Epitassia pseudomorfa e tensori di deformazioneEpitassia pseudomorfa e tensori di deformazione

Quando uno strato viene depositato su un substrato con una costante di reticolo diversa, si deforma per adattarsi alla spaziatura del substrato nel piano. Questa deformazione pseudomorfica non è un elemento indesiderato da evitare, ma uno strumento di progettazione che modifica i bordi delle bande energetiche, separa le bande dei fori pesanti e leggeri e regola la lunghezza d’onda e la polarizzazione dell’emissione. In questa pagina vengono derivati i tensori di deformazione utilizzati da OghmaNano e viene spiegato come questi vengono utilizzati negli hamiltoniani k·p.Quando uno strato viene depositato su un substrato con una costante di reticolo diversa, si deforma per adattarsi alla spaziatura del substrato nel piano. Questa deformazione pseudomorfica non è un elemento indesiderato da evitare, ma uno strumento di progettazione che modifica i bordi delle bande energetiche, separa le bande dei fori pesanti e leggeri e regola la lunghezza d’onda e la polarizzazione dell’emissione. In questa pagina vengono derivati i tensori di deformazione utilizzati da OghmaNano e viene spiegato come questi vengono utilizzati negli hamiltoniani k·p.

1. Crescita pseudomorfica1. Crescita pseudomorfica

Al di sotto di un determinato spessore critico, si forma uno strato sottile che cresce in modo coerente: le sue file atomiche, disposte sullo stesso piano, si allineano con il substrato, in modo che la sua costante di reticolo sullo stesso piano sia forzata ad assumere il valore di quella del substrato, mentre si rilassa liberamente lungo la direzione di crescita. La deformazione sullo stesso piano è quindi...Al di sotto di un determinato spessore critico, si forma uno strato sottile che cresce in modo coerente: le sue file atomiche, disposte sullo stesso piano, si allineano con il substrato, in modo che la sua costante di reticolo sullo stesso piano sia forzata ad assumere il valore di quella del substrato, mentre si rilassa liberamente lungo la direzione di crescita. La deformazione sullo stesso piano è quindi...

\[ \varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \frac{a_{\text{sub}} - a_{\text{layer}}}{a_{\text{layer}}}, \]\[ \varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \frac{a_{\text{sub}} - a_{\text{layer}}}{a_{\text{layer}}}, \]

dove \(a_{\text{sub}}\) e \(a_{\text{layer}}\) rappresentano le costanti di reticolo del substrato e dello strato, rispettivamente, in assenza di sollecitazioni. Se la distanza naturale dello strato supera quella del substrato (\(a_{\text{layer}} > a_{\text{sub}}\)), la sollecitazione nel piano è negativa e lo strato è soggetto a compressione; al contrario, si verifica una sollecitazione di trazione. OghmaNano segnala un errore se mancano le costanti di reticolo o le costanti elastiche, poiché in tal caso non è possibile definire la sollecitazione.dove \(a_{\text{sub}}\) e \(a_{\text{layer}}\) rappresentano le costanti di reticolo del substrato e dello strato, rispettivamente, in assenza di sollecitazioni. Se la distanza naturale dello strato supera quella del substrato (\(a_{\text{layer}} > a_{\text{sub}}\)), la sollecitazione nel piano è negativa e lo strato è soggetto a compressione; al contrario, si verifica una sollecitazione di trazione. OghmaNano segnala un errore se mancano le costanti di reticolo o le costanti elastiche, poiché in tal caso non è possibile definire la sollecitazione.

2. La deformazione fuori dal piano.2. La deformazione fuori dal piano.

Lungo la direzione di crescita, lo strato è libero, quindi non vi è alcuna sollecitazione normale alla superficie: \(\sigma_{zz}=0\). Per un cristallo cubico che cresce sul piano [001], la legge di Hooke mette in relazione la sollecitazione normale con le deformazioni attraverso le costanti elastiche \(C_{11}\) e \(C_{12}\).Lungo la direzione di crescita, lo strato è libero, quindi non vi è alcuna sollecitazione normale alla superficie: \(\sigma_{zz}=0\). Per un cristallo cubico che cresce sul piano [001], la legge di Hooke mette in relazione la sollecitazione normale con le deformazioni attraverso le costanti elastiche \(C_{11}\) e \(C_{12}\).

\[ \sigma_{zz} = C_{11}\varepsilon_{zz} + C_{12}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}) = 0. \]\[ \sigma_{zz} = C_{11}\varepsilon_{zz} + C_{12}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}) = 0. \]

Definendo \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}\) e risolvendo l’equazione, si ottiene la relazione utilizzata da OghmaNano.Definendo \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}\) e risolvendo l’equazione, si ottiene la relazione utilizzata da OghmaNano.

\[ \varepsilon_{zz} = -\,\frac{2 C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_{xx}. \]\[ \varepsilon_{zz} = -\,\frac{2 C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_{xx}. \]

Di conseguenza, questo strato si deforma in modo opposto lungo \(z\): uno strato sottoposto a sollecitazione di compressione (\(\varepsilon_{xx}\)<0\)) stretches along the growth direction (\(\varepsilon_{zz}>0), e viceversa. Per la crescita [001], i componenti di taglio sono importanti. \(\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}\) tutti questi valori sono pari a zero, quindi la sollecitazione è esclusivamente biassiale. Di conseguenza, questo strato si deforma in modo opposto lungo \(z\): uno strato sottoposto a sollecitazione di compressione (\(\varepsilon_{xx}\)<0\)) stretches along the growth direction (\(\varepsilon_{zz}>0), e viceversa. Per la crescita [001], i componenti di taglio sono importanti. \(\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}\) tutti questi valori sono pari a zero, quindi la sollecitazione è esclusivamente biassiale.

3. Componenti sottoposte a sollecitazioni idrostatiche e biaxiali3. Componenti sottoposte a sollecitazioni idrostatiche e biaxiali

È utile suddividere la sollecitazione in una componente idrostatica, che modifica il volume, e una componente biassiale (di taglio), che modifica la forma. La componente idrostatica corrisponde alla traccia.È utile suddividere la sollecitazione in una componente idrostatica, che modifica il volume, e una componente biassiale (di taglio), che modifica la forma. La componente idrostatica corrisponde alla traccia.

\[ \mathrm{Tr}(\varepsilon) = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} = 2\varepsilon_{xx}\left(1 - \frac{C_{12}}{C_{11}}\right), \]\[ \mathrm{Tr}(\varepsilon) = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} = 2\varepsilon_{xx}\left(1 - \frac{C_{12}}{C_{11}}\right), \]

che modifica la larghezza della banda proibita attraverso i potenziali di deformazione. La componente biaxiale, proporzionale a \(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}\), non modifica il volume, ma elimina la degenerazione delle bande di valenza e, nel caso del silicio, separa le valli di conduzione. Le due componenti agiscono attraverso termini hamiltoniani diversi, pertanto possono essere analizzate separatamente.che modifica la larghezza della banda proibita attraverso i potenziali di deformazione. La componente biaxiale, proporzionale a \(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}\), non modifica il volume, ma elimina la degenerazione delle bande di valenza e, nel caso del silicio, separa le valli di conduzione. Le due componenti agiscono attraverso termini hamiltoniani diversi, pertanto possono essere analizzate separatamente.

4. Effetto sui bordi della banda.4. Effetto sui bordi della banda.

La componente idrostatica sposta la banda di conduzione di \(a_c\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) e la banda di valenza media di \(a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\), modificando il divario energetico. La componente biaxiale agisce sulla banda di valenza attraverso i potenziali di deformazione tangenziale \(b\) e \(d\) (struttura a sfaldatura di zinco) e separa i fori pesanti e leggeri. In condizioni di compressione, tipicamente i fori pesanti si spostano verso l’alto, favorendo l’emissione TE; in condizioni di trazione, i fori leggeri possono spostarsi verso l’alto, favorendo l’emissione TM. Gli operatori precisi sono descritti nella pagina di Bir–Pikus, e il modo in cui ciascun risolutore utilizza il tensore di deformazione è riassunto lì e nelle pagine del modello ( sfaldatura di zinco, wurtzite, silicio, Luttinger–Kohn).La componente idrostatica sposta la banda di conduzione di \(a_c\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) e la banda di valenza media di \(a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\), modificando il divario energetico. La componente biaxiale agisce sulla banda di valenza attraverso i potenziali di deformazione tangenziale \(b\) e \(d\) (struttura a sfaldatura di zinco) e separa i fori pesanti e leggeri. In condizioni di compressione, tipicamente i fori pesanti si spostano verso l’alto, favorendo l’emissione TE; in condizioni di trazione, i fori leggeri possono spostarsi verso l’alto, favorendo l’emissione TM. Gli operatori precisi sono descritti nella pagina di Bir–Pikus, e il modo in cui ciascun risolutore utilizza il tensore di deformazione è riassunto lì e nelle pagine del modello ( sfaldatura di zinco, wurtzite, silicio, Luttinger–Kohn).