Stati fondamentali, funzioni d’inviluppo e hamiltoniane a più bande.Stati fondamentali, funzioni d’inviluppo e hamiltoniane a più bande.

Per trasformare un Hamiltoniano di tipo «k·p» in un problema relativo a una struttura a pozzo quantico, sono necessari due elementi: l’approssimazione della funzione d’inviluppo, che consente a una matrice tridimensionale di descrivere una struttura che varia nello spazio, e una base coerente in cui esprimere la matrice. In questa pagina vengono raccolti entrambi gli elementi e vengono indicate le sequenze esatte delle basi utilizzate da OghmaNano, in modo che le pagine specifiche del modello possano fare riferimento a un’unica definizione.Per trasformare un Hamiltoniano di tipo «k·p» in un problema relativo a una struttura a pozzo quantico, sono necessari due elementi: l’approssimazione della funzione d’inviluppo, che consente a una matrice tridimensionale di descrivere una struttura che varia nello spazio, e una base coerente in cui esprimere la matrice. In questa pagina vengono raccolti entrambi gli elementi e vengono indicate le sequenze esatte delle basi utilizzate da OghmaNano, in modo che le pagine specifiche del modello possano fare riferimento a un’unica definizione.

1. Tre tipi di funzione1. Tre tipi di funzione

È utile distinguere tre concetti che vengono spesso confusi. La funzione di Bloch \(\psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}\) rappresenta l’autostato esatto del cristallo. La funzione periodica nella cella elementare \(u_{n0}\), calcolata nel centro della zona di Brillouin, è una delle funzioni di base fisse: ha una forma simile a quella di una funzione «s» per la banda di conduzione e una forma simile a quella di una funzione «p» (\(X,Y,Z\)) per la banda di valenza. La funzione d’inviluppo \(F_n(z)\) è un’ampiezza a variazione lenta che moltiplica ciascuna funzione di base e che tiene conto dell’effetto del confinamento. In una eterostruttura, lo stato completo è dato dalla somma delle funzioni di base.È utile distinguere tre concetti che vengono spesso confusi. La funzione di Bloch \(\psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}\) rappresenta l’autostato esatto del cristallo. La funzione periodica nella cella elementare \(u_{n0}\), calcolata nel centro della zona di Brillouin, è una delle funzioni di base fisse: ha una forma simile a quella di una funzione «s» per la banda di conduzione e una forma simile a quella di una funzione «p» (\(X,Y,Z\)) per la banda di valenza. La funzione d’inviluppo \(F_n(z)\) è un’ampiezza a variazione lenta che moltiplica ciascuna funzione di base e che tiene conto dell’effetto del confinamento. In una eterostruttura, lo stato completo è dato dalla somma delle funzioni di base.

\[ \Psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}_\parallel\cdot\boldsymbol{\rho}} \sum_n F_n(z)\, u_{n0}(\mathbf{r}), \]\[ \Psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}_\parallel\cdot\boldsymbol{\rho}} \sum_n F_n(z)\, u_{n0}(\mathbf{r}), \]

e l’insieme delle buste \(\{F_n(z)\}\) è proprio ciò che l’algoritmo calcola.e l’insieme delle buste \(\{F_n(z)\}\) è proprio ciò che l’algoritmo calcola.

2. L’approssimazione mediante la funzione inviluppo2. L’approssimazione mediante la funzione inviluppo

L’approssimazione della funzione d’inviluppo si basa su due presupposti: che le stesse funzioni di base del centro di zona \(u_{n0}\) possano essere utilizzate in ogni strato e che i parametri del materiale (banda proibita, masse, parametri di Kane e Luttinger) varino in funzione della posizione su una scala molto più ampia della costante di reticolo. La matrice k·p del materiale diventa quindi un operatore differenziale che agisce sugli inviluppi, con coefficienti dipendenti dalla posizione. La modifica fondamentale consiste nel fatto che il vettore d’onda nella direzione di crescita diventa un operatore differenziale.L’approssimazione della funzione d’inviluppo si basa su due presupposti: che le stesse funzioni di base del centro di zona \(u_{n0}\) possano essere utilizzate in ogni strato e che i parametri del materiale (banda proibita, masse, parametri di Kane e Luttinger) varino in funzione della posizione su una scala molto più ampia della costante di reticolo. La matrice k·p del materiale diventa quindi un operatore differenziale che agisce sugli inviluppi, con coefficienti dipendenti dalla posizione. La modifica fondamentale consiste nel fatto che il vettore d’onda nella direzione di crescita diventa un operatore differenziale.

\[ k_z \;\longrightarrow\; -i\,\frac{d}{dz}, \]\[ k_z \;\longrightarrow\; -i\,\frac{d}{dz}, \]

mentre i vettori d’onda nel piano \(k_x, k_y\) rimangono buoni numeri quantici, poiché la struttura è invariante rispetto alle traslazioni nel piano. Ogni termine \(k_z\) nell’hamiltoniana viene sostituito da questo operatore, e ogni termine \(k_z^2\) dalla derivata seconda simmetrica del termine precedente. Prodotti come \(k_x k_z\) diventano \(k_x(-i\,d/dz)\), e vengono simmetrizzati in modo che l’operatore rimanga hermitiano quando il coefficiente varia. Il risultato è un’equazione differenziale matriciale per le inviluppi, discretizzata come descritto nella pagina metodo delle differenze finite.mentre i vettori d’onda nel piano \(k_x, k_y\) rimangono buoni numeri quantici, poiché la struttura è invariante rispetto alle traslazioni nel piano. Ogni termine \(k_z\) nell’hamiltoniana viene sostituito da questo operatore, e ogni termine \(k_z^2\) dalla derivata seconda simmetrica del termine precedente. Prodotti come \(k_x k_z\) diventano \(k_x(-i\,d/dz)\), e vengono simmetrizzati in modo che l’operatore rimanga hermitiano quando il coefficiente varia. Il risultato è un’equazione differenziale matriciale per le inviluppi, discretizzata come descritto nella pagina metodo delle differenze finite.

3. Analisi di un Hamiltoniano a blocchi3. Analisi di un Hamiltoniano a blocchi

Un Hamiltoniano a più bande è più facilmente interpretabile suddividendolo in un numero limitato di blocchi, prima di analizzare i singoli elementi. La suddivisione più grossolana distingue gli stati di tipo conduttivo dagli stati di tipo di valenza.Un Hamiltoniano a più bande è più facilmente interpretabile suddividendolo in un numero limitato di blocchi, prima di analizzare i singoli elementi. La suddivisione più grossolana distingue gli stati di tipo conduttivo dagli stati di tipo di valenza.

\[ H = \begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv} \\[2pt] H_{vc} & H_{vv} \end{pmatrix}, \]\[ H = \begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv} \\[2pt] H_{vc} & H_{vv} \end{pmatrix}, \]

dove \(H_{cc}\) descrive gli stati di conduzione di tipo «s», \(H_{vv}\) gli stati di valenza di tipo «p» e \(H_{cv}=H_{vc}^\dagger\) l’accoppiamento del momento di Kane tra di essi. Il blocco di conduzione è essenzialmente un operatore di massa efficace (non parabolico); il blocco di valenza contiene la fisica relativa ai fori pesanti, ai fori leggeri e alle bande di valenza separate; e il blocco di accoppiamento è ciò che rende il modello «multibanda» in senso stretto, collegando la non parabolicità della conduzione alla struttura di valenza. I termini relativi alla deformazione e all’interazione spin-orbita vengono aggiunti ai blocchi appropriati.dove \(H_{cc}\) descrive gli stati di conduzione di tipo «s», \(H_{vv}\) gli stati di valenza di tipo «p» e \(H_{cv}=H_{vc}^\dagger\) l’accoppiamento del momento di Kane tra di essi. Il blocco di conduzione è essenzialmente un operatore di massa efficace (non parabolico); il blocco di valenza contiene la fisica relativa ai fori pesanti, ai fori leggeri e alle bande di valenza separate; e il blocco di accoppiamento è ciò che rende il modello «multibanda» in senso stretto, collegando la non parabolicità della conduzione alla struttura di valenza. I termini relativi alla deformazione e all’interazione spin-orbita vengono aggiunti ai blocchi appropriati.

4. Ordini di base utilizzati da OghmaNano4. Ordini di base utilizzati da OghmaNano

Il valore numerico di un elemento della matrice hamiltoniana dipende dall’ordine in cui sono elencati gli stati di base. OghmaNano utilizza un insieme fisso di orbitali cartesiani per i modelli di tipo zincblenda e wurtzite e un insieme basato sul momento angolare totale per il modello di Luttinger–Kohn. L’ordine è il seguente:Il valore numerico di un elemento della matrice hamiltoniana dipende dall’ordine in cui sono elencati gli stati di base. OghmaNano utilizza un insieme fisso di orbitali cartesiani per i modelli di tipo zincblenda e wurtzite e un insieme basato sul momento angolare totale per il modello di Luttinger–Kohn. L’ordine è il seguente:

• Struttura a zincoblenda a 8 bande e struttura a wurtzite a 8 bande: \(\{\,|S\!\uparrow\rangle,\ |S\!\downarrow\rangle,\ |X\!\uparrow\rangle,\ |Y\!\uparrow\rangle,\ |Z\!\uparrow\rangle,\ |X\!\downarrow\rangle,\ |Y\!\downarrow\rangle,\ |Z\!\downarrow\rangle\,\}\).Struttura a zincoblenda a 8 bande e struttura a wurtzite a 8 bande: \(\{\,|S\!\uparrow\rangle,\ |S\!\downarrow\rangle,\ |X\!\uparrow\rangle,\ |Y\!\uparrow\rangle,\ |Z\!\uparrow\rangle,\ |X\!\downarrow\rangle,\ |Y\!\downarrow\rangle,\ |Z\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Struttura a dieci bande di tipo zincblenda: le otto bande superiori seguite da due stati localizzati dell’azoto \(\{\,|N\!\uparrow\rangle,\ |N\!\downarrow\rangle\,\}\).Struttura a dieci bande di tipo zincblenda: le otto bande superiori seguite da due stati localizzati dell’azoto \(\{\,|N\!\uparrow\rangle,\ |N\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Modello di Luttinger–Kohn a 6 bande: \(\{\,\text{HH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\downarrow,\ \text{HH}\!\downarrow,\ \text{SO}\!\uparrow,\ \text{SO}\!\downarrow\,\}\).Modello di Luttinger–Kohn a 6 bande: \(\{\,\text{HH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\downarrow,\ \text{HH}\!\downarrow,\ \text{SO}\!\uparrow,\ \text{SO}\!\downarrow\,\}\).
• Silicio a forma di delta: una singola banda (scalare) per ogni valle, calcolata una sola volta per ciascuna delle sei orientazioni delle valli.Silicio a forma di delta: una singola banda (scalare) per ogni valle, calcolata una sola volta per ciascuna delle sei orientazioni delle valli.

L’utilizzo degli orbitali cartesiani \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) anziché delle combinazioni di momento angolare totale \(|J,m_j\rangle\) consente di mantenere le interazioni tra momento e deformazione reali e di facile implementazione, a costo di lasciare l’interazione spin-orbita come termine esplicito fuori dalla diagonale. Il modello di Luttinger-Kohn, invece, utilizza la base \(|J,m_j\rangle\), in cui l’interazione spin-orbita è diagonale, ma i termini cinetici assumono la forma classica \(P,Q,R,S\). Entrambe le scelte sono fisicamente equivalenti; ciascuna è adatta a un modello diverso e entrambe sono descritte nelle rispettive pagine.L’utilizzo degli orbitali cartesiani \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) anziché delle combinazioni di momento angolare totale \(|J,m_j\rangle\) consente di mantenere le interazioni tra momento e deformazione reali e di facile implementazione, a costo di lasciare l’interazione spin-orbita come termine esplicito fuori dalla diagonale. Il modello di Luttinger-Kohn, invece, utilizza la base \(|J,m_j\rangle\), in cui l’interazione spin-orbita è diagonale, ma i termini cinetici assumono la forma classica \(P,Q,R,S\). Entrambe le scelte sono fisicamente equivalenti; ciascuna è adatta a un modello diverso e entrambe sono descritte nelle rispettive pagine.