Diffusione di Fröhlich: interazioni tra fononi ottici polari nei semiconduttoriDiffusione di Fröhlich: interazioni tra fononi ottici polari nei semiconduttori

La diffusione di Fröhlich descrive l’interazione tra elettroni e lacune con i fononi ottici longitudinali (LO) nei semiconduttori polari, come GaAs, InP, GaN, ZnO e perovskiti metallo-alogenuri. L’origine fisica di questa interazione è illustrata in ??. In un cristallo polare, gli atomi adiacenti possiedono cariche parziali opposte. Quando il reticolo vibra in una modalità ottica, gli ioni positivi e negativi si muovono l’uno rispetto all’altro, generando un’oscillazione della polarizzazione elettrica. Nel caso di un fonone ottico longitudinale, questo produce un campo elettrico macroscopico che interagisce con le cariche in movimento all’interno del cristallo.La diffusione di Fröhlich descrive l’interazione tra elettroni e lacune con i fononi ottici longitudinali (LO) nei semiconduttori polari, come GaAs, InP, GaN, ZnO e perovskiti metallo-alogenuri. L’origine fisica di questa interazione è illustrata in ??. In un cristallo polare, gli atomi adiacenti possiedono cariche parziali opposte. Quando il reticolo vibra in una modalità ottica, gli ioni positivi e negativi si muovono l’uno rispetto all’altro, generando un’oscillazione della polarizzazione elettrica. Nel caso di un fonone ottico longitudinale, questo produce un campo elettrico macroscopico che interagisce con le cariche in movimento all’interno del cristallo.

Un elettrone che si muove attraverso questo campo può subire una diffusione, passando da uno stato iniziale con vettore d’onda \(\mathbf{k}\) a uno stato finale \(\mathbf{k}'\), assorbendo o emettendo un fonone ottico longitudinale (LO) con energia \(\hbar\omega_{LO}\). Queste transizioni sono illustrate nel diagramma della banda di conduzione in ??. L’accoppiamento elettrostatico tra i portatori di carica liberi e il campo di polarizzazione del reticolo è noto come interazione di Fröhlich. Si tratta di un meccanismo importante che limita la mobilità dei portatori di carica nei semiconduttori polari, in particolare a temperatura ambiente e superiore. Può essere il fattore dominante nella diffusione degli elettroni nei materiali III–V ad alta purezza e fornisce un percorso efficiente per il trasferimento di energia dai portatori eccitati al reticolo.Un elettrone che si muove attraverso questo campo può subire una diffusione, passando da uno stato iniziale con vettore d’onda \(\mathbf{k}\) a uno stato finale \(\mathbf{k}'\), assorbendo o emettendo un fonone ottico longitudinale (LO) con energia \(\hbar\omega_{LO}\). Queste transizioni sono illustrate nel diagramma della banda di conduzione in ??. L’accoppiamento elettrostatico tra i portatori di carica liberi e il campo di polarizzazione del reticolo è noto come interazione di Fröhlich. Si tratta di un meccanismo importante che limita la mobilità dei portatori di carica nei semiconduttori polari, in particolare a temperatura ambiente e superiore. Può essere il fattore dominante nella diffusione degli elettroni nei materiali III–V ad alta purezza e fornisce un percorso efficiente per il trasferimento di energia dai portatori eccitati al reticolo.

Comprendere la diffusione di Fröhlich è quindi fondamentale per calcolare la mobilità dei portatori di carica, modellare il raffreddamento dei portatori eccitati dalla luce e determinare i tempi di rilassamento energetico utilizzati nei modelli di trasporto basati sul bilancio energetico. La dipendenza dell’interazione dall’energia è illustrata in ??, che mostra i tassi di assorbimento, emissione e diffusione totale calcolati per gli elettroni in GaAs. Nelle sezioni seguenti, esamineremo più nel dettaglio l’assorbimento e l’emissione dei fononi LO, prima di derivare l’elemento di matrice di Fröhlich e l’integrale tridimensionale completo \(k\) utilizzato per calcolare il tasso di diffusione.Comprendere la diffusione di Fröhlich è quindi fondamentale per calcolare la mobilità dei portatori di carica, modellare il raffreddamento dei portatori eccitati dalla luce e determinare i tempi di rilassamento energetico utilizzati nei modelli di trasporto basati sul bilancio energetico. La dipendenza dell’interazione dall’energia è illustrata in ??, che mostra i tassi di assorbimento, emissione e diffusione totale calcolati per gli elettroni in GaAs. Nelle sezioni seguenti, esamineremo più nel dettaglio l’assorbimento e l’emissione dei fononi LO, prima di derivare l’elemento di matrice di Fröhlich e l’integrale tridimensionale completo \(k\) utilizzato per calcolare il tasso di diffusione.

Cos'è l'interazione di Fröhlich?Cos'è l'interazione di Fröhlich?

In un semiconduttore polare, lo spostamento relativo degli ioni positivi e negativi durante una vibrazione ottica longitudinale (LO) genera un campo elettrico oscillante, \(\mathbf{E}_{LO}\), come illustrato in ??. Una carica interagisce con questo campo attraverso il potenziale elettrostatico \(\phi_{LO}\), dando luogo a un’energia di interazione pari a \(-e\phi_{LO}\) per un elettrone. Poiché l’interazione ha origine nelle forze di Coulomb, è a lungo raggio e massima per piccoli vettori d’onda dei fononi \(q\).In un semiconduttore polare, lo spostamento relativo degli ioni positivi e negativi durante una vibrazione ottica longitudinale (LO) genera un campo elettrico oscillante, \(\mathbf{E}_{LO}\), come illustrato in ??. Una carica interagisce con questo campo attraverso il potenziale elettrostatico \(\phi_{LO}\), dando luogo a un’energia di interazione pari a \(-e\phi_{LO}\) per un elettrone. Poiché l’interazione ha origine nelle forze di Coulomb, è a lungo raggio e massima per piccoli vettori d’onda dei fononi \(q\).

L’intensità dell’interazione di Fröhlich dipende da quanto il cristallo risponde a un campo elettrico. Questa risposta è dovuta a due fattori: gli elettroni, che reagiscono molto rapidamente, e gli ioni, molto più pesanti, che reagiscono più lentamente. Ciò dà origine a due costanti dielettriche: la costante dielettrica ad alta frequenza \(\varepsilon_\infty\), che descrive esclusivamente la risposta elettronica, e la costante dielettrica statica \(\varepsilon_s\), che include il contributo aggiuntivo dovuto al movimento ionico.L’intensità dell’interazione di Fröhlich dipende da quanto il cristallo risponde a un campo elettrico. Questa risposta è dovuta a due fattori: gli elettroni, che reagiscono molto rapidamente, e gli ioni, molto più pesanti, che reagiscono più lentamente. Ciò dà origine a due costanti dielettriche: la costante dielettrica ad alta frequenza \(\varepsilon_\infty\), che descrive esclusivamente la risposta elettronica, e la costante dielettrica statica \(\varepsilon_s\), che include il contributo aggiuntivo dovuto al movimento ionico.

In un semiconduttore polare, lo spostamento degli ioni durante l’emissione di un fonone LO genera un campo elettrico che interagisce con i portatori di carica liberi. L’intensità di questa interazione è determinata dalla differenza tra lo screening dielettrico elettronico e lo screening dielettrico totale, espressa come:In un semiconduttore polare, lo spostamento degli ioni durante l’emissione di un fonone LO genera un campo elettrico che interagisce con i portatori di carica liberi. L’intensità di questa interazione è determinata dalla differenza tra lo screening dielettrico elettronico e lo screening dielettrico totale, espressa come:

\[ \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s}. \] \[ \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s}. \]

Maggiore è questa quantità, più forte è l’accoppiamento polare. In un semiconduttore non polare come il silicio, non esiste un corrispondente campo elettrico a lungo raggio associato alle vibrazioni ottiche del reticolo. Di conseguenza, in questo modello, manca il contributo ionico alla risposta dielettrica, il che determina \(\varepsilon_s=\varepsilon_\infty\) e l’annullamento dell’interazione di Fröhlich. Questo termine dielettrico compare direttamente nell’elemento della matrice di scattering che viene derivato di seguito.Maggiore è questa quantità, più forte è l’accoppiamento polare. In un semiconduttore non polare come il silicio, non esiste un corrispondente campo elettrico a lungo raggio associato alle vibrazioni ottiche del reticolo. Di conseguenza, in questo modello, manca il contributo ionico alla risposta dielettrica, il che determina \(\varepsilon_s=\varepsilon_\infty\) e l’annullamento dell’interazione di Fröhlich. Questo termine dielettrico compare direttamente nell’elemento della matrice di scattering che viene derivato di seguito.

Spesso è utile esprimere l’intensità dell’accoppiamento mediante un singolo numero adimensionale, la costante di accoppiamento di Fröhlich.Spesso è utile esprimere l’intensità dell’accoppiamento mediante un singolo numero adimensionale, la costante di accoppiamento di Fröhlich.

\[ \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar}\sqrt{\frac{m^*}{2\hbar\omega_{LO}}}\left(\frac{1}{\varepsilon_\infty}-\frac{1}{\varepsilon_s}\right), \] \[ \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar}\sqrt{\frac{m^*}{2\hbar\omega_{LO}}}\left(\frac{1}{\varepsilon_\infty}-\frac{1}{\varepsilon_s}\right), \]

dove \(m^*\) è la massa efficace dei portatori di carica. Per gli elettroni del GaAs \(\alpha\approx 0.07\) (accoppiamento debole); per materiali più ionici come GaN, ZnO e le perovskiti alogenate, \(\alpha\) è dell’ordine di 0,4–2. Quando \(\alpha\) è piccolo, l’interazione può essere trattata come una perturbazione e fornisce le velocità di scattering indicate di seguito. Quando \(\alpha\) si avvicina o supera l’unità, il portatore di carica trascina con sé una nube di polarizzazione significativa e può essere descritto meglio come un polarone, con una massa e un’energia rinormalizzate; le velocità perturbative indicate in questa pagina devono quindi essere utilizzate con cautela.dove \(m^*\) è la massa efficace dei portatori di carica. Per gli elettroni del GaAs \(\alpha\approx 0.07\) (accoppiamento debole); per materiali più ionici come GaN, ZnO e le perovskiti alogenate, \(\alpha\) è dell’ordine di 0,4–2. Quando \(\alpha\) è piccolo, l’interazione può essere trattata come una perturbazione e fornisce le velocità di scattering indicate di seguito. Quando \(\alpha\) si avvicina o supera l’unità, il portatore di carica trascina con sé una nube di polarizzazione significativa e può essere descritto meglio come un polarone, con una massa e un’energia rinormalizzate; le velocità perturbative indicate in questa pagina devono quindi essere utilizzate con cautela.

Assorbimento ed emissione nello spettro di frequenze.Assorbimento ed emissione nello spettro di frequenze.

Lo scattering di Fröhlich è una transizione anelastica in cui un elettrone scambia energia e quantità di moto con un fonone LO. Come illustrato in ??, un elettrone inizialmente nello stato \(\mathbf{k}\), con energia \(E(\mathbf{k})\), può subire uno dei due processi seguenti:Lo scattering di Fröhlich è una transizione anelastica in cui un elettrone scambia energia e quantità di moto con un fonone LO. Come illustrato in ??, un elettrone inizialmente nello stato \(\mathbf{k}\), con energia \(E(\mathbf{k})\), può subire uno dei due processi seguenti:

Assorbimento di fononi: l’elettrone acquisisce energia \(\hbar\omega_{LO}\) dal reticolo cristallino, passando a uno stato energetico superiore \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}+\mathbf{q}\), dove \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO}\).Assorbimento di fononi: l’elettrone acquisisce energia \(\hbar\omega_{LO}\) dal reticolo cristallino, passando a uno stato energetico superiore \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}+\mathbf{q}\), dove \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO}\).

Emissione di fononi: l’elettrone trasferisce energia \(\hbar\omega_{LO}\) al reticolo, passando a uno stato energetico inferiore \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{q}\), dove \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO}\).Emissione di fononi: l’elettrone trasferisce energia \(\hbar\omega_{LO}\) al reticolo, passando a uno stato energetico inferiore \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{q}\), dove \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO}\).

Entrambi i processi consentono di conservare l’energia e la quantità di moto dei cristalli. Poiché i fononi LO sono approssimativamente privi di dispersione vicino al centro della zona di Brillouin, la loro energia \(\hbar\omega_{LO}\) può essere considerata costante, pari a circa 36 meV nel GaAs e a 92 meV nel GaN. Ciò impone un’importante restrizione sull’emissione: un elettrone deve avere almeno \(\hbar\omega_{LO}\) di energia cinetica superiore al minimo della banda prima di poter emettere un fonone LO. Gli elettroni al di sotto di questa soglia possono solo assorbire fononi. Una volta raggiunta la soglia, il canale di emissione si apre, consentendo agli elettroni «caldi» di perdere energia nella struttura cristallina in quantità discrete di \(\hbar\omega_{LO}\). Questo comportamento è chiaramente visibile in ??, che mostra i tassi di assorbimento, emissione e diffusione totale calcolati per gli elettroni nel GaAs.Entrambi i processi consentono di conservare l’energia e la quantità di moto dei cristalli. Poiché i fononi LO sono approssimativamente privi di dispersione vicino al centro della zona di Brillouin, la loro energia \(\hbar\omega_{LO}\) può essere considerata costante, pari a circa 36 meV nel GaAs e a 92 meV nel GaN. Ciò impone un’importante restrizione sull’emissione: un elettrone deve avere almeno \(\hbar\omega_{LO}\) di energia cinetica superiore al minimo della banda prima di poter emettere un fonone LO. Gli elettroni al di sotto di questa soglia possono solo assorbire fononi. Una volta raggiunta la soglia, il canale di emissione si apre, consentendo agli elettroni «caldi» di perdere energia nella struttura cristallina in quantità discrete di \(\hbar\omega_{LO}\). Questo comportamento è chiaramente visibile in ??, che mostra i tassi di assorbimento, emissione e diffusione totale calcolati per gli elettroni nel GaAs.

La probabilità di ciascun processo dipende anche dal numero di fononi LO presenti nel reticolo. All’equilibrio termico, l’occupazione media dei fononi è descritta dalla distribuzione di Bose-Einstein.La probabilità di ciascun processo dipende anche dal numero di fononi LO presenti nel reticolo. All’equilibrio termico, l’occupazione media dei fononi è descritta dalla distribuzione di Bose-Einstein.

\[ N_{LO} = \frac{1}{\exp\!\left(\hbar\omega_{LO}/k_B T_L\right)-1}, \] \[ N_{LO} = \frac{1}{\exp\!\left(\hbar\omega_{LO}/k_B T_L\right)-1}, \]

dove \(T_L\) è la temperatura del reticolo. La probabilità di assorbimento è proporzionale a \(N_{LO}\), poiché un fonone deve già essere presente affinché l’elettrone lo assorba. L’emissione, invece, è proporzionale a \(N_{LO}+1\). Il termine aggiuntivo \(+1\) rappresenta l’emissione spontanea di fononi, che rimane possibile anche a temperatura zero, a condizione che l’elettrone abbia energia sufficiente.dove \(T_L\) è la temperatura del reticolo. La probabilità di assorbimento è proporzionale a \(N_{LO}\), poiché un fonone deve già essere presente affinché l’elettrone lo assorba. L’emissione, invece, è proporzionale a \(N_{LO}+1\). Il termine aggiuntivo \(+1\) rappresenta l’emissione spontanea di fononi, che rimane possibile anche a temperatura zero, a condizione che l’elettrone abbia energia sufficiente.

Per il GaAs a 300 K, \(N_{LO}\approx 0.33\) indica che il fattore di occupazione per l’emissione è circa quattro volte superiore a quello per l’assorbimento. Le velocità di scattering effettive dipendono anche dagli stati elettronici finali disponibili, come illustrato in ??. All’aumentare della temperatura del reticolo, aumenta la popolazione di fononi, intensificando l’interazione e contribuendo alla riduzione della mobilità dei portatori di carica, un fenomeno comunemente osservato nei semiconduttori polari.Per il GaAs a 300 K, \(N_{LO}\approx 0.33\) indica che il fattore di occupazione per l’emissione è circa quattro volte superiore a quello per l’assorbimento. Le velocità di scattering effettive dipendono anche dagli stati elettronici finali disponibili, come illustrato in ??. All’aumentare della temperatura del reticolo, aumenta la popolazione di fononi, intensificando l’interazione e contribuendo alla riduzione della mobilità dei portatori di carica, un fenomeno comunemente osservato nei semiconduttori polari.

L’elemento della matrice di accoppiamento di FröhlichL’elemento della matrice di accoppiamento di Fröhlich

Analizzeremo ora l’interazione dal punto di vista della meccanica quantistica. L’accoppiamento tra un elettrone e un fonone ottico longitudinale è descritto dall’elemento di matrice di Fröhlich, che, nel caso di un semiconduttore polare, è espresso dalla seguente formula:Analizzeremo ora l’interazione dal punto di vista della meccanica quantistica. L’accoppiamento tra un elettrone e un fonone ottico longitudinale è descritto dall’elemento di matrice di Fröhlich, che, nel caso di un semiconduttore polare, è espresso dalla seguente formula:

\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \] \[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]

In questo caso, \(V\) rappresenta il volume di normalizzazione del cristallo e \(q\) il vettore d’onda del fonone. Considerando che gli stati elettronici sono onde piane, l’interazione collega uno stato iniziale \(|\mathbf{k}\rangle\) a uno stato finale \(|\mathbf{k}'\rangle\), nel rispetto della conservazione della quantità di moto del cristallo. Per l’assorbimento e l’emissione di fononi, il vettore d’onda finale è, rispettivamente, \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}\pm\mathbf{q}\).In questo caso, \(V\) rappresenta il volume di normalizzazione del cristallo e \(q\) il vettore d’onda del fonone. Considerando che gli stati elettronici sono onde piane, l’interazione collega uno stato iniziale \(|\mathbf{k}\rangle\) a uno stato finale \(|\mathbf{k}'\rangle\), nel rispetto della conservazione della quantità di moto del cristallo. Per l’assorbimento e l’emissione di fononi, il vettore d’onda finale è, rispettivamente, \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}\pm\mathbf{q}\).

Tenendo conto dei fattori di occupazione dei fononi e supponendo che l’interferenza tra le parti periodiche delle funzioni di Bloch iniziali e finali sia approssimativamente uguale a 1, gli elementi della matrice di transizione al quadrato diventano:Tenendo conto dei fattori di occupazione dei fononi e supponendo che l’interferenza tra le parti periodiche delle funzioni di Bloch iniziali e finali sia approssimativamente uguale a 1, gli elementi della matrice di transizione al quadrato diventano:

\[ |M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 = |M(q)|^2 N_{LO}, \] \[ |M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 = |M(q)|^2 N_{LO}, \]

\[ |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 = |M(q)|^2 (N_{LO}+1). \] \[ |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 = |M(q)|^2 (N_{LO}+1). \]

Il termine di assorbimento dipende dal numero di fononi LO disponibili, mentre l’emissione include un contributo spontaneo aggiuntivo. Questi elementi di matrice vengono utilizzati nella regola aurea di Fermi per calcolare la probabilità di una transizione tra stati elettronici.Il termine di assorbimento dipende dal numero di fononi LO disponibili, mentre l’emissione include un contributo spontaneo aggiuntivo. Questi elementi di matrice vengono utilizzati nella regola aurea di Fermi per calcolare la probabilità di una transizione tra stati elettronici.

Dalla regola aurea di Fermi a un integrale nello spazio k tridimensionale.Dalla regola aurea di Fermi a un integrale nello spazio k tridimensionale.

Una volta definito l’elemento della matrice di accoppiamento di Fröhlich, possiamo ora calcolare la velocità con cui un elettrone passa da uno stato iniziale \(|\mathbf{k}\rangle\) a uno stato finale \(|\mathbf{k}'\rangle\). Come illustrato in ??, questo può avvenire tramite l’assorbimento o l’emissione di fononi LO, con l’elettrone che acquisisce o perde energia \(\hbar\omega_{LO}\).Una volta definito l’elemento della matrice di accoppiamento di Fröhlich, possiamo ora calcolare la velocità con cui un elettrone passa da uno stato iniziale \(|\mathbf{k}\rangle\) a uno stato finale \(|\mathbf{k}'\rangle\). Come illustrato in ??, questo può avvenire tramite l’assorbimento o l’emissione di fononi LO, con l’elettrone che acquisisce o perde energia \(\hbar\omega_{LO}\).

Applicando la regola aurea di Fermi, si ottiene il tasso totale di diffusione calcolando la somma su tutti i vettori d’onda dei fononi ammessi \(\mathbf{q}\) e su entrambi i processi di diffusione:Applicando la regola aurea di Fermi, si ottiene il tasso totale di diffusione calcolando la somma su tutti i vettori d’onda dei fononi ammessi \(\mathbf{q}\) e su entrambi i processi di diffusione:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau(\mathbf{k})} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}-\mathbf{q})-E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO} \big) \Big]. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau(\mathbf{k})} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}-\mathbf{q})-E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO} \big) \Big]. \end{aligned} \]

In questo caso, \(\delta\) rappresenta la funzione delta di Dirac, che garantisce la conservazione dell’energia. Gli elementi di matrice relativi all’assorbimento e all’emissione, \(|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2=|M(q)|^2N_{LO}\) e \(|M_{\mathrm{em}}(q)|^2=|M(q)|^2(N_{LO}+1)\), sono stati introdotti nella sezione precedente. Supponiamo che gli stati elettronici finali siano vuoti, in modo da poter trascurare l’effetto di blocco di Pauli.In questo caso, \(\delta\) rappresenta la funzione delta di Dirac, che garantisce la conservazione dell’energia. Gli elementi di matrice relativi all’assorbimento e all’emissione, \(|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2=|M(q)|^2N_{LO}\) e \(|M_{\mathrm{em}}(q)|^2=|M(q)|^2(N_{LO}+1)\), sono stati introdotti nella sezione precedente. Supponiamo che gli stati elettronici finali siano vuoti, in modo da poter trascurare l’effetto di blocco di Pauli.

Per un cristallo di dimensioni sufficientemente grandi, i vettori d’onda dei fononi ammissibili sono molto vicini tra loro e la somma può essere sostituita da un integrale calcolato sulla zona di Brillouin:Per un cristallo di dimensioni sufficientemente grandi, i vettori d’onda dei fononi ammissibili sono molto vicini tra loro e la somma può essere sostituita da un integrale calcolato sulla zona di Brillouin:

\[ \sum_{\mathbf{q}} \longrightarrow \frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3q. \] \[ \sum_{\mathbf{q}} \longrightarrow \frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3q. \]

Il fattore \(V\) elimina la dipendenza di \(1/V\) dall’elemento della matrice di Fröhlich al quadrato, ottenendo una velocità di scattering indipendente dal volume di normalizzazione del cristallo. Sostituendo l’espressione di \(M_{\mathrm{abs}}(q)\), la velocità di assorbimento diventa:Il fattore \(V\) elimina la dipendenza di \(1/V\) dall’elemento della matrice di Fröhlich al quadrato, ottenendo una velocità di scattering indipendente dal volume di normalizzazione del cristallo. Sostituendo l’espressione di \(M_{\mathrm{abs}}(q)\), la velocità di assorbimento diventa:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big). \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big). \end{aligned} \]

Per valutare questo integrale, utilizziamo le coordinate sferiche, con l’asse polare allineato lungo il vettore d’onda iniziale dell’elettrone \(\mathbf{k}\). Integrando rispetto all’angolo azimutale, otteniamo:Per valutare questo integrale, utilizziamo le coordinate sferiche, con l’asse polare allineato lungo il vettore d’onda iniziale dell’elettrone \(\mathbf{k}\). Integrando rispetto all’angolo azimutale, otteniamo:

\[ d^3q = 2\pi q^2\,dq\,d(\cos\theta), \] \[ d^3q = 2\pi q^2\,dq\,d(\cos\theta), \]

dove \(\theta\) è l'angolo tra i vettori d'onda dell'elettrone e del fonone, \(\mathbf{k}\) e \(\mathbf{q}\). Si noti che il contributo \(q^2\) derivante dall'elemento di volume annulla la dipendenza \(1/q^2\) dell'elemento di matrice di Fröhlich. Ciò semplifica notevolmente l'integrazione rimanente.dove \(\theta\) è l'angolo tra i vettori d'onda dell'elettrone e del fonone, \(\mathbf{k}\) e \(\mathbf{q}\). Si noti che il contributo \(q^2\) derivante dall'elemento di volume annulla la dipendenza \(1/q^2\) dell'elemento di matrice di Fröhlich. Ciò semplifica notevolmente l'integrazione rimanente.

Supponendo una banda di conduzione parabolica e isotropa, \(E(\mathbf{k})=\hbar^2k^2/2m^*\), l’argomento della funzione delta di assorbimento può essere espresso come segue:Supponendo una banda di conduzione parabolica e isotropa, \(E(\mathbf{k})=\hbar^2k^2/2m^*\), l’argomento della funzione delta di assorbimento può essere espresso come segue:

\[ \begin{aligned} &E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \\[4pt] &\qquad = \frac{\hbar^2}{2m^*} \left( 2kq\cos\theta+q^2 \right) -\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \\[4pt] &\qquad = \frac{\hbar^2}{2m^*} \left( 2kq\cos\theta+q^2 \right) -\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} \]

L’integrazione sull’intervallo \(\cos\theta\) elimina la funzione delta e introduce un fattore \(m^*/(\hbar^2kq)\), a condizione che la soluzione soddisfi \(-1\leq\cos\theta\leq1\). Questa condizione limita l’intervallo dei vettori d’onda dei fononi ammissibili, in base ai principi di conservazione dell’energia e della quantità di moto del cristallo.L’integrazione sull’intervallo \(\cos\theta\) elimina la funzione delta e introduce un fattore \(m^*/(\hbar^2kq)\), a condizione che la soluzione soddisfi \(-1\leq\cos\theta\leq1\). Questa condizione limita l’intervallo dei vettori d’onda dei fononi ammissibili, in base ai principi di conservazione dell’energia e della quantità di moto del cristallo.

Per quanto riguarda l’assorbimento dei fononi, i limiti consentiti sono:Per quanto riguarda l’assorbimento dei fononi, i limiti consentiti sono:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k'-k,\\ q_{\max} &= k'+k,\\ k' &= \sqrt{k^2+\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} q_{\min} &= k'-k,\\ q_{\max} &= k'+k,\\ k' &= \sqrt{k^2+\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

Per quanto riguarda l’emissione di fononi, che richiede \(E\geq\hbar\omega_{LO}\), i limiti corrispondenti sono:Per quanto riguarda l’emissione di fononi, che richiede \(E\geq\hbar\omega_{LO}\), i limiti corrispondenti sono:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k-k',\\ q_{\max} &= k+k',\\ k' &= \sqrt{k^2-\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} q_{\min} &= k-k',\\ q_{\max} &= k+k',\\ k' &= \sqrt{k^2-\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

L’integrazione radiale rimanente è semplice:L’integrazione radiale rimanente è semplice:

\[ \int_{q_{\min}}^{q_{\max}} \frac{dq}{q} = \ln\left(\frac{q_{\max}}{q_{\min}}\right). \] \[ \int_{q_{\min}}^{q_{\max}} \frac{dq}{q} = \ln\left(\frac{q_{\max}}{q_{\min}}\right). \]

Raggruppando i termini e utilizzando la formula \(\hbar k=\sqrt{2m^*E}\), dove \(E\) rappresenta l’energia cinetica dei portatori misurata rispetto al minimo della banda, si ottengono le espressioni standard in forma chiusa per le frequenze di scattering di Fröhlich. Per l’assorbimento,Raggruppando i termini e utilizzando la formula \(\hbar k=\sqrt{2m^*E}\), dove \(E\) rappresenta l’energia cinetica dei portatori misurata rispetto al minimo della banda, si ottengono le espressioni standard in forma chiusa per le frequenze di scattering di Fröhlich. Per l’assorbimento,

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} ={}& C(E)N_{LO} \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}+\sqrt{E} }{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}-\sqrt{E} } \right|, \end{aligned} } \] \[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} ={}& C(E)N_{LO} \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}+\sqrt{E} }{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}-\sqrt{E} } \right|, \end{aligned} } \]

per quanto riguarda le emissioni,per quanto riguarda le emissioni,

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)} ={}& C(E)(N_{LO}+1) \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E}+\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} }{ \sqrt{E}-\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} } \right|, \qquad E\geq\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} } \] \[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)} ={}& C(E)(N_{LO}+1) \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E}+\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} }{ \sqrt{E}-\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} } \right|, \qquad E\geq\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} } \]

Il tasso di emissione è pari a zero al di sotto della soglia energetica del fonone LO. In queste espressioni, il fattore moltiplicativo comune èIl tasso di emissione è pari a zero al di sotto della soglia energetica del fonone LO. In queste espressioni, il fattore moltiplicativo comune è

\[ C(E)= \frac{e^2\omega_{LO}}{4\pi\varepsilon_0\hbar} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \sqrt{\frac{m^*}{2E}}. \] \[ C(E)= \frac{e^2\omega_{LO}}{4\pi\varepsilon_0\hbar} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \sqrt{\frac{m^*}{2E}}. \]

Il tasso totale di diffusione di Fröhlich è semplicemente la somma dei due contributi:Il tasso totale di diffusione di Fröhlich è semplicemente la somma dei due contributi:

\[ \boxed{ \frac{1}{\tau(E)} = \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} + \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)}. } \] \[ \boxed{ \frac{1}{\tau(E)} = \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} + \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)}. } \]

Il fattore di scala comune può essere espresso anche utilizzando la costante di accoppiamento di Fröhlich, che è una quantità adimensionale \(\alpha\), ottenendo \(C(E)=\alpha\omega_{LO}\sqrt{\hbar\omega_{LO}/E}\). È opportuno considerare due limiti. Come indicato in \(E\rightarrow0\), il tasso di assorbimento si avvicina al valore finito \(2\alpha\omega_{LO}N_{LO}\). Nella soglia di emissione, \(E=\hbar\omega_{LO}\), il contributo all’emissione inizia da zero e aumenta rapidamente con l’aumentare dell’energia dei portatori di carica.Il fattore di scala comune può essere espresso anche utilizzando la costante di accoppiamento di Fröhlich, che è una quantità adimensionale \(\alpha\), ottenendo \(C(E)=\alpha\omega_{LO}\sqrt{\hbar\omega_{LO}/E}\). È opportuno considerare due limiti. Come indicato in \(E\rightarrow0\), il tasso di assorbimento si avvicina al valore finito \(2\alpha\omega_{LO}N_{LO}\). Nella soglia di emissione, \(E=\hbar\omega_{LO}\), il contributo all’emissione inizia da zero e aumenta rapidamente con l’aumentare dell’energia dei portatori di carica.

Questo comportamento può essere osservato direttamente nel grafico ??, che mostra i valori calcolati dei tassi di assorbimento, emissione e diffusione totale per gli elettroni in GaAs a 300 K. Per gli elettroni ad alta energia, i tassi risultanti sono in genere dell'ordine di \(10^{12}\)–\(10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}\), con tempi di emissione dei fononi LO che raggiungono circa 0,1–0,2 ps. Questi rapidi processi di emissione forniscono un importante meccanismo attraverso il quale i portatori di carica trasferiscono energia al reticolo cristallino.Questo comportamento può essere osservato direttamente nel grafico ??, che mostra i valori calcolati dei tassi di assorbimento, emissione e diffusione totale per gli elettroni in GaAs a 300 K. Per gli elettroni ad alta energia, i tassi risultanti sono in genere dell'ordine di \(10^{12}\)–\(10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}\), con tempi di emissione dei fononi LO che raggiungono circa 0,1–0,2 ps. Questi rapidi processi di emissione forniscono un importante meccanismo attraverso il quale i portatori di carica trasferiscono energia al reticolo cristallino.

Dalla diffusione dei portatori alla mobilità.Dalla diffusione dei portatori alla mobilità.

La diffusione dei portatori di carica svolge un ruolo importante nel determinare la mobilità elettrica di un semiconduttore. Quando viene applicato un campo elettrico, gli elettroni e le lacune accelerano sotto l’azione della forza del campo. Tuttavia, il loro movimento viene continuamente interrotto dalle interazioni con i fononi, le impurità, i difetti e altri portatori di carica. Questi processi di diffusione impediscono ai portatori di accelerare indefinitamente e determinano la loro velocità di deriva media.La diffusione dei portatori di carica svolge un ruolo importante nel determinare la mobilità elettrica di un semiconduttore. Quando viene applicato un campo elettrico, gli elettroni e le lacune accelerano sotto l’azione della forza del campo. Tuttavia, il loro movimento viene continuamente interrotto dalle interazioni con i fononi, le impurità, i difetti e altri portatori di carica. Questi processi di diffusione impediscono ai portatori di accelerare indefinitamente e determinano la loro velocità di deriva media.

Nel modello di trasporto più semplice, la relazione tra la mobilità dei portatori di carica e la diffusione è descritta dalla formula di Drude.Nel modello di trasporto più semplice, la relazione tra la mobilità dei portatori di carica e la diffusione è descritta dalla formula di Drude.

\[ \boxed{ \mu = \frac{e\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*} } \] \[ \boxed{ \mu = \frac{e\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*} } \]

dove \(e\) è la carica elementare, \(m^*\) è la massa efficace dei portatori di carica e \(\tau_{\mathrm{tr}}\) è il tempo di rilassamento dell’impulso. Dal punto di vista fisico, \(\tau_{\mathrm{tr}}\) descrive la rapidità con cui la diffusione elimina il moto direzionale dei portatori di carica generato da un campo elettrico applicato. Un tempo di rilassamento più lungo determina generalmente una maggiore mobilità, mentre un tempo di rilassamento dell’impulso più breve la riduce.dove \(e\) è la carica elementare, \(m^*\) è la massa efficace dei portatori di carica e \(\tau_{\mathrm{tr}}\) è il tempo di rilassamento dell’impulso. Dal punto di vista fisico, \(\tau_{\mathrm{tr}}\) descrive la rapidità con cui la diffusione elimina il moto direzionale dei portatori di carica generato da un campo elettrico applicato. Un tempo di rilassamento più lungo determina generalmente una maggiore mobilità, mentre un tempo di rilassamento dell’impulso più breve la riduce.

Dal tasso di diffusione al rilassamento dell’impulso.Dal tasso di diffusione al rilassamento dell’impulso.

Esiste una differenza importante tra il tasso di diffusione totale calcolato nella sezione precedente e il tasso con cui la diffusione determina la variazione della quantità di moto dei portatori di carica. Il tasso di diffusione totale, \(1/\tau(\mathbf{k})\), tiene conto di ogni transizione da uno stato elettronico iniziale, indipendentemente da quanto cambia la direzione del movimento dei portatori di carica.Esiste una differenza importante tra il tasso di diffusione totale calcolato nella sezione precedente e il tasso con cui la diffusione determina la variazione della quantità di moto dei portatori di carica. Il tasso di diffusione totale, \(1/\tau(\mathbf{k})\), tiene conto di ogni transizione da uno stato elettronico iniziale, indipendentemente da quanto cambia la direzione del movimento dei portatori di carica.

Immaginiamo un elettrone che si muove con un vettore d’onda iniziale \(\mathbf{k}\). A seguito di un evento di diffusione, il suo vettore d’onda cambia in \(\mathbf{k}'\), formando un angolo \(\theta_s\) rispetto alla sua direzione originale. Nel caso di una banda parabolica isotropa e di un evento di diffusione elastica, l’elettrone mantiene la stessa velocità, ma solo una componente della sua velocità finale rimane parallela alla sua direzione originale. Questa componente èImmaginiamo un elettrone che si muove con un vettore d’onda iniziale \(\mathbf{k}\). A seguito di un evento di diffusione, il suo vettore d’onda cambia in \(\mathbf{k}'\), formando un angolo \(\theta_s\) rispetto alla sua direzione originale. Nel caso di una banda parabolica isotropa e di un evento di diffusione elastica, l’elettrone mantiene la stessa velocità, ma solo una componente della sua velocità finale rimane parallela alla sua direzione originale. Questa componente è

\[ v_{\parallel}' = v\cos\theta_s. \] \[ v_{\parallel}' = v\cos\theta_s. \]

La frazione della velocità iniziale, che era diretta, persa durante l’evento di scattering è quindi pari a:La frazione della velocità iniziale, che era diretta, persa durante l’evento di scattering è quindi pari a:

\[ \frac{v-v_{\parallel}'}{v} = \boxed{1-\cos\theta_s}. \] \[ \frac{v-v_{\parallel}'}{v} = \boxed{1-\cos\theta_s}. \]

Questa semplice dimostrazione geometrica spiega perché la diffusione attraverso angoli diversi non contribuisce in egual misura al processo di rilassamento della quantità di moto. Ad esempio:Questa semplice dimostrazione geometrica spiega perché la diffusione attraverso angoli diversi non contribuisce in egual misura al processo di rilassamento della quantità di moto. Ad esempio:

• Diffusione in avanti (\(\theta_s=0^\circ\)): il fattore di ponderazione è pari a zero, poiché l’elettrone prosegue nella sua direzione originale.Diffusione in avanti (\(\theta_s=0^\circ\)): il fattore di ponderazione è pari a zero, poiché l’elettrone prosegue nella sua direzione originale.
• Distribuzione in \(90^\circ\): il fattore di ponderazione è pari a uno, poiché nessuna delle componenti originali della velocità vettoriale è rimasta.Distribuzione in \(90^\circ\): il fattore di ponderazione è pari a uno, poiché nessuna delle componenti originali della velocità vettoriale è rimasta.
• Diffusione all'indietro (\(\theta_s=180^\circ\)): il fattore di ponderazione è pari a due, poiché l'elettrone inverte la direzione del suo moto.Diffusione all'indietro (\(\theta_s=180^\circ\)): il fattore di ponderazione è pari a due, poiché l'elettrone inverte la direzione del suo moto.

Possiamo sfruttare questa dipendenza angolare per definire una stima approssimativa della frequenza di scattering durante il trasporto. Nel caso di bande isotrope, un’approssimazione comunemente utilizzata per la ponderazione angolare è:Possiamo sfruttare questa dipendenza angolare per definire una stima approssimativa della frequenza di scattering durante il trasporto. Nel caso di bande isotrope, un’approssimazione comunemente utilizzata per la ponderazione angolare è:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf{k})} \simeq \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} (1-\cos\theta_s) \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta(E'-E-\hbar\omega_{LO}) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta(E'-E+\hbar\omega_{LO}) \Big]. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf{k})} \simeq \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} (1-\cos\theta_s) \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta(E'-E-\hbar\omega_{LO}) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta(E'-E+\hbar\omega_{LO}) \Big]. \end{aligned} \]

In questo caso, \(\theta_s\) rappresenta l’angolo tra la velocità iniziale e quella finale del portatore di carica. Per una banda parabolica isotropa, queste velocità sono parallele ai rispettivi vettori d’onda. Gli elementi della matrice \(M_{\mathrm{abs}}\) e \(M_{\mathrm{em}}\) sono quelli derivati nella sezione precedente.In questo caso, \(\theta_s\) rappresenta l’angolo tra la velocità iniziale e quella finale del portatore di carica. Per una banda parabolica isotropa, queste velocità sono parallele ai rispettivi vettori d’onda. Gli elementi della matrice \(M_{\mathrm{abs}}\) e \(M_{\mathrm{em}}\) sono quelli derivati nella sezione precedente.

Nel caso della diffusione anelastica, in cui anche la velocità dei portatori di carica varia, la semplice ponderazione angolare rappresenta solo un’approssimazione. Un fattore di proiezione più generale, valido per un singolo evento, è \(1-(v'/v)\cos\theta_s\) per una banda isotropa. Un trattamento rigoroso del trasporto anelastico richiede la risoluzione dell’equazione di trasporto di Boltzmann linearizzata, che tiene conto dell’accoppiamento tra gli stati iniziali e finali dei portatori di carica.Nel caso della diffusione anelastica, in cui anche la velocità dei portatori di carica varia, la semplice ponderazione angolare rappresenta solo un’approssimazione. Un fattore di proiezione più generale, valido per un singolo evento, è \(1-(v'/v)\cos\theta_s\) per una banda isotropa. Un trattamento rigoroso del trasporto anelastico richiede la risoluzione dell’equazione di trasporto di Boltzmann linearizzata, che tiene conto dell’accoppiamento tra gli stati iniziali e finali dei portatori di carica.

Questa distinzione è particolarmente rilevante per lo scattering di Fröhlich. Poiché l’interazione favorisce piccoli vettori d’onda dei fononi \(q\), molte transizioni comportano variazioni relativamente piccole nella direzione dei portatori di carica. Di conseguenza, la velocità di scattering totale può differire notevolmente dalla velocità con cui si attenua il moto direzionale dei portatori di carica.Questa distinzione è particolarmente rilevante per lo scattering di Fröhlich. Poiché l’interazione favorisce piccoli vettori d’onda dei fononi \(q\), molte transizioni comportano variazioni relativamente piccole nella direzione dei portatori di carica. Di conseguenza, la velocità di scattering totale può differire notevolmente dalla velocità con cui si attenua il moto direzionale dei portatori di carica.

Calcolo della mobilità a partire dalla struttura a bande.Calcolo della mobilità a partire dalla struttura a bande.

L’equazione di Drude fornisce un utile punto di partenza, ma i semiconduttori reali non presentano necessariamente una singola massa efficace o un tempo di rilassamento costante. Sia la frequenza di scattering che la velocità dei portatori di carica possono variare all’interno della struttura a bande elettroniche.L’equazione di Drude fornisce un utile punto di partenza, ma i semiconduttori reali non presentano necessariamente una singola massa efficace o un tempo di rilassamento costante. Sia la frequenza di scattering che la velocità dei portatori di carica possono variare all’interno della struttura a bande elettroniche.

Per tenerne conto, la mobilità può essere calcolata facendo la media dei contributi provenienti dagli stati elettronici coinvolti nel trasporto. Nell’ambito dell’approssimazione del tempo di rilassamento, il tensore di mobilità degli elettroni èPer tenerne conto, la mobilità può essere calcolata facendo la media dei contributi provenienti dagli stati elettronici coinvolti nel trasporto. Nell’ambito dell’approssimazione del tempo di rilassamento, il tensore di mobilità degli elettroni è

\[ \boxed{ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})} } \] \[ \boxed{ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})} } \]

In questo caso, \(n\) rappresenta la densità elettronica, \(f\) la distribuzione di Fermi-Dirac e la somma viene calcolata sulle bande elettroniche rilevanti e sugli stati di spin o di valle esplicitamente rappresentati. La velocità di gruppo di ciascuno stato si ottiene dalla dispersione della banda.In questo caso, \(n\) rappresenta la densità elettronica, \(f\) la distribuzione di Fermi-Dirac e la somma viene calcolata sulle bande elettroniche rilevanti e sugli stati di spin o di valle esplicitamente rappresentati. La velocità di gruppo di ciascuno stato si ottiene dalla dispersione della banda.

\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \] \[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]

La derivata della distribuzione di Fermi-Dirac determina quali stati elettronici contribuiscono alla risposta elettrica. L'integrale combina quindi le loro velocità e i tempi di rilassamento del trasporto per ottenere la mobilità complessiva.La derivata della distribuzione di Fermi-Dirac determina quali stati elettronici contribuiscono alla risposta elettrica. L'integrale combina quindi le loro velocità e i tempi di rilassamento del trasporto per ottenere la mobilità complessiva.

Questo approccio è particolarmente utile per le strutture a bande numeriche, come quelle calcolate utilizzando la teoria \(k\cdot p\), poiché le velocità, che dipendono dall’energia, possono essere ottenute direttamente dalla dispersione calcolata, anziché assumendo una massa efficace costante. Inoltre, consente di includere diversi meccanismi di scattering attraverso il loro contributo al tempo di rilassamento del trasporto. Esempi di calcoli di mobilità basati sulla struttura a bande sono illustrati nei tutorial Si/SiGe Δ-valley electron-mobility tutorial e Si/SiGe six-band Luttinger–Kohn hole-mobility tutorial. Questi esempi, che utilizzano il silicio, impiegano meccanismi di scattering non polari anziché lo scattering di Fröhlich, ma illustrano la stessa progressione dalla struttura a bande elettronica e dai tassi di scattering alla mobilità dei portatori di carica.Questo approccio è particolarmente utile per le strutture a bande numeriche, come quelle calcolate utilizzando la teoria \(k\cdot p\), poiché le velocità, che dipendono dall’energia, possono essere ottenute direttamente dalla dispersione calcolata, anziché assumendo una massa efficace costante. Inoltre, consente di includere diversi meccanismi di scattering attraverso il loro contributo al tempo di rilassamento del trasporto. Esempi di calcoli di mobilità basati sulla struttura a bande sono illustrati nei tutorial Si/SiGe Δ-valley electron-mobility tutorial e Si/SiGe six-band Luttinger–Kohn hole-mobility tutorial. Questi esempi, che utilizzano il silicio, impiegano meccanismi di scattering non polari anziché lo scattering di Fröhlich, ma illustrano la stessa progressione dalla struttura a bande elettronica e dai tassi di scattering alla mobilità dei portatori di carica.