Comprendere la teoria k·p: dalle bande paraboliche ai modelli a più bandeComprendere la teoria k·p: dalle bande paraboliche ai modelli a più bande

Perché abbiamo bisogno di un altro modello per la struttura a bande?Perché abbiamo bisogno di un altro modello per la struttura a bande?

Nel nostro introduzione alle bande dei pozzi quantici parabolici, abbiamo rappresentato l’energia di un elettrone utilizzando una semplice parabola. La sua curvatura era determinata da una massa efficace, il che ci ha permesso di trasformare ciascuno stato confinato del pozzo quantico in una sottobanda elettronica bidimensionale. Questa è un’approssimazione molto utile, in particolare in prossimità del punto più basso di una semplice banda di conduzione.Nel nostro introduzione alle bande dei pozzi quantici parabolici, abbiamo rappresentato l’energia di un elettrone utilizzando una semplice parabola. La sua curvatura era determinata da una massa efficace, il che ci ha permesso di trasformare ciascuno stato confinato del pozzo quantico in una sottobanda elettronica bidimensionale. Questa è un’approssimazione molto utile, in particolare in prossimità del punto più basso di una semplice banda di conduzione.

Tuttavia, un vero semiconduttore contiene diverse bande elettroniche. Queste possono essere situate molto vicine l’una all’altra, deviare dalla forma parabolica e interagire tra loro. Questo è particolarmente importante per le bande di valenza, dove gli stati corrispondenti a lacune pesanti, lacune leggere e stati di separazione non possono sempre essere trattati come particelle indipendenti con una massa unica.Tuttavia, un vero semiconduttore contiene diverse bande elettroniche. Queste possono essere situate molto vicine l’una all’altra, deviare dalla forma parabolica e interagire tra loro. Questo è particolarmente importante per le bande di valenza, dove gli stati corrispondenti a lacune pesanti, lacune leggere e stati di separazione non possono sempre essere trattati come particelle indipendenti con una massa unica.

Il metodo k·p offre un modo per descrivere questi effetti senza dover ricalcolare l’intera struttura elettronica a livello atomico per ogni vettore d’onda. Partiamo dagli stati elettronici in un punto ben definito della struttura a bande del cristallo e calcoliamo come questi cambiano quando il vettore d’onda si allontana da tale punto. Ancora più importante, consentiamo a diverse bande elettroniche di interagire tra loro.Il metodo k·p offre un modo per descrivere questi effetti senza dover ricalcolare l’intera struttura elettronica a livello atomico per ogni vettore d’onda. Partiamo dagli stati elettronici in un punto ben definito della struttura a bande del cristallo e calcoliamo come questi cambiano quando il vettore d’onda si allontana da tale punto. Ancora più importante, consentiamo a diverse bande elettroniche di interagire tra loro.

L’obiettivo di questa pagina è spiegare l’origine delle equazioni k·p, il motivo per cui la massa efficace compare in modo naturale e come un insieme di equazioni accoppiate si trasformi nell’Hamiltoniana a più bande utilizzata in un risolutore per strutture a pozzo quantico.L’obiettivo di questa pagina è spiegare l’origine delle equazioni k·p, il motivo per cui la massa efficace compare in modo naturale e come un insieme di equazioni accoppiate si trasformi nell’Hamiltoniana a più bande utilizzata in un risolutore per strutture a pozzo quantico.

Partendo da un elettrone in un cristallo.Partendo da un elettrone in un cristallo.

Per un elettrone che si muove all’interno di un cristallo semiconduttore, partiamo dalla nota equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:Per un elettrone che si muove all’interno di un cristallo semiconduttore, partiamo dalla nota equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:

\[ \hat H_0\Psi(\mathbf r)=E\Psi(\mathbf r), \qquad \hat H_0=\frac{\hat{\mathbf p}^{\,2}}{2m_0}+V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]\[ \hat H_0\Psi(\mathbf r)=E\Psi(\mathbf r), \qquad \hat H_0=\frac{\hat{\mathbf p}^{\,2}}{2m_0}+V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

In questo caso, \(m_0\) rappresenta la massa ordinaria (dell’elettrone libero), \(\hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla\) è l’operatore del momento e \(V_{\mathrm{crystal}}\) è il potenziale a cui è sottoposto l’elettrone a causa della disposizione periodica degli atomi. Abbiamo scelto di utilizzare \(m_0\) e non la massa efficace del semiconduttore: in questa fase, l’influenza del cristallo non è ancora stata incorporata in una massa approssimata.In questo caso, \(m_0\) rappresenta la massa ordinaria (dell’elettrone libero), \(\hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla\) è l’operatore del momento e \(V_{\mathrm{crystal}}\) è il potenziale a cui è sottoposto l’elettrone a causa della disposizione periodica degli atomi. Abbiamo scelto di utilizzare \(m_0\) e non la massa efficace del semiconduttore: in questa fase, l’influenza del cristallo non è ancora stata incorporata in una massa approssimata.

Una caratteristica fondamentale di un cristallo ideale è che il suo potenziale si ripete da una cella elementare all’altra. Se \(\mathbf R\) descrive una traslazione del reticolo, allora:Una caratteristica fondamentale di un cristallo ideale è che il suo potenziale si ripete da una cella elementare all’altra. Se \(\mathbf R\) descrive una traslazione del reticolo, allora:

\[ V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r+\mathbf R) =V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]\[ V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r+\mathbf R) =V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

Potremmo provare a risolvere direttamente l’equazione di Schrödinger in questo potenziale periodico, ma il teorema di Bloch ci offre un metodo molto più efficace per esprimere le sue soluzioni.Potremmo provare a risolvere direttamente l’equazione di Schrödinger in questo potenziale periodico, ma il teorema di Bloch ci offre un metodo molto più efficace per esprimere le sue soluzioni.

Il teorema di Bloch: separare l’onda dal cristalloIl teorema di Bloch: separare l’onda dal cristallo

Il teorema di Bloch afferma che uno stato elettronico in un cristallo periodico può essere espresso come il prodotto di un'onda piana e di una funzione che si ripete secondo la struttura reticolare del cristallo:Il teorema di Bloch afferma che uno stato elettronico in un cristallo periodico può essere espresso come il prodotto di un'onda piana e di una funzione che si ripete secondo la struttura reticolare del cristallo:

\[ \boxed{ \Psi_{n\mathbf k}(\mathbf r) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,u_{n\mathbf k}(\mathbf r) } \]\[ \boxed{ \Psi_{n\mathbf k}(\mathbf r) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,u_{n\mathbf k}(\mathbf r) } \]

Le due componenti svolgono funzioni diverse. Il fattore dell’onda piana descrive come la fase complessiva cambia quando ci si sposta all’interno del cristallo. La funzione \(u_{n\mathbf k}(\mathbf r)\) descrive i dettagli dell’onda all’interno di ciascuna cella elementare e ha la stessa periodicità del cristallo:Le due componenti svolgono funzioni diverse. Il fattore dell’onda piana descrive come la fase complessiva cambia quando ci si sposta all’interno del cristallo. La funzione \(u_{n\mathbf k}(\mathbf r)\) descrive i dettagli dell’onda all’interno di ciascuna cella elementare e ha la stessa periodicità del cristallo:

\[ u_{n\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R) =u_{n\mathbf k}(\mathbf r). \]\[ u_{n\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R) =u_{n\mathbf k}(\mathbf r). \]

L’etichetta \(n\) indica la banda elettronica che stiamo considerando, mentre \(\mathbf k=(k_x,k_y,k_z)\) rappresenta il vettore d’onda del cristallo. La quantità \(\hbar\mathbf k\) è detta momento del cristallo. È strettamente correlata al momento utilizzato nella nostra precedente analogia con la palla da cricket, anche se i due concetti non devono essere confusi nel caso di un cristallo periodico.L’etichetta \(n\) indica la banda elettronica che stiamo considerando, mentre \(\mathbf k=(k_x,k_y,k_z)\) rappresenta il vettore d’onda del cristallo. La quantità \(\hbar\mathbf k\) è detta momento del cristallo. È strettamente correlata al momento utilizzato nella nostra precedente analogia con la palla da cricket, anche se i due concetti non devono essere confusi nel caso di un cristallo periodico.

Questa è la prima semplificazione importante: invece di descrivere una nuova funzione d’onda a livello atomico in tutto il cristallo per ogni \(\mathbf k\), possiamo utilizzare le funzioni periodiche della cella \(u\). Il metodo k·p studia come queste funzioni e le loro energie cambiano quando ci spostiamo di una piccola distanza nello spazio dei vettori d’onda.Questa è la prima semplificazione importante: invece di descrivere una nuova funzione d’onda a livello atomico in tutto il cristallo per ogni \(\mathbf k\), possiamo utilizzare le funzioni periodiche della cella \(u\). Il metodo k·p studia come queste funzioni e le loro energie cambiano quando ci spostiamo di una piccola distanza nello spazio dei vettori d’onda.

Qual è l’origine del termine k·p?Qual è l’origine del termine k·p?

Sostituiamo l’espressione di Bloch nell’equazione di Schrödinger. Quando l’operatore del momento agisce sul prodotto dell’onda piana e della funzione periodica nella cella, il risultato è il seguente:Sostituiamo l’espressione di Bloch nell’equazione di Schrödinger. Quando l’operatore del momento agisce sul prodotto dell’onda piana e della funzione periodica nella cella, il risultato è il seguente:

\[ \hat{\mathbf p}\left(e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u\right) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} \left(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\right)u. \]\[ \hat{\mathbf p}\left(e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u\right) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} \left(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\right)u. \]

In altre parole, agire su un’onda di Bloch equivale a sostituire l’operatore momento che agisce su \(u\) con l’operatore \(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\). Applicando questo al termine dell’energia cinetica e semplificando il fattore comune dell’onda piana, si ottiene:In altre parole, agire su un’onda di Bloch equivale a sostituire l’operatore momento che agisce su \(u\) con l’operatore \(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\). Applicando questo al termine dell’energia cinetica e semplificando il fattore comune dell’onda piana, si ottiene:

\[ \left[ \frac{(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k)^2}{2m_0} +V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r) \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k}. \]\[ \left[ \frac{(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k)^2}{2m_0} +V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r) \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k}. \]

L’ampliamento della piazza rappresenta la fase cruciale. Poiché \(\mathbf k\) è un parametro e non una derivata spaziale, otteniamo:L’ampliamento della piazza rappresenta la fase cruciale. Poiché \(\mathbf k\) è un parametro e non una derivata spaziale, otteniamo:

\[ \boxed{ \left[ \hat H_0 +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p} +\frac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k} } \]\[ \boxed{ \left[ \hat H_0 +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p} +\frac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k} } \]

Il primo termine è l’Hamiltoniana originale del nostro cristallo. L’ultimo termine rappresenta un semplice contributo energetico quadratico. Il termine centrale, \(\hbar\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p}/m_0\), è quello che dà il nome al metodo: k·p.Il primo termine è l’Hamiltoniana originale del nostro cristallo. L’ultimo termine rappresenta un semplice contributo energetico quadratico. Il termine centrale, \(\hbar\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p}/m_0\), è quello che dà il nome al metodo: k·p.

Dal punto di vista fisico, questo ci indica che allontanarsi dal vettore d’onda di riferimento scelto può portare alla sovrapposizione di stati elettronici tramite l’operatore del momento. Per capire cosa significa, dobbiamo selezionare gli stati tra i quali può avvenire questa sovrapposizione.Dal punto di vista fisico, questo ci indica che allontanarsi dal vettore d’onda di riferimento scelto può portare alla sovrapposizione di stati elettronici tramite l’operatore del momento. Per capire cosa significa, dobbiamo selezionare gli stati tra i quali può avvenire questa sovrapposizione.

Come scegliere un punto di riferimento e una base di partenza.Come scegliere un punto di riferimento e una base di partenza.

Le strutture a bande dei semiconduttori sono spesso più interessanti in prossimità di un minimo o di un massimo di banda. Per un semiconduttore a banda diretta come il GaAs, il minimo della banda di conduzione e il massimo della banda di valenza si verificano al centro della zona di Brillouin, noto come punto Gamma (\(\Gamma\)). Per la spiegazione che segue, ci concentreremo quindi su \(\mathbf k=0\). Lo stesso principio generale può essere applicato a un altro punto di riferimento quando l’estremo di banda rilevante si trova in un’altra posizione all’interno della zona di Brillouin.Le strutture a bande dei semiconduttori sono spesso più interessanti in prossimità di un minimo o di un massimo di banda. Per un semiconduttore a banda diretta come il GaAs, il minimo della banda di conduzione e il massimo della banda di valenza si verificano al centro della zona di Brillouin, noto come punto Gamma (\(\Gamma\)). Per la spiegazione che segue, ci concentreremo quindi su \(\mathbf k=0\). Lo stesso principio generale può essere applicato a un altro punto di riferimento quando l’estremo di banda rilevante si trova in un’altra posizione all’interno della zona di Brillouin.

Nel punto \(\mathbf k=0\), il termine k·p si annulla. Supponiamo di conoscere già diversi stati cristallini periodici in quel punto:Nel punto \(\mathbf k=0\), il termine k·p si annulla. Supponiamo di conoscere già diversi stati cristallini periodici in quel punto:

\[ \hat H_0|u_{n0}\rangle=E_n(0)|u_{n0}\rangle. \]\[ \hat H_0|u_{n0}\rangle=E_n(0)|u_{n0}\rangle. \]

Questi stati noti costituiscono la nostra base. Uno stato con un vettore d’onda vicino può quindi essere descritto come una combinazione di questi stati:Questi stati noti costituiscono la nostra base. Uno stato con un vettore d’onda vicino può quindi essere descritto come una combinazione di questi stati:

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =c_1|u_{10}\rangle+c_2|u_{20}\rangle+\cdots. \]\[ |u_{\mathbf k}\rangle =c_1|u_{10}\rangle+c_2|u_{20}\rangle+\cdots. \]

I coefficienti \(c_1,c_2,\ldots\) indicano in che misura ciascuno degli stati di riferimento contribuisce al nuovo stato. Sono proprio questi i valori che dobbiamo determinare con il nostro calcolo. A tal fine, inseriamo l’espansione nell’equazione k·p e la proiettiamo su ciascuno degli stati di base.I coefficienti \(c_1,c_2,\ldots\) indicano in che misura ciascuno degli stati di riferimento contribuisce al nuovo stato. Sono proprio questi i valori che dobbiamo determinare con il nostro calcolo. A tal fine, inseriamo l’espansione nell’equazione k·p e la proiettiamo su ciascuno degli stati di base.

Il risultato è un’equazione matriciale. I suoi elementi sono:Il risultato è un’equazione matriciale. I suoi elementi sono:

\[ \boxed{ H_{nm}(\mathbf k) =\left[E_n(0)+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0}\right]\delta_{nm} +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm} } \]\[ \boxed{ H_{nm}(\mathbf k) =\left[E_n(0)+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0}\right]\delta_{nm} +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm} } \]

\[ \mathbf p_{nm} =\langle u_{n0}|\hat{\mathbf p}|u_{m0}\rangle. \]\[ \mathbf p_{nm} =\langle u_{n0}|\hat{\mathbf p}|u_{m0}\rangle. \]

Il simbolo \(\delta_{nm}\) è uguale a uno quando le due etichette di banda sono identiche e a zero in caso contrario. Di conseguenza, la diagonale di questa matrice contiene le energie di riferimento delle bande e i termini quadratici relativi agli elettroni liberi. Gli elementi fuori dalla diagonale contengono i termini di accoppiamento del momento tra le diverse bande.Il simbolo \(\delta_{nm}\) è uguale a uno quando le due etichette di banda sono identiche e a zero in caso contrario. Di conseguenza, la diagonale di questa matrice contiene le energie di riferimento delle bande e i termini quadratici relativi agli elettroni liberi. Gli elementi fuori dalla diagonale contengono i termini di accoppiamento del momento tra le diverse bande.

Questi elementi della matrice del momento sono fondamentali per la teoria k·p. Se un termine di accoppiamento è nullo, gli stati corrispondenti non interagiscono tra loro tramite tale termine. Se invece il termine di accoppiamento è significativo, le loro energie e funzioni d’onda possono variare notevolmente allontanandosi dal punto di riferimento.Questi elementi della matrice del momento sono fondamentali per la teoria k·p. Se un termine di accoppiamento è nullo, gli stati corrispondenti non interagiscono tra loro tramite tale termine. Se invece il termine di accoppiamento è significativo, le loro energie e funzioni d’onda possono variare notevolmente allontanandosi dal punto di riferimento.

Un esempio pratico: cosa succede quando due gruppi musicali interagiscono?Un esempio pratico: cosa succede quando due gruppi musicali interagiscono?

Prima di valutare otto o dieci bande, è utile capire come funziona un modello a due bande. Immaginiamo di mantenere solo uno stato della banda di conduzione e uno stato della banda di valenza, con energie di riferimento \(E_c\) e \(E_v\). La loro differenza nel punto di riferimento rappresenta il divario di banda, \(E_g=E_c-E_v\).Prima di valutare otto o dieci bande, è utile capire come funziona un modello a due bande. Immaginiamo di mantenere solo uno stato della banda di conduzione e uno stato della banda di valenza, con energie di riferimento \(E_c\) e \(E_v\). La loro differenza nel punto di riferimento rappresenta il divario di banda, \(E_g=E_c-E_v\).

Per maggiore chiarezza, consideriamo il movimento lungo una direzione specifica del cristallo, con vettore d’onda \(k\), e scegliamo le fasi dei nostri stati di base in modo che il parametro di accoppiamento \(P\) sia reale. L’Hamiltoniana di esempio è la seguente:Per maggiore chiarezza, consideriamo il movimento lungo una direzione specifica del cristallo, con vettore d’onda \(k\), e scegliamo le fasi dei nostri stati di base in modo che il parametro di accoppiamento \(P\) sia reale. L’Hamiltoniana di esempio è la seguente:

\[ \boxed{ H(k)= \begin{pmatrix} E_c+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} & Pk\\[6pt] Pk & E_v+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \end{pmatrix} } \]\[ \boxed{ H(k)= \begin{pmatrix} E_c+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} & Pk\\[6pt] Pk & E_v+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \end{pmatrix} } \]

In questo caso, \(P=\hbar\langle u_{c0}|\hat p|u_{v0}\rangle/m_0\) rappresenta il valore per la direzione selezionata. Si noti che i due termini fuori dalla diagonale principale si annullano in corrispondenza di \(k=0\), ma aumentano man mano che ci allontaniamo dal punto di riferimento. Pertanto, il modello non descrive due parabole indipendenti: gli stati della banda di conduzione e della banda di valenza possono interagire tra loro.In questo caso, \(P=\hbar\langle u_{c0}|\hat p|u_{v0}\rangle/m_0\) rappresenta il valore per la direzione selezionata. Si noti che i due termini fuori dalla diagonale principale si annullano in corrispondenza di \(k=0\), ma aumentano man mano che ci allontaniamo dal punto di riferimento. Pertanto, il modello non descrive due parabole indipendenti: gli stati della banda di conduzione e della banda di valenza possono interagire tra loro.

Per ottenere i valori di energia ammissibili, risolviamo un problema agli autovalori, proprio come abbiamo fatto quando abbiamo determinato gli stati confinati di un pozzo quantico:Per ottenere i valori di energia ammissibili, risolviamo un problema agli autovalori, proprio come abbiamo fatto quando abbiamo determinato gli stati confinati di un pozzo quantico:

\[ H(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix} =E(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix}. \]\[ H(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix} =E(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix}. \]

Invece di individuare una singola energia, la matrice 2x2 genera due rami energetici. Per questo esempio semplificato, questi sono:Invece di individuare una singola energia, la matrice 2x2 genera due rami energetici. Per questo esempio semplificato, questi sono:

\[ E_{\pm}(k)= \frac{E_c+E_v}{2}+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} \pm\sqrt{\left(\frac{E_g}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]\[ E_{\pm}(k)= \frac{E_c+E_v}{2}+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} \pm\sqrt{\left(\frac{E_g}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

Nel punto \(k=0\), i due risultati si riducono a \(E_c\) e \(E_v\), come previsto. Man mano che \(k\) aumenta, l’accoppiamento modifica sia i livelli di energia sia la composizione degli stati di base sottostanti. Questa dipendenza dalla radice quadrata spiega anche perché una banda accoppiata non deve necessariamente mantenere una forma perfettamente parabolica lontano dal suo punto di massimo o minimo.Nel punto \(k=0\), i due risultati si riducono a \(E_c\) e \(E_v\), come previsto. Man mano che \(k\) aumenta, l’accoppiamento modifica sia i livelli di energia sia la composizione degli stati di base sottostanti. Questa dipendenza dalla radice quadrata spiega anche perché una banda accoppiata non deve necessariamente mantenere una forma perfettamente parabolica lontano dal suo punto di massimo o minimo.

La lezione pratica è più importante della semplice memorizzazione di questa formula: la forma di una banda dipende non solo dall’energia intrinseca di tale banda, ma anche dalla sua interazione con le bande adiacenti.La lezione pratica è più importante della semplice memorizzazione di questa formula: la forma di una banda dipende non solo dall’energia intrinseca di tale banda, ma anche dalla sua interazione con le bande adiacenti.

Qual è l’origine della massa efficace?Qual è l’origine della massa efficace?

Nel tutorial sulla struttura a pozzo quantico parabolico, abbiamo utilizzato la massa efficace come parametro di input. L’esempio a due bande ci permette ora di capire da dove deriva. In prossimità di \(k=0\), il risultato relativo alla banda di conduzione può essere approssimato espandendo la radice quadrata per valori piccoli di \(k\):Nel tutorial sulla struttura a pozzo quantico parabolico, abbiamo utilizzato la massa efficace come parametro di input. L’esempio a due bande ci permette ora di capire da dove deriva. In prossimità di \(k=0\), il risultato relativo alla banda di conduzione può essere approssimato espandendo la radice quadrata per valori piccoli di \(k\):

\[ E_+(k)\simeq E_c+ \left(\frac{\hbar^2}{2m_0}+\frac{P^2}{E_g}\right)k^2. \]\[ E_+(k)\simeq E_c+ \left(\frac{\hbar^2}{2m_0}+\frac{P^2}{E_g}\right)k^2. \]

Confrontatelo con la formula parabolica che conosciamo bene:Confrontatelo con la formula parabolica che conosciamo bene:

\[ E(k)\simeq E_c+\frac{\hbar^2k^2}{2m_e^{*}}. \]\[ E(k)\simeq E_c+\frac{\hbar^2k^2}{2m_e^{*}}. \]

Entrambi hanno la stessa forma matematica. Confrontando i loro coefficienti quadratici, si ottiene la massa effettiva di questo modello semplificato a due bande:Entrambi hanno la stessa forma matematica. Confrontando i loro coefficienti quadratici, si ottiene la massa effettiva di questo modello semplificato a due bande:

\[ \boxed{ \frac{1}{m_e^{*}}= \frac{1}{m_0}+\frac{2P^2}{\hbar^2E_g} } \]\[ \boxed{ \frac{1}{m_e^{*}}= \frac{1}{m_0}+\frac{2P^2}{\hbar^2E_g} } \]

Questo è un risultato significativo. La massa efficace non è una semplice sostituzione arbitraria della massa dell’elettrone. Essa deriva dal fatto che lo stato dell’elettrone è legato ad altre bande elettroniche all’interno del cristallo. In questo specifico esempio, una minore differenza di energia tra le bande o un legame più forte producono una maggiore curvatura della banda di conduzione e una massa efficace inferiore.Questo è un risultato significativo. La massa efficace non è una semplice sostituzione arbitraria della massa dell’elettrone. Essa deriva dal fatto che lo stato dell’elettrone è legato ad altre bande elettroniche all’interno del cristallo. In questo specifico esempio, una minore differenza di energia tra le bande o un legame più forte producono una maggiore curvatura della banda di conduzione e una massa efficace inferiore.

Un semiconduttore reale presenta molte altre bande energetiche, e non solo le due presenti nel nostro esempio. Se consideriamo l’interazione tra queste bande come una perturbazione, la correzione corrispondente all’energia di una singola banda isolata è:Un semiconduttore reale presenta molte altre bande energetiche, e non solo le due presenti nel nostro esempio. Se consideriamo l’interazione tra queste bande come una perturbazione, la correzione corrispondente all’energia di una singola banda isolata è:

\[ E_n(\mathbf k)\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} +\frac{\hbar^2}{m_0^2} \sum_{m\ne n} \frac{|\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm}|^2} {E_n(0)-E_m(0)}. \]\[ E_n(\mathbf k)\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} +\frac{\hbar^2}{m_0^2} \sum_{m\ne n} \frac{|\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm}|^2} {E_n(0)-E_m(0)}. \]

Ogni banda energetica adiacente contribuisce in base al suo momento angolare e alla sua separazione energetica. La curvatura risultante dipende generalmente dalla direzione, pertanto la descrizione più completa è fornita da un tensore di massa efficace, piuttosto che da un singolo valore di massa scalare. Una massa efficace scalare è appropriata quando la simmetria o l’approssimazione scelta ci consentono di considerare la curvatura come uniforme nelle direzioni di interesse.Ogni banda energetica adiacente contribuisce in base al suo momento angolare e alla sua separazione energetica. La curvatura risultante dipende generalmente dalla direzione, pertanto la descrizione più completa è fornita da un tensore di massa efficace, piuttosto che da un singolo valore di massa scalare. Una massa efficace scalare è appropriata quando la simmetria o l’approssimazione scelta ci consentono di considerare la curvatura come uniforme nelle direzioni di interesse.

Esiste un limite importante: l’espressione perturbativa perde di affidabilità quando il denominatore è piccolo, il che significa che due bande energetiche si trovano molto vicine tra loro. In tale situazione, è preferibile mantenere esplicitamente entrambe le bande all’interno dell’hamiltoniana, piuttosto che nascondere la loro interazione all’interno di una singola massa efficace.Esiste un limite importante: l’espressione perturbativa perde di affidabilità quando il denominatore è piccolo, il che significa che due bande energetiche si trovano molto vicine tra loro. In tale situazione, è preferibile mantenere esplicitamente entrambe le bande all’interno dell’hamiltoniana, piuttosto che nascondere la loro interazione all’interno di una singola massa efficace.

Da un modello a due bande a un modello a più bande.Da un modello a due bande a un modello a più bande.

Il passaggio successivo è concettualmente semplice. Invece di partire con soli due stati cristallini, manteniamo diversi stati rilevanti nel nostro insieme di riferimento:Il passaggio successivo è concettualmente semplice. Invece di partire con soli due stati cristallini, manteniamo diversi stati rilevanti nel nostro insieme di riferimento:

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =\sum_{n=1}^{N}c_n(\mathbf k)|u_{n0}\rangle. \]\[ |u_{\mathbf k}\rangle =\sum_{n=1}^{N}c_n(\mathbf k)|u_{n0}\rangle. \]

Questo processo genera un Hamiltoniano di dimensioni \(N\) x \(N\). Ogni elemento sulla diagonale descrive una banda di riferimento e la sua correzione quadratica; ogni elemento non diagonale consentito descrive un accoppiamento tra due stati di base. Risolvendo la matrice per un vettore d’onda specifico, si ottengono tutte le energie delle bande risultanti e la quantità di ciascuno stato di base presente nell’autovettore corrispondente.Questo processo genera un Hamiltoniano di dimensioni \(N\) x \(N\). Ogni elemento sulla diagonale descrive una banda di riferimento e la sua correzione quadratica; ogni elemento non diagonale consentito descrive un accoppiamento tra due stati di base. Risolvendo la matrice per un vettore d’onda specifico, si ottengono tutte le energie delle bande risultanti e la quantità di ciascuno stato di base presente nell’autovettore corrispondente.

Questo aspetto è particolarmente importante nella banda di valenza. Gli stati corrispondenti ai fori pesanti e ai fori leggeri possono essere degeneri al centro della zona di Brillouin e la loro interazione non può essere rappresentata in modo accurato assegnando a ciascuno di essi una massa costante indipendente. Un modello a più bande consente a questi stati di interagire in modo naturale al variare del vettore d’onda.Questo aspetto è particolarmente importante nella banda di valenza. Gli stati corrispondenti ai fori pesanti e ai fori leggeri possono essere degeneri al centro della zona di Brillouin e la loro interazione non può essere rappresentata in modo accurato assegnando a ciascuno di essi una massa costante indipendente. Un modello a più bande consente a questi stati di interagire in modo naturale al variare del vettore d’onda.

Dobbiamo ancora decidere quali bande conservare. L’approccio generale consiste nel mantenere gli stati più rilevanti per le energie e la fisica di interesse. L’accoppiamento a stati più distanti, che vengono esclusi, può essere incluso approssimativamente attraverso correzioni ai parametri dell’Hamiltoniana conservata. Per questo motivo, diversi modelli k·p possono avere un numero diverso di bande e diversi parametri dei materiali.Dobbiamo ancora decidere quali bande conservare. L’approccio generale consiste nel mantenere gli stati più rilevanti per le energie e la fisica di interesse. L’accoppiamento a stati più distanti, che vengono esclusi, può essere incluso approssimativamente attraverso correzioni ai parametri dell’Hamiltoniana conservata. Per questo motivo, diversi modelli k·p possono avere un numero diverso di bande e diversi parametri dei materiali.

Ad esempio, un modello comune a otto bande per la struttura cristallina della sfalerite mantiene uno stato di conduzione simile a quello della banda s e tre stati orbitali di valenza simili a quelli della banda p, ciascuno con due componenti di spin. La scelta dettagliata della base, dei termini di simmetria e degli elementi della matrice è spiegata nel nostro capitolo basi e hamiltoniane e nelle pagine dedicate ai modelli specifici per ciascun materiale.Ad esempio, un modello comune a otto bande per la struttura cristallina della sfalerite mantiene uno stato di conduzione simile a quello della banda s e tre stati orbitali di valenza simili a quelli della banda p, ciascuno con due componenti di spin. La scelta dettagliata della base, dei termini di simmetria e degli elementi della matrice è spiegata nel nostro capitolo basi e hamiltoniane e nelle pagine dedicate ai modelli specifici per ciascun materiale.

Perché è necessario considerare lo spin e l’accoppiamento spin-orbita?Perché è necessario considerare lo spin e l’accoppiamento spin-orbita?

Fino a questo punto, il nostro semplice esempio a due bande non ha tenuto conto dello spin. Tuttavia, gli elettroni hanno due componenti di spin. Ciò significa che ogni stato orbitale deve essere rappresentato da stati di base con spin «up» e spin «down» (o da una base di spin equivalente appropriata).Fino a questo punto, il nostro semplice esempio a due bande non ha tenuto conto dello spin. Tuttavia, gli elettroni hanno due componenti di spin. Ciò significa che ogni stato orbitale deve essere rappresentato da stati di base con spin «up» e spin «down» (o da una base di spin equivalente appropriata).

Se lo spin non avesse alcun effetto sull’energia, ciò aggraverebbe principalmente il problema. I cristalli semiconduttori reali presentano anche un accoppiamento spin-orbita, che collega lo spin dell’elettrone al suo movimento attraverso il potenziale del cristallo. In una descrizione semplificata di Pauli, l’Hamiltoniana aggiuntiva è:Se lo spin non avesse alcun effetto sull’energia, ciò aggraverebbe principalmente il problema. I cristalli semiconduttori reali presentano anche un accoppiamento spin-orbita, che collega lo spin dell’elettrone al suo movimento attraverso il potenziale del cristallo. In una descrizione semplificata di Pauli, l’Hamiltoniana aggiuntiva è:

\[ \hat H_{\mathrm{so}}= \frac{\hbar}{4m_0^2c^2} \boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\nabla V_{\mathrm{crystal}}\times\hat{\mathbf p}\right), \]\[ \hat H_{\mathrm{so}}= \frac{\hbar}{4m_0^2c^2} \boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\nabla V_{\mathrm{crystal}}\times\hat{\mathbf p}\right), \]

dove \(c\) rappresenta la velocità della luce e \(\boldsymbol{\sigma}\) indica le matrici di Pauli. Non è necessario derivare qui questo termine relativistico; l’aspetto importante è la sua conseguenza fisica. Le proprietà di spin e orbitali non sono più indipendenti e alcuni stati, che altrimenti avrebbero la stessa energia, si differenziano.dove \(c\) rappresenta la velocità della luce e \(\boldsymbol{\sigma}\) indica le matrici di Pauli. Non è necessario derivare qui questo termine relativistico; l’aspetto importante è la sua conseguenza fisica. Le proprietà di spin e orbitali non sono più indipendenti e alcuni stati, che altrimenti avrebbero la stessa energia, si differenziano.

Nella ben nota banda di valenza dello zinco blenda, l’accoppiamento spin-orbita dà origine alle diramazioni corrispondenti ai fori pesanti, ai fori leggeri e alla diramazione «split-off», dove l’energia di quest’ultima è comunemente indicata con \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Queste non sono semplicemente tre parabole non correlate: le loro caratteristiche e le loro interazioni dipendono dal vettore d’onda e dalla simmetria cristallina sottostante.Nella ben nota banda di valenza dello zinco blenda, l’accoppiamento spin-orbita dà origine alle diramazioni corrispondenti ai fori pesanti, ai fori leggeri e alla diramazione «split-off», dove l’energia di quest’ultima è comunemente indicata con \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Queste non sono semplicemente tre parabole non correlate: le loro caratteristiche e le loro interazioni dipendono dal vettore d’onda e dalla simmetria cristallina sottostante.

Questo spiega il nome «modello a otto bande k·p»: quattro stati di base orbitali (uno di conduzione e tre di valenza), ciascuno con due componenti di spin, danno origine a una base a otto componenti. L’Hamiltoniana effettiva include gli accoppiamenti consentiti tra gli stati in termini di quantità di moto e di spin-orbita. Un calcolo completo di una struttura quantica a pozzo quantico che utilizza questo modello è illustrato in tutorial sul modello a otto bande k·p per GaAs/AlGaAs.Questo spiega il nome «modello a otto bande k·p»: quattro stati di base orbitali (uno di conduzione e tre di valenza), ciascuno con due componenti di spin, danno origine a una base a otto componenti. L’Hamiltoniana effettiva include gli accoppiamenti consentiti tra gli stati in termini di quantità di moto e di spin-orbita. Un calcolo completo di una struttura quantica a pozzo quantico che utilizza questo modello è illustrato in tutorial sul modello a otto bande k·p per GaAs/AlGaAs.

Come si trasforma questo in un calcolo relativo a una struttura a pozzo quantico?Come si trasforma questo in un calcolo relativo a una struttura a pozzo quantico?

Finora, abbiamo descritto un cristallo massivo, in cui l’energia degli elettroni varia in funzione di un vettore d’onda tridimensionale. Per descrivere una struttura quantica a pozzo, dobbiamo ora tornare alla geometria introdotta nella pagina precedente di questo tutorial.Finora, abbiamo descritto un cristallo massivo, in cui l’energia degli elettroni varia in funzione di un vettore d’onda tridimensionale. Per descrivere una struttura quantica a pozzo, dobbiamo ora tornare alla geometria introdotta nella pagina precedente di questo tutorial.

Supponiamo che gli strati semiconduttori si estendano parallelamente al piano \(x\)-\(y\) e siano disposti in pila lungo \(z\). Il vettore d’onda nel piano, \(k_{\parallel}\), rimane un parametro utile perché la struttura è approssimativamente uniforme lungo gli strati. Tuttavia, l’elettrone è confinato nella direzione \(z\), quindi dobbiamo calcolare la sua variazione spaziale all’interno della regione di potenziale.Supponiamo che gli strati semiconduttori si estendano parallelamente al piano \(x\)-\(y\) e siano disposti in pila lungo \(z\). Il vettore d’onda nel piano, \(k_{\parallel}\), rimane un parametro utile perché la struttura è approssimativamente uniforme lungo gli strati. Tuttavia, l’elettrone è confinato nella direzione \(z\), quindi dobbiamo calcolare la sua variazione spaziale all’interno della regione di potenziale.

L’approccio standard basato sulla funzione d’inviluppo sostituisce il vettore d’onda nella direzione di crescita nell’hamiltoniana k·p del materiale sfuso con un operatore differenziale:L’approccio standard basato sulla funzione d’inviluppo sostituisce il vettore d’onda nella direzione di crescita nell’hamiltoniana k·p del materiale sfuso con un operatore differenziale:

\[ \boxed{k_z\;\longrightarrow\;-i\frac{d}{dz}} \]\[ \boxed{k_z\;\longrightarrow\;-i\frac{d}{dz}} \]

I bordi della banda e altri parametri rilevanti possono variare in funzione di \(z\), riflettendo le diverse proprietà degli strati semiconduttori. Il problema non è più una semplice matrice finita valutata per un singolo vettore d’onda: si tratta di un insieme di equazioni differenziali accoppiate che descrivono le funzioni d’inviluppo all’interno del dispositivo. Quando i parametri variano alle interfacce, l’ordine degli operatori e le condizioni di corrispondenza devono essere scelti in modo coerente, in modo che l’hamiltoniana mantenga un significato fisico e sia hermitiana.I bordi della banda e altri parametri rilevanti possono variare in funzione di \(z\), riflettendo le diverse proprietà degli strati semiconduttori. Il problema non è più una semplice matrice finita valutata per un singolo vettore d’onda: si tratta di un insieme di equazioni differenziali accoppiate che descrivono le funzioni d’inviluppo all’interno del dispositivo. Quando i parametri variano alle interfacce, l’ordine degli operatori e le condizioni di corrispondenza devono essere scelti in modo coerente, in modo che l’hamiltoniana mantenga un significato fisico e sia hermitiana.

Il modello parabolico più semplice risolve una singola equazione di Schrödinger per un elettrone o una lacuna. Un modello k·p a più bande, invece, risolve un sistema di equazioni per diverse componenti di inviluppo accoppiate. Gli autovalori risultanti forniscono i livelli energetici quantizzati, mentre gli autovettori indicano come le caratteristiche delle diverse bande contribuiscono a ciascuno stato.Il modello parabolico più semplice risolve una singola equazione di Schrödinger per un elettrone o una lacuna. Un modello k·p a più bande, invece, risolve un sistema di equazioni per diverse componenti di inviluppo accoppiate. Gli autovalori risultanti forniscono i livelli energetici quantizzati, mentre gli autovettori indicano come le caratteristiche delle diverse bande contribuiscono a ciascuno stato.

Ripetendo il calcolo utilizzando valori diversi di \(k_{\parallel}\), otteniamo la struttura delle sottobande del pozzo quantico. A differenza di una serie di parabole indipendenti, queste sottobande possono interagire tra loro, assumere una forma non parabolica e modificare le proprie caratteristiche all’aumentare del vettore d’onda nel piano.Ripetendo il calcolo utilizzando valori diversi di \(k_{\parallel}\), otteniamo la struttura delle sottobande del pozzo quantico. A differenza di una serie di parabole indipendenti, queste sottobande possono interagire tra loro, assumere una forma non parabolica e modificare le proprie caratteristiche all’aumentare del vettore d’onda nel piano.

Cosa ci permette di calcolare l’aggiunta di elementi di fisica avanzata?Cosa ci permette di calcolare l’aggiunta di elementi di fisica avanzata?

Il vantaggio di un calcolo multibanda non consiste semplicemente nel fatto che produce diagrammi di banda più complessi. Esso ci fornisce una descrizione più realistica degli stati elettronici che partecipano ai processi di trasporto e ai processi ottici.Il vantaggio di un calcolo multibanda non consiste semplicemente nel fatto che produce diagrammi di banda più complessi. Esso ci fornisce una descrizione più realistica degli stati elettronici che partecipano ai processi di trasporto e ai processi ottici.

Nel nostro tutorial sulle transizioni otticheabbiamo introdotto la probabilità che un elettrone effettui una transizione tra uno stato occupato e uno stato vuoto. L’intensità della transizione dipende da un elemento di matrice tra le funzioni d’onda iniziali e finali. Un autovettore multibanda contiene informazioni sul carattere orbitale e di spin misto di ciascuno stato, il che è essenziale per calcolare la direzione e l’intensità delle transizioni ottiche. Nel nostro tutorial sulle transizioni otticheabbiamo introdotto la probabilità che un elettrone effettui una transizione tra uno stato occupato e uno stato vuoto. L’intensità della transizione dipende da un elemento di matrice tra le funzioni d’onda iniziali e finali. Un autovettore multibanda contiene informazioni sul carattere orbitale e di spin misto di ciascuno stato, il che è essenziale per calcolare la direzione e l’intensità delle transizioni ottiche.

Questo è particolarmente utile nello studio delle transizioni dipendenti dalla polarizzazione, del guadagno ottico, dell’emissione spontanea e dei sistemi in cui il mescolamento delle bande di valenza è significativo. Gli elementi della matrice ottica dettagliati dipendono dall’Hamiltoniana e dalla base scelte, ma il loro calcolo avviene in modo naturale una volta ottenuti gli autostati accoppiati.Questo è particolarmente utile nello studio delle transizioni dipendenti dalla polarizzazione, del guadagno ottico, dell’emissione spontanea e dei sistemi in cui il mescolamento delle bande di valenza è significativo. Gli elementi della matrice ottica dettagliati dipendono dall’Hamiltoniana e dalla base scelte, ma il loro calcolo avviene in modo naturale una volta ottenuti gli autostati accoppiati.

Modelli k·p in OghmaNanoModelli k·p in OghmaNano

OghmaNano offre diversi modelli per diverse strutture a semiconduttore. Tutti i modelli si basano sulla filosofia generale k·p sviluppata in questo contesto, ma presentano differenti stati elettronici e utilizzano i parametri dei materiali appropriati per ciascun sistema cristallino.OghmaNano offre diversi modelli per diverse strutture a semiconduttore. Tutti i modelli si basano sulla filosofia generale k·p sviluppata in questo contesto, ma presentano differenti stati elettronici e utilizzano i parametri dei materiali appropriati per ciascun sistema cristallino.

• Modello k·p a otto bande per la struttura a sfaldatura di zinco include gli stati di conduzione e gli stati di valenza di tipo p, insieme all’accoppiamento di spin e all’accoppiamento spin-orbita.Modello k·p a otto bande per la struttura a sfaldatura di zinco include gli stati di conduzione e gli stati di valenza di tipo p, insieme all’accoppiamento di spin e all’accoppiamento spin-orbita.
• modello k·p a dieci bande per la struttura a sfaldatura di zinco mantiene una base elettronica più ampia per risolvere problemi che richiedono l’inclusione di ulteriori stati accoppiati. modello k·p a dieci bande per la struttura a sfaldatura di zinco mantiene una base elettronica più ampia per risolvere problemi che richiedono l’inclusione di ulteriori stati accoppiati.
• Modello a otto bande di tipo Wurtzite k·p utilizza la simmetria e i parametri di banda appropriati per i cristalli di wurtzite. Modello a otto bande di tipo Wurtzite k·p utilizza la simmetria e i parametri di banda appropriati per i cristalli di wurtzite.

Il capitolo successivo presenta gli stati fondamentali e spiega come vengono organizzati nelle matrici hamiltoniane utilizzate da questi risolutori.Il capitolo successivo presenta gli stati fondamentali e spiega come vengono organizzati nelle matrici hamiltoniane utilizzate da questi risolutori.