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OghmaNano contiene una famiglia di strumenti per il calcolo della struttura a bande dei semiconduttori, di pozzi quantici e di modelli k·p, utilizzati per determinare gli stati elettronici sia nei pozzi quantici bidimensionali sia nei semiconduttori sfusi. I modelli calcolano gli stati confinati di elettroni e lacune, la dispersione delle bande elettroniche, le funzioni d’onda, il mescolamento delle bande e gli elementi della matrice ottica, e possono essere utilizzati in combinazione con calcoli relativi all’assorbimento ottico, all’emissione spontanea, all’emissione stimolata, al guadagno, alla diffusione dei portatori di carica e alla mobilità.OghmaNano contiene una famiglia di strumenti per il calcolo della struttura a bande dei semiconduttori, di pozzi quantici e di modelli k·p, utilizzati per determinare gli stati elettronici sia nei pozzi quantici bidimensionali sia nei semiconduttori sfusi. I modelli calcolano gli stati confinati di elettroni e lacune, la dispersione delle bande elettroniche, le funzioni d’onda, il mescolamento delle bande e gli elementi della matrice ottica, e possono essere utilizzati in combinazione con calcoli relativi all’assorbimento ottico, all’emissione spontanea, all’emissione stimolata, al guadagno, alla diffusione dei portatori di carica e alla mobilità.
Sono disponibili diversi modelli di struttura a bande per vari materiali semiconduttori e diverse strutture cristalline:Sono disponibili diversi modelli di struttura a bande per vari materiali semiconduttori e diverse strutture cristalline:
Insieme, questi modelli consentono a OghmaNano di calcolare sia le sottobande bidimensionali dei pozzi quantici sia le strutture a bande tridimensionali dei semiconduttori. Nel caso dei pozzi quantici, le cariche sono confinate lungo la direzione di crescita, ma rimangono libere di muoversi parallelamente agli strati. In un calcolo multibanda k·p, il vettore d’onda nella direzione di crescita viene sostituito dall’operatore della funzione d’inviluppo.Insieme, questi modelli consentono a OghmaNano di calcolare sia le sottobande bidimensionali dei pozzi quantici sia le strutture a bande tridimensionali dei semiconduttori. Nel caso dei pozzi quantici, le cariche sono confinate lungo la direzione di crescita, ma rimangono libere di muoversi parallelamente agli strati. In un calcolo multibanda k·p, il vettore d’onda nella direzione di crescita viene sostituito dall’operatore della funzione d’inviluppo.
\[ k_z \longrightarrow -i\frac{d}{dz}, \] \[ k_z \longrightarrow -i\frac{d}{dz}, \]
le equazioni accoppiate risultanti vengono risolte sull’intera eterostruttura a semiconduttore. Ripetendo il calcolo in funzione del vettore d’onda nel piano, si ottiene la dispersione delle sottobande bidimensionali. I modelli bulk, come il risolutore per perovskiti, risolvono invece direttamente l’hamiltoniana in funzione del vettore d’onda tridimensionale \(\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)\).le equazioni accoppiate risultanti vengono risolte sull’intera eterostruttura a semiconduttore. Ripetendo il calcolo in funzione del vettore d’onda nel piano, si ottiene la dispersione delle sottobande bidimensionali. I modelli bulk, come il risolutore per perovskiti, risolvono invece direttamente l’hamiltoniana in funzione del vettore d’onda tridimensionale \(\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)\).
Gli autovalori e gli autovettori calcolati forniscono informazioni più dettagliate rispetto a un semplice diagramma a bande. Essi costituiscono il punto di partenza per le simulazioni di transizioni ottiche, assorbimento, emissione spontanea, emissione stimolata e guadagno ottico, nonché per la modellazione della diffusione dei portatori, dei tempi di rilassamento e della mobilità, ove possibile. Grazie a queste funzionalità, i risolutori della struttura a bande possono essere utilizzati per la modellazione di laser a semiconduttore, LED, fotodiodi, eterostrutture a pozzi quantici, canali a semiconduttore ad alta mobilità, dispositivi in silicio/SiGe e materiali perovskitici alogenuri metallici per celle solari e materiali emettitori di luce.Gli autovalori e gli autovettori calcolati forniscono informazioni più dettagliate rispetto a un semplice diagramma a bande. Essi costituiscono il punto di partenza per le simulazioni di transizioni ottiche, assorbimento, emissione spontanea, emissione stimolata e guadagno ottico, nonché per la modellazione della diffusione dei portatori, dei tempi di rilassamento e della mobilità, ove possibile. Grazie a queste funzionalità, i risolutori della struttura a bande possono essere utilizzati per la modellazione di laser a semiconduttore, LED, fotodiodi, eterostrutture a pozzi quantici, canali a semiconduttore ad alta mobilità, dispositivi in silicio/SiGe e materiali perovskitici alogenuri metallici per celle solari e materiali emettitori di luce.
Per un’introduzione generale ai principi fisici di base, si veda pozzi quantici e confinamento dei portatori di carica e introduzione alla teoria k·p.Per un’introduzione generale ai principi fisici di base, si veda pozzi quantici e confinamento dei portatori di carica e introduzione alla teoria k·p.
Il calcolo della struttura a bande elettronica rappresenta solo la prima fase della simulazione. Una volta che le energie e le funzioni d’onda degli stati elettronici sono note, OghmaNano può utilizzarle per calcolare una serie di proprietà ottiche e di trasporto di carica. Queste includono l’assorbimento ottico, l’emissione spontanea e stimolata, il guadagno ottico, i tassi di scattering dei fononi, i tempi di rilassamento dei portatori di carica e la mobilità dei portatori di carica.Il calcolo della struttura a bande elettronica rappresenta solo la prima fase della simulazione. Una volta che le energie e le funzioni d’onda degli stati elettronici sono note, OghmaNano può utilizzarle per calcolare una serie di proprietà ottiche e di trasporto di carica. Queste includono l’assorbimento ottico, l’emissione spontanea e stimolata, il guadagno ottico, i tassi di scattering dei fononi, i tempi di rilassamento dei portatori di carica e la mobilità dei portatori di carica.
L’idea fondamentale alla base di molti di questi calcoli è la stessa: un portatore di carica effettua una transizione da uno stato elettronico iniziale a uno stato finale, e la probabilità di questa transizione è determinata dall’accoppiamento tra i due stati. Nel limite delle interazioni deboli, questo fenomeno è descritto dalla regola aurea di Fermi.L’idea fondamentale alla base di molti di questi calcoli è la stessa: un portatore di carica effettua una transizione da uno stato elettronico iniziale a uno stato finale, e la probabilità di questa transizione è determinata dall’accoppiamento tra i due stati. Nel limite delle interazioni deboli, questo fenomeno è descritto dalla regola aurea di Fermi.
\[ W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i). \] \[ W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i). \]
L’hamiltoniana di interazione \(\hat H_{\mathrm{int}}\) dipende dal processo fisico preso in considerazione. Nel caso di una transizione ottica, descrive l’interazione tra gli stati elettronici e il campo elettromagnetico. Nel caso della diffusione dei portatori di carica, può invece descrivere le interazioni con le vibrazioni del reticolo, comprese le vibrazioni acustiche o i fononi ottici longitudinali (LO). La struttura a bande calcolata fornisce quindi una base elettronica comune da cui è possibile derivare sia le proprietà ottiche che quelle di trasporto.L’hamiltoniana di interazione \(\hat H_{\mathrm{int}}\) dipende dal processo fisico preso in considerazione. Nel caso di una transizione ottica, descrive l’interazione tra gli stati elettronici e il campo elettromagnetico. Nel caso della diffusione dei portatori di carica, può invece descrivere le interazioni con le vibrazioni del reticolo, comprese le vibrazioni acustiche o i fononi ottici longitudinali (LO). La struttura a bande calcolata fornisce quindi una base elettronica comune da cui è possibile derivare sia le proprietà ottiche che quelle di trasporto.
Per i calcoli ottici, OghmaNano combina gli stati calcolati della banda di conduzione e della banda di valenza con i rispettivi elementi della matrice ottica e le professioni legate al settore dei trasporti. Le transizioni tra gli stati occupati e non occupati possono quindi essere sommate sull’intera struttura a bande calcolata per ottenere assorbimento, emissione stimolata, guadagno ottico netto ed emissione spontanea. Per i calcoli ottici, OghmaNano combina gli stati calcolati della banda di conduzione e della banda di valenza con i rispettivi elementi della matrice ottica e le professioni legate al settore dei trasporti. Le transizioni tra gli stati occupati e non occupati possono quindi essere sommate sull’intera struttura a bande calcolata per ottenere assorbimento, emissione stimolata, guadagno ottico netto ed emissione spontanea.
Poiché gli autovettori multibanda k·p conservano le informazioni sul carattere orbitale e di spin di ciascuno stato, il calcolo ottico può andare oltre la semplice corrispondenza dei livelli energetici. Il mescolamento delle bande modifica gli elementi della matrice di transizione e, di conseguenza, l’intensità della risposta ottica. Nei sistemi anisotropi, come i semiconduttori di tipo wurtzite, ciò consente inoltre di trattare separatamente le transizioni ottiche polarizzate TE e TM.Poiché gli autovettori multibanda k·p conservano le informazioni sul carattere orbitale e di spin di ciascuno stato, il calcolo ottico può andare oltre la semplice corrispondenza dei livelli energetici. Il mescolamento delle bande modifica gli elementi della matrice di transizione e, di conseguenza, l’intensità della risposta ottica. Nei sistemi anisotropi, come i semiconduttori di tipo wurtzite, ciò consente inoltre di trattare separatamente le transizioni ottiche polarizzate TE e TM.
Gli stati elettronici possono essere utilizzati anche per calcolare la probabilità che un portatore di carica venga deviato da una parte della struttura a bande a un'altra. A seconda del materiale e del modello, OghmaNano può includere meccanismi quali: diffusione di fononi acustici e Diffusione ottica dei fononi polari di Fröhlich Questi processi determinano la durata della vita dei portatori di carica, il tempo di rilassamento dell’impulso e, in definitiva, la mobilità dei portatori di carica. Gli stati elettronici possono essere utilizzati anche per calcolare la probabilità che un portatore di carica venga deviato da una parte della struttura a bande a un'altra. A seconda del materiale e del modello, OghmaNano può includere meccanismi quali: diffusione di fononi acustici e Diffusione ottica dei fononi polari di Fröhlich Questi processi determinano la durata della vita dei portatori di carica, il tempo di rilassamento dell’impulso e, in definitiva, la mobilità dei portatori di carica.
Lo scattering di Fröhlich è particolarmente importante nei semiconduttori polari, come il GaAs, l’InP, il GaN e le perovskiti alogenuri metallici. Un fonone ottico longitudinale crea un campo di polarizzazione oscillante che interagisce con un elettrone o una lacuna. L’intensità di questa interazione è descritta dall’elemento di matrice di Fröhlich.Lo scattering di Fröhlich è particolarmente importante nei semiconduttori polari, come il GaAs, l’InP, il GaN e le perovskiti alogenuri metallici. Un fonone ottico longitudinale crea un campo di polarizzazione oscillante che interagisce con un elettrone o una lacuna. L’intensità di questa interazione è descritta dall’elemento di matrice di Fröhlich.
\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \] \[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]
In questa formula, \(q\) rappresenta il vettore d’onda del fonone, \(\omega_{LO}\) la frequenza angolare del fonone LO, e \(\varepsilon_\infty\) e \(\varepsilon_s\) descrivono lo screening dielettrico elettronico e statico del materiale. La dipendenza da \(1/q\) riflette la natura a lungo raggio dell’interazione polare.In questa formula, \(q\) rappresenta il vettore d’onda del fonone, \(\omega_{LO}\) la frequenza angolare del fonone LO, e \(\varepsilon_\infty\) e \(\varepsilon_s\) descrivono lo screening dielettrico elettronico e statico del materiale. La dipendenza da \(1/q\) riflette la natura a lungo raggio dell’interazione polare.
Applicando la regola aurea di Fermi e integrando rispetto agli stati finali disponibili, si ottiene la frequenza di scattering delle portatrici di carica. Ad esempio, nel caso dell’assorbimento di fononi longitudinali ottici (LO),Applicando la regola aurea di Fermi e integrando rispetto agli stati finali disponibili, si ottiene la frequenza di scattering delle portatrici di carica. Ad esempio, nel caso dell’assorbimento di fononi longitudinali ottici (LO),
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\left( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})- E(\mathbf{k})- \hbar\omega_{LO} \right). \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\left( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})- E(\mathbf{k})- \hbar\omega_{LO} \right). \end{aligned} \]
La funzione delta di Dirac impone la conservazione dell’energia, mentre l’integrazione su \(\mathbf{q}\) effettua una somma sui vettori d’onda dei fononi in grado di collegare gli stati elettronici iniziali e finali. L’emissione di fononi LO viene calcolata nello stesso modo, con la differenza che il portatore di carica perde un’energia pari a \(\hbar\omega_{LO}\). Al contrario, la diffusione dei fononi acustici descrive le interazioni con le vibrazioni reticolari a bassa energia associate alla deformazione elastica del cristallo.La funzione delta di Dirac impone la conservazione dell’energia, mentre l’integrazione su \(\mathbf{q}\) effettua una somma sui vettori d’onda dei fononi in grado di collegare gli stati elettronici iniziali e finali. L’emissione di fononi LO viene calcolata nello stesso modo, con la differenza che il portatore di carica perde un’energia pari a \(\hbar\omega_{LO}\). Al contrario, la diffusione dei fononi acustici descrive le interazioni con le vibrazioni reticolari a bassa energia associate alla deformazione elastica del cristallo.
Un evento di diffusione non distrugge necessariamente l’intero momento direzionale di un portatore di carica. Ad esempio, la diffusione in avanti modifica solo leggermente la direzione del portatore, mentre la diffusione all’indietro si oppone fortemente alla corrente elettrica. Per i calcoli relativi al trasporto, OghmaNano può quindi utilizzare una velocità di rilassamento del momento anziché semplicemente calcolare l’inverso della velocità di diffusione totale.Un evento di diffusione non distrugge necessariamente l’intero momento direzionale di un portatore di carica. Ad esempio, la diffusione in avanti modifica solo leggermente la direzione del portatore, mentre la diffusione all’indietro si oppone fortemente alla corrente elettrica. Per i calcoli relativi al trasporto, OghmaNano può quindi utilizzare una velocità di rilassamento del momento anziché semplicemente calcolare l’inverso della velocità di diffusione totale.
Una volta calcolato il tempo di rilassamento del trasporto sull’intera struttura a bande elettroniche, la mobilità può essere ottenuta calcolando la media della velocità e delle proprietà di scattering degli stati elettronici che partecipano al trasporto. Nell’ambito dell’approssimazione del tempo di rilassamento,Una volta calcolato il tempo di rilassamento del trasporto sull’intera struttura a bande elettroniche, la mobilità può essere ottenuta calcolando la media della velocità e delle proprietà di scattering degli stati elettronici che partecipano al trasporto. Nell’ambito dell’approssimazione del tempo di rilassamento,
\[ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})}. \] \[ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})}. \]
La velocità dei portatori di carica si ottiene direttamente dalla dispersione elettronica calcolata.La velocità dei portatori di carica si ottiene direttamente dalla dispersione elettronica calcolata.
\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \] \[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]
In questo modo, la struttura a bande calcolata viene collegata direttamente a una grandezza fisica misurabile sperimentalmente, relativa al trasporto di carica. Invece di ipotizzare una singola massa efficace costante e un tempo di scattering uniforme, il calcolo può tenere conto delle variazioni della velocità dei portatori di carica e del tempo di scattering all’interno delle diverse bande elettroniche.In questo modo, la struttura a bande calcolata viene collegata direttamente a una grandezza fisica misurabile sperimentalmente, relativa al trasporto di carica. Invece di ipotizzare una singola massa efficace costante e un tempo di scattering uniforme, il calcolo può tenere conto delle variazioni della velocità dei portatori di carica e del tempo di scattering all’interno delle diverse bande elettroniche.
Per le strutture quantiche a pozzo di Si/SiGe, OghmaNano può calcolare la diffusione acustica dei fononi e la mobilità bidimensionale degli elettroni o delle lacune utilizzando i modelli della valle Δ del silicio e di Luttinger–Kohn. Per i perovskiti metallo-alogenuri sfusi, la struttura elettronica a otto bande calcolata può essere combinata con la diffusione elettrone-fonone di Fröhlich per ottenere i tempi di rilassamento dei portatori di carica e la mobilità limitata dai fononi.Per le strutture quantiche a pozzo di Si/SiGe, OghmaNano può calcolare la diffusione acustica dei fononi e la mobilità bidimensionale degli elettroni o delle lacune utilizzando i modelli della valle Δ del silicio e di Luttinger–Kohn. Per i perovskiti metallo-alogenuri sfusi, la struttura elettronica a otto bande calcolata può essere combinata con la diffusione elettrone-fonone di Fröhlich per ottenere i tempi di rilassamento dei portatori di carica e la mobilità limitata dai fononi.
Sono disponibili esempi pratici nei seguenti tutorial: tutorial sulla mobilità degli elettroni in Si/SiGe, tutorial sulla mobilità delle lacune in Si/SiGe e tutorial sulla struttura a bande e sulla mobilità delle perovskiti.Sono disponibili esempi pratici nei seguenti tutorial: tutorial sulla mobilità degli elettroni in Si/SiGe, tutorial sulla mobilità delle lacune in Si/SiGe e tutorial sulla struttura a bande e sulla mobilità delle perovskiti.
Gli esempi forniti con OghmaNano offrono dei modelli di partenza già pronti per ciascun tipo di struttura a bande. Per i calcoli ottici relativi a pozzi quantici, il tutorial GaAs/AlGaAs a otto bande k·p illustra il calcolo delle sottobande elettroniche, dell’assorbimento, dell’emissione stimolata, del guadagno ottico e dell’emissione spontanea.Gli esempi forniti con OghmaNano offrono dei modelli di partenza già pronti per ciascun tipo di struttura a bande. Per i calcoli ottici relativi a pozzi quantici, il tutorial GaAs/AlGaAs a otto bande k·p illustra il calcolo delle sottobande elettroniche, dell’assorbimento, dell’emissione stimolata, del guadagno ottico e dell’emissione spontanea.
Per i calcoli su larga scala, il tutorial struttura a bande e mobilità dei materiali perovskitici illustra come calcolare le bande elettroniche dei materiali CsPbX3 e MAPbX3 e come utilizzare gli stati risultanti per calcolare la diffusione di Fröhlich e la mobilità dei portatori di carica.Per i calcoli su larga scala, il tutorial struttura a bande e mobilità dei materiali perovskitici illustra come calcolare le bande elettroniche dei materiali CsPbX3 e MAPbX3 e come utilizzare gli stati risultanti per calcolare la diffusione di Fröhlich e la mobilità dei portatori di carica.
Ulteriori informazioni di carattere teorico sono disponibili nelle seguenti pubblicazioni: guida alla teoria k·p, teoria delle transizioni ottiche e teoria della diffusione di Fröhlich.Ulteriori informazioni di carattere teorico sono disponibili nelle seguenti pubblicazioni: guida alla teoria k·p, teoria delle transizioni ottiche e teoria della diffusione di Fröhlich.
Per un’introduzione al confinamento quantistico, si consiglia di iniziare con pozzi quantici e confinamento dei portatori di carica. Il tutorial sulle bande paraboliche introduce il modello più semplice di pozzo quantico, mentre la guida alla teoria k·p spiega come diverse bande elettroniche interagiscono in un Hamiltoniano a più bande.Per un’introduzione al confinamento quantistico, si consiglia di iniziare con pozzi quantici e confinamento dei portatori di carica. Il tutorial sulle bande paraboliche introduce il modello più semplice di pozzo quantico, mentre la guida alla teoria k·p spiega come diverse bande elettroniche interagiscono in un Hamiltoniano a più bande.
Per iniziare, ecco alcune risorse utili: il tutorial GaAs/AlGaAs eight-band k·p o il tutorial sulla struttura a bande e sulla mobilità dei materiali perovskitici.Per iniziare, ecco alcune risorse utili: il tutorial GaAs/AlGaAs eight-band k·p o il tutorial sulla struttura a bande e sulla mobilità dei materiali perovskitici.
Esplora gli strumenti di modellazione della struttura a bande e della meccanica quantistica.Esplora gli strumenti di modellazione della struttura a bande e della meccanica quantistica.
Iniziate con l’introduzione ai pozzi quantici, leggete la guida alla teoria k·p oppure eseguite il tutorial sul pozzo quantico parabolico GaAs/AlGaAs.Iniziate con l’introduzione ai pozzi quantici, leggete la guida alla teoria k·p oppure eseguite il tutorial sul pozzo quantico parabolico GaAs/AlGaAs.