Comprendere il modello di valenza a sei bande di Luttinger–KohnComprendere il modello di valenza a sei bande di Luttinger–Kohn

Perché è necessario un modello specifico per i difetti?Perché è necessario un modello specifico per i difetti?

In tutorial sulle bande parabolicheabbiamo considerato gli elettroni e le lacune utilizzando parabole distinte. Questo rappresenta un buon punto di partenza, ma le bande di valenza superiori di molti semiconduttori sono notevolmente più complesse. Invece di una singola banda di lacune, ci troviamo di fronte a diverse bande ravvicinate che possono interagire tra loro. In tutorial sulle bande parabolicheabbiamo considerato gli elettroni e le lacune utilizzando parabole distinte. Questo rappresenta un buon punto di partenza, ma le bande di valenza superiori di molti semiconduttori sono notevolmente più complesse. Invece di una singola banda di lacune, ci troviamo di fronte a diverse bande ravvicinate che possono interagire tra loro.

Queste bande sono convenzionalmente denominate banda dei «buchi pesanti» (HH), banda dei «buchi leggeri» (LH) e banda di «separazione» (SO), come illustrato in ??. I termini «pesante» e «leggero» si riferiscono alla diversa curvatura delle bande e, di conseguenza, alla diversa massa effettiva; non indicano che esistano due tipi fisici diversi di buco.Queste bande sono convenzionalmente denominate banda dei «buchi pesanti» (HH), banda dei «buchi leggeri» (LH) e banda di «separazione» (SO), come illustrato in ??. I termini «pesante» e «leggero» si riferiscono alla diversa curvatura delle bande e, di conseguenza, alla diversa massa effettiva; non indicano che esistano due tipi fisici diversi di buco.

Il/La modello di Luttinger-Kohn a sei bande descrive questi stati di valenza nel loro insieme. È particolarmente utile per i pozzi quantici di silicio, germanio e SiGe, dove gli stati di conduzione possono essere trattati utilizzando un metodo separato. modello della Silicon ValleyA differenza di un modello a otto bande, il modello LK a sei bande non include esplicitamente la banda di conduzione: si concentra sulla fisica delle lacune. Il/La modello di Luttinger-Kohn a sei bande descrive questi stati di valenza nel loro insieme. È particolarmente utile per i pozzi quantici di silicio, germanio e SiGe, dove gli stati di conduzione possono essere trattati utilizzando un metodo separato. modello della Silicon ValleyA differenza di un modello a otto bande, il modello LK a sei bande non include esplicitamente la banda di conduzione: si concentra sulla fisica delle lacune.

Da dove derivano i sei stati?Da dove derivano i sei stati?

Per comprendere il significato del numero sei, è utile partire dagli orbitali della banda di valenza. In prossimità del centro della zona di Brillouin, gli stati rilevanti nei semiconduttori a base di diamante e di zinco-blenda presentano tre componenti orbitali di tipo p, che possiamo indicare con X, Y e Z. Un elettrone ha anche due possibili componenti di spin. Pertanto, moltiplicando le tre componenti orbitali per le due componenti di spin, si ottengono sei stati.Per comprendere il significato del numero sei, è utile partire dagli orbitali della banda di valenza. In prossimità del centro della zona di Brillouin, gli stati rilevanti nei semiconduttori a base di diamante e di zinco-blenda presentano tre componenti orbitali di tipo p, che possiamo indicare con X, Y e Z. Un elettrone ha anche due possibili componenti di spin. Pertanto, moltiplicando le tre componenti orbitali per le due componenti di spin, si ottengono sei stati.

L’interazione tra il momento angolare orbitale e quello di spin del cristallo li accoppia. A questo punto, è utile sostituire le etichette separate per il momento angolare orbitale e quello di spin con gli stati del momento angolare totale, indicati con J e la sua proiezione mJ. I sei stati si dividono in un gruppo di quattro con J = 3/2 e un gruppo di due con J = 1/2:L’interazione tra il momento angolare orbitale e quello di spin del cristallo li accoppia. A questo punto, è utile sostituire le etichette separate per il momento angolare orbitale e quello di spin con gli stati del momento angolare totale, indicati con J e la sua proiezione mJ. I sei stati si dividono in un gruppo di quattro con J = 3/2 e un gruppo di due con J = 1/2:

\[ \underbrace{4\text{ states}}_{J=3/2} \quad+\quad \underbrace{2\text{ states}}_{J=1/2} \quad=\quad 6\text{ states}. \] \[ \underbrace{4\text{ states}}_{J=3/2} \quad+\quad \underbrace{2\text{ states}}_{J=1/2} \quad=\quad 6\text{ states}. \]

I quattro stati con J = 3/2 costituiscono la struttura delle bande di conduzione pesante e leggera al centro della zona di Brillouin. La coppia rimanente forma la banda separata, spostata verso il basso a causa dell’energia di interazione spin-orbita \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Non si tratta di sei parabole indipendenti: quando una carica si allontana dal centro della zona, le diverse componenti possono interagire, motivo per cui è necessario risolverle insieme.I quattro stati con J = 3/2 costituiscono la struttura delle bande di conduzione pesante e leggera al centro della zona di Brillouin. La coppia rimanente forma la banda separata, spostata verso il basso a causa dell’energia di interazione spin-orbita \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Non si tratta di sei parabole indipendenti: quando una carica si allontana dal centro della zona, le diverse componenti possono interagire, motivo per cui è necessario risolverle insieme.

Come scegliere la base a sei bande.Come scegliere la base a sei bande.

OghmaNano utilizza la base del momento angolare totale, con il seguente ordine degli stati:OghmaNano utilizza la base del momento angolare totale, con il seguente ordine degli stati:

\[ \begin{aligned} &\left|\tfrac32,+\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle,\\[4pt] &\left|\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &\left|\tfrac32,+\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle,\\[4pt] &\left|\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle. \end{aligned} \]

Il primo e il quarto stato presentano caratteristiche di «heavy hole», i due stati centrali del gruppo J = 3/2 presentano caratteristiche di «light hole», e gli ultimi due stati sono stati di tipo «split-off». Questa sequenza è utile perché lo splitting dovuto all’interazione spin-orbita è già incluso nella base di riferimento: al centro della zona di Brillouin, la coppia di stati «split-off» si trova \(\Delta_{\mathrm{so}}\) al di sotto degli stati di valenza superiori.Il primo e il quarto stato presentano caratteristiche di «heavy hole», i due stati centrali del gruppo J = 3/2 presentano caratteristiche di «light hole», e gli ultimi due stati sono stati di tipo «split-off». Questa sequenza è utile perché lo splitting dovuto all’interazione spin-orbita è già incluso nella base di riferimento: al centro della zona di Brillouin, la coppia di stati «split-off» si trova \(\Delta_{\mathrm{so}}\) al di sotto degli stati di valenza superiori.

Possiamo quindi costruire una matrice hamiltoniana 6 × 6, che descrive i singoli stati e le interazioni tra di essi. I valori di energia ammissibili si ottengono calcolando gli autovalori della matrice, mentre gli autovettori ci forniscono informazioni sul carattere di ogni stato risultante, distinguendo tra stati di tipo «heavy-hole», «light-hole» e stati di tipo «split-off».Possiamo quindi costruire una matrice hamiltoniana 6 × 6, che descrive i singoli stati e le interazioni tra di essi. I valori di energia ammissibili si ottengono calcolando gli autovalori della matrice, mentre gli autovettori ci forniscono informazioni sul carattere di ogni stato risultante, distinguendo tra stati di tipo «heavy-hole», «light-hole» e stati di tipo «split-off».

Come descriviamo il movimento di un foro?Come descriviamo il movimento di un foro?

In una singola banda parabolica, una sola massa efficace determina la velocità con cui l’energia varia in funzione del vettore d’onda. Nel nostro caso, abbiamo diversi stati di valenza accoppiati, quindi una sola massa non è più sufficiente. Invece, il modello di Luttinger-Kohn utilizza tre parametri del materiale, \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) e \(\gamma_3\), per descrivere la curvatura e la sovrapposizione delle bande.In una singola banda parabolica, una sola massa efficace determina la velocità con cui l’energia varia in funzione del vettore d’onda. Nel nostro caso, abbiamo diversi stati di valenza accoppiati, quindi una sola massa non è più sufficiente. Invece, il modello di Luttinger-Kohn utilizza tre parametri del materiale, \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) e \(\gamma_3\), per descrivere la curvatura e la sovrapposizione delle bande.

Questi parametri vengono raggruppati in quattro utili quantità matematiche, tradizionalmente indicate con le sigle \(P\), \(Q\), \(R\) e \(S\). Il loro significato fisico è più facile da comprendere prima di analizzare le loro espressioni complete:Questi parametri vengono raggruppati in quattro utili quantità matematiche, tradizionalmente indicate con le sigle \(P\), \(Q\), \(R\) e \(S\). Il loro significato fisico è più facile da comprendere prima di analizzare le loro espressioni complete:

• \(P\): il contributo comune alla curvatura degli stati di valenza.\(P\): il contributo comune alla curvatura degli stati di valenza.
• \(Q\): permette di distinguere le diverse orientazioni degli stati di «heavy hole» e «light hole» e di separarne i livelli di energia.\(Q\): permette di distinguere le diverse orientazioni degli stati di «heavy hole» e «light hole» e di separarne i livelli di energia.
• \(R\): accoppia i componenti di valenza tramite il movimento nel piano degli strati semiconduttori.\(R\): accoppia i componenti di valenza tramite il movimento nel piano degli strati semiconduttori.
• \(S\): le coppie di stati sono correlate attraverso una combinazione di movimenti sullo stesso piano e movimenti tra i diversi strati.\(S\): le coppie di stati sono correlate attraverso una combinazione di movimenti sullo stesso piano e movimenti tra i diversi strati.

Il vettore d’onda di base ha tre componenti: \(k_x\) e \(k_y\) descrivono il movimento parallelo agli strati del pozzo quantico, mentre \(k_z\) si riferisce alla direzione di crescita, perpendicolare a tali strati. Definiamo inoltre \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\), dove \(m_0\) rappresenta la massa dell’elettrone libero.Il vettore d’onda di base ha tre componenti: \(k_x\) e \(k_y\) descrivono il movimento parallelo agli strati del pozzo quantico, mentre \(k_z\) si riferisce alla direzione di crescita, perpendicolare a tali strati. Definiamo inoltre \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\), dove \(m_0\) rappresenta la massa dell’elettrone libero.

Nella convenzione di segno utilizzata nella formulazione OghmaNano fornita, i contributi cinetici sono i seguenti:Nella convenzione di segno utilizzata nella formulazione OghmaNano fornita, i contributi cinetici sono i seguenti:

\[ \begin{aligned} P_k &= -A_0\gamma_1(k_x^2+k_y^2+k_z^2),\\[5pt] Q_k &= -A_0\gamma_2(k_x^2+k_y^2-2k_z^2),\\[5pt] R_k &= \sqrt{3}A_0\left[\gamma_2(k_x^2-k_y^2) -2i\gamma_3k_xk_y\right],\\[5pt] S_k &= 2\sqrt{3}A_0\gamma_3(k_x-ik_y)k_z. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_k &= -A_0\gamma_1(k_x^2+k_y^2+k_z^2),\\[5pt] Q_k &= -A_0\gamma_2(k_x^2+k_y^2-2k_z^2),\\[5pt] R_k &= \sqrt{3}A_0\left[\gamma_2(k_x^2-k_y^2) -2i\gamma_3k_xk_y\right],\\[5pt] S_k &= 2\sqrt{3}A_0\gamma_3(k_x-ik_y)k_z. \end{aligned} \]

Non è necessario memorizzare queste espressioni per comprendere il modello. Si noti invece che alcuni termini dipendono da \(k_x\) e \(k_y\) in modo diverso da \(k_z\). Questa è la matematica che consente al modello di descrivere comportamenti diversi delle bande di conduzione e di valenza lungo diverse direzioni del cristallo. I fattori immaginari in \(R\) e \(S\) fanno parte della base quantistica scelta; l’Hamiltoniana completa rimane hermitiana e presenta energie reali.Non è necessario memorizzare queste espressioni per comprendere il modello. Si noti invece che alcuni termini dipendono da \(k_x\) e \(k_y\) in modo diverso da \(k_z\). Questa è la matematica che consente al modello di descrivere comportamenti diversi delle bande di conduzione e di valenza lungo diverse direzioni del cristallo. I fattori immaginari in \(R\) e \(S\) fanno parte della base quantistica scelta; l’Hamiltoniana completa rimane hermitiana e presenta energie reali.

Un esempio utile: un foro che si sposta lungo la direzione di crescita.Un esempio utile: un foro che si sposta lungo la direzione di crescita.

Prima di analizzare la matrice completa, consideriamo il caso più semplice in cui il vettore d’onda nel piano è zero, quindi \(k_x=k_y=0\). In questo caso, i termini cinetici si riducono a:Prima di analizzare la matrice completa, consideriamo il caso più semplice in cui il vettore d’onda nel piano è zero, quindi \(k_x=k_y=0\). In questo caso, i termini cinetici si riducono a:

\[ \begin{aligned} P_k &=-A_0\gamma_1k_z^2,\\[3pt] Q_k &=+2A_0\gamma_2k_z^2,\\[3pt] R_k &=0,\qquad S_k=0. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_k &=-A_0\gamma_1k_z^2,\\[3pt] Q_k &=+2A_0\gamma_2k_z^2,\\[3pt] R_k &=0,\qquad S_k=0. \end{aligned} \]

Di conseguenza, la diagonale corrispondente ai fori pesanti contiene \(P+Q\), mentre quella corrispondente ai fori leggeri contiene \(P-Q\). Anche senza calcolare tutti gli autovalori, possiamo osservare come emergono curvature diverse:Di conseguenza, la diagonale corrispondente ai fori pesanti contiene \(P+Q\), mentre quella corrispondente ai fori leggeri contiene \(P-Q\). Anche senza calcolare tutti gli autovalori, possiamo osservare come emergono curvature diverse:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{HH}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1-2\gamma_2)k_z^2,\\[4pt] E_{\mathrm{LH,diag}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1+2\gamma_2)k_z^2. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} E_{\mathrm{HH}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1-2\gamma_2)k_z^2,\\[4pt] E_{\mathrm{LH,diag}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1+2\gamma_2)k_z^2. \end{aligned} \]

Queste espressioni mostrano le diverse scale di curvatura lungo la direzione di crescita. È importante sottolineare un aspetto: la parte relativa ai fori leggeri dell’Hamiltoniana completa a sei bande può ancora interagire con gli stati di separazione tramite \(Q\). Pertanto, la seconda espressione rappresenta un contributo diagonale e, in generale, non corrisponde all’autovalore esatto dei fori leggeri del modello a sei bande. Questo illustra chiaramente perché è necessario risolvere una matrice anziché ipotizzare che ciascuna banda di valenza sia indipendentemente parabolica.Queste espressioni mostrano le diverse scale di curvatura lungo la direzione di crescita. È importante sottolineare un aspetto: la parte relativa ai fori leggeri dell’Hamiltoniana completa a sei bande può ancora interagire con gli stati di separazione tramite \(Q\). Pertanto, la seconda espressione rappresenta un contributo diagonale e, in generale, non corrisponde all’autovalore esatto dei fori leggeri del modello a sei bande. Questo illustra chiaramente perché è necessario risolvere una matrice anziché ipotizzare che ciascuna banda di valenza sia indipendentemente parabolica.

Unendo i sei StatiUnendo i sei Stati

Ora che i singoli termini hanno un significato fisico, possiamo costruire l’Hamiltoniana completa. Le sue righe e le sue colonne corrispondono, in ordine, ai sei stati introdotti in precedenza. Misuriamo le energie rispetto al riferimento della banda di valenza \(E_v\) e scriviamo \(\Delta=\Delta_{\mathrm{so}}\):Ora che i singoli termini hanno un significato fisico, possiamo costruire l’Hamiltoniana completa. Le sue righe e le sue colonne corrispondono, in ordine, ai sei stati introdotti in precedenza. Misuriamo le energie rispetto al riferimento della banda di valenza \(E_v\) e scriviamo \(\Delta=\Delta_{\mathrm{so}}\):

\[ \small H=E_v\mathbb{1}+ \begin{pmatrix} P+Q & S & R & 0 & -S/\sqrt2 & -\sqrt2 R\\ S^\dagger & P-Q & 0 & R & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S\\ R^\dagger & 0 & P-Q & -S & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q\\ 0 & R^\dagger & -S^\dagger & P+Q & \sqrt2 R^\dagger & -S^\dagger/\sqrt2\\ -S^\dagger/\sqrt2 & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S & \sqrt2 R & P-\Delta & 0\\ -\sqrt2 R^\dagger & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q & -S/\sqrt2 & 0 & P-\Delta \end{pmatrix}. \] \[ \small H=E_v\mathbb{1}+ \begin{pmatrix} P+Q & S & R & 0 & -S/\sqrt2 & -\sqrt2 R\\ S^\dagger & P-Q & 0 & R & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S\\ R^\dagger & 0 & P-Q & -S & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q\\ 0 & R^\dagger & -S^\dagger & P+Q & \sqrt2 R^\dagger & -S^\dagger/\sqrt2\\ -S^\dagger/\sqrt2 & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S & \sqrt2 R & P-\Delta & 0\\ -\sqrt2 R^\dagger & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q & -S/\sqrt2 & 0 & P-\Delta \end{pmatrix}. \]

Questo sistema sembra molto più complesso di una singola equazione di Schrödinger, ma la sua struttura è piuttosto semplice. Le prime quattro righe e colonne descrivono il collettore dei fori pesanti e leggeri. Le ultime due descrivono la coppia di livelli energetici separati. Gli elementi sulla diagonale descrivono le energie dei singoli componenti, mentre gli elementi fuori dalla diagonale li mescolano. Il simbolo del pugnale indica il coniugato hermitiano di un termine; per un coefficiente scalare, ciò significa il suo coniugato complesso.Questo sistema sembra molto più complesso di una singola equazione di Schrödinger, ma la sua struttura è piuttosto semplice. Le prime quattro righe e colonne descrivono il collettore dei fori pesanti e leggeri. Le ultime due descrivono la coppia di livelli energetici separati. Gli elementi sulla diagonale descrivono le energie dei singoli componenti, mentre gli elementi fuori dalla diagonale li mescolano. Il simbolo del pugnale indica il coniugato hermitiano di un termine; per un coefficiente scalare, ciò significa il suo coniugato complesso.

Al centro della zona di Brillouin e in assenza di sollecitazioni, i termini cinetici scompaiono: i quattro stati con J = 3/2 condividono il bordo della banda di valenza e la coppia di livelli scissi si trova \(\Delta\) al di sotto di esso. Lontano dal centro della zona, il mescolamento modifica le energie e le caratteristiche delle bande risultanti.Al centro della zona di Brillouin e in assenza di sollecitazioni, i termini cinetici scompaiono: i quattro stati con J = 3/2 condividono il bordo della banda di valenza e la coppia di livelli scissi si trova \(\Delta\) al di sotto di esso. Lontano dal centro della zona, il mescolamento modifica le energie e le caratteristiche delle bande risultanti.

Cosa succede quando un semiconduttore viene sottoposto a sollecitazione?Cosa succede quando un semiconduttore viene sottoposto a sollecitazione?

I pozzi quantici di silicio e germanio vengono spesso realizzati su un substrato con una costante di reticolo leggermente diversa. Questo introduce una sollecitazione che può modificare i livelli di energia di valenza e rimuovere la degenerazione degli stati di lacuna pesante e leggera.I pozzi quantici di silicio e germanio vengono spesso realizzati su un substrato con una costante di reticolo leggermente diversa. Questo introduce una sollecitazione che può modificare i livelli di energia di valenza e rimuovere la degenerazione degli stati di lacuna pesante e leggera.

Un aspetto utile della formulazione di Luttinger–Kohn è che è possibile introdurre la deformazione utilizzando un altro insieme di termini \(P,Q,R,S\). Semplicemente, combiniamo i contributi cinetici e quelli dovuti alla deformazione:Un aspetto utile della formulazione di Luttinger–Kohn è che è possibile introdurre la deformazione utilizzando un altro insieme di termini \(P,Q,R,S\). Semplicemente, combiniamo i contributi cinetici e quelli dovuti alla deformazione:

\[ \begin{aligned} P&=P_k+P_{\varepsilon}, &Q&=Q_k+Q_{\varepsilon},\\ R&=R_k+R_{\varepsilon}, &S&=S_k+S_{\varepsilon}. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P&=P_k+P_{\varepsilon}, &Q&=Q_k+Q_{\varepsilon},\\ R&=R_k+R_{\varepsilon}, &S&=S_k+S_{\varepsilon}. \end{aligned} \]

Ad esempio, il contributo dovuto alla deformazione idrostatica risponde alla variazione complessiva del volume, mentre la componente biaxiale distingue la deformazione lungo la direzione di crescita dalla deformazione nel piano:Ad esempio, il contributo dovuto alla deformazione idrostatica risponde alla variazione complessiva del volume, mentre la componente biaxiale distingue la deformazione lungo la direzione di crescita dalla deformazione nel piano:

\[ \begin{aligned} P_{\varepsilon}&=a_v(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}),\\[4pt] Q_{\varepsilon}&=\frac{b}{2} (\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}). \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{\varepsilon}&=a_v(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}),\\[4pt] Q_{\varepsilon}&=\frac{b}{2} (\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}). \end{aligned} \]

I restanti componenti della struttura contribuiscono a \(R_{\varepsilon}\) e \(S_{\varepsilon}\)consentendo alla deformazione tangenziale di mescolare gli stati di valenza. Le loro espressioni complete e le convenzioni relative al potenziale di deformazione sono illustrate nel documento. Pagina relativa al ceppo Bir–PikusA questo punto, possiamo risolvere la stessa matrice a sei bande, includendo i termini relativi alla deformazione. I restanti componenti della struttura contribuiscono a \(R_{\varepsilon}\) e \(S_{\varepsilon}\)consentendo alla deformazione tangenziale di mescolare gli stati di valenza. Le loro espressioni complete e le convenzioni relative al potenziale di deformazione sono illustrate nel documento. Pagina relativa al ceppo Bir–PikusA questo punto, possiamo risolvere la stessa matrice a sei bande, includendo i termini relativi alla deformazione.

Applicazione del modello a una struttura a pozzo quanticoApplicazione del modello a una struttura a pozzo quantico

Finora, abbiamo descritto la struttura a bande utilizzando tre componenti del vettore d’onda. In una struttura a pozzo quantico, le cariche sono confinate lungo la direzione di crescita \(z\), mentre rimangono libere di muoversi lungo \(x\) e \(y\). I vettori d’onda nel piano vengono quindi mantenuti come valori numerici, ma il movimento lungo \(z\) deve essere rappresentato da un operatore:Finora, abbiamo descritto la struttura a bande utilizzando tre componenti del vettore d’onda. In una struttura a pozzo quantico, le cariche sono confinate lungo la direzione di crescita \(z\), mentre rimangono libere di muoversi lungo \(x\) e \(y\). I vettori d’onda nel piano vengono quindi mantenuti come valori numerici, ma il movimento lungo \(z\) deve essere rappresentato da un operatore:

\[ k_z\longrightarrow-i\frac{d}{dz}. \] \[ k_z\longrightarrow-i\frac{d}{dz}. \]

Tutti i termini contenenti \(k_z\) diventano derivati delle funzioni d’onda dell’inviluppo. Il problema a sei bande viene quindi risolto attraverso gli strati del semiconduttore, tenendo conto del profilo del potenziale, dei parametri del materiale e della deformazione. Il risultato è un insieme di sottobande di valenza confinate, ciascuna con una funzione d’onda dell’inviluppo a sei componenti. Queste componenti ci indicano la quantità di contributo proveniente da lacune pesanti, lacune leggere e lacune separate presente in ciascuno stato.Tutti i termini contenenti \(k_z\) diventano derivati delle funzioni d’onda dell’inviluppo. Il problema a sei bande viene quindi risolto attraverso gli strati del semiconduttore, tenendo conto del profilo del potenziale, dei parametri del materiale e della deformazione. Il risultato è un insieme di sottobande di valenza confinate, ciascuna con una funzione d’onda dell’inviluppo a sei componenti. Queste componenti ci indicano la quantità di contributo proveniente da lacune pesanti, lacune leggere e lacune separate presente in ciascuno stato.

Se la griglia che definisce la direzione di crescita contiene \(N_z\) punti spaziali, l’Hamiltoniana discreta avrà dimensioni \(6N_z\) x \(6N_z\). OghmaNano utilizza questo calcolo multibanda per gli stati di valenza, mentre il modulo silicon Δ-valley solver gestisce separatamente gli stati di conduzione. A differenza di un semplice modello parabolico, questo approccio può descrivere il mescolamento delle bande di valenza, che varia in funzione del vettore d’onda nel piano. Un calcolo completo di Si/SiGe che utilizza questo modello è illustrato nel tutorial six-band Luttinger–Kohn quantum-well.Se la griglia che definisce la direzione di crescita contiene \(N_z\) punti spaziali, l’Hamiltoniana discreta avrà dimensioni \(6N_z\) x \(6N_z\). OghmaNano utilizza questo calcolo multibanda per gli stati di valenza, mentre il modulo silicon Δ-valley solver gestisce separatamente gli stati di conduzione. A differenza di un semplice modello parabolico, questo approccio può descrivere il mescolamento delle bande di valenza, che varia in funzione del vettore d’onda nel piano. Un calcolo completo di Si/SiGe che utilizza questo modello è illustrato nel tutorial six-band Luttinger–Kohn quantum-well.

In che modo questo si collega al modello a otto livelli?In che modo questo si collega al modello a otto livelli?

Il modello a sei bande LK e il modello a otto bande modello zincblende k·p descrivono fenomeni fisici simili, ma adottano approcci diversi per quanto riguarda l’inclusione esplicita di determinati stati. Entrambi mantengono gli stati di valenza interagenti. Il modello a otto bande aggiunge inoltre i due stati di conduzione, simili agli orbitali s e risolti in base allo spin, e il loro accoppiamento di Kane alla banda di valenza.Il modello a sei bande LK e il modello a otto bande modello zincblende k·p descrivono fenomeni fisici simili, ma adottano approcci diversi per quanto riguarda l’inclusione esplicita di determinati stati. Entrambi mantengono gli stati di valenza interagenti. Il modello a otto bande aggiunge inoltre i due stati di conduzione, simili agli orbitali s e risolti in base allo spin, e il loro accoppiamento di Kane alla banda di valenza.

In un semiconduttore come il silicio, dove i minimi di conduzione più bassi si trovano lontano dal centro della zona di Brillouin, un Hamiltoniano a otto bande centrato sulla zona non rappresenta direttamente quelle sei valli. Pertanto, è utile trattare la banda di valenza con il modello a sei bande di LK e la banda di conduzione con il modello specifico per le valli.In un semiconduttore come il silicio, dove i minimi di conduzione più bassi si trovano lontano dal centro della zona di Brillouin, un Hamiltoniano a otto bande centrato sulla zona non rappresenta direttamente quelle sei valli. Pertanto, è utile trattare la banda di valenza con il modello a sei bande di LK e la banda di conduzione con il modello specifico per le valli.