Pozzi quantici e confinamento dei portatori di caricaPozzi quantici e confinamento dei portatori di carica
Cos'è un pozzo quantico?Cos'è un pozzo quantico?
Un pozzo quantico è una regione dello spazio in cui l’energia potenziale diminuisce rispetto a quella dell’ambiente circostante, creando una barriera energetica che può intrappolare una particella, come un elettrone. Quando la larghezza del pozzo diventa paragonabile alla lunghezza d’onda dell’elettrone, gli effetti della meccanica quantistica diventano particolarmente rilevanti.Un pozzo quantico è una regione dello spazio in cui l’energia potenziale diminuisce rispetto a quella dell’ambiente circostante, creando una barriera energetica che può intrappolare una particella, come un elettrone. Quando la larghezza del pozzo diventa paragonabile alla lunghezza d’onda dell’elettrone, gli effetti della meccanica quantistica diventano particolarmente rilevanti.
Un tipico pozzo quantico è illustrato in ??. Nei dispositivi a semiconduttore, strutture di questo tipo possono essere create facendo crescere un sottile strato di un materiale tra due materiali con diverse bande di energia. Un esempio comune è un pozzo quantico in GaAs circondato da barriere in AlGaAs.Un tipico pozzo quantico è illustrato in ??. Nei dispositivi a semiconduttore, strutture di questo tipo possono essere create facendo crescere un sottile strato di un materiale tra due materiali con diverse bande di energia. Un esempio comune è un pozzo quantico in GaAs circondato da barriere in AlGaAs.
Descrivere un pozzo quantico mediante l’equazione di SchrödingerDescrivere un pozzo quantico mediante l’equazione di Schrödinger
Quando la larghezza di un potenziale di pozzo diventa paragonabile alla lunghezza d’onda di un elettrone, non possiamo più descrivere adeguatamente l’elettrone come una particella classica con una posizione definita. Invece, dobbiamo descriverne il comportamento ondulatorio e la probabilità di trovarlo in diverse posizioni all’interno del pozzo.Quando la larghezza di un potenziale di pozzo diventa paragonabile alla lunghezza d’onda di un elettrone, non possiamo più descrivere adeguatamente l’elettrone come una particella classica con una posizione definita. Invece, dobbiamo descriverne il comportamento ondulatorio e la probabilità di trovarlo in diverse posizioni all’interno del pozzo.
Per farlo, risolviamo l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:Per farlo, risolviamo l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:
\[ \hat H\psi(x)=E\psi(x). \] \[ \hat H\psi(x)=E\psi(x). \]
In questo caso, \(\psi(x)\) rappresenta la funzione d’onda dell’elettrone, \(E\) la sua energia e \(\hat H\) l’hamiltoniana, che descrive l’energia cinetica e potenziale dell’elettrone. La densità di probabilità di trovare l’elettrone in una determinata posizione è data da \(|\psi(x)|^2\).In questo caso, \(\psi(x)\) rappresenta la funzione d’onda dell’elettrone, \(E\) la sua energia e \(\hat H\) l’hamiltoniana, che descrive l’energia cinetica e potenziale dell’elettrone. La densità di probabilità di trovare l’elettrone in una determinata posizione è data da \(|\psi(x)|^2\).
Per un semplice pozzo quantico monodimensionale, l’equazione di Schrödinger può essere scritta come segue:Per un semplice pozzo quantico monodimensionale, l’equazione di Schrödinger può essere scritta come segue:
\[ \boxed{ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x). } \] \[ \boxed{ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x). } \]
Sebbene questa equazione possa sembrare inizialmente complessa, i singoli termini hanno un significato fisico ben definito:Sebbene questa equazione possa sembrare inizialmente complessa, i singoli termini hanno un significato fisico ben definito:
- \(V(x)\) descrive il profilo dell’energia potenziale del pozzo, comprese le barriere circostanti.\(V(x)\) descrive il profilo dell’energia potenziale del pozzo, comprese le barriere circostanti.
- \(\psi(x)\) è la funzione d’onda che descrive l’elettrone. Il quadrato della sua ampiezza fornisce la densità di probabilità di trovare l’elettrone nella posizione \(x\).\(\psi(x)\) è la funzione d’onda che descrive l’elettrone. Il quadrato della sua ampiezza fornisce la densità di probabilità di trovare l’elettrone nella posizione \(x\).
- \(E\) rappresenta l’energia associata a uno specifico stato quantico.\(E\) rappresenta l’energia associata a uno specifico stato quantico.
- \(m^*\) rappresenta la massa effettiva dell’elettrone, che descrive come questo reagisce alle forze all’interno del semiconduttore. Il primo termine rappresenta la sua energia cinetica.\(m^*\) rappresenta la massa effettiva dell’elettrone, che descrive come questo reagisce alle forze all’interno del semiconduttore. Il primo termine rappresenta la sua energia cinetica.
Fornendo il potenziale di riferimento \(V(x)\) e risolvendo questa equazione, otteniamo i valori di energia ammissibili per gli elettroni e le corrispondenti funzioni d’onda. Questi sono esattamente i risultati illustrati in ??: i livelli di energia orizzontali e le funzioni d’onda colorate associate a ciascuno stato. Nella sezione successiva, vedremo come queste soluzioni possono essere calcolate per un semplice pozzo quantico.Fornendo il potenziale di riferimento \(V(x)\) e risolvendo questa equazione, otteniamo i valori di energia ammissibili per gli elettroni e le corrispondenti funzioni d’onda. Questi sono esattamente i risultati illustrati in ??: i livelli di energia orizzontali e le funzioni d’onda colorate associate a ciascuno stato. Nella sezione successiva, vedremo come queste soluzioni possono essere calcolate per un semplice pozzo quantico.
Qual è il significato pratico di questa equazione?Qual è il significato pratico di questa equazione?
Un modo intuitivo per comprendere le soluzioni dell’equazione di Schrödinger è considerare una corda di violino fissata alle due estremità. Tale corda può essere messa in vibrazione a una serie discreta di frequenze armoniche. L’armonica fondamentale presenta un unico picco, mentre le armoniche superiori presentano picchi e nodi aggiuntivi. Ogni armonica ha la propria frequenza caratteristica.Un modo intuitivo per comprendere le soluzioni dell’equazione di Schrödinger è considerare una corda di violino fissata alle due estremità. Tale corda può essere messa in vibrazione a una serie discreta di frequenze armoniche. L’armonica fondamentale presenta un unico picco, mentre le armoniche superiori presentano picchi e nodi aggiuntivi. Ogni armonica ha la propria frequenza caratteristica.
Un principio simile si applica a un elettrone confinato all’interno di un pozzo quantico. Le dimensioni del pozzo limitano l’elettrone a un insieme specifico di funzioni d’onda ammesse, ciascuna associata a una determinata energia. Proprio come la corda di un violino ha un’armonica fondamentale e armoniche superiori, il pozzo quantico ha uno stato di energia minima e una serie di stati di energia superiore.Un principio simile si applica a un elettrone confinato all’interno di un pozzo quantico. Le dimensioni del pozzo limitano l’elettrone a un insieme specifico di funzioni d’onda ammesse, ciascuna associata a una determinata energia. Proprio come la corda di un violino ha un’armonica fondamentale e armoniche superiori, il pozzo quantico ha uno stato di energia minima e una serie di stati di energia superiore.
I primi tre di questi stati sono illustrati in ??. Le linee orizzontali tratteggiate indicano i livelli di energia consentiti \(E_1\), \(E_2\) e \(E_3\), mentre le curve colorate mostrano le corrispondenti funzioni d’onda. Lo stato con l’energia più bassa ha la forma più semplice, mentre gli stati con energia più alta presentano schemi d’onda progressivamente più complessi.I primi tre di questi stati sono illustrati in ??. Le linee orizzontali tratteggiate indicano i livelli di energia consentiti \(E_1\), \(E_2\) e \(E_3\), mentre le curve colorate mostrano le corrispondenti funzioni d’onda. Lo stato con l’energia più bassa ha la forma più semplice, mentre gli stati con energia più alta presentano schemi d’onda progressivamente più complessi.
Ma cosa ci rivelano in realtà queste funzioni d’onda? A differenza dello spostamento di una corda di violino che vibra, la funzione d’onda di un elettrone ha un’interpretazione probabilistica. Il quadrato del suo valore assoluto indica la densità di probabilità di trovare l’elettrone in una determinata posizione:Ma cosa ci rivelano in realtà queste funzioni d’onda? A differenza dello spostamento di una corda di violino che vibra, la funzione d’onda di un elettrone ha un’interpretazione probabilistica. Il quadrato del suo valore assoluto indica la densità di probabilità di trovare l’elettrone in una determinata posizione:
\[ \boxed{ P(x)=|\psi(x)|^2 } \] \[ \boxed{ P(x)=|\psi(x)|^2 } \]
Ad esempio, un elettrone che occupa lo stato di energia più bassa si troverà con maggiore probabilità vicino al centro del potenziale. Gli stati di energia più elevata presentano distribuzioni di probabilità più complesse, con diversi picchi separati da nodi in cui la probabilità scende a zero. Si noti inoltre che le funzioni d’onda si estendono leggermente nelle barriere circostanti, il che significa che esiste una piccola probabilità di trovare l’elettrone al di fuori del potenziale stesso.Ad esempio, un elettrone che occupa lo stato di energia più bassa si troverà con maggiore probabilità vicino al centro del potenziale. Gli stati di energia più elevata presentano distribuzioni di probabilità più complesse, con diversi picchi separati da nodi in cui la probabilità scende a zero. Si noti inoltre che le funzioni d’onda si estendono leggermente nelle barriere circostanti, il che significa che esiste una piccola probabilità di trovare l’elettrone al di fuori del potenziale stesso.
Pertanto, risolvere l’equazione di Schrödinger ci fornisce due informazioni importanti: quali livelli di energia può occupare un elettrone e la distribuzione di probabilità associata a ciascuno di tali livelli.Pertanto, risolvere l’equazione di Schrödinger ci fornisce due informazioni importanti: quali livelli di energia può occupare un elettrone e la distribuzione di probabilità associata a ciascuno di tali livelli.
Una soluzione semplice: il pozzo quantistico infinito.Una soluzione semplice: il pozzo quantistico infinito.
Proviamo ora a calcolare le funzioni d’onda di un pozzo quantico. Per semplificare i calcoli, immaginiamo inizialmente che le barriere che delimitano il pozzo siano infinitamente alte. Ciò significa che l’elettrone non può esistere al di fuori del pozzo e che la sua funzione d’onda deve tendere a zero su entrambi i bordi.Proviamo ora a calcolare le funzioni d’onda di un pozzo quantico. Per semplificare i calcoli, immaginiamo inizialmente che le barriere che delimitano il pozzo siano infinitamente alte. Ciò significa che l’elettrone non può esistere al di fuori del pozzo e che la sua funzione d’onda deve tendere a zero su entrambi i bordi.
Prenderemo in considerazione un pozzo di potenziale di larghezza \(L\), che si estende da \(x=0\) a \(x=L\). All’interno del pozzo, fissiamo l’energia potenziale a zero, quindi \(V(x)=0\). Partendo dall’equazione di Schrödinger:Prenderemo in considerazione un pozzo di potenziale di larghezza \(L\), che si estende da \(x=0\) a \(x=L\). All’interno del pozzo, fissiamo l’energia potenziale a zero, quindi \(V(x)=0\). Partendo dall’equazione di Schrödinger:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x), \] \[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x), \]
possiamo eliminare il termine relativo all’energia potenziale, ottenendo:possiamo eliminare il termine relativo all’energia potenziale, ottenendo:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =E\psi(x). \] \[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =E\psi(x). \]
Ora dobbiamo trovare una funzione d’onda che soddisfi questa equazione. Un buon punto di partenza è ipotizzare una soluzione sinusoidale:Ora dobbiamo trovare una funzione d’onda che soddisfi questa equazione. Un buon punto di partenza è ipotizzare una soluzione sinusoidale:
\[ \psi(x)=A\sin(kx). \] \[ \psi(x)=A\sin(kx). \]
In questo caso, \(A\) determina l’ampiezza della funzione d’onda, mentre \(k\) descrive la rapidità con cui questa oscilla in funzione della posizione. Un valore maggiore di \(k\) indica una lunghezza d’onda più corta, il che significa che è possibile ottenere un numero maggiore di oscillazioni in una determinata distanza.In questo caso, \(A\) determina l’ampiezza della funzione d’onda, mentre \(k\) descrive la rapidità con cui questa oscilla in funzione della posizione. Un valore maggiore di \(k\) indica una lunghezza d’onda più corta, il che significa che è possibile ottenere un numero maggiore di oscillazioni in una determinata distanza.
Possiamo verificare se questa è una soluzione valida calcolandone la derivata seconda:Possiamo verificare se questa è una soluzione valida calcolandone la derivata seconda:
\[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =-k^2A\sin(kx) =-k^2\psi(x). \] \[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =-k^2A\sin(kx) =-k^2\psi(x). \]
Si noti che derivare due volte la funzione che abbiamo ipotizzato restituisce semplicemente la funzione originale moltiplicata per una costante. Questo è esattamente il comportamento matematico richiesto dall’equazione di Schrödinger all’interno del potenziale.Si noti che derivare due volte la funzione che abbiamo ipotizzato restituisce semplicemente la funzione originale moltiplicata per una costante. Questo è esattamente il comportamento matematico richiesto dall’equazione di Schrödinger all’interno del potenziale.
Sostituendo la nostra ipotesi nell’equazione, si conferma che un’onda sinusoidale rappresenta una soluzione valida, a condizione che l’energia ad essa associata soddisfi la seguente condizione:Sostituendo la nostra ipotesi nell’equazione, si conferma che un’onda sinusoidale rappresenta una soluzione valida, a condizione che l’energia ad essa associata soddisfi la seguente condizione:
\[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \] \[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \]
Torniamo ora a parlare di energia. Prima, però, dobbiamo affrontare una domanda più interessante: quale di queste soluzioni sinusoidali può effettivamente esistere all’interno del nostro pozzo quantico?Torniamo ora a parlare di energia. Prima, però, dobbiamo affrontare una domanda più interessante: quale di queste soluzioni sinusoidali può effettivamente esistere all’interno del nostro pozzo quantico?
Quali lunghezze d’onda possono esistere all’interno del pozzo?Quali lunghezze d’onda possono esistere all’interno del pozzo?
Sebbene abbiamo trovato una soluzione sinusoidale all’equazione di Schrödinger, non tutte le sinusoidi possono esistere fisicamente all’interno del potenziale. Ricordiamo che le nostre barriere sono infinitamente alte, quindi la funzione d’onda deve essere nulla su entrambi i bordi.Sebbene abbiamo trovato una soluzione sinusoidale all’equazione di Schrödinger, non tutte le sinusoidi possono esistere fisicamente all’interno del potenziale. Ricordiamo che le nostre barriere sono infinitamente alte, quindi la funzione d’onda deve essere nulla su entrambi i bordi.
Questo comportamento è molto simile a quello di una corda di violino. Come illustrato in ??, una corda fissata a entrambe le estremità può essere messa in vibrazione a una serie specifica di frequenze armoniche. L’armonica fondamentale presenta un unico picco, la seconda ne presenta due, la terza tre e così via. Ogni armonica soddisfa il requisito secondo cui lo spostamento della corda è nullo a entrambe le estremità.Questo comportamento è molto simile a quello di una corda di violino. Come illustrato in ??, una corda fissata a entrambe le estremità può essere messa in vibrazione a una serie specifica di frequenze armoniche. L’armonica fondamentale presenta un unico picco, la seconda ne presenta due, la terza tre e così via. Ogni armonica soddisfa il requisito secondo cui lo spostamento della corda è nullo a entrambe le estremità.
La stessa identica restrizione matematica si applica alla nostra pozza quantistica infinita. Le funzioni d’onda ammesse devono essere contenute tra \(x=0\) e \(x=L\), con un valore pari a zero in corrispondenza di ciascun confine.La stessa identica restrizione matematica si applica alla nostra pozza quantistica infinita. Le funzioni d’onda ammesse devono essere contenute tra \(x=0\) e \(x=L\), con un valore pari a zero in corrispondenza di ciascun confine.
La funzione d’onda sinusoidale che abbiamo ipotizzato soddisfa già la prima condizione al contorno, dato che \(\sin(0)=0\). Per soddisfare la seconda condizione al contorno, è necessario che:La funzione d’onda sinusoidale che abbiamo ipotizzato soddisfa già la prima condizione al contorno, dato che \(\sin(0)=0\). Per soddisfare la seconda condizione al contorno, è necessario che:
\[ \psi(L)=A\sin(kL)=0. \] \[ \psi(L)=A\sin(kL)=0. \]
Una funzione seno è uguale a zero ogni volta che il suo argomento è un multiplo intero di \(\pi\). Pertanto, i soli valori ammessi sono:Una funzione seno è uguale a zero ogni volta che il suo argomento è un multiplo intero di \(\pi\). Pertanto, i soli valori ammessi sono:
\[ kL=n\pi, \qquad n=1,2,3,\ldots \] \[ kL=n\pi, \qquad n=1,2,3,\ldots \]
Riorganizzando l’espressione, otteniamo:Riorganizzando l’espressione, otteniamo:
\[ \boxed{ k_n=\frac{n\pi}{L}, \qquad n=1,2,3,\ldots } \] \[ \boxed{ k_n=\frac{n\pi}{L}, \qquad n=1,2,3,\ldots } \]
Abbiamo quindi scoperto qualcosa di importante: sebbene l’equazione di Schrödinger ammetta soluzioni sinusoidali, i limiti del potenziale le confinano a un insieme specifico di lunghezze d’onda. Queste sono direttamente analoghe alle armoniche di una corda di violino.Abbiamo quindi scoperto qualcosa di importante: sebbene l’equazione di Schrödinger ammetta soluzioni sinusoidali, i limiti del potenziale le confinano a un insieme specifico di lunghezze d’onda. Queste sono direttamente analoghe alle armoniche di una corda di violino.
Possiamo scrivere le corrispondenti funzioni d’onda come segue:Possiamo scrivere le corrispondenti funzioni d’onda come segue:
\[ \boxed{ \psi_n(x)= \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad 0 \lt x \lt L } \] \[ \boxed{ \psi_n(x)= \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad 0 \lt x \lt L } \]
Il fattore che precede la funzione seno serve semplicemente a normalizzare la funzione d’onda, garantendo che la probabilità totale di trovare l’elettrone in un punto qualsiasi all’interno del potenziale sia pari a uno. Ogni valore di \(n\) ci fornisce una diversa distribuzione di probabilità ammissibile.Il fattore che precede la funzione seno serve semplicemente a normalizzare la funzione d’onda, garantendo che la probabilità totale di trovare l’elettrone in un punto qualsiasi all’interno del potenziale sia pari a uno. Ogni valore di \(n\) ci fornisce una diversa distribuzione di probabilità ammissibile.
Calcolo dei livelli energeticiCalcolo dei livelli energetici
Ora che abbiamo capito quali funzioni d’onda possono esistere all’interno del pozzo quantico, possiamo tornare a considerare le loro energie.Ora che abbiamo capito quali funzioni d’onda possono esistere all’interno del pozzo quantico, possiamo tornare a considerare le loro energie.
Esiste una utile analogia con il nostro esempio del violino. Le armoniche più alte di una corda di violino hanno frequenze progressivamente più elevate. Allo stesso modo, gli stati energetici più alti di un pozzo quantico corrispondono a energie degli elettroni progressivamente più elevate.Esiste una utile analogia con il nostro esempio del violino. Le armoniche più alte di una corda di violino hanno frequenze progressivamente più elevate. Allo stesso modo, gli stati energetici più alti di un pozzo quantico corrispondono a energie degli elettroni progressivamente più elevate.
Possiamo calcolare queste energie utilizzando la relazione ottenuta in precedenza, quando abbiamo sostituito la nostra soluzione sinusoidale nell’equazione di Schrödinger:Possiamo calcolare queste energie utilizzando la relazione ottenuta in precedenza, quando abbiamo sostituito la nostra soluzione sinusoidale nell’equazione di Schrödinger:
\[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \] \[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \]
Abbiamo già stabilito che sono ammessi solo determinati valori di \(k\):Abbiamo già stabilito che sono ammessi solo determinati valori di \(k\):
\[ k_n=\frac{n\pi}{L}. \] \[ k_n=\frac{n\pi}{L}. \]
Sostituendo questa espressione nella formula dell’energia, otteniamo:Sostituendo questa espressione nella formula dell’energia, otteniamo:
\[ E_n= \frac{\hbar^2}{2m^*} \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2. \] \[ E_n= \frac{\hbar^2}{2m^*} \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2. \]
Riorganizzando i termini, otteniamo la nota formula per i livelli di energia ammissibili di un pozzo quantistico infinito:Riorganizzando i termini, otteniamo la nota formula per i livelli di energia ammissibili di un pozzo quantistico infinito:
\[ \boxed{ E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m^*L^2} } \] \[ \boxed{ E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m^*L^2} } \]
Questo risultato ci indica che l’energia aumenta in proporzione al quadrato del numero di stato \(n\). In altre parole, il secondo stato ha un’energia quattro volte superiore rispetto al primo, mentre il terzo stato ha un’energia nove volte superiore.Questo risultato ci indica che l’energia aumenta in proporzione al quadrato del numero di stato \(n\). In altre parole, il secondo stato ha un’energia quattro volte superiore rispetto al primo, mentre il terzo stato ha un’energia nove volte superiore.
Inoltre, questo rivela un aspetto particolarmente utile per l’ingegneria dei semiconduttori: poiché l’energia dipende da \(1/L^2\), possiamo aumentare l’energia di confinamento semplicemente riducendo la larghezza del pozzo quantico. Anche la massa efficace dell’elettrone è importante: una massa efficace inferiore produce livelli di energia più elevati in un pozzo altrimenti identico.Inoltre, questo rivela un aspetto particolarmente utile per l’ingegneria dei semiconduttori: poiché l’energia dipende da \(1/L^2\), possiamo aumentare l’energia di confinamento semplicemente riducendo la larghezza del pozzo quantico. Anche la massa efficace dell’elettrone è importante: una massa efficace inferiore produce livelli di energia più elevati in un pozzo altrimenti identico.
Ad esempio, un pozzo di potenziale infinito con una larghezza di \(12\,\mathrm{nm}\) e una massa efficace dell’elettrone pari a \(m^*=0.067m_0\) ha un’energia minima di circa \(39\,\mathrm{meV}\). Le prime tre energie ammesse sono quindi:Ad esempio, un pozzo di potenziale infinito con una larghezza di \(12\,\mathrm{nm}\) e una massa efficace dell’elettrone pari a \(m^*=0.067m_0\) ha un’energia minima di circa \(39\,\mathrm{meV}\). Le prime tre energie ammesse sono quindi:
\[ E_1\approx39\,\mathrm{meV}, \qquad E_2=4E_1, \qquad E_3=9E_1. \] \[ E_1\approx39\,\mathrm{meV}, \qquad E_2=4E_1, \qquad E_3=9E_1. \]
Abbiamo ora calcolato sia le funzioni d’onda ammissibili sia le relative energie. Tuttavia, la nostra ipotesi di barriere infinitamente alte è una semplificazione matematica. Per descrivere il pozzo quantico più realistico mostrato in ??, dobbiamo ora considerare cosa succede quando le barriere hanno un’altezza finita.Abbiamo ora calcolato sia le funzioni d’onda ammissibili sia le relative energie. Tuttavia, la nostra ipotesi di barriere infinitamente alte è una semplificazione matematica. Per descrivere il pozzo quantico più realistico mostrato in ??, dobbiamo ora considerare cosa succede quando le barriere hanno un’altezza finita.
Cosa succede quando le barriere non sono infinite?Cosa succede quando le barriere non sono infinite?
In un vero e proprio pozzo quantico a semiconduttore, le barriere circostanti hanno un’altezza finita. Questo introduce una differenza importante: la funzione d’onda dell’elettrone non deve più tendere a zero ai bordi del pozzo. Invece, può estendersi per una breve distanza nel materiale circostante, anche quando l’energia dell’elettrone è inferiore a quella della barriera.In un vero e proprio pozzo quantico a semiconduttore, le barriere circostanti hanno un’altezza finita. Questo introduce una differenza importante: la funzione d’onda dell’elettrone non deve più tendere a zero ai bordi del pozzo. Invece, può estendersi per una breve distanza nel materiale circostante, anche quando l’energia dell’elettrone è inferiore a quella della barriera.
Possiamo descrivere questo fenomeno utilizzando la stessa equazione di Schrödinger, ma ora dobbiamo tener conto di due regioni distinte: la regione del potenziale minimo, dove \(V(x)=0\), e le barriere circostanti, dove \(V(x)=V_0\). Per un potenziale minimo centrato in \(x=0\), il potenziale è:Possiamo descrivere questo fenomeno utilizzando la stessa equazione di Schrödinger, ma ora dobbiamo tener conto di due regioni distinte: la regione del potenziale minimo, dove \(V(x)=0\), e le barriere circostanti, dove \(V(x)=V_0\). Per un potenziale minimo centrato in \(x=0\), il potenziale è:
\[ V(x)= \begin{cases} 0, & \lvert x\rvert \lt \dfrac{L}{2}, \\[6pt] V_0, & \lvert x\rvert \geq \dfrac{L}{2}. \end{cases} \] \[ V(x)= \begin{cases} 0, & \lvert x\rvert \lt \dfrac{L}{2}, \\[6pt] V_0, & \lvert x\rvert \geq \dfrac{L}{2}. \end{cases} \]
Let us consider an electron with an energy below the barrier
height, so that \(0 La differenza fondamentale è che, ora, la funzione d’onda si comporta in modo diverso nelle due regioni. All’interno del pozenziale, continua a oscillare, proprio come nell’esempio del pozenziale infinito che abbiamo considerato. Tuttavia, all’interno delle barriere, la sua ampiezza diminuisce in modo esponenziale anziché ridursi immediatamente a zero.La differenza fondamentale è che, ora, la funzione d’onda si comporta in modo diverso nelle due regioni. All’interno del pozenziale, continua a oscillare, proprio come nell’esempio del pozenziale infinito che abbiamo considerato. Tuttavia, all’interno delle barriere, la sua ampiezza diminuisce in modo esponenziale anziché ridursi immediatamente a zero. Questo accade perché l’equazione di Schrödinger cambia quando l’energia potenziale diventa maggiore dell’energia dell’elettrone. La velocità con cui la funzione d’onda decade all’interno delle barriere è descritta dalla seguente equazione:Questo accade perché l’equazione di Schrödinger cambia quando l’energia potenziale diventa maggiore dell’energia dell’elettrone. La velocità con cui la funzione d’onda decade all’interno delle barriere è descritta dalla seguente equazione:
\[
\boxed{
\kappa =
\frac{\sqrt{2m^{*}(V_0-E)}}{\hbar}
}
\]
\[
\boxed{
\kappa =
\frac{\sqrt{2m^{*}(V_0-E)}}{\hbar}
}
\]
Per calcolare i livelli energetici ammissibili, dobbiamo trovare le soluzioni per le quali la funzione d’onda oscillante all’interno del potenziale si connette in modo continuo alla funzione d’onda che decade esponenzialmente nelle barriere. In genere, questo viene fatto tramite metodi numerici.Per calcolare i livelli energetici ammissibili, dobbiamo trovare le soluzioni per le quali la funzione d’onda oscillante all’interno del potenziale si connette in modo continuo alla funzione d’onda che decade esponenzialmente nelle barriere. In genere, questo viene fatto tramite metodi numerici. Il risultato è illustrato in ??. Si noti come le funzioni d’onda colorate si estendono oltre i bordi del potenziale. Poiché il quadrato della funzione d’onda rappresenta la densità di probabilità, ciò significa che esiste una piccola probabilità di trovare l’elettrone all’interno delle barriere circostanti.Il risultato è illustrato in ??. Si noti come le funzioni d’onda colorate si estendono oltre i bordi del potenziale. Poiché il quadrato della funzione d’onda rappresenta la densità di probabilità, ciò significa che esiste una piccola probabilità di trovare l’elettrone all’interno delle barriere circostanti. Poiché l’elettrone è effettivamente confinato in una regione leggermente più ampia, i suoi livelli di energia sono generalmente inferiori a quelli previsti dall’approssimazione del potenziale a pozzo infinito. Inoltre, un potenziale a pozzo finito può supportare solo un numero finito di stati legati.Poiché l’elettrone è effettivamente confinato in una regione leggermente più ampia, i suoi livelli di energia sono generalmente inferiori a quelli previsti dall’approssimazione del potenziale a pozzo infinito. Inoltre, un potenziale a pozzo finito può supportare solo un numero finito di stati legati. La formula semplificata del pozzo quantico infinito è utile per comprendere il fenomeno del confinamento, ma un dispositivo realistico richiede solitamente che nel calcolo siano inclusi gli strati di materiale effettivi, gli spostamenti di banda, le masse efficaci e i campi elettrici. OghmaNano offre diversi livelli di modellazione del pozzo quantico, a seconda di quali effetti sono rilevanti:La formula semplificata del pozzo quantico infinito è utile per comprendere il fenomeno del confinamento, ma un dispositivo realistico richiede solitamente che nel calcolo siano inclusi gli strati di materiale effettivi, gli spostamenti di banda, le masse efficaci e i campi elettrici. OghmaNano offre diversi livelli di modellazione del pozzo quantico, a seconda di quali effetti sono rilevanti: 🧪 Prova questa funzionalità in OghmaNano: segui il tutorial GaAs/AlGaAs parabolic quantum-well per calcolare gli stati confinati di elettroni e lacune, i livelli energetici e le funzioni d’onda, utilizzando i concetti sviluppati in precedenza. Per modelli più avanzati, consulta k·p band-structure, quantum-well and mobility solver.🧪 Prova questa funzionalità in OghmaNano: segui il tutorial GaAs/AlGaAs parabolic quantum-well per calcolare gli stati confinati di elettroni e lacune, i livelli energetici e le funzioni d’onda, utilizzando i concetti sviluppati in precedenza. Per modelli più avanzati, consulta k·p band-structure, quantum-well and mobility solver. Gli autovalori e le funzioni d’onda ottenute possono quindi essere utilizzati nei calcoli successivi relativi alle transizioni ottiche, al guadagno e alla diffusione dei portatori di carica. Un’introduzione pratica è fornita dal tutorial GaAs/AlGaAs, pozzo quantico parabolico. Calcoli più avanzati, tra cui quelli che utilizzano il metodo multibanda k·p, i pozzi quantici in silicio/SiGe, gli spettri ottici e la mobilità dei portatori, sono raccolti in risolutore della struttura a bande k·p, pozzo quantico e mobilità.Gli autovalori e le funzioni d’onda ottenute possono quindi essere utilizzati nei calcoli successivi relativi alle transizioni ottiche, al guadagno e alla diffusione dei portatori di carica. Un’introduzione pratica è fornita dal tutorial GaAs/AlGaAs, pozzo quantico parabolico. Calcoli più avanzati, tra cui quelli che utilizzano il metodo multibanda k·p, i pozzi quantici in silicio/SiGe, gli spettri ottici e la mobilità dei portatori, sono raccolti in risolutore della struttura a bande k·p, pozzo quantico e mobilità. Una delle proprietà più utili di una struttura a pozzo quantico è la possibilità di controllare i livelli energetici degli elettroni e delle lacune semplicemente modificandone la larghezza. In generale, restringendo il pozzo, si aumenta la distanza tra i livelli energetici confinati, mentre allargandolo, si riduce tale distanza. Questo ci offre un modo per controllare le proprietà elettroniche e ottiche di un materiale senza necessariamente modificarne la composizione chimica.Una delle proprietà più utili di una struttura a pozzo quantico è la possibilità di controllare i livelli energetici degli elettroni e delle lacune semplicemente modificandone la larghezza. In generale, restringendo il pozzo, si aumenta la distanza tra i livelli energetici confinati, mentre allargandolo, si riduce tale distanza. Questo ci offre un modo per controllare le proprietà elettroniche e ottiche di un materiale senza necessariamente modificarne la composizione chimica. Le strutture a pozzo quantico sono particolarmente importanti nei dispositivi a semiconduttore perché consentono di controllare la posizione dei portatori di carica e le transizioni energetiche a cui possono accedere. Alcune applicazioni includono:Le strutture a pozzo quantico sono particolarmente importanti nei dispositivi a semiconduttore perché consentono di controllare la posizione dei portatori di carica e le transizioni energetiche a cui possono accedere. Alcune applicazioni includono: L’idea fondamentale è che una struttura a pozzo quantico ci permette di progettare i livelli di energia elettronici attraverso la geometria della struttura stessa. Per capire come si formano questi livelli, dobbiamo risolvere l’equazione di Schrödinger per una particella confinata all’interno del pozzo.L’idea fondamentale è che una struttura a pozzo quantico ci permette di progettare i livelli di energia elettronici attraverso la geometria della struttura stessa. Per capire come si formano questi livelli, dobbiamo risolvere l’equazione di Schrödinger per una particella confinata all’interno del pozzo.Calcolo delle strutture a pozzo quantico in OghmaNanoCalcolo delle strutture a pozzo quantico in OghmaNano
Perché le strutture a pozzo quantico sono così interessanti?Perché le strutture a pozzo quantico sono così interessanti?