\). Par conséquent,

\[ \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}\longrightarrow 1, \qquad \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}\longrightarrow\frac{k_BT}{q}.} \]

Cela illustre précisément l’origine de l’expression que nous connaissons. Une bande parabolique seule ne suffit pas : pour obtenir \(D/\mu=k_BT/q\), les porteurs doivent également être non dégénérés. Dans une bande parabolique dégénérée, il est nécessaire d’appliquer la correction de Fermi-Dirac ; pour une bande non parabolique générale, l’expression dérivée de la densité constitue généralement un point de départ plus utile.

5. Pression du transporteur : une autre façon de comprendre la diffusion.

Il existe une autre méthode intéressante pour comprendre l’origine du terme de diffusion. équation d’équilibre des quantités de mouvement, dérivée de l’équation de transport de Boltzmann, les porteurs exercent une pression parce qu’ils présentent une distribution de vitesses et d’impulsions. Un gradient dans cette pression du support génère une force qui pousse les porteurs des régions de haute pression vers les régions de basse pression. C’est l’origine microscopique de la diffusion. Voir le Dérivation de l’équation de Boltzmann pour le transport. pour établir le lien avec l’équilibre des quantités de mouvement.

Pour une bande de conduction parabolique tridimensionnelle et isotrope, définissez la pression électronique \(P_n\) par :

\[ P_n=\frac{2}{3}\int_{E_c}^{\infty}(E-E_c)g_c(E)f(E)\,dE. \]

Ici, \(g_c(E)\) représente la densité d’états de la bande de conduction et \(f(E)\) représente la probabilité d’occupation. Le facteur \(2/3\) découle de la dispersion parabolique dans l’espace tridimensionnel. Dans le régime classique, non dégénéré, cela se réduit à l’expression bien connue du gaz idéal.

\[ P_n=nk_BT. \]

Pour un matériau uniforme et isotherme, le courant électronique peut donc être exprimé en utilisant un gradient de pression plutôt qu’un gradient de densité :

\[ \boldsymbol{J}_n=\mu_n n\nabla E_c+\mu_n\nabla P_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n. \]

En comparant les deux termes de diffusion, on constate que la grandeur pertinente est la vitesse à laquelle la pression varie en fonction de la densité des porteurs, et non pas simplement la pression divisée par la densité :

\[ \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{1}{q}\left(\frac{\partial P_n}{\partial n}\right)_T.} \]

Étant donné que \(P_n=nk_BT\) dans la limite de Boltzmann, \(\partial P_n/\partial n=k_BT\), la relation classique d’Einstein en découle directement. Lorsque le gaz d’électrons devient dégénéré, la pression n’augmente plus linéairement avec la densité. Pour une bande parabolique tridimensionnelle, en utilisant les mêmes intégrales de Fermi-Dirac normalisées que ci-dessus, on obtient :

\[ P_n=N_c k_BT F_{3/2}(\eta_n),\qquad \frac{\partial P_n}{\partial n} =k_BT\frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. \]

Cela permet de retrouver exactement la relation généralisée d’Einstein qui a été établie dans la section 4. Il est important de ne pas confondre \(P_n/n=k_BT F_{3/2}(\eta_n)/F_{1/2}(\eta_n)\) et \(\partial P_n/\partial n\) : ils ne sont égaux que dans le régime classique. Pour les bandes non paraboliques, la pression nécessite une approche plus générale qui prend en compte la vitesse et la structure de bande. La dérivée de la densité de porteurs dans la section 3 est généralement une méthode plus pratique pour calculer la relation d’Einstein dans le cadre d’un modèle de dérive-diffusion cohérent.

6. Précision numérique : éviter les courants d’équilibre erronés.

Dans un simulateur de transport par dérive et diffusion, la relation d’Einstein généralisée est facile à formuler, mais il peut être difficile de l’évaluer avec précision. Le principal défi réside dans le calcul de la dérivée de la densité des porteurs par rapport à l’énergie quasi-Fermi. Une approximation courante consiste à utiliser une méthode aux différences finies :

\[ \frac{\partial n}{\partial E_{Fn}} \approx\frac{n(E_{Fn}+\Delta E)-n(E_{Fn}-\Delta E)}{2\Delta E}. \]

Si \(\Delta E\) est trop grand, la dérivée est imprécise en raison de l’erreur d’arrondissement. Si elle est trop petite, deux densités de porteurs presque égales sont soustraites, ce qui peut amplifier l’erreur d’arrondissement des nombres à virgule flottante ou le bruit numérique dans les calculs de la structure de bande et de la densité d’états. L’erreur résultante est alors amplifiée lors de la formation de \(D/\mu=n/[q(\partial n/\partial E_{Fn})]\), en particulier lorsque la dérivée est faible.

Même une petite erreur relative peut avoir une incidence, car, à l’équilibre, les courants de dérive et de diffusion peuvent chacun être importants, alors que leur somme doit être exactement égale à zéro. Une légère discordance peut entraîner un courant résiduel erroné. Cela peut être particulièrement perceptible dans les simulations impliquant des bandes non paraboliques, des densités d’états numériques, de faibles densités de porteurs ou des hétérostructures à variation importante.

Dans la mesure du possible, il est préférable de déterminer la fonction d’occupation de manière analytique dans l’intégrale de la densité d’états, comme indiqué dans la section 3, plutôt que d’utiliser une méthode aux différences finies sur deux densités calculées séparément. Pour les porteurs de très faible concentration, utilisez une expression stable dans la limite de Boltzmann, si cela est approprié. Il est également important d’utiliser une intégration numérique cohérente, des statistiques de porteurs cohérentes, des conventions cohérentes pour les bords de bande et une discrétisation cohérente de la dérive et de la diffusion.

Enfin, la relation d’Einstein correcte est la suivante : nécessaire, mais pas suffisant en soi. pour éliminer les courants parasites : la discrétisation spatiale doit également préserver l’équilibre. En particulier, les discrétisations de flux doivent respecter les niveaux de Fermi constants à l’équilibre ; un schéma qui préserve l’équilibre, tel que Scharfetter–Gummel, est couramment utilisé pour la modélisation classique de la dérive et de la diffusion. Une vérification pratique du simulateur consiste à effectuer un calcul d’équilibre en l’absence de lumière et sans polarisation, et à confirmer que les courants d’électrons et de trous disparaissent dans tout le dispositif, dans les limites de la tolérance numérique requise, y compris aux interfaces entre les matériaux. Pour le traitement des jonctions et des décalages de bande, voir : Interfaces et Le potentiel inhérent..

La leçon principale est simple : la relation d’Einstein est ce qui permet de rendre les descriptions de la dérive et de la diffusion thermodynamiquement cohérentes. Sa forme classique, bien connue, est facile à utiliser, mais pour obtenir des statistiques plus générales sur le transport, il faut une relation tout aussi générale et numériquement précise. Le cadre plus large du transport est développé dans le Dérivation de l’équation de Boltzmann vers l’équation de dérive-diffusion.