Comprendere il modello k·p a 8 bande per la struttura cristallina sfaldante (Zincblende).Comprendere il modello k·p a 8 bande per la struttura cristallina sfaldante (Zincblende).

Perché sono necessarie otto fasce di frequenza?Perché sono necessarie otto fasce di frequenza?

Nel nostro tutorial sulle bande parabolicheabbiamo considerato le bande di conduzione e di valenza come parabole indipendenti. Questo rappresenta un punto di partenza utile: risolvere l’equazione di Schrödinger all’interno della regione quantica consente di ottenere gli stati confinati e, consentendo ai portatori di carica di muoversi parallelamente agli strati, tali stati vengono trasformati in sottobande elettroniche. Tuttavia, si presuppone che una singola massa efficace possa descrivere ciascuna banda. Nel nostro tutorial sulle bande parabolicheabbiamo considerato le bande di conduzione e di valenza come parabole indipendenti. Questo rappresenta un punto di partenza utile: risolvere l’equazione di Schrödinger all’interno della regione quantica consente di ottenere gli stati confinati e, consentendo ai portatori di carica di muoversi parallelamente agli strati, tali stati vengono trasformati in sottobande elettroniche. Tuttavia, si presuppone che una singola massa efficace possa descrivere ciascuna banda.

Le bande di conduzione dei semiconduttori reali non sono indipendenti. Quando il vettore d’onda dell’elettrone cambia, gli stati derivati da diversi orbitali atomici possono interagire, modificando le loro energie e la forma delle loro funzioni d’onda. Questo effetto è particolarmente importante nella banda di valenza, dove le bande corrispondenti ai portatori di carica pesanti, leggeri e a energia inferiore sono situate molto vicine tra loro. Un modello a otto bande k·p descrive queste interazioni direttamente, anziché cercare di includerle tutte in un’unica massa efficace.Le bande di conduzione dei semiconduttori reali non sono indipendenti. Quando il vettore d’onda dell’elettrone cambia, gli stati derivati da diversi orbitali atomici possono interagire, modificando le loro energie e la forma delle loro funzioni d’onda. Questo effetto è particolarmente importante nella banda di valenza, dove le bande corrispondenti ai portatori di carica pesanti, leggeri e a energia inferiore sono situate molto vicine tra loro. Un modello a otto bande k·p descrive queste interazioni direttamente, anziché cercare di includerle tutte in un’unica massa efficace.

In questo contesto, analizzeremo i semiconduttori di tipo zincblenda, tra cui materiali come GaAs, InAs e InP. L’obiettivo è sviluppare il modello a otto bande in fasi successive: innanzitutto, identificheremo gli stati, quindi analizzeremo come interagiscono e, infine, cercheremo di capire cosa ci rivela la soluzione della matrice risultante riguardo a una struttura quantica a pozzo.In questo contesto, analizzeremo i semiconduttori di tipo zincblenda, tra cui materiali come GaAs, InAs e InP. L’obiettivo è sviluppare il modello a otto bande in fasi successive: innanzitutto, identificheremo gli stati, quindi analizzeremo come interagiscono e, infine, cercheremo di capire cosa ci rivela la soluzione della matrice risultante riguardo a una struttura quantica a pozzo.

Quali sono gli otto stati?Quali sono gli otto stati?

In prossimità del centro della zona di Brillouin (il punto Gamma), un punto di partenza utile è descrivere lo stato della banda di conduzione come avente una simmetria prevalentemente di tipo S. Gli stati di valenza presentano una simmetria prevalentemente di tipo p, che etichettiamo con X, Y e Z per indicarne l’orientamento cartesiano. Si tratta di stati cristallini, non di singoli orbitali atomici, ma le etichette degli orbitali ci aiutano a comprendere le interazioni tra di essi.In prossimità del centro della zona di Brillouin (il punto Gamma), un punto di partenza utile è descrivere lo stato della banda di conduzione come avente una simmetria prevalentemente di tipo S. Gli stati di valenza presentano una simmetria prevalentemente di tipo p, che etichettiamo con X, Y e Z per indicarne l’orientamento cartesiano. Si tratta di stati cristallini, non di singoli orbitali atomici, ma le etichette degli orbitali ci aiutano a comprendere le interazioni tra di essi.

A parte l’effetto di spin, possiamo quindi individuare quattro stati:A parte l’effetto di spin, possiamo quindi individuare quattro stati:

\[ |S\rangle,\qquad |X\rangle,\qquad |Y\rangle,\qquad |Z\rangle. \]\[ |S\rangle,\qquad |X\rangle,\qquad |Y\rangle,\qquad |Z\rangle. \]

Ogni stato può presentarsi con spin orientato verso l’alto o verso il basso. La base effettiva utilizzata in questa rappresentazione cartesiana è la seguente:Ogni stato può presentarsi con spin orientato verso l’alto o verso il basso. La base effettiva utilizzata in questa rappresentazione cartesiana è la seguente:

\[ \begin{gathered} |S\uparrow\rangle,\quad |S\downarrow\rangle,\\[3pt] |X\uparrow\rangle,\quad |Y\uparrow\rangle,\quad |Z\uparrow\rangle,\\[3pt] |X\downarrow\rangle,\quad |Y\downarrow\rangle,\quad |Z\downarrow\rangle. \end{gathered} \]\[ \begin{gathered} |S\uparrow\rangle,\quad |S\downarrow\rangle,\\[3pt] |X\uparrow\rangle,\quad |Y\uparrow\rangle,\quad |Z\uparrow\rangle,\\[3pt] |X\downarrow\rangle,\quad |Y\downarrow\rangle,\quad |Z\downarrow\rangle. \end{gathered} \]

È da qui che deriva il termine «a otto bande»: quattro funzioni orbitali moltiplicate per due componenti di spin. Inizialmente, ignoreremo l’interazione di spin, in modo da poter comprendere più facilmente il problema più semplice, che prevede quattro stati. L’accoppiamento spin-orbita verrà introdotto in seguito, dopo aver chiarito le interazioni orbitali.È da qui che deriva il termine «a otto bande»: quattro funzioni orbitali moltiplicate per due componenti di spin. Inizialmente, ignoreremo l’interazione di spin, in modo da poter comprendere più facilmente il problema più semplice, che prevede quattro stati. L’accoppiamento spin-orbita verrà introdotto in seguito, dopo aver chiarito le interazioni orbitali.

Cosa significa quando due gruppi musicali decidono di collaborare?Cosa significa quando due gruppi musicali decidono di collaborare?

Immaginiamo di conoscere i valori energetici degli stati S e X nel punto Gamma. Se i due stati non interagissero mai, la modifica del vettore d’onda comporterebbe semplicemente una variazione delle loro energie individuali. In un cristallo reale, tuttavia, il movimento all’interno del potenziale periodico può farli interagire. La funzione d’onda dell’elettrone può quindi contenere una combinazione di caratteristiche simili allo stato S e allo stato X, anziché appartenere esclusivamente a uno dei due stati.Immaginiamo di conoscere i valori energetici degli stati S e X nel punto Gamma. Se i due stati non interagissero mai, la modifica del vettore d’onda comporterebbe semplicemente una variazione delle loro energie individuali. In un cristallo reale, tuttavia, il movimento all’interno del potenziale periodico può farli interagire. La funzione d’onda dell’elettrone può quindi contenere una combinazione di caratteristiche simili allo stato S e allo stato X, anziché appartenere esclusivamente a uno dei due stati.

Lo rappresentiamo esprimendo la funzione d’onda come somma di stati di base. Ad esempio, considerando un sistema con quattro orbitali:Lo rappresentiamo esprimendo la funzione d’onda come somma di stati di base. Ad esempio, considerando un sistema con quattro orbitali:

\[ |\Psi\rangle = c_S|S\rangle+c_X|X\rangle+c_Y|Y\rangle+c_Z|Z\rangle. \]\[ |\Psi\rangle = c_S|S\rangle+c_X|X\rangle+c_Y|Y\rangle+c_Z|Z\rangle. \]

I coefficienti ci indicano in che misura ciascuno degli stati di base contribuisce a una determinata soluzione. Invece di risolvere un’equazione separata per ogni orbitale, risolviamo un’equazione di Schrödinger matriciale che determina tutti i coefficienti contemporaneamente:I coefficienti ci indicano in che misura ciascuno degli stati di base contribuisce a una determinata soluzione. Invece di risolvere un’equazione separata per ogni orbitale, risolviamo un’equazione di Schrödinger matriciale che determina tutti i coefficienti contemporaneamente:

\[ H\,\mathbf{c}=E\,\mathbf{c},\qquad \mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_S\\c_X\\c_Y\\c_Z\end{pmatrix}. \]\[ H\,\mathbf{c}=E\,\mathbf{c},\qquad \mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_S\\c_X\\c_Y\\c_Z\end{pmatrix}. \]

Gli elementi lungo la diagonale descrivono l’energia di ciascuno stato. Gli elementi che si discostano dalla diagonale descrivono le interazioni tra stati diversi. Se tali elementi non diagonali sono pari a zero, gli stati rimangono indipendenti. Se invece sono diversi da zero, la risoluzione della matrice modifica sia i livelli di energia ammissibili sia la composizione delle funzioni d’onda risultanti.Gli elementi lungo la diagonale descrivono l’energia di ciascuno stato. Gli elementi che si discostano dalla diagonale descrivono le interazioni tra stati diversi. Se tali elementi non diagonali sono pari a zero, gli stati rimangono indipendenti. Se invece sono diversi da zero, la risoluzione della matrice modifica sia i livelli di energia ammissibili sia la composizione delle funzioni d’onda risultanti.

L’accoppiamento di Kane: il collegamento tra le bande di conduzione e di valenza.L’accoppiamento di Kane: il collegamento tra le bande di conduzione e di valenza.

Nella teoria k·p, l’interazione tra lo stato di conduzione di tipo S e gli stati di valenza X, Y e Z dipende dal vettore d’onda dell’elettrone. Questa interazione è descritta dall’accoppiamento di Kane. Ad esempio, gli stati S e X sono accoppiati da un termine proporzionale alla componente del vettore d’onda lungo l’asse x; gli accoppiamenti corrispondenti tra S e Y e tra S e Z dipendono dalle componenti lungo gli assi y e z.Nella teoria k·p, l’interazione tra lo stato di conduzione di tipo S e gli stati di valenza X, Y e Z dipende dal vettore d’onda dell’elettrone. Questa interazione è descritta dall’accoppiamento di Kane. Ad esempio, gli stati S e X sono accoppiati da un termine proporzionale alla componente del vettore d’onda lungo l’asse x; gli accoppiamenti corrispondenti tra S e Y e tra S e Z dipendono dalle componenti lungo gli assi y e z.

Utilizzando la convenzione energia-tempo-lunghezza per il parametro di Kane P, possiamo rappresentare schematicamente le interazioni come segue:Utilizzando la convenzione energia-tempo-lunghezza per il parametro di Kane P, possiamo rappresentare schematicamente le interazioni come segue:

\[ H_{SX}\propto iPk_x,\qquad H_{SY}\propto iPk_y,\qquad H_{SZ}\propto iPk_z. \]\[ H_{SX}\propto iPk_x,\qquad H_{SY}\propto iPk_y,\qquad H_{SZ}\propto iPk_z. \]

In questo caso, P controlla l’intensità dell’interazione. La sua ampiezza viene spesso espressa tramite l’energia di Kane, \(E_p\):In questo caso, P controlla l’intensità dell’interazione. La sua ampiezza viene spesso espressa tramite l’energia di Kane, \(E_p\):

\[ P=\sqrt{A_0E_p},\qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}, \]\[ P=\sqrt{A_0E_p},\qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}, \]

dove \(m_0\) è la massa dell’elettrone libero. Un valore maggiore del parametro di Kane determina una maggiore interazione tra gli stati di conduzione e di valenza man mano che il vettore d’onda si allontana dal punto Gamma. I fattori e i segni immaginari presenti nell’Hamiltoniana completa dipendono dalla convenzione di base scelta; l’idea fisica fondamentale è che i termini fuori dalla diagonale collegano le bande.dove \(m_0\) è la massa dell’elettrone libero. Un valore maggiore del parametro di Kane determina una maggiore interazione tra gli stati di conduzione e di valenza man mano che il vettore d’onda si allontana dal punto Gamma. I fattori e i segni immaginari presenti nell’Hamiltoniana completa dipendono dalla convenzione di base scelta; l’idea fisica fondamentale è che i termini fuori dalla diagonale collegano le bande.

Un esempio di sistema a due statiUn esempio di sistema a due stati

Prima di analizzare tutti e otto gli stati, è utile considerare l’esempio più semplice possibile. Supponiamo di considerare solo uno stato di conduzione e uno stato di valenza. Se le loro energie, considerate indipendentemente, sono \(E_c\) e \(E_v\), un modello hermitiano pratico è il seguente:Prima di analizzare tutti e otto gli stati, è utile considerare l’esempio più semplice possibile. Supponiamo di considerare solo uno stato di conduzione e uno stato di valenza. Se le loro energie, considerate indipendentemente, sono \(E_c\) e \(E_v\), un modello hermitiano pratico è il seguente:

\[ H=\begin{pmatrix} E_c & Pk\\ Pk & E_v \end{pmatrix}. \]\[ H=\begin{pmatrix} E_c & Pk\\ Pk & E_v \end{pmatrix}. \]

In questo modello esemplificativo a due stati, abbiamo scelto le fasi delle funzioni di base in modo che l’accoppiamento sia reale. Risolvendo la matrice, si ottengono due valori di energia:In questo modello esemplificativo a due stati, abbiamo scelto le fasi delle funzioni di base in modo che l’accoppiamento sia reale. Risolvendo la matrice, si ottengono due valori di energia:

\[ E_{\pm}(k)=\frac{E_c+E_v}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{E_c-E_v}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]\[ E_{\pm}(k)=\frac{E_c+E_v}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{E_c-E_v}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

Quando il vettore d’onda è nullo, l’accoppiamento scompare e si ottengono nuovamente i bordi di banda originali. Lontano dallo zero, le soluzioni superiore e inferiore si allontanano. La distanza tra esse dipende dall’intensità dell’accoppiamento P e le corrispondenti funzioni d’onda diventano una combinazione dei due stati di base originali. Questo semplice esempio illustra il principio fondamentale del calcolo completo a otto bande: l’accoppiamento modifica la dispersione della banda, anziché semplicemente spostare una parabola esistente.Quando il vettore d’onda è nullo, l’accoppiamento scompare e si ottengono nuovamente i bordi di banda originali. Lontano dallo zero, le soluzioni superiore e inferiore si allontanano. La distanza tra esse dipende dall’intensità dell’accoppiamento P e le corrispondenti funzioni d’onda diventano una combinazione dei due stati di base originali. Questo semplice esempio illustra il principio fondamentale del calcolo completo a otto bande: l’accoppiamento modifica la dispersione della banda, anziché semplicemente spostare una parabola esistente.

Perché l’accoppiamento modifica la massa efficace?Perché l’accoppiamento modifica la massa efficace?

Richiamiamo l’equazione della banda parabolica presentata nel tutorial precedente. In prossimità del minimo della banda di conduzione, l’energia dipende approssimativamente dal quadrato del vettore d’onda e la massa efficace determina la curvatura. Il modello a due stati descritto in precedenza spiega perché altre bande possono influenzare tale massa.Richiamiamo l’equazione della banda parabolica presentata nel tutorial precedente. In prossimità del minimo della banda di conduzione, l’energia dipende approssimativamente dal quadrato del vettore d’onda e la massa efficace determina la curvatura. Il modello a due stati descritto in precedenza spiega perché altre bande possono influenzare tale massa.

Se l’accoppiamento \(Pk\) è piccolo rispetto alla banda proibita \(E_g=E_c-E_v\), la soluzione superiore può essere espansa in prossimità di \(k=0\):Se l’accoppiamento \(Pk\) è piccolo rispetto alla banda proibita \(E_g=E_c-E_v\), la soluzione superiore può essere espansa in prossimità di \(k=0\):

\[ E_+(k)\simeq E_c+\frac{P^2}{E_g}k^2. \]\[ E_+(k)\simeq E_c+\frac{P^2}{E_g}k^2. \]

Si noti che il termine aggiuntivo è proporzionale a \(k^2\): anche se abbiamo introdotto un termine di accoppiamento che è lineare rispetto a k, il suo effetto sull’energia in prossimità del bordo della banda è quadratico. Di conseguenza, questo modifica la curvatura della banda di conduzione e, quindi, la massa effettiva dell’elettrone.Si noti che il termine aggiuntivo è proporzionale a \(k^2\): anche se abbiamo introdotto un termine di accoppiamento che è lineare rispetto a k, il suo effetto sull’energia in prossimità del bordo della banda è quadratico. Di conseguenza, questo modifica la curvatura della banda di conduzione e, quindi, la massa effettiva dell’elettrone.

Nel modello attuale è presente anche un contributo diretto legato all’energia cinetica e un accoppiamento con diversi stati di valenza, compresi gli stati derivanti dalla separazione dovuta all’interazione spin-orbita. Questi contributi devono essere combinati per riprodurre la massa osservata al bordo della banda. Per questo motivo, la massa efficace non è una semplice sostituzione della massa dell’elettrone libero: essa riassume l’influenza delle bande cristalline circostanti sul movimento di un elettrone in prossimità di un particolare bordo di banda.Nel modello attuale è presente anche un contributo diretto legato all’energia cinetica e un accoppiamento con diversi stati di valenza, compresi gli stati derivanti dalla separazione dovuta all’interazione spin-orbita. Questi contributi devono essere combinati per riprodurre la massa osservata al bordo della banda. Per questo motivo, la massa efficace non è una semplice sostituzione della massa dell’elettrone libero: essa riassume l’influenza delle bande cristalline circostanti sul movimento di un elettrone in prossimità di un particolare bordo di banda.

Perché esistono tre orbitali di valenza?Perché esistono tre orbitali di valenza?

Lo stato di conduzione, preso singolarmente, è relativamente semplice. La banda di valenza richiede maggiore attenzione perché contiene stati simili a X-, Y- e Z- che possono interagire tra loro. Il loro comportamento dipende dalla direzione del vettore d’onda, e non solo dalla sua ampiezza. Pertanto, una singola parabola rivolta verso il basso non riesce a rappresentare adeguatamente le caratteristiche importanti della struttura della banda di valenza.Lo stato di conduzione, preso singolarmente, è relativamente semplice. La banda di valenza richiede maggiore attenzione perché contiene stati simili a X-, Y- e Z- che possono interagire tra loro. Il loro comportamento dipende dalla direzione del vettore d’onda, e non solo dalla sua ampiezza. Pertanto, una singola parabola rivolta verso il basso non riesce a rappresentare adeguatamente le caratteristiche importanti della struttura della banda di valenza.

Nella rappresentazione cartesiana, costruiamo un blocco della banda di valenza con un elemento diagonale per ciascun orbitale e elementi fuori dalla diagonale che descrivono l’accoppiamento tra gli orbitali. Utilizzando i coefficienti L, M e N, un tipico blocco orbitale ha la seguente forma:Nella rappresentazione cartesiana, costruiamo un blocco della banda di valenza con un elemento diagonale per ciascun orbitale e elementi fuori dalla diagonale che descrivono l’accoppiamento tra gli orbitali. Utilizzando i coefficienti L, M e N, un tipico blocco orbitale ha la seguente forma:

\[ H_{vv}^{\mathrm{orb}}= \begin{pmatrix} D_X & Nk_xk_y & Nk_xk_z\\ Nk_xk_y & D_Y & Nk_yk_z\\ Nk_xk_z & Nk_yk_z & D_Z \end{pmatrix}, \]\[ H_{vv}^{\mathrm{orb}}= \begin{pmatrix} D_X & Nk_xk_y & Nk_xk_z\\ Nk_xk_y & D_Y & Nk_yk_z\\ Nk_xk_z & Nk_yk_z & D_Z \end{pmatrix}, \]

dove i termini sulla diagonale assumono la seguente forma:dove i termini sulla diagonale assumono la seguente forma:

\[ \begin{aligned} D_X&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_x^2+M(k_y^2+k_z^2),\\[3pt] D_Y&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_y^2+M(k_x^2+k_z^2),\\[3pt] D_Z&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_z^2+M(k_x^2+k_y^2). \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} D_X&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_x^2+M(k_y^2+k_z^2),\\[3pt] D_Y&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_y^2+M(k_x^2+k_z^2),\\[3pt] D_Z&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_z^2+M(k_x^2+k_y^2). \end{aligned} \]

Non è necessario memorizzare questa matrice per comprenderne la funzione. L e M determinano come le energie dei singoli componenti orbitali variano in funzione della direzione; N controlla la miscelazione tra i diversi componenti orbitali. Il calcolo completo a otto bande include questo blocco di valenza per entrambi i componenti di spin e lo accoppia agli stati di conduzione.Non è necessario memorizzare questa matrice per comprenderne la funzione. L e M determinano come le energie dei singoli componenti orbitali variano in funzione della direzione; N controlla la miscelazione tra i diversi componenti orbitali. Il calcolo completo a otto bande include questo blocco di valenza per entrambi i componenti di spin e lo accoppia agli stati di conduzione.

Qual è l’origine delle bande di valenza, delle bande di conduzione e delle bande di energia separate?Qual è l’origine delle bande di valenza, delle bande di conduzione e delle bande di energia separate?

Finora abbiamo descritto S, X, Y e Z come stati orbitali. L’elettrone possiede anche una proprietà chiamata spin, che si manifesta in due componenti: spin «verso l’alto» e spin «verso il basso» per ciascun orbitale. Semplicemente raddoppiando la base si otterrebbe un risultato immediato, a condizione che lo spin non interagisca mai con il moto orbitale. Tuttavia, un semiconduttore presenta un’interazione aggiuntiva chiamata accoppiamento spin-orbita.Finora abbiamo descritto S, X, Y e Z come stati orbitali. L’elettrone possiede anche una proprietà chiamata spin, che si manifesta in due componenti: spin «verso l’alto» e spin «verso il basso» per ciascun orbitale. Semplicemente raddoppiando la base si otterrebbe un risultato immediato, a condizione che lo spin non interagisca mai con il moto orbitale. Tuttavia, un semiconduttore presenta un’interazione aggiuntiva chiamata accoppiamento spin-orbita.

Nella banda di valenza, questo accoppiamento mescola le componenti orbitali e di spin. Nel punto Gamma di un cristallo di tipo zincblenda non sollecitato, i sei stati spin-orbitali di tipo p si separano in un gruppo di quattro stati, che comprende gli stati corrispondenti ai fori pesanti e ai fori leggeri, e in un gruppo di due stati, chiamato banda di separazione. La differenza di energia è indicata con \(\Delta_{\mathrm{so}}\).Nella banda di valenza, questo accoppiamento mescola le componenti orbitali e di spin. Nel punto Gamma di un cristallo di tipo zincblenda non sollecitato, i sei stati spin-orbitali di tipo p si separano in un gruppo di quattro stati, che comprende gli stati corrispondenti ai fori pesanti e ai fori leggeri, e in un gruppo di due stati, chiamato banda di separazione. La differenza di energia è indicata con \(\Delta_{\mathrm{so}}\).

I termini «heavy hole» e «light hole» si riferiscono alle diverse curvature di queste bande in prossimità del punto Gamma, e quindi alle loro diverse masse effettive. Le bande non devono necessariamente rimanere indipendenti una volta che il vettore d’onda cambia. In un pozzo quantico, il confinamento e la sollecitazione possono ulteriormente mescolarle, il che è una delle ragioni principali per utilizzare il modello completo a più bande.I termini «heavy hole» e «light hole» si riferiscono alle diverse curvature di queste bande in prossimità del punto Gamma, e quindi alle loro diverse masse effettive. Le bande non devono necessariamente rimanere indipendenti una volta che il vettore d’onda cambia. In un pozzo quantico, il confinamento e la sollecitazione possono ulteriormente mescolarle, il che è una delle ragioni principali per utilizzare il modello completo a più bande.

Considerando il valore massimo della banda di valenza come energia di riferimento, l’energia media della banda di valenza non perturbata, espressa in coordinate cartesiane, viene spesso indicata come:Considerando il valore massimo della banda di valenza come energia di riferimento, l’energia media della banda di valenza non perturbata, espressa in coordinate cartesiane, viene spesso indicata come:

\[ E_{v,\mathrm{av}}=E_v-\frac{\Delta_{\mathrm{so}}}{3}. \]\[ E_{v,\mathrm{av}}=E_v-\frac{\Delta_{\mathrm{so}}}{3}. \]

La matrice di accoppiamento spin-orbita separa quindi gli stati di valenza superiori dagli stati derivati dalla scissione, riproducendo i valori energetici richiesti nel punto Gamma. OghmaNano mantiene esplicitamente questo accoppiamento, anziché cercare di modellare tutte le bande di valenza con un unico valore di massa efficace per gli elettroni di conduzione.La matrice di accoppiamento spin-orbita separa quindi gli stati di valenza superiori dagli stati derivati dalla scissione, riproducendo i valori energetici richiesti nel punto Gamma. OghmaNano mantiene esplicitamente questo accoppiamento, anziché cercare di modellare tutte le bande di valenza con un unico valore di massa efficace per gli elettroni di conduzione.

Come combinare gli otto termini dell’hamiltoniana.Come combinare gli otto termini dell’hamiltoniana.

Ora possiamo capire come si combinano i diversi elementi. Esistono due stati di conduzione a forma di S (uno per ciascun tipo di spin) e sei stati di valenza a forma di P. L’hamiltoniana è suddivisa in quattro blocchi:Ora possiamo capire come si combinano i diversi elementi. Esistono due stati di conduzione a forma di S (uno per ciascun tipo di spin) e sei stati di valenza a forma di P. L’hamiltoniana è suddivisa in quattro blocchi:

\[ \boxed{ H=\begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger} & H_{vv} \end{pmatrix} } \]\[ \boxed{ H=\begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger} & H_{vv} \end{pmatrix} } \]

Il blocco di conduzione \(H_{cc}\) contiene il limite della banda di conduzione e la sua energia cinetica. Il blocco di valenza \(H_{vv}\) contiene i termini orbitali X/Y/Z e l’interazione spin-orbita. Il blocco di accoppiamento \(H_{cv}\) contiene le interazioni di Kane che collegano gli stati di conduzione e di valenza. Il simbolo \(\dagger\) indica il coniugato hermitiano, garantendo che l’hamiltoniana abbia la struttura hermitiana richiesta.Il blocco di conduzione \(H_{cc}\) contiene il limite della banda di conduzione e la sua energia cinetica. Il blocco di valenza \(H_{vv}\) contiene i termini orbitali X/Y/Z e l’interazione spin-orbita. Il blocco di accoppiamento \(H_{cv}\) contiene le interazioni di Kane che collegano gli stati di conduzione e di valenza. Il simbolo \(\dagger\) indica il coniugato hermitiano, garantendo che l’hamiltoniana abbia la struttura hermitiana richiesta.

Sebbene la matrice completa abbia otto righe e otto colonne per un materiale omogeneo con un vettore d’onda specifico, i suoi singoli elementi sono ora meno enigmatici: ciascun elemento assegna un’energia a uno stato di base oppure descrive un’interazione tra due stati. Risolviamo il problema degli autovalori della matrice per ottenere le energie ammesse delle bande e la composizione delle loro funzioni d’onda.Sebbene la matrice completa abbia otto righe e otto colonne per un materiale omogeneo con un vettore d’onda specifico, i suoi singoli elementi sono ora meno enigmatici: ciascun elemento assegna un’energia a uno stato di base oppure descrive un’interazione tra due stati. Risolviamo il problema degli autovalori della matrice per ottenere le energie ammesse delle bande e la composizione delle loro funzioni d’onda.

Da dove provengono i parametri del modello?Da dove provengono i parametri del modello?

I dati sperimentali e teorici relativi ai semiconduttori vengono solitamente espressi in termini di banda proibita \(E_g\), massa efficace di conduzione, energia di Kane \(E_p\), separazione dovuta all’accoppiamento spin-orbita \(\Delta_{\mathrm{so}}\) e parametri di Luttinger \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) e \(\gamma_3\). Queste quantità determinano le dispersioni diagonali del modello e l’intensità delle interazioni tra gli stati.I dati sperimentali e teorici relativi ai semiconduttori vengono solitamente espressi in termini di banda proibita \(E_g\), massa efficace di conduzione, energia di Kane \(E_p\), separazione dovuta all’accoppiamento spin-orbita \(\Delta_{\mathrm{so}}\) e parametri di Luttinger \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) e \(\gamma_3\). Queste quantità determinano le dispersioni diagonali del modello e l’intensità delle interazioni tra gli stati.

Si presenta un problema importante in relazione alla gestione dei dati contabili. Nel modello parabolico, la massa efficace misurata tiene già conto dell’influenza delle bande adiacenti. In un modello a otto bande, alcune di queste bande adiacenti vengono ora incluse esplicitamente tramite l’accoppiamento di Kane. Pertanto, dobbiamo modificare i coefficienti di energia cinetica rimanenti in modo che la stessa interazione fisica non venga conteggiata due volte.Si presenta un problema importante in relazione alla gestione dei dati contabili. Nel modello parabolico, la massa efficace misurata tiene già conto dell’influenza delle bande adiacenti. In un modello a otto bande, alcune di queste bande adiacenti vengono ora incluse esplicitamente tramite l’accoppiamento di Kane. Pertanto, dobbiamo modificare i coefficienti di energia cinetica rimanenti in modo che la stessa interazione fisica non venga conteggiata due volte.

Nella parametrizzazione di OghmaNano, il coefficiente della banda di conduzione remota è indicato con \(A_c\), mentre i coefficienti degli orbitali di valenza sono rappresentati con le lettere L, M e N. La conversione dei parametri dei materiali misurati fa parte della definizione del modello; i coefficienti risultanti non devono essere confusi con le masse efficaci di base delle bande paraboliche indipendenti.Nella parametrizzazione di OghmaNano, il coefficiente della banda di conduzione remota è indicato con \(A_c\), mentre i coefficienti degli orbitali di valenza sono rappresentati con le lettere L, M e N. La conversione dei parametri dei materiali misurati fa parte della definizione del modello; i coefficienti risultanti non devono essere confusi con le masse efficaci di base delle bande paraboliche indipendenti.

La correzione della banda di conduzioneLa correzione della banda di conduzione

Una delle formule utilizzate per esprimere il contributo della banda remota alla conduzione è la seguente:Una delle formule utilizzate per esprimere il contributo della banda remota alla conduzione è la seguente:

\[ A_c=A_0\left( \frac{m_0}{m_e^{*}} -\frac{2E_p}{3E_g} -\frac{E_p}{3(E_g+\Delta_{\mathrm{so}})} \right), \]\[ A_c=A_0\left( \frac{m_0}{m_e^{*}} -\frac{2E_p}{3E_g} -\frac{E_p}{3(E_g+\Delta_{\mathrm{so}})} \right), \]

con \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\). Il primo termine definisce la curvatura del bordo della banda misurata, mentre i due termini che includono \(E_p\) eliminano la parte dovuta agli stati di valenza che ora sono esplicitamente accoppiati. Qui, \(m_e^{*}\) rappresenta una massa espressa nelle unità di misura del Sistema Internazionale; se un database di materiali memorizza la massa relativa \(m_e^{*}/m_0\), viene utilizzato invece il suo reciproco.con \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\). Il primo termine definisce la curvatura del bordo della banda misurata, mentre i due termini che includono \(E_p\) eliminano la parte dovuta agli stati di valenza che ora sono esplicitamente accoppiati. Qui, \(m_e^{*}\) rappresenta una massa espressa nelle unità di misura del Sistema Internazionale; se un database di materiali memorizza la massa relativa \(m_e^{*}/m_0\), viene utilizzato invece il suo reciproco.

Correzioni analoghe vengono introdotte in L, M e N tramite i parametri di Luttinger. È necessario mantenere una coerenza rigorosa nelle convenzioni relative ai parametri, in base alla base e all’hamiltoniana scelte; l’utilizzo di coefficienti derivati da convenzioni diverse può portare a una curvatura della banda errata, anche quando le dimensioni della matrice sembrano corrette.Correzioni analoghe vengono introdotte in L, M e N tramite i parametri di Luttinger. È necessario mantenere una coerenza rigorosa nelle convenzioni relative ai parametri, in base alla base e all’hamiltoniana scelte; l’utilizzo di coefficienti derivati da convenzioni diverse può portare a una curvatura della banda errata, anche quando le dimensioni della matrice sembrano corrette.

Quali modifiche si verificano quando inseriamo il modello all’interno di un pozzo quantico?Quali modifiche si verificano quando inseriamo il modello all’interno di un pozzo quantico?

Finora, tutto ciò che è stato detto riguarda un semiconduttore con un vettore d’onda cristallina tridimensionale specifico. Nel caso di una struttura a pozzo quantico, scegliamo nuovamente \(z\) perpendicolare agli strati e \(x\) e \(y\) paralleli agli stessi. Le cariche possono muoversi liberamente lungo gli strati, quindi \(k_x\) e \(k_y\) rimangono componenti ordinarie del vettore d’onda nel piano.Finora, tutto ciò che è stato detto riguarda un semiconduttore con un vettore d’onda cristallina tridimensionale specifico. Nel caso di una struttura a pozzo quantico, scegliamo nuovamente \(z\) perpendicolare agli strati e \(x\) e \(y\) paralleli agli stessi. Le cariche possono muoversi liberamente lungo gli strati, quindi \(k_x\) e \(k_y\) rimangono componenti ordinarie del vettore d’onda nel piano.

Tuttavia, a prescindere dai diversi livelli, dobbiamo risolvere le equazioni che descrivono le funzioni d’onda confinate. Di conseguenza, la componente z è rappresentata da un operatore differenziale:Tuttavia, a prescindere dai diversi livelli, dobbiamo risolvere le equazioni che descrivono le funzioni d’onda confinate. Di conseguenza, la componente z è rappresentata da un operatore differenziale:

\[ \boxed{k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}} \]\[ \boxed{k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}} \]

Questa è l’estensione a più bande dell’approccio basato sull’equazione di Schrödinger, introdotto nelle pagine precedenti. Invece di risolvere l’equazione per una sola funzione d’inviluppo scalare, la risolviamo per otto componenti d’inviluppo accoppiate:Questa è l’estensione a più bande dell’approccio basato sull’equazione di Schrödinger, introdotto nelle pagine precedenti. Invece di risolvere l’equazione per una sola funzione d’inviluppo scalare, la risolviamo per otto componenti d’inviluppo accoppiate:

\[ \boldsymbol{\Psi}(z)= \begin{pmatrix} \psi_{S\uparrow}(z)\\ \psi_{S\downarrow}(z)\\ \psi_{X\uparrow}(z)\\ \psi_{Y\uparrow}(z)\\ \psi_{Z\uparrow}(z)\\ \psi_{X\downarrow}(z)\\ \psi_{Y\downarrow}(z)\\ \psi_{Z\downarrow}(z) \end{pmatrix}. \]\[ \boldsymbol{\Psi}(z)= \begin{pmatrix} \psi_{S\uparrow}(z)\\ \psi_{S\downarrow}(z)\\ \psi_{X\uparrow}(z)\\ \psi_{Y\uparrow}(z)\\ \psi_{Z\uparrow}(z)\\ \psi_{X\downarrow}(z)\\ \psi_{Y\downarrow}(z)\\ \psi_{Z\downarrow}(z) \end{pmatrix}. \]

Ogni punto della griglia numerica lungo il pozzo quantico contiene otto valori correlati. Con N punti della griglia spaziale, l’hamiltoniana discretizzata ha quindi una dimensione pari a \(8N\). Risolvendo l’equazione, si ottengono i livelli energetici quantizzati e la composizione orbitale e di spin di ciascuna sottabanda calcolata. Un esempio completo di questo calcolo è disponibile in tutorial sul pozzo quantico a otto bande di GaAs/AlGaAs, basato sul modello zincblende k·p.Ogni punto della griglia numerica lungo il pozzo quantico contiene otto valori correlati. Con N punti della griglia spaziale, l’hamiltoniana discretizzata ha quindi una dimensione pari a \(8N\). Risolvendo l’equazione, si ottengono i livelli energetici quantizzati e la composizione orbitale e di spin di ciascuna sottabanda calcolata. Un esempio completo di questo calcolo è disponibile in tutorial sul pozzo quantico a otto bande di GaAs/AlGaAs, basato sul modello zincblende k·p.

Anche i parametri dei materiali possono variare lungo un’interfaccia. Quando i coefficienti moltiplicano gli operatori differenziali, il loro ordine deve essere scelto con attenzione per preservare l’ermiticità e il corretto comportamento all’interfaccia. Ad esempio, un coefficiente di Kane che varia nello spazio viene comunemente introdotto tramite un operatore simmetrizzato, anziché trattandolo come una costante al di fuori della derivata.Anche i parametri dei materiali possono variare lungo un’interfaccia. Quando i coefficienti moltiplicano gli operatori differenziali, il loro ordine deve essere scelto con attenzione per preservare l’ermiticità e il corretto comportamento all’interfaccia. Ad esempio, un coefficiente di Kane che varia nello spazio viene comunemente introdotto tramite un operatore simmetrizzato, anziché trattandolo come una costante al di fuori della derivata.

In quale punto si verifica la deformazione?In quale punto si verifica la deformazione?

Quando uno strato semiconduttore viene depositato su un altro strato con una diversa costante di reticolo, lo strato può subire una compressione o una dilatazione. Questo provoca una deformazione, che modifica i livelli di energia relativi degli stati di conduzione e di valenza.Quando uno strato semiconduttore viene depositato su un altro strato con una diversa costante di reticolo, lo strato può subire una compressione o una dilatazione. Questo provoca una deformazione, che modifica i livelli di energia relativi degli stati di conduzione e di valenza.

Nella banda di conduzione si verifica uno spostamento dell’energia dovuto alla pressione idrostatica, mentre le bande di valenza possono muoversi l’una rispetto all’altra e mescolarsi. Nei modelli di tipo zincblenda, questi effetti sono comunemente rappresentati mediante Hamiltoniana del modello Bir-PikusL’aggiunta di questo termine all’Hamiltoniana a otto bande ci consente di calcolare come il confinamento e la deformazione agiscano in sinergia, anziché correggere le bande in modo indipendente dopo aver risolto l’equazione relativa alla struttura a pozzo quantico. Nella banda di conduzione si verifica uno spostamento dell’energia dovuto alla pressione idrostatica, mentre le bande di valenza possono muoversi l’una rispetto all’altra e mescolarsi. Nei modelli di tipo zincblenda, questi effetti sono comunemente rappresentati mediante Hamiltoniana del modello Bir-PikusL’aggiunta di questo termine all’Hamiltoniana a otto bande ci consente di calcolare come il confinamento e la deformazione agiscano in sinergia, anziché correggere le bande in modo indipendente dopo aver risolto l’equazione relativa alla struttura a pozzo quantico.

Perché è importante per i calcoli ottici?Perché è importante per i calcoli ottici?

Il tutorial optical-transitions tutorial ha spiegato come le sottobande degli elettroni e delle lacune determinano le possibili energie dei fotoni. Nell'approssimazione parabolica, le intensità di transizione possono essere stimate utilizzando la sovrapposizione di due funzioni d'inviluppo scalari e un elemento di matrice ottica del materiale.Il tutorial optical-transitions tutorial ha spiegato come le sottobande degli elettroni e delle lacune determinano le possibili energie dei fotoni. Nell'approssimazione parabolica, le intensità di transizione possono essere stimate utilizzando la sovrapposizione di due funzioni d'inviluppo scalari e un elemento di matrice ottica del materiale.

Nel modello a otto bande, ogni stato è invece una combinazione di componenti S, X, Y e Z. La sua risposta ottica dipende da queste componenti e dalla polarizzazione della luce. Per questo motivo, un calcolo multibanda può prevedere variazioni nell’intensità delle transizioni e nella risposta TE/TM che non sarebbero riscontrabili in una descrizione a massa singola.Nel modello a otto bande, ogni stato è invece una combinazione di componenti S, X, Y e Z. La sua risposta ottica dipende da queste componenti e dalla polarizzazione della luce. Per questo motivo, un calcolo multibanda può prevedere variazioni nell’intensità delle transizioni e nella risposta TE/TM che non sarebbero riscontrabili in una descrizione a massa singola.

Il miglioramento principale non consiste semplicemente nel fatto che calcoliamo un numero maggiore di curve. Calcoliamo la composizione degli stati, compreso il modo in cui le loro caratteristiche orbitali variano in funzione del vettore d’onda, del confinamento e della sollecitazione.Il miglioramento principale non consiste semplicemente nel fatto che calcoliamo un numero maggiore di curve. Calcoliamo la composizione degli stati, compreso il modo in cui le loro caratteristiche orbitali variano in funzione del vettore d’onda, del confinamento e della sollecitazione.