L’hamiltoniana del modello di Bir-PikusL’hamiltoniana del modello di Bir-Pikus

La deformazione altera il potenziale del cristallo e, di conseguenza, sposta e mescola le bande di valenza. L’hamiltoniana di Bir–Pikus è l’analogo della deformazione dell’hamiltoniana cinetica k·p delle bande di valenza: ha esattamente la stessa struttura, con i componenti di deformazione che sostituiscono i prodotti dei vettori d’onda. OghmaNano la implementa in due forme equivalenti: una forma compatta \(P, Q, R, S\) per il risolutore di Luttinger–Kohn e una forma cartesiana esplicita per i risolutori a 8 bande.La deformazione altera il potenziale del cristallo e, di conseguenza, sposta e mescola le bande di valenza. L’hamiltoniana di Bir–Pikus è l’analogo della deformazione dell’hamiltoniana cinetica k·p delle bande di valenza: ha esattamente la stessa struttura, con i componenti di deformazione che sostituiscono i prodotti dei vettori d’onda. OghmaNano la implementa in due forme equivalenti: una forma compatta \(P, Q, R, S\) per il risolutore di Luttinger–Kohn e una forma cartesiana esplicita per i risolutori a 8 bande.

1. La forma P, Q, R, S1. La forma P, Q, R, S

Nel formalismo del momento angolare totale, l’hamiltoniana che descrive la deformazione elastica viene costruita a partire da quattro grandezze. Utilizzando i potenziali di deformazione \(a_v\) (idrostatico) e \(b, d\) (taglio), OghmaNano calcolaNel formalismo del momento angolare totale, l’hamiltoniana che descrive la deformazione elastica viene costruita a partire da quattro grandezze. Utilizzando i potenziali di deformazione \(a_v\) (idrostatico) e \(b, d\) (taglio), OghmaNano calcola

\[ \begin{aligned} P &= a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon), \\ Q &= \tfrac{1}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}), \\ R &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) + i\,d\,\varepsilon_{xy}, \\ S &= -\,d\,(\varepsilon_{xz} - i\,\varepsilon_{yz}), \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} P &= a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon), \\ Q &= \tfrac{1}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}), \\ R &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) + i\,d\,\varepsilon_{xy}, \\ S &= -\,d\,(\varepsilon_{xz} - i\,\varepsilon_{yz}), \end{aligned} \]

dove \(\mathrm{Tr}(\varepsilon)=\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}\) rappresenta […]; \(P\) è lo spostamento idrostatico della banda di valenza media; \(Q\) è la scissione biassiale delle lacune pesanti e leggere; e \(R, S\) sono gli accoppiamenti di taglio che si annullano per la deformazione [001] non soggetta a taglio. Queste quattro quantità di deformazione vengono aggiunte direttamente all’energia cinetica \(P, Q, R, S\) dell’hamiltoniana Luttinger–Kohn, in modo che la stessa matrice \(6\times6\) descriva contemporaneamente l’energia cinetica e la fisica della deformazione.dove \(\mathrm{Tr}(\varepsilon)=\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}\) rappresenta […]; \(P\) è lo spostamento idrostatico della banda di valenza media; \(Q\) è la scissione biassiale delle lacune pesanti e leggere; e \(R, S\) sono gli accoppiamenti di taglio che si annullano per la deformazione [001] non soggetta a taglio. Queste quattro quantità di deformazione vengono aggiunte direttamente all’energia cinetica \(P, Q, R, S\) dell’hamiltoniana Luttinger–Kohn, in modo che la stessa matrice \(6\times6\) descriva contemporaneamente l’energia cinetica e la fisica della deformazione.

2. La forma cartesiana X/Y/Z2. La forma cartesiana X/Y/Z

Il modello a 8 bande struttura cristallina della sfalerite utilizza una base orbitale cartesiana, pertanto OghmaNano descrive gli stessi fenomeni fisici di una matrice \(3\times3\) che agisce su \(|X\rangle, |Y\rangle, |Z\rangle\):Il modello a 8 bande struttura cristallina della sfalerite utilizza una base orbitale cartesiana, pertanto OghmaNano descrive gli stessi fenomeni fisici di una matrice \(3\times3\) che agisce su \(|X\rangle, |Y\rangle, |Z\rangle\):

\[ H^{\varepsilon} = \begin{pmatrix} a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) \end{pmatrix}. \]\[ H^{\varepsilon} = \begin{pmatrix} a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) \end{pmatrix}. \]

La componente diagonale combina lo spostamento idrostatico \(a_v\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) con il termine assiale \(b(2\varepsilon_{ii}-\varepsilon_{jj}-\varepsilon_{kk})\); i termini di taglio fuori dalla diagonale \(\sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{ij}\) si annullano per la deformazione biassiale [001]. Il potenziale di deformazione è indipendente dallo spin, quindi OghmaNano applica questo blocco \(3\times3\) in modo identico agli orbitali di valenza con spin positivo e spin negativo.La componente diagonale combina lo spostamento idrostatico \(a_v\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) con il termine assiale \(b(2\varepsilon_{ii}-\varepsilon_{jj}-\varepsilon_{kk})\); i termini di taglio fuori dalla diagonale \(\sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{ij}\) si annullano per la deformazione biassiale [001]. Il potenziale di deformazione è indipendente dallo spin, quindi OghmaNano applica questo blocco \(3\times3\) in modo identico agli orbitali di valenza con spin positivo e spin negativo.

3. Perché le due forme concordano.3. Perché le due forme concordano.

Le forme cartesiane e \(P, Q, R, S\) sono correlate tramite la stessa trasformazione unitaria che mette in relazione gli orbitali \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) con gli stati \(|J,m_j\rangle\). Ad esempio, la differenza diagonale cartesiana \(b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}- \varepsilon_{yy})\) corrisponde esattamente a \(-2Q\) con \(Q\), come definito in precedenza, e gli elementi di taglio vengono mappati su \(R\) e \(S\). Entrambe le forme utilizzano gli stessi tre potenziali di deformazione e forniscono energie di valenza identiche; la scelta dipende esclusivamente dalla praticità, in base alla base utilizzata da ciascun risolutore.Le forme cartesiane e \(P, Q, R, S\) sono correlate tramite la stessa trasformazione unitaria che mette in relazione gli orbitali \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) con gli stati \(|J,m_j\rangle\). Ad esempio, la differenza diagonale cartesiana \(b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}- \varepsilon_{yy})\) corrisponde esattamente a \(-2Q\) con \(Q\), come definito in precedenza, e gli elementi di taglio vengono mappati su \(R\) e \(S\). Entrambe le forme utilizzano gli stessi tre potenziali di deformazione e forniscono energie di valenza identiche; la scelta dipende esclusivamente dalla praticità, in base alla base utilizzata da ciascun risolutore.

4. I potenziali di deformazione4. I potenziali di deformazione

Tre parametri controllano la risposta alla sollecitazione della banda di valenza. Il potenziale idrostatico \(a_v\) determina come l’energia media della banda di valenza varia in funzione del volume; combinato con il potenziale di conduzione \(a_c\), esso definisce il potenziale di deformazione della banda proibita \(a = a_c - a_v\). Il potenziale assiale \(b\) controlla la scissione tetragonale (biaxiale) dei fori pesanti e leggeri sotto sollecitazione nella direzione [001], mentre \(d\) controlla la risposta alle sollecitazioni di taglio lungo altre direzioni. Tutti e tre i parametri sono espressi in unità di energia (eV) e, in genere, sono negativi per la banda di valenza. I loro valori e le convenzioni sui segni sono discussi nella pagina material-parameters.Tre parametri controllano la risposta alla sollecitazione della banda di valenza. Il potenziale idrostatico \(a_v\) determina come l’energia media della banda di valenza varia in funzione del volume; combinato con il potenziale di conduzione \(a_c\), esso definisce il potenziale di deformazione della banda proibita \(a = a_c - a_v\). Il potenziale assiale \(b\) controlla la scissione tetragonale (biaxiale) dei fori pesanti e leggeri sotto sollecitazione nella direzione [001], mentre \(d\) controlla la risposta alle sollecitazioni di taglio lungo altre direzioni. Tutti e tre i parametri sono espressi in unità di energia (eV) e, in genere, sono negativi per la banda di valenza. I loro valori e le convenzioni sui segni sono discussi nella pagina material-parameters.