Diffusione, tempi di rilassamento e mobilitàDiffusione, tempi di rilassamento e mobilità

La mobilità dei portatori di carica in una struttura a pozzo quantico è limitata dalla diffusione. Attualmente, OghmaNano implementa la diffusione acustica dei fononi attraverso il potenziale di deformazione, valutato con la regola aurea di Fermi, e converte i tempi di rilassamento risultanti in una mobilità utilizzando l’approssimazione del tempo di rilassamento. Questa pagina descrive tale meccanismo e specifica chiaramente cosa è incluso e cosa non lo è.La mobilità dei portatori di carica in una struttura a pozzo quantico è limitata dalla diffusione. Attualmente, OghmaNano implementa la diffusione acustica dei fononi attraverso il potenziale di deformazione, valutato con la regola aurea di Fermi, e converte i tempi di rilassamento risultanti in una mobilità utilizzando l’approssimazione del tempo di rilassamento. Questa pagina descrive tale meccanismo e specifica chiaramente cosa è incluso e cosa non lo è.

1. La regola aurea di Fermi1. La regola aurea di Fermi

Il tasso di transizione da uno stato iniziale \(|i\rangle\) agli stati finali \(|f\rangle\) in seguito a una perturbazione \(\delta H\) è pari a:Il tasso di transizione da uno stato iniziale \(|i\rangle\) agli stati finali \(|f\rangle\) in seguito a una perturbazione \(\delta H\) è pari a:

\[ \Gamma_i = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_f \big|\langle f|\delta H|i\rangle\big|^2\, \delta\!\big(E_f - E_i\big), \]\[ \Gamma_i = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_f \big|\langle f|\delta H|i\rangle\big|^2\, \delta\!\big(E_f - E_i\big), \]

la funzione delta assicura la conservazione dell’energia nello scattering elastico. Per i fononi acustici alle temperature di funzionamento del dispositivo, il processo è quasi elastico e, nel limite dell’equipartizione, l’occupazione dei fononi contribuisce con un fattore \(k_B T\). La perturbazione è rappresentata dal campo di deformazione del fonone acustico, che interagisce con le bande attraverso il potenziale di deformazione.la funzione delta assicura la conservazione dell’energia nello scattering elastico. Per i fononi acustici alle temperature di funzionamento del dispositivo, il processo è quasi elastico e, nel limite dell’equipartizione, l’occupazione dei fononi contribuisce con un fattore \(k_B T\). La perturbazione è rappresentata dal campo di deformazione del fonone acustico, che interagisce con le bande attraverso il potenziale di deformazione.

2. Il potenziale di deformazione acustica2. Il potenziale di deformazione acustica

Un fonone acustico deforma localmente il reticolo cristallino e questa deformazione sposta i bordi delle bande energetiche attraverso il potenziale di deformazione \(D\). OghmaNano crea il campo di deformazione di un fonone con vettore d’onda \(\mathbf{q}\) e polarizzazione \(\hat{\mathbf{e}}\), quindi lo accoppia alle bande, in particolare alle bande di valenza, utilizzando gli stessi potenziali di deformazione Bir–Pikus impiegati per la deformazione statica. Calcolando la media del quadrato dell’elemento di matrice sull’occupazione dei fononi nel limite dell’equipartizione, si ottiene il prefattore.Un fonone acustico deforma localmente il reticolo cristallino e questa deformazione sposta i bordi delle bande energetiche attraverso il potenziale di deformazione \(D\). OghmaNano crea il campo di deformazione di un fonone con vettore d’onda \(\mathbf{q}\) e polarizzazione \(\hat{\mathbf{e}}\), quindi lo accoppia alle bande, in particolare alle bande di valenza, utilizzando gli stessi potenziali di deformazione Bir–Pikus impiegati per la deformazione statica. Calcolando la media del quadrato dell’elemento di matrice sull’occupazione dei fononi nel limite dell’equipartizione, si ottiene il prefattore.

\[ \text{prefactor} = \frac{D^2\,k_B T}{\rho\,v_s^2\,\hbar}, \]\[ \text{prefactor} = \frac{D^2\,k_B T}{\rho\,v_s^2\,\hbar}, \]

dove \(\rho\) è la densità di massa e \(v_s\) la velocità del suono. Tale valore aumenta in modo lineare con la temperatura, caratteristica tipica dello scattering dovuto al potenziale di deformazione acustica.dove \(\rho\) è la densità di massa e \(v_s\) la velocità del suono. Tale valore aumenta in modo lineare con la temperatura, caratteristica tipica dello scattering dovuto al potenziale di deformazione acustica.

3. Densità degli stati finali e fattore di forma3. Densità degli stati finali e fattore di forma

Altri due fattori completano il calcolo della velocità. La funzione delta dell’energia viene valutata individuando, per ciascuna sottabanda finale, il vettore d’onda \(k_f\) in corrispondenza del quale \(E_f(k_f)=E_i\) e ponderando con la densità di stati bidimensionale presente in quel punto, che è proporzionale a \(k_f/|dE/dk|\). Inoltre, la sovrapposizione delle funzioni d’onda iniziali e finali – il fattore di forma \(G\) – misura quanto le due funzioni d’onda condividono la stessa regione del pozzo quantico; la diffusione intersubbanda viene ridotta quando le funzioni d’onda hanno una scarsa sovrapposizione spaziale. Pertanto, la velocità per lo stato \(i\) è pari a:Altri due fattori completano il calcolo della velocità. La funzione delta dell’energia viene valutata individuando, per ciascuna sottabanda finale, il vettore d’onda \(k_f\) in corrispondenza del quale \(E_f(k_f)=E_i\) e ponderando con la densità di stati bidimensionale presente in quel punto, che è proporzionale a \(k_f/|dE/dk|\). Inoltre, la sovrapposizione delle funzioni d’onda iniziali e finali – il fattore di forma \(G\) – misura quanto le due funzioni d’onda condividono la stessa regione del pozzo quantico; la diffusione intersubbanda viene ridotta quando le funzioni d’onda hanno una scarsa sovrapposizione spaziale. Pertanto, la velocità per lo stato \(i\) è pari a:

\[ \Gamma_i = \text{prefactor}\,\sum_f \frac{k_f\,G_{if}}{|dE/dk|_f}, \qquad \tau_i = \frac{1}{\Gamma_i}. \]\[ \Gamma_i = \text{prefactor}\,\sum_f \frac{k_f\,G_{if}}{|dE/dk|_f}, \qquad \tau_i = \frac{1}{\Gamma_i}. \]

Il tempo di rilassamento \(\tau_i\) è semplicemente l’inverso della velocità totale di transizione dallo stato \(i\).Il tempo di rilassamento \(\tau_i\) è semplicemente l’inverso della velocità totale di transizione dallo stato \(i\).

4. Dal tempo dedicato al relax alla mobilità.4. Dal tempo dedicato al relax alla mobilità.

La mobilità deriva dall’equazione di Boltzmann linearizzata, nell’ambito dell’approssimazione del tempo di rilassamento. Ogni stato contribuisce alla conducibilità in proporzione al quadrato della sua velocità di gruppo, al suo tempo di rilassamento e alla derivata della funzione di occupazione. La velocità di gruppo èLa mobilità deriva dall’equazione di Boltzmann linearizzata, nell’ambito dell’approssimazione del tempo di rilassamento. Ogni stato contribuisce alla conducibilità in proporzione al quadrato della sua velocità di gruppo, al suo tempo di rilassamento e alla derivata della funzione di occupazione. La velocità di gruppo è

\[ v(k) = \frac{1}{\hbar}\,\frac{dE}{dk}, \]\[ v(k) = \frac{1}{\hbar}\,\frac{dE}{dk}, \]

e la funzione derivata dall’occupazione, che limita il trasporto agli stati vicini al livello di Fermi, è \(-\partial f/\partial E = f(1-f)/k_B T\). Integrando rispetto alle sottobande,e la funzione derivata dall’occupazione, che limita il trasporto agli stati vicini al livello di Fermi, è \(-\partial f/\partial E = f(1-f)/k_B T\). Integrando rispetto alle sottobande,

\[ \sigma \propto q^2 \sum_n \int \frac{dk}{(2\pi)}\; k\,v(k)^2\,\tau(k)\,\big[-\partial f/\partial E\big], \]\[ \sigma \propto q^2 \sum_n \int \frac{dk}{(2\pi)}\; k\,v(k)^2\,\tau(k)\,\big[-\partial f/\partial E\big], \]

e la mobilità è definita come la conducibilità divisa per la densità di carica superficiale.e la mobilità è definita come la conducibilità divisa per la densità di carica superficiale.

\[ \mu = \frac{\sigma}{q\,p_{2D}}, \]\[ \mu = \frac{\sigma}{q\,p_{2D}}, \]

utilizzando la densità del foglio \(p_{2D}=\sum_n\int (k\,dk/2\pi)\,f\) valutata sulla stessa dispersione. In questo modo si ottiene una mobilità effettiva che riflette la struttura reale, non parabolica, delle sottobande, anziché una stima basata su un singolo valore di massa.utilizzando la densità del foglio \(p_{2D}=\sum_n\int (k\,dk/2\pi)\,f\) valutata sulla stessa dispersione. In questo modo si ottiene una mobilità effettiva che riflette la struttura reale, non parabolica, delle sottobande, anziché una stima basata su un singolo valore di massa.

5. Presupposti e limiti5. Presupposti e limiti

Il modello implementato è volutamente specifico. Considera la diffusione acustico-fononica attraverso il potenziale di deformazione nel limite elastico di equipartizione e valuta il trasporto mediante l’approssimazione del tempo di rilassamento. Non include la diffusione ottico-polare (di Fröhlich), dovuta a impurità ionizzate, alla rugosità dell’interfaccia o al disordine nelle leghe, né l’emissione/assorbimento anelastico di fononi al di fuori del trattamento di equipartizione. Nei casi in cui questi meccanismi prevalgono – materiali polari a temperatura ambiente, pozzi quantici fortemente drogati o con superfici irregolari – la mobilità calcolata deve essere interpretata come il contributo limitato dalla diffusione acustico-fononica, piuttosto che come una previsione completa del trasporto.Il modello implementato è volutamente specifico. Considera la diffusione acustico-fononica attraverso il potenziale di deformazione nel limite elastico di equipartizione e valuta il trasporto mediante l’approssimazione del tempo di rilassamento. Non include la diffusione ottico-polare (di Fröhlich), dovuta a impurità ionizzate, alla rugosità dell’interfaccia o al disordine nelle leghe, né l’emissione/assorbimento anelastico di fononi al di fuori del trattamento di equipartizione. Nei casi in cui questi meccanismi prevalgono – materiali polari a temperatura ambiente, pozzi quantici fortemente drogati o con superfici irregolari – la mobilità calcolata deve essere interpretata come il contributo limitato dalla diffusione acustico-fononica, piuttosto che come una previsione completa del trasporto.