Assorbimento, emissione stimolata e amplificazione otticaAssorbimento, emissione stimolata e amplificazione ottica

Il guadagno ottico è il fenomeno che permette a una struttura a pozzo quantico di amplificare la luce: si verifica quando l’emissione stimolata supera l’assorbimento, il che richiede un’inversione di popolazione tra le sottobande di conduzione e di valenza. In questa pagina vengono raccolti gli elementi fisici che compongono il calcolo del guadagno di OghmaNano — le statistiche dei portatori di carica, la densità degli stati bidimensionale, gli elementi della matrice ottica e l’allargamento della linea spettrale — e viene specificato chiaramente cosa include e cosa non include l’implementazione attuale.Il guadagno ottico è il fenomeno che permette a una struttura a pozzo quantico di amplificare la luce: si verifica quando l’emissione stimolata supera l’assorbimento, il che richiede un’inversione di popolazione tra le sottobande di conduzione e di valenza. In questa pagina vengono raccolti gli elementi fisici che compongono il calcolo del guadagno di OghmaNano — le statistiche dei portatori di carica, la densità degli stati bidimensionale, gli elementi della matrice ottica e l’allargamento della linea spettrale — e viene specificato chiaramente cosa include e cosa non include l’implementazione attuale.

1. Livelli di occupazione e livelli di quasi-Fermi1. Livelli di occupazione e livelli di quasi-Fermi

Sotto l’effetto di un’eccitazione ottica o elettrica, gli elettroni e le lacune si termalizzano internamente, ma non raggiungono l’equilibrio tra loro, perciò ogni tipo di portatore di carica ha il proprio livello di quasi-Fermi. L’occupazione di uno stato energetico pari a \(E\) è descritta dalla funzione di Fermi-Dirac.Sotto l’effetto di un’eccitazione ottica o elettrica, gli elettroni e le lacune si termalizzano internamente, ma non raggiungono l’equilibrio tra loro, perciò ogni tipo di portatore di carica ha il proprio livello di quasi-Fermi. L’occupazione di uno stato energetico pari a \(E\) è descritta dalla funzione di Fermi-Dirac.

\[ f(E) = \frac{1}{1 + \exp\!\big((E - E_F)/k_B T\big)}, \]\[ f(E) = \frac{1}{1 + \exp\!\big((E - E_F)/k_B T\big)}, \]

dove \(E_F=E_{F,c}\) indica gli stati di conduzione e \(E_F=E_{F,v}\) gli stati di valenza. I due livelli quasi-Fermi si allontanano l’uno dall’altro all’aumentare dell’energia di pompaggio; l’inversione di popolazione, e quindi l’amplificazione del segnale, richiede che la loro separazione superi l’energia di transizione.dove \(E_F=E_{F,c}\) indica gli stati di conduzione e \(E_F=E_{F,v}\) gli stati di valenza. I due livelli quasi-Fermi si allontanano l’uno dall’altro all’aumentare dell’energia di pompaggio; l’inversione di popolazione, e quindi l’amplificazione del segnale, richiede che la loro separazione superi l’energia di transizione.

2. Densità del foglio e integrale bidimensionale2. Densità del foglio e integrale bidimensionale

Poiché il movimento è libero nel piano, ogni sottobanda è una banda bidimensionale e la sua densità di portatori è data dall’integrale del vettore d’onda nel piano. La densità di stati bidimensionale fornisce il peso dell’integrazione \(k\,dk/2\pi\) per ogni spin/livello di degenerazione, quindi la densità di elettroni nello strato èPoiché il movimento è libero nel piano, ogni sottobanda è una banda bidimensionale e la sua densità di portatori è data dall’integrale del vettore d’onda nel piano. La densità di stati bidimensionale fornisce il peso dell’integrazione \(k\,dk/2\pi\) per ogni spin/livello di degenerazione, quindi la densità di elettroni nello strato è

\[ n_{2D} = \sum_{n} g\!\int \frac{k\,dk}{2\pi}\; f\!\big(E_n(k)\big), \]\[ n_{2D} = \sum_{n} g\!\int \frac{k\,dk}{2\pi}\; f\!\big(E_n(k)\big), \]

dove \(g\) rappresenta la degenerazione dello stato e la somma viene calcolata sulle sottobande. OghmaNano valuta questo integrale numericamente sulla base della dispersione calcolata. Dato un valore di densità desiderato, determina il livello di quasi-Fermi mediante il metodo della bisezione, modificando \(E_F\) fino a quando l’integrale corrisponde al valore desiderato, e fa lo stesso per le lacune con \(1-f\). Nella modalità spettro completo, in cui gli stati simili agli elettroni e alle lacune sono mescolati, il peso del carattere S di ciascuno stato ne determina il contributo.dove \(g\) rappresenta la degenerazione dello stato e la somma viene calcolata sulle sottobande. OghmaNano valuta questo integrale numericamente sulla base della dispersione calcolata. Dato un valore di densità desiderato, determina il livello di quasi-Fermi mediante il metodo della bisezione, modificando \(E_F\) fino a quando l’integrale corrisponde al valore desiderato, e fa lo stesso per le lacune con \(1-f\). Nella modalità spettro completo, in cui gli stati simili agli elettroni e alle lacune sono mescolati, il peso del carattere S di ciascuno stato ne determina il contributo.

3. Inserimento degli elementi della matrice3. Inserimento degli elementi della matrice

Ogni transizione contribuisce in proporzione al suo elemento di matrice ottico elemento di matrice \(M^2\), ovvero al fattore di sovrapposizione e di carattere al quadrato, calcolato a partire dalle funzioni d’inviluppo. La scala assoluta è determinata da un fattore di pre moltiplicazione, ottenuto a partire dall’energia di Kane e dalle costanti ottiche.Ogni transizione contribuisce in proporzione al suo elemento di matrice ottico elemento di matrice \(M^2\), ovvero al fattore di sovrapposizione e di carattere al quadrato, calcolato a partire dalle funzioni d’inviluppo. La scala assoluta è determinata da un fattore di pre moltiplicazione, ottenuto a partire dall’energia di Kane e dalle costanti ottiche.

\[ \text{prefactor} \propto \frac{\pi\,q^2\,p^2}{n_r\,c\,\varepsilon_0\,m_0^2\,\omega\,W}, \qquad p^2 = \tfrac{1}{2} m_0 E_p q, \]\[ \text{prefactor} \propto \frac{\pi\,q^2\,p^2}{n_r\,c\,\varepsilon_0\,m_0^2\,\omega\,W}, \qquad p^2 = \tfrac{1}{2} m_0 E_p q, \]

dove \(n_r\) è l’indice di rifrazione, \(W\) la larghezza del pozzo quantico, \(\omega\) la frequenza angolare ottica e \(E_p\) l’energia di Kane. \(1/W\) converte la risposta della struttura bidimensionale in un coefficiente di guadagno simile a quello di un materiale tridimensionale (espresso in unità di lunghezza inversa).dove \(n_r\) è l’indice di rifrazione, \(W\) la larghezza del pozzo quantico, \(\omega\) la frequenza angolare ottica e \(E_p\) l’energia di Kane. \(1/W\) converte la risposta della struttura bidimensionale in un coefficiente di guadagno simile a quello di un materiale tridimensionale (espresso in unità di lunghezza inversa).

4. Allargamento della forma spettrale4. Allargamento della forma spettrale

Le vere transizioni si ampliano diffondendosi in una forma a linea anziché in una funzione delta acuta. OghmaNano utilizza una funzione di Lorentz con una larghezza a metà \(\gamma\).Le vere transizioni si ampliano diffondendosi in una forma a linea anziché in una funzione delta acuta. OghmaNano utilizza una funzione di Lorentz con una larghezza a metà \(\gamma\).

\[ L(E - \hbar\omega) = \frac{1}{\pi}\,\frac{\gamma}{(E - \hbar\omega)^2 + \gamma^2}, \]\[ L(E - \hbar\omega) = \frac{1}{\pi}\,\frac{\gamma}{(E - \hbar\omega)^2 + \gamma^2}, \]

si concentra su ciascuna energia di transizione \(E = E_e(k) - E_v(k)\). In questo modo, ciascuna transizione viene distribuita su un intervallo di energie dei fotoni, ottenendo uno spettro più uniforme.si concentra su ciascuna energia di transizione \(E = E_e(k) - E_v(k)\). In questo modo, ciascuna transizione viene distribuita su un intervallo di energie dei fotoni, ottenendo uno spettro più uniforme.

5. Aumento, assorbimento e incremento netto indotti.5. Aumento, assorbimento e incremento netto indotti.

Per una determinata energia del fotone \(\hbar\omega\), ogni transizione contribuisce all’emissione stimolata con una probabilità \(f_c(1-f_v)\) (elettrone presente nello stato superiore, lacuna nello stato inferiore) e all’assorbimento con una probabilità \(f_v(1-f_c)\). Sommando su tutte le sottobande e sull’integrale bidimensionale,Per una determinata energia del fotone \(\hbar\omega\), ogni transizione contribuisce all’emissione stimolata con una probabilità \(f_c(1-f_v)\) (elettrone presente nello stato superiore, lacuna nello stato inferiore) e all’assorbimento con una probabilità \(f_v(1-f_c)\). Sommando su tutte le sottobande e sull’integrale bidimensionale,

\[ \begin{aligned} g_{\text{stim}}(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_c(1-f_v)\, L, \\ \alpha(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_v(1-f_c)\, L, \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} g_{\text{stim}}(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_c(1-f_v)\, L, \\ \alpha(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_v(1-f_c)\, L, \end{aligned} \]

dove \(C\) è il fattore di pre moltiplicazione. Il guadagno netto è dato dalla loro differenza.dove \(C\) è il fattore di pre moltiplicazione. Il guadagno netto è dato dalla loro differenza.

\[ g_{\text{net}}(\hbar\omega) = g_{\text{stim}}(\hbar\omega) - \alpha(\hbar\omega). \]\[ g_{\text{net}}(\hbar\omega) = g_{\text{stim}}(\hbar\omega) - \alpha(\hbar\omega). \]

Il guadagno netto è positivo solo quando la popolazione è invertita, ovvero quando \(f_c > f_v\), condizione di Bernard–Duraffourg che prevede che la separazione dei livelli di quasi-Fermi superi l’energia del fotone. Al di sotto della soglia, la stessa espressione è negativa, descrivendo correttamente l’assorbimento.Il guadagno netto è positivo solo quando la popolazione è invertita, ovvero quando \(f_c > f_v\), condizione di Bernard–Duraffourg che prevede che la separazione dei livelli di quasi-Fermi superi l’energia del fotone. Al di sotto della soglia, la stessa espressione è negativa, descrivendo correttamente l’assorbimento.

6. Spettri TE/TM e analisi della variazione della densità.6. Spettri TE/TM e analisi della variazione della densità.

Per il modello wurtzite, OghmaNano esegue l’integrale del guadagno due volte: una volta con gli elementi della matrice TE (piano basale, \(P_2\)) e una volta con gli elementi della matrice TM (asse c, \(P_1\)), producendo spettri TE e TM separati, il cui rapporto riflette il carattere orbitale di valenza degli stati più esterni. L’intero calcolo viene ripetuto su un intervallo di densità di fogli, in modo che il risultato sia una famiglia di spettri che mostrano come il guadagno aumenta con l’eccitazione; viene fornita una stima approssimativa della densità volumetrica \(n_{3D}\approx n_{2D}/W\) per il confronto con i valori di riferimento.Per il modello wurtzite, OghmaNano esegue l’integrale del guadagno due volte: una volta con gli elementi della matrice TE (piano basale, \(P_2\)) e una volta con gli elementi della matrice TM (asse c, \(P_1\)), producendo spettri TE e TM separati, il cui rapporto riflette il carattere orbitale di valenza degli stati più esterni. L’intero calcolo viene ripetuto su un intervallo di densità di fogli, in modo che il risultato sia una famiglia di spettri che mostrano come il guadagno aumenta con l’eccitazione; viene fornita una stima approssimativa della densità volumetrica \(n_{3D}\approx n_{2D}/W\) per il confronto con i valori di riferimento.