Comprendere il modello k·p a 8 bande per la struttura cristallina wurtzite.Comprendere il modello k·p a 8 bande per la struttura cristallina wurtzite.

Perché è necessario un modello diverso per la wurtzite?Perché è necessario un modello diverso per la wurtzite?

In tutorial sulla struttura a otto bande della sfaleriteabbiamo permesso agli stati di conduzione e di valenza di interagire tra loro, anziché considerarli come parabole indipendenti. Ora desideriamo applicare lo stesso approccio a materiali come GaN, AlN, InN e le loro leghe, che sono ampiamente utilizzati nei LED e nei laser. In tutorial sulla struttura a otto bande della sfaleriteabbiamo permesso agli stati di conduzione e di valenza di interagire tra loro, anziché considerarli come parabole indipendenti. Ora desideriamo applicare lo stesso approccio a materiali come GaN, AlN, InN e le loro leghe, che sono ampiamente utilizzati nei LED e nei laser.

Questi materiali presentano comunemente una struttura cristallina di tipo wurtzite. A differenza della struttura cubica della zincblenda, la sua simmetria esagonale distingue una direzione specifica: l’asse c del cristallo. In questa pagina, considereremo questa direzione come la direzione \(z\), con \(x\) e \(y\) situate nel piano basale perpendicolare. Questa distinzione è importante perché l’energia elettronica, la miscelazione degli orbitali e l’interazione con la luce possono variare a seconda della direzione.Questi materiali presentano comunemente una struttura cristallina di tipo wurtzite. A differenza della struttura cubica della zincblenda, la sua simmetria esagonale distingue una direzione specifica: l’asse c del cristallo. In questa pagina, considereremo questa direzione come la direzione \(z\), con \(x\) e \(y\) situate nel piano basale perpendicolare. Questa distinzione è importante perché l’energia elettronica, la miscelazione degli orbitali e l’interazione con la luce possono variare a seconda della direzione.

Inizieremo illustrando la spiegazione fisica di ciascun nuovo termine, per poi mostrare come l’Hamiltoniana a otto bande lo descriva. Il risultato ottenuto metterà in relazione diretta i termini con le sottobande dei pozzi quantici e con la polarizzazione della luce emessa.Inizieremo illustrando la spiegazione fisica di ciascun nuovo termine, per poi mostrare come l’Hamiltoniana a otto bande lo descriva. Il risultato ottenuto metterà in relazione diretta i termini con le sottobande dei pozzi quantici e con la polarizzazione della luce emessa.

L’asse c e la separazione dei livelli energetici dovuta al campo cristallinoL’asse c e la separazione dei livelli energetici dovuta al campo cristallino

Consideriamo i tre orbitali di tipo p utilizzati per rappresentare le bande di valenza superiori. Li etichettiamo come \(X\), \(Y\) e \(Z\) in base alle loro caratteristiche orbitali. Si tratta di funzioni di base elettroniche, e non di tre posizioni diverse all’interno di un dispositivo. Nella struttura wurtzite, gli stati \(X\) e \(Y\) sono legati da una relazione di simmetria, mentre lo stato \(Z\) si distingue per l’asse c.Consideriamo i tre orbitali di tipo p utilizzati per rappresentare le bande di valenza superiori. Li etichettiamo come \(X\), \(Y\) e \(Z\) in base alle loro caratteristiche orbitali. Si tratta di funzioni di base elettroniche, e non di tre posizioni diverse all’interno di un dispositivo. Nella struttura wurtzite, gli stati \(X\) e \(Y\) sono legati da una relazione di simmetria, mentre lo stato \(Z\) si distingue per l’asse c.

Questo permette al potenziale del cristallo di modificare l’energia dello stato simile a \(Z\) rispetto agli stati simili a \(X,Y\), anche prima di considerare l’effetto dello spin. Questo fenomeno è noto come separazione del campo cristallino ed è illustrato in ??. Successivamente, l’accoppiamento spin-orbita mescola le caratteristiche orbitali e di spin, dando origine a tre doppietti di valenza, spesso chiamati bande A, B e C.Questo permette al potenziale del cristallo di modificare l’energia dello stato simile a \(Z\) rispetto agli stati simili a \(X,Y\), anche prima di considerare l’effetto dello spin. Questo fenomeno è noto come separazione del campo cristallino ed è illustrato in ??. Successivamente, l’accoppiamento spin-orbita mescola le caratteristiche orbitali e di spin, dando origine a tre doppietti di valenza, spesso chiamati bande A, B e C.

Le loro caratteristiche orbitali sono importanti. Una banda composta principalmente da orbitali \(X,Y\) che giacciono sullo stesso piano interagisce in modo diverso con la luce polarizzata rispetto a una banda che presenta una componente significativa lungo l’asse c \(Z\). Per questo motivo, la separazione dei livelli dovuta al campo cristallino non è semplicemente una piccola correzione al divario di banda; può influenzare le proprietà ottiche dei pozzi quantici di nitruro.Le loro caratteristiche orbitali sono importanti. Una banda composta principalmente da orbitali \(X,Y\) che giacciono sullo stesso piano interagisce in modo diverso con la luce polarizzata rispetto a una banda che presenta una componente significativa lungo l’asse c \(Z\). Per questo motivo, la separazione dei livelli dovuta al campo cristallino non è semplicemente una piccola correzione al divario di banda; può influenzare le proprietà ottiche dei pozzi quantici di nitruro.

Da dove provengono le otto fasce colorate?Da dove provengono le otto fasce colorate?

Come nella struttura cristallina della sfalerite, manteniamo un orbitale di conduzione con caratteristiche prevalentemente di tipo «s», \(S\), e tre orbitali di valenza con caratteristiche prevalentemente di tipo «p», \(X\), \(Y\) e \(Z\). Ogni orbitale presenta due componenti di spin, dando luogo a otto stati fondamentali:Come nella struttura cristallina della sfalerite, manteniamo un orbitale di conduzione con caratteristiche prevalentemente di tipo «s», \(S\), e tre orbitali di valenza con caratteristiche prevalentemente di tipo «p», \(X\), \(Y\) e \(Z\). Ogni orbitale presenta due componenti di spin, dando luogo a otto stati fondamentali:

\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]

Invece di risolvere otto equazioni indipendenti, inseriamo questi stati in un’unica matrice hamiltoniana. Gli elementi sulla diagonale descrivono le energie associate ai singoli stati di base, mentre gli elementi fuori dalla diagonale descrivono come questi stati interagiscono tra loro. È utile suddividere la matrice in blocchi relativi alla conduzione, alla banda di valenza e all’accoppiamento:Invece di risolvere otto equazioni indipendenti, inseriamo questi stati in un’unica matrice hamiltoniana. Gli elementi sulla diagonale descrivono le energie associate ai singoli stati di base, mentre gli elementi fuori dalla diagonale descrivono come questi stati interagiscono tra loro. È utile suddividere la matrice in blocchi relativi alla conduzione, alla banda di valenza e all’accoppiamento:

\[ H=\begin{pmatrix} H_{cc}&H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger}&H_{vv} \end{pmatrix}. \]\[ H=\begin{pmatrix} H_{cc}&H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger}&H_{vv} \end{pmatrix}. \]

Il blocco di conduzione contiene due stati di spin, il blocco di valenza ne contiene sei e \(H_{cv}\) li accoppia. Il simbolo \(\dagger\) indica il coniugato hermitiano. Una volta che diagonalizziamo questa matrice, otteniamo energie e autovettori i cui componenti di conduzione, valenza, orbitale e spin possono interagire tra loro.Il blocco di conduzione contiene due stati di spin, il blocco di valenza ne contiene sei e \(H_{cv}\) li accoppia. Il simbolo \(\dagger\) indica il coniugato hermitiano. Una volta che diagonalizziamo questa matrice, otteniamo energie e autovettori i cui componenti di conduzione, valenza, orbitale e spin possono interagire tra loro.

Perché esistono due masse nella banda di conduzione?Perché esistono due masse nella banda di conduzione?

Nel tutorial parabolic-band, la curvatura di una banda veniva controllata mediante una massa efficace. La struttura cristallina della wurtzite ci permette di distinguere il movimento lungo l’asse c dal movimento nel piano basale. Utilizzando \(k_{\parallel}^2=k_x^2+k_y^2\), è possibile esprimere una semplice dispersione direzionale nella seguente forma:Nel tutorial parabolic-band, la curvatura di una banda veniva controllata mediante una massa efficace. La struttura cristallina della wurtzite ci permette di distinguere il movimento lungo l’asse c dal movimento nel piano basale. Utilizzando \(k_{\parallel}^2=k_x^2+k_y^2\), è possibile esprimere una semplice dispersione direzionale nella seguente forma:

\[ E_c(\mathbf{k})=E_c+ \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}} +\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m_{e,z}^{*}}. \]\[ E_c(\mathbf{k})=E_c+ \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}} +\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m_{e,z}^{*}}. \]

L’elettrone può quindi acquisire energia a velocità diverse a seconda che il suo movimento sia parallelo o perpendicolare agli strati. Questo è particolarmente rilevante per una struttura a pozzo quantico con orientamento c, in cui il confinamento avviene lungo \(z\), ma le sottobande sono rappresentate in funzione di \(k_{\parallel}\).L’elettrone può quindi acquisire energia a velocità diverse a seconda che il suo movimento sia parallelo o perpendicolare agli strati. Questo è particolarmente rilevante per una struttura a pozzo quantico con orientamento c, in cui il confinamento avviene lungo \(z\), ma le sottobande sono rappresentate in funzione di \(k_{\parallel}\).

Nell’ambito dell’Hamiltoniana multibanda, OghmaNano utilizza due parametri di conduzione: \(S_1\) per l’asse c e \(S_2\) per il piano basale:Nell’ambito dell’Hamiltoniana multibanda, OghmaNano utilizza due parametri di conduzione: \(S_1\) per l’asse c e \(S_2\) per il piano basale:

\[ H_{cc}=E_c+A_0(S_2k_{\parallel}^2+S_1k_z^2), \qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}. \]\[ H_{cc}=E_c+A_0(S_2k_{\parallel}^2+S_1k_z^2), \qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}. \]

Questi parametri descrivono la curvatura residua della zona di interdizione. Le masse finali ai bordi della banda dipendono anche dall’accoppiamento con gli stati di valenza, che vengono esplicitamente presi in considerazione di seguito. Di conseguenza, i parametri devono essere scelti in modo coerente, in modo che lo stesso contributo interbanda non venga conteggiato due volte.Questi parametri descrivono la curvatura residua della zona di interdizione. Le masse finali ai bordi della banda dipendono anche dall’accoppiamento con gli stati di valenza, che vengono esplicitamente presi in considerazione di seguito. Di conseguenza, i parametri devono essere scelti in modo coerente, in modo che lo stesso contributo interbanda non venga conteggiato due volte.

Perché la struttura cristallina della wurtzite richiede due parametri di Kane?Perché la struttura cristallina della wurtzite richiede due parametri di Kane?

Nell’introduzione alla teoria k·p, abbiamo incontrato gli elementi della matrice del momento che mettono in relazione diversi stati orbitali. Ad esempio, uno stato di conduzione di tipo s interagisce con i tre stati di valenza di tipo p. L’intensità di queste interazioni è nota come parametro di Kane.Nell’introduzione alla teoria k·p, abbiamo incontrato gli elementi della matrice del momento che mettono in relazione diversi stati orbitali. Ad esempio, uno stato di conduzione di tipo s interagisce con i tre stati di valenza di tipo p. L’intensità di queste interazioni è nota come parametro di Kane.

La struttura cristallina della wurtzite richiede valori diversi per i coefficienti di accoppiamento lungo l’asse c e sul piano basale:La struttura cristallina della wurtzite richiede valori diversi per i coefficienti di accoppiamento lungo l’asse c e sul piano basale:

• \(P_2\): interazione tra \(S\) e gli orbitali \(X,Y\) situati sullo stesso piano, tramite \(k_x,k_y\).\(P_2\): interazione tra \(S\) e gli orbitali \(X,Y\) situati sullo stesso piano, tramite \(k_x,k_y\).
• \(P_1\): accoppiamento tra \(S\) e l’orbitale lungo l’asse c \(Z\) tramite \(k_z\).\(P_1\): accoppiamento tra \(S\) e l’orbitale lungo l’asse c \(Z\) tramite \(k_z\).

Nella convenzione adottata in questo contesto, gli elementi rappresentativi dell’hamiltoniana sono:Nella convenzione adottata in questo contesto, gli elementi rappresentativi dell’hamiltoniana sono:

\[ \begin{aligned} H_{SX}&=iP_2k_x,\\ H_{SY}&=iP_2k_y,\\ H_{SZ}&=iP_1k_z. \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} H_{SX}&=iP_2k_x,\\ H_{SY}&=iP_2k_y,\\ H_{SZ}&=iP_1k_z. \end{aligned} \]

I loro coniugati hermitiani compaiono sull’altro lato della matrice. I parametri sono spesso definiti tramite le energie di Kane:I loro coniugati hermitiani compaiono sull’altro lato della matrice. I parametri sono spesso definiti tramite le energie di Kane:

\[ P_1=\sqrt{A_0E_{p1}},\qquad P_2=\sqrt{A_0E_{p2}}. \]\[ P_1=\sqrt{A_0E_{p1}},\qquad P_2=\sqrt{A_0E_{p2}}. \]

Il fatto di avere due meccanismi di accoppiamento implica che gli stati elettronici reagiscono in modo diverso alle interazioni lungo l’asse c e perpendicolarmente ad esso. Inoltre, ciò ci fornirà una spiegazione diretta delle regole di selezione ottica TE e TM, che potremo analizzare in seguito.Il fatto di avere due meccanismi di accoppiamento implica che gli stati elettronici reagiscono in modo diverso alle interazioni lungo l’asse c e perpendicolarmente ad esso. Inoltre, ciò ci fornirà una spiegazione diretta delle regole di selezione ottica TE e TM, che potremo analizzare in seguito.

Perché abbiamo bisogno di sei parametri di valenza?Perché abbiamo bisogno di sei parametri di valenza?

La banda di conduzione inizia con un singolo orbitale di tipo «s» per ogni spin. Il settore di valenza contiene tre orbitali di tipo «p» per ogni spin, disposti a brevi intervalli in termini di energia. Al variare del vettore d’onda, questi stati possono interagire tra loro anziché seguire tre parabole indipendenti.La banda di conduzione inizia con un singolo orbitale di tipo «s» per ogni spin. Il settore di valenza contiene tre orbitali di tipo «p» per ogni spin, disposti a brevi intervalli in termini di energia. Al variare del vettore d’onda, questi stati possono interagire tra loro anziché seguire tre parabole indipendenti.

Il modello di wurtzite descrive la curvatura direzionale e la sovrapposizione di questi stati utilizzando sei parametri comunemente tabulati, da \(A_1\) a \(A_6\), noti come parametri di Rashba–Sheka–Pikus. Alcuni di questi parametri determinano come le energie delle bande variano in funzione del movimento lungo o perpendicolarmente all’asse c; altri controllano l’accoppiamento tra le componenti orbitali.Il modello di wurtzite descrive la curvatura direzionale e la sovrapposizione di questi stati utilizzando sei parametri comunemente tabulati, da \(A_1\) a \(A_6\), noti come parametri di Rashba–Sheka–Pikus. Alcuni di questi parametri determinano come le energie delle bande variano in funzione del movimento lungo o perpendicolarmente all’asse c; altri controllano l’accoppiamento tra le componenti orbitali.

Trascurando temporaneamente i termini relativi allo spin e altri termini, il blocco di valenza cartesiano dipendente dal vettore d’onda ha la seguente forma schematica:Trascurando temporaneamente i termini relativi allo spin e altri termini, il blocco di valenza cartesiano dipendente dal vettore d’onda ha la seguente forma schematica:

\[ H_v^{\mathrm{kin}}= \begin{pmatrix} H_{XX}&N_1k_xk_y&N_2k_xk_z\\ N_1k_xk_y&H_{YY}&N_2k_yk_z\\ N_2k_xk_z&N_2k_yk_z&H_{ZZ} \end{pmatrix}. \]\[ H_v^{\mathrm{kin}}= \begin{pmatrix} H_{XX}&N_1k_xk_y&N_2k_xk_z\\ N_1k_xk_y&H_{YY}&N_2k_yk_z\\ N_2k_xk_z&N_2k_yk_z&H_{ZZ} \end{pmatrix}. \]

Gli elementi sulla diagonale principale descrivono principalmente le caratteristiche di \(X\), \(Y\) e \(Z\). Gli elementi fuori dalla diagonale principale li combinano quando sono presenti le componenti rilevanti del vettore d'onda. Questa combinazione è uno dei motivi per cui le sottobande di valenza calcolate non possono essere generalmente sostituite da tre semplici parabole.Gli elementi sulla diagonale principale descrivono principalmente le caratteristiche di \(X\), \(Y\) e \(Z\). Gli elementi fuori dalla diagonale principale li combinano quando sono presenti le componenti rilevanti del vettore d'onda. Questa combinazione è uno dei motivi per cui le sottobande di valenza calcolate non possono essere generalmente sostituite da tre semplici parabole.

Come OghmaNano utilizza i parametri A1–A6.Come OghmaNano utilizza i parametri A1–A6.

Le definizioni seguenti illustrano la convenzione relativa ai coefficienti cartesiani utilizzata nel modello wurtzite di OghmaNano. Iniziamo con:Le definizioni seguenti illustrano la convenzione relativa ai coefficienti cartesiani utilizzata nel modello wurtzite di OghmaNano. Iniziamo con:

\[ \begin{aligned} L_1&=A_0(A_5+A_4+A_2-1),\\ L_2&=A_0(A_1-1),\\ M_1&=A_0(A_4+A_2-A_5-1),\\ M_2&=A_0(A_1+A_3-1),\\ M_3&=A_0(A_2-1),\\ N_1&=2A_0A_5,\\ N_2&=\sqrt{2}\,A_0A_6. \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} L_1&=A_0(A_5+A_4+A_2-1),\\ L_2&=A_0(A_1-1),\\ M_1&=A_0(A_4+A_2-A_5-1),\\ M_2&=A_0(A_1+A_3-1),\\ M_3&=A_0(A_2-1),\\ N_1&=2A_0A_5,\\ N_2&=\sqrt{2}\,A_0A_6. \end{aligned} \]

Considerando separatamente il contributo degli elettroni liberi \(A_0k^2\), gli elementi diagonali della matrice di valenza sono:Considerando separatamente il contributo degli elettroni liberi \(A_0k^2\), gli elementi diagonali della matrice di valenza sono:

\[ \begin{aligned} H_{XX}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+L_1k_x^2+M_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{YY}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_1k_x^2+L_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{ZZ}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_3k_{\parallel}^2+L_2k_z^2. \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} H_{XX}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+L_1k_x^2+M_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{YY}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_1k_x^2+L_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{ZZ}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_3k_{\parallel}^2+L_2k_z^2. \end{aligned} \]

Gli elementi fuori dalla diagonale sono \(H_{XY}=N_1k_xk_y\), \(H_{XZ}=N_2k_xk_z\) e \(H_{YZ}=N_2k_yk_z\), considerando anche le loro controparti hermitiane. Il riferimento \(E_{v,\mathrm{av}}\) è scelto in modo coerente con i termini relativi al campo cristallino e all’interazione spin-orbita. Le convenzioni sui parametri variano a seconda delle pubblicazioni, pertanto i valori tabulati non devono essere trasferiti tra diverse convenzioni dell’hamiltoniana senza verificare in quali casi siano stati inclusi i contributi degli elettroni liberi e delle transizioni tra le bande.Gli elementi fuori dalla diagonale sono \(H_{XY}=N_1k_xk_y\), \(H_{XZ}=N_2k_xk_z\) e \(H_{YZ}=N_2k_yk_z\), considerando anche le loro controparti hermitiane. Il riferimento \(E_{v,\mathrm{av}}\) è scelto in modo coerente con i termini relativi al campo cristallino e all’interazione spin-orbita. Le convenzioni sui parametri variano a seconda delle pubblicazioni, pertanto i valori tabulati non devono essere trasferiti tra diverse convenzioni dell’hamiltoniana senza verificare in quali casi siano stati inclusi i contributi degli elettroni liberi e delle transizioni tra le bande.

Aggiungere una componente di spin: i tre doppietti di valenzaAggiungere una componente di spin: i tre doppietti di valenza

Possiamo ora tornare al diagramma del campo cristallino. Nella convenzione OghmaNano, i parametri di scissione rilevanti sono indicati con \(\delta_1\), \(\delta_2\) e \(\delta_3\). Il termine del campo cristallino \(\delta_1\) distingue gli orbitali basali dall’orbitale lungo l’asse c. I restanti due parametri descrivono l’accoppiamento spin-orbita, che mescola le caratteristiche orbitali e di spin.Possiamo ora tornare al diagramma del campo cristallino. Nella convenzione OghmaNano, i parametri di scissione rilevanti sono indicati con \(\delta_1\), \(\delta_2\) e \(\delta_3\). Il termine del campo cristallino \(\delta_1\) distingue gli orbitali basali dall’orbitale lungo l’asse c. I restanti due parametri descrivono l’accoppiamento spin-orbita, che mescola le caratteristiche orbitali e di spin.

La diagonalizzazione del blocco di valenza al centro della zona di Brillouin produce tre livelli di valenza degeneri di secondo ordine, molto vicini tra loro (A, B e C). Il loro ordine è determinato dai parametri del materiale, e non dall’assunzione che un particolare orbitale debba sempre essere il più alto. OghmaNano imposta il suo riferimento di energia di valenza in modo che il livello di valenza più alto risultante al centro della zona di Brillouin corrisponda al bordo della banda di valenza scelto \(E_v\).La diagonalizzazione del blocco di valenza al centro della zona di Brillouin produce tre livelli di valenza degeneri di secondo ordine, molto vicini tra loro (A, B e C). Il loro ordine è determinato dai parametri del materiale, e non dall’assunzione che un particolare orbitale debba sempre essere il più alto. OghmaNano imposta il suo riferimento di energia di valenza in modo che il livello di valenza più alto risultante al centro della zona di Brillouin corrisponda al bordo della banda di valenza scelto \(E_v\).

Questo aspetto è rilevante dal punto di vista ottico: la natura del livello di valenza più esterno determina quale polarizzazione può interagire in modo più efficace con le transizioni interbanda a più bassa energia.Questo aspetto è rilevante dal punto di vista ottico: la natura del livello di valenza più esterno determina quale polarizzazione può interagire in modo più efficace con le transizioni interbanda a più bassa energia.

Qual è l’effetto della sollecitazione sulle bande di energia della struttura cristallina della wurtzite?Qual è l’effetto della sollecitazione sulle bande di energia della struttura cristallina della wurtzite?

Uno strato a pozzo quantico viene solitamente depositato su un altro semiconduttore. Se i materiali hanno dimensioni reticolari naturali diverse, un sottile strato può essere costretto ad adattarsi alla spaziatura nel piano dei materiali adiacenti. Questo provoca una deformazione, che modifica e mescola gli stati elettronici.Uno strato a pozzo quantico viene solitamente depositato su un altro semiconduttore. Se i materiali hanno dimensioni reticolari naturali diverse, un sottile strato può essere costretto ad adattarsi alla spaziatura nel piano dei materiali adiacenti. Questo provoca una deformazione, che modifica e mescola gli stati elettronici.

In una struttura con piano c, le componenti della deformazione nel piano possono essere simili tra loro, mentre la deformazione lungo l'asse c è diversa. Pertanto, la struttura wurtzite richiede potenziali di deformazione direzionali. OghmaNano utilizza \(a_1,a_2\) per il contributo della banda di conduzione e \(D_1\)–\(D_6\) per la matrice di deformazione della banda di valenza.In una struttura con piano c, le componenti della deformazione nel piano possono essere simili tra loro, mentre la deformazione lungo l'asse c è diversa. Pertanto, la struttura wurtzite richiede potenziali di deformazione direzionali. OghmaNano utilizza \(a_1,a_2\) per il contributo della banda di conduzione e \(D_1\)–\(D_6\) per la matrice di deformazione della banda di valenza.

Secondo le convenzioni della documentazione del modello attuale, la variazione della conducibilità termica è indicata come segue:Secondo le convenzioni della documentazione del modello attuale, la variazione della conducibilità termica è indicata come segue:

\[ \Delta E_c=a_z\varepsilon_{zz} +a_{xy}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}), \quad a_z=a_1+D_1,\quad a_{xy}=a_2+D_2. \]\[ \Delta E_c=a_z\varepsilon_{zz} +a_{xy}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}), \quad a_z=a_1+D_1,\quad a_{xy}=a_2+D_2. \]

I coefficienti di deformazione di valenza sono ottenuti combinando i termini \(D_i\), in modo analogo ai coefficienti cinetici direzionali:I coefficienti di deformazione di valenza sono ottenuti combinando i termini \(D_i\), in modo analogo ai coefficienti cinetici direzionali:

\[ \begin{aligned} l_1&=D_5+D_4+D_2,&l_2&=D_1,\\ m_1&=D_4+D_2-D_5,&m_2&=D_1+D_3,\\ m_3&=D_2. \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} l_1&=D_5+D_4+D_2,&l_2&=D_1,\\ m_1&=D_4+D_2-D_5,&m_2&=D_1+D_3,\\ m_3&=D_2. \end{aligned} \]

Per ottenere una crescita ideale di tipo pseudomorfo sul piano c, senza deformazioni di taglio, i termini proporzionali alle componenti di taglio si annullano. Tuttavia, questi termini rimangono necessari per orientamenti di crescita più generali e per campi di deformazione più ampi. Il risultato importante è che la deformazione può modificare il divario di banda e riorganizzare gli stati di valenza superiori, con conseguenze sulla polarizzazione ottica.Per ottenere una crescita ideale di tipo pseudomorfo sul piano c, senza deformazioni di taglio, i termini proporzionali alle componenti di taglio si annullano. Tuttavia, questi termini rimangono necessari per orientamenti di crescita più generali e per campi di deformazione più ampi. Il risultato importante è che la deformazione può modificare il divario di banda e riorganizzare gli stati di valenza superiori, con conseguenze sulla polarizzazione ottica.

Dalle transizioni ottiche orbitali alle transizioni ottiche TE e TMDalle transizioni ottiche orbitali alle transizioni ottiche TE e TM

Il tutorial transizioni ottiche ha spiegato come la differenza di energia tra uno stato di conduzione e uno stato di valenza determini l’energia del fotone. Tuttavia, la sola conservazione dell’energia non ci dice quanto fortemente una transizione sia accoppiata alla luce. Anche l’orientamento del campo elettrico della luce è importante.Il tutorial transizioni ottiche ha spiegato come la differenza di energia tra uno stato di conduzione e uno stato di valenza determini l’energia del fotone. Tuttavia, la sola conservazione dell’energia non ci dice quanto fortemente una transizione sia accoppiata alla luce. Anche l’orientamento del campo elettrico della luce è importante.

Considerando la convenzionale struttura a pozzo quantico con orientamento del piano c, possiamo distinguere:Considerando la convenzionale struttura a pozzo quantico con orientamento del piano c, possiamo distinguere:

• Polarizzazione TE: campo elettrico all’interno del piano basale, perpendicolare all’asse c. Principalmente, permette di analizzare il carattere di valenza del punto \(X,Y\) attraverso l’accoppiamento di Kane nel punto \(P_2\).Polarizzazione TE: campo elettrico all’interno del piano basale, perpendicolare all’asse c. Principalmente, permette di analizzare il carattere di valenza del punto \(X,Y\) attraverso l’accoppiamento di Kane nel punto \(P_2\).
• Polarizzazione TM: il campo elettrico è diretto lungo l’asse c. Permette di analizzare il carattere di valenza di \(Z\) attraverso \(P_1\).Polarizzazione TM: il campo elettrico è diretto lungo l’asse c. Permette di analizzare il carattere di valenza di \(Z\) attraverso \(P_1\).

Per una direzione di polarizzazione della luce \(\mathbf e\), l’ampiezza della transizione ottica coinvolge l’elemento della matrice del momento:Per una direzione di polarizzazione della luce \(\mathbf e\), l’ampiezza della transizione ottica coinvolge l’elemento della matrice del momento:

\[ \mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)= \langle\Psi_c|\mathbf e\cdot\mathbf p|\Psi_v\rangle, \qquad \text{transition strength}\propto |\mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)|^2. \]\[ \mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)= \langle\Psi_c|\mathbf e\cdot\mathbf p|\Psi_v\rangle, \qquad \text{transition strength}\propto |\mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)|^2. \]

L’elemento della matrice include sia l’accoppiamento di Kane direzionale appropriato sia la sovrapposizione delle componenti dell’inviluppo degli elettroni e delle lacune. Questo spiega perché la stessa struttura a pozzo quantico può generare diverse intensità ottiche TE e TM, anche per transizioni tra gli stessi livelli energetici.L’elemento della matrice include sia l’accoppiamento di Kane direzionale appropriato sia la sovrapposizione delle componenti dell’inviluppo degli elettroni e delle lacune. Questo spiega perché la stessa struttura a pozzo quantico può generare diverse intensità ottiche TE e TM, anche per transizioni tra gli stessi livelli energetici.

Ora possiamo capire perché è stato utile introdurre per primi la separazione dei livelli dovuta al campo cristallino, l’accoppiamento spin-orbita e la deformazione: questi fattori determinano la composizione orbitale degli stati di valenza, che a sua volta determina come questi stati interagiscono con la luce polarizzata in modo diverso. Questo è importante quando si modellano i LED e i laser a base di nitruro. Le transizioni risultanti, polarizzate TE e TM, possono essere studiate nel tutorial GaN/AlGaN, otto bande, struttura a pozzo quantico di tipo wurtzite k·p.Ora possiamo capire perché è stato utile introdurre per primi la separazione dei livelli dovuta al campo cristallino, l’accoppiamento spin-orbita e la deformazione: questi fattori determinano la composizione orbitale degli stati di valenza, che a sua volta determina come questi stati interagiscono con la luce polarizzata in modo diverso. Questo è importante quando si modellano i LED e i laser a base di nitruro. Le transizioni risultanti, polarizzate TE e TM, possono essere studiate nel tutorial GaN/AlGaN, otto bande, struttura a pozzo quantico di tipo wurtzite k·p.

In che modo il modello viene applicato a una struttura a pozzo quantico?In che modo il modello viene applicato a una struttura a pozzo quantico?

Finora abbiamo utilizzato le componenti del vettore d’onda \(k_x,k_y,k_z\) per descrivere le bande di conduzione. In una struttura a pozzo quantico cresciuta lungo l’asse c, gli elettroni e le lacune sono confinati lungo \(z\), ma possono comunque muoversi all’interno del piano \(x\)-\(y\). Come nel modello della sfalerite, il vettore d’onda nella direzione di crescita diventa un operatore differenziale:Finora abbiamo utilizzato le componenti del vettore d’onda \(k_x,k_y,k_z\) per descrivere le bande di conduzione. In una struttura a pozzo quantico cresciuta lungo l’asse c, gli elettroni e le lacune sono confinati lungo \(z\), ma possono comunque muoversi all’interno del piano \(x\)-\(y\). Come nel modello della sfalerite, il vettore d’onda nella direzione di crescita diventa un operatore differenziale:

\[ k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}. \]\[ k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}. \]

Il modello di Hamiltonian a otto bande viene quindi risolto per otto componenti di inviluppo accoppiate, considerando l’intera struttura multistrato e scegliendo vettori d’onda specifici nel piano. Il potenziale, i parametri di massa effettiva, l’accoppiamento di Kane e la deformazione possono variare tra i materiali che costituiscono il pozzo quantico e la barriera. I coefficienti dipendenti dalla posizione e i termini derivativi richiedono una discretizzazione coerente dell’interfaccia hermitiana.Il modello di Hamiltonian a otto bande viene quindi risolto per otto componenti di inviluppo accoppiate, considerando l’intera struttura multistrato e scegliendo vettori d’onda specifici nel piano. Il potenziale, i parametri di massa effettiva, l’accoppiamento di Kane e la deformazione possono variare tra i materiali che costituiscono il pozzo quantico e la barriera. I coefficienti dipendenti dalla posizione e i termini derivativi richiedono una discretizzazione coerente dell’interfaccia hermitiana.

Su una griglia con \(N_z\) in ogni punto sono presenti otto componenti, il che dà origine a un problema numerico che prevede l’interazione tra di esse. \(8N_z\) variabili sconosciute. I suoi autovalori forniscono gli stati quantizzati; gli autovettori descrivono il contenuto spaziale, orbitale e di spin di tali stati. Ripetendo la soluzione per diversi vettori d’onda nel piano, si ottengono le sottobande elettroniche. Queste vengono poi utilizzate per calcolare le proprietà che dipendono dalla polarizzazione. transizioni ottiche. Su una griglia con \(N_z\) in ogni punto sono presenti otto componenti, il che dà origine a un problema numerico che prevede l’interazione tra di esse. \(8N_z\) variabili sconosciute. I suoi autovalori forniscono gli stati quantizzati; gli autovettori descrivono il contenuto spaziale, orbitale e di spin di tali stati. Ripetendo la soluzione per diversi vettori d’onda nel piano, si ottengono le sottobande elettroniche. Queste vengono poi utilizzate per calcolare le proprietà che dipendono dalla polarizzazione. transizioni ottiche.

Quali sono i vantaggi del modello a otto bande?Quali sono i vantaggi del modello a otto bande?

Il modello parabolico rappresenta un utile punto di partenza per lo studio del confinamento quantico, ma non è in grado di descrivere l’interazione tra stati di valenza ravvicinati o la risposta ottica direzionale completa del wurtzite. Il modello a otto bande mantiene la stessa visione d’insieme degli stati e delle sottobande confinati, aggiungendo al contempo gli elementi fisici necessari per descrivere la struttura cristallina esagonale.Il modello parabolico rappresenta un utile punto di partenza per lo studio del confinamento quantico, ma non è in grado di descrivere l’interazione tra stati di valenza ravvicinati o la risposta ottica direzionale completa del wurtzite. Il modello a otto bande mantiene la stessa visione d’insieme degli stati e delle sottobande confinati, aggiungendo al contempo gli elementi fisici necessari per descrivere la struttura cristallina esagonale.