Transizioni ottiche nei pozzi quantici: guadagno ed emissione spontaneaTransizioni ottiche nei pozzi quantici: guadagno ed emissione spontanea

Dai livelli energetici elettronici alla luceDai livelli energetici elettronici alla luce

Nel tutorial precedente, intitolato bande di potenziale quantistico parabolico, abbiamo iniziato analizzando le soluzioni confinate dell’equazione di Schrödinger e abbiamo mostrato come ciascuna di queste soluzioni si trasformi in una sottobanda elettronica quando si considera il movimento parallelo agli strati del semiconduttore. Abbiamo anche calcolato l’energia del fotone necessaria per collegare uno stato elettronico a uno stato di lacuna.Nel tutorial precedente, intitolato bande di potenziale quantistico parabolico, abbiamo iniziato analizzando le soluzioni confinate dell’equazione di Schrödinger e abbiamo mostrato come ciascuna di queste soluzioni si trasformi in una sottobanda elettronica quando si considera il movimento parallelo agli strati del semiconduttore. Abbiamo anche calcolato l’energia del fotone necessaria per collegare uno stato elettronico a uno stato di lacuna.

Sapere quali transizioni sono possibili è solo il punto di partenza. Per calcolare la luce assorbita o emessa da una struttura a pozzo quantico, dobbiamo anche valutare la probabilità di ciascuna transizione e il numero di elettroni e lacune disponibili per parteciparvi. È a questo punto che entrano in gioco la regola aurea di Fermi e gli elementi di matrice ottici.Sapere quali transizioni sono possibili è solo il punto di partenza. Per calcolare la luce assorbita o emessa da una struttura a pozzo quantico, dobbiamo anche valutare la probabilità di ciascuna transizione e il numero di elettroni e lacune disponibili per parteciparvi. È a questo punto che entrano in gioco la regola aurea di Fermi e gli elementi di matrice ottici.

Elaboreremo il calcolo passo dopo passo: inizieremo considerando una singola transizione, quindi ne calcoleremo la probabilità, sommeremo i contributi di tutte le sottobande degli elettroni e delle lacune e, infine, introdurremo un allargamento lorentziano per ottenere uno spettro ottico uniforme.Elaboreremo il calcolo passo dopo passo: inizieremo considerando una singola transizione, quindi ne calcoleremo la probabilità, sommeremo i contributi di tutte le sottobande degli elettroni e delle lacune e, infine, introdurremo un allargamento lorentziano per ottenere uno spettro ottico uniforme.

Tre modi in cui la luce interagisce con un semiconduttoreTre modi in cui la luce interagisce con un semiconduttore

Consideriamo un elettrone in uno stato della banda di conduzione e uno stato disponibile nella banda di valenza. Esistono tre processi ottici strettamente correlati:Consideriamo un elettrone in uno stato della banda di conduzione e uno stato disponibile nella banda di valenza. Esistono tre processi ottici strettamente correlati:

• Assorbimento: un fotone incidente eccita un elettrone, facendolo passare da uno stato occupato della banda di valenza a uno stato libero della banda di conduzione.Assorbimento: un fotone incidente eccita un elettrone, facendolo passare da uno stato occupato della banda di valenza a uno stato libero della banda di conduzione.
• Emissione stimolata: un fotone incidente stimola un elettrone della banda di conduzione a occupare uno stato vuoto nella banda di valenza (creando una lacuna), generando un fotone aggiuntivo.Emissione stimolata: un fotone incidente stimola un elettrone della banda di conduzione a occupare uno stato vuoto nella banda di valenza (creando una lacuna), generando un fotone aggiuntivo.
• Emissione spontanea: un elettrone si ricombina con una lacuna e emette un fotone anche in assenza di fotoni incidenti.Emissione spontanea: un elettrone si ricombina con una lacuna e emette un fotone anche in assenza di fotoni incidenti.

Tutti e tre i processi dipendono dalla differenza di energia tra lo stato elettronico iniziale e quello finale e dall’intensità con cui la luce interagisce con tali stati. La loro differenza fondamentale risiede nell’occupazione degli stati e nella necessità che un fotone sia già presente.Tutti e tre i processi dipendono dalla differenza di energia tra lo stato elettronico iniziale e quello finale e dall’intensità con cui la luce interagisce con tali stati. La loro differenza fondamentale risiede nell’occupazione degli stati e nella necessità che un fotone sia già presente.

Iniziamo con una singola transizione elettrone-lacuna.Iniziamo con una singola transizione elettrone-lacuna.

Selezioniamo la sottobanda degli elettroni \(n\) e la sottobanda delle lacune \(m\). Per un semplice pozzo quantico parabolico, una transizione tra stati con lo stesso vettore d’onda nel piano presenta una differenza di energia.Selezioniamo la sottobanda degli elettroni \(n\) e la sottobanda delle lacune \(m\). Per un semplice pozzo quantico parabolico, una transizione tra stati con lo stesso vettore d’onda nel piano presenta una differenza di energia.

\[ E_{nm}(k_{\parallel})= E_g+\varepsilon_{e,n}+\varepsilon_{h,m} +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu}, \]\[ E_{nm}(k_{\parallel})= E_g+\varepsilon_{e,n}+\varepsilon_{h,m} +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu}, \]

dove \(E_g\) rappresenta l’ampiezza della banda proibita del materiale del pozzo quantico, \(\varepsilon_{e,n}\) e \(\varepsilon_{h,m}\) sono le energie di confinamento degli elettroni e delle lacune, e \(\mu\) è la massa efficace ridotta nel piano:dove \(E_g\) rappresenta l’ampiezza della banda proibita del materiale del pozzo quantico, \(\varepsilon_{e,n}\) e \(\varepsilon_{h,m}\) sono le energie di confinamento degli elettroni e delle lacune, e \(\mu\) è la massa efficace ridotta nel piano:

\[ \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_e^{*}}+\frac{1}{m_h^{*}}. \]\[ \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_e^{*}}+\frac{1}{m_h^{*}}. \]

Nel caso di una transizione ottica diretta, il vettore d’onda del cristallo, considerato nel piano, si conserva approssimativamente, poiché un fotone trasporta una quantità di moto relativamente piccola. Di conseguenza, un elettrone e una lacuna contribuiscono a una transizione verticale tra le due curve di sottobanda in ??.Nel caso di una transizione ottica diretta, il vettore d’onda del cristallo, considerato nel piano, si conserva approssimativamente, poiché un fotone trasporta una quantità di moto relativamente piccola. Di conseguenza, un elettrone e una lacuna contribuiscono a una transizione verticale tra le due curve di sottobanda in ??.

Se l’energia del fotone corrisponde alla differenza di energia tra i livelli, la transizione è energeticamente possibile:Se l’energia del fotone corrisponde alla differenza di energia tra i livelli, la transizione è energeticamente possibile:

\[ \hbar\omega=E_{nm}(k_{\parallel}). \]\[ \hbar\omega=E_{nm}(k_{\parallel}). \]

Tuttavia, il fatto che le energie corrispondano non ci indica con quale frequenza avviene tale transizione. Per determinarlo, dobbiamo calcolare l’interazione tra l’elettrone e il campo elettromagnetico.Tuttavia, il fatto che le energie corrispondano non ci indica con quale frequenza avviene tale transizione. Per determinarlo, dobbiamo calcolare l’interazione tra l’elettrone e il campo elettromagnetico.

La regola aurea di Fermi: qual è la probabilità di una transizione?La regola aurea di Fermi: qual è la probabilità di una transizione?

La regola aurea di Fermi fornisce la velocità di transizione tra uno stato quantico iniziale \(i\) e uno stato finale \(f\) quando questi sono collegati da un'interazione relativamente debole:La regola aurea di Fermi fornisce la velocità di transizione tra uno stato quantico iniziale \(i\) e uno stato finale \(f\) quando questi sono collegati da un'interazione relativamente debole:

\[ \boxed{ W_{i\rightarrow f}= \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i) } \]\[ \boxed{ W_{i\rightarrow f}= \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i) } \]

Questa equazione contiene due elementi particolarmente importanti:Questa equazione contiene due elementi particolarmente importanti:

• L’elemento di matrice, \(\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\), misura l’intensità con cui lo stato iniziale e quello finale sono accoppiati dal campo ottico. Elevando al quadrato il suo valore assoluto, si ottiene il fattore che determina la probabilità di transizione.L’elemento di matrice, \(\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\), misura l’intensità con cui lo stato iniziale e quello finale sono accoppiati dal campo ottico. Elevando al quadrato il suo valore assoluto, si ottiene il fattore che determina la probabilità di transizione.
• La funzione delta, \(\delta(E_f-E_i)\), garantisce la conservazione dell’energia. Quando gli stati iniziali e finali includono fotoni, le loro energie vengono considerate in \(E_i\) e \(E_f\).La funzione delta, \(\delta(E_f-E_i)\), garantisce la conservazione dell’energia. Quando gli stati iniziali e finali includono fotoni, le loro energie vengono considerate in \(E_i\) e \(E_f\).

Un modo utile per affrontare questo concetto è considerare che devono essere soddisfatte due condizioni: la transizione deve avere l’energia corretta e la luce deve essere in grado di interagire con i due stati elettronici. La prima condizione è determinata dalla distanza tra le sottobande; la seconda è determinata dall’elemento di matrice.Un modo utile per affrontare questo concetto è considerare che devono essere soddisfatte due condizioni: la transizione deve avere l’energia corretta e la luce deve essere in grado di interagire con i due stati elettronici. La prima condizione è determinata dalla distanza tra le sottobande; la seconda è determinata dall’elemento di matrice.

Cos'è un elemento di matrice ottica?Cos'è un elemento di matrice ottica?

Quando la luce interagisce con un elettrone, il suo campo elettrico può indurre transizioni tra gli stati quantici. In una descrizione comune, l’interazione rilevante è proporzionale al prodotto scalare tra l’operatore del momento dell’elettrone e la polarizzazione del campo ottico. L’elemento di matrice del momento corrispondente ha la seguente forma:Quando la luce interagisce con un elettrone, il suo campo elettrico può indurre transizioni tra gli stati quantici. In una descrizione comune, l’interazione rilevante è proporzionale al prodotto scalare tra l’operatore del momento dell’elettrone e la polarizzazione del campo ottico. L’elemento di matrice del momento corrispondente ha la seguente forma:

\[ p_{nm}= \langle\Psi_{c,n}|\,\mathbf e\!\cdot\!\hat{\mathbf p}\,|\Psi_{v,m}\rangle, \]\[ p_{nm}= \langle\Psi_{c,n}|\,\mathbf e\!\cdot\!\hat{\mathbf p}\,|\Psi_{v,m}\rangle, \]

dove \(\mathbf e\) rappresenta la polarizzazione della luce, mentre \(\Psi_{c,n}\) e \(\Psi_{v,m}\) indicano gli stati elettronici associati alle bande di conduzione e di valenza. Un valore elevato indica che il campo ottico interagisce fortemente con gli stati; un elemento di matrice pari a zero significa che questa transizione è otticamente proibita all’interno del modello utilizzato.dove \(\mathbf e\) rappresenta la polarizzazione della luce, mentre \(\Psi_{c,n}\) e \(\Psi_{v,m}\) indicano gli stati elettronici associati alle bande di conduzione e di valenza. Un valore elevato indica che il campo ottico interagisce fortemente con gli stati; un elemento di matrice pari a zero significa che questa transizione è otticamente proibita all’interno del modello utilizzato.

Nell’ambito della semplice approssimazione a bande paraboliche, possiamo distinguere le funzioni di Bloch, che variano rapidamente su scala atomica, dalle funzioni d’inviluppo quantomeccaniche, che variano più lentamente. L’accoppiamento ottico contiene quindi due fattori:Nell’ambito della semplice approssimazione a bande paraboliche, possiamo distinguere le funzioni di Bloch, che variano rapidamente su scala atomica, dalle funzioni d’inviluppo quantomeccaniche, che variano più lentamente. L’accoppiamento ottico contiene quindi due fattori:

\[ \boxed{ |p_{nm}|^2\simeq |\mathbf e\!\cdot\!\mathbf p_{cv}|^2 \left|\int \psi_{e,n}^{*}(z)\psi_{h,m}(z)\,dz\right|^2 } \]\[ \boxed{ |p_{nm}|^2\simeq |\mathbf e\!\cdot\!\mathbf p_{cv}|^2 \left|\int \psi_{e,n}^{*}(z)\psi_{h,m}(z)\,dz\right|^2 } \]

Il primo fattore, \(\mathbf p_{cv}\), descrive l’accoppiamento ottico tra le bande semiconduttrici sottostanti. Il secondo è la sovrapposizione delle funzioni d’onda, che indica quanto bene le funzioni d’onda degli elettroni e delle lacune si sovrappongono all’interno del pozzo quantico.Il primo fattore, \(\mathbf p_{cv}\), descrive l’accoppiamento ottico tra le bande semiconduttrici sottostanti. Il secondo è la sovrapposizione delle funzioni d’onda, che indica quanto bene le funzioni d’onda degli elettroni e delle lacune si sovrappongono all’interno del pozzo quantico.

Ad esempio, due stati concentrati nella stessa regione del pozzo quantico possono sovrapporsi in modo significativo. Se un campo elettrico attrae l'elettrone verso un'interfaccia e la lacuna verso l'altra, la sovrapposizione può ridursi notevolmente. È importante sottolineare che la quantità rilevante è l'integrale delle funzioni d'onda, e non semplicemente la sovrapposizione dei rispettivi grafici di densità di probabilità: il segno e la fase delle funzioni d'onda possono causare l'annullamento di alcune componenti.Ad esempio, due stati concentrati nella stessa regione del pozzo quantico possono sovrapporsi in modo significativo. Se un campo elettrico attrae l'elettrone verso un'interfaccia e la lacuna verso l'altra, la sovrapposizione può ridursi notevolmente. È importante sottolineare che la quantità rilevante è l'integrale delle funzioni d'onda, e non semplicemente la sovrapposizione dei rispettivi grafici di densità di probabilità: il segno e la fase delle funzioni d'onda possono causare l'annullamento di alcune componenti.

Questo spiega anche perché la polarizzazione della luce può essere un fattore importante. Ad esempio, la luce polarizzata TE e TM sonda componenti diverse dell’elemento della matrice dell’impulso e, quando il mescolamento delle bande e le regole di selezione della polarizzazione sono rilevanti, sono necessari modelli multibanda più avanzati. Questi effetti possono essere analizzati nei tutorial GaAs/AlGaAs a otto bande, struttura cristallina sfaldapatite e GaN/AlGaN a otto bande, struttura cristallina wurtzite.Questo spiega anche perché la polarizzazione della luce può essere un fattore importante. Ad esempio, la luce polarizzata TE e TM sonda componenti diverse dell’elemento della matrice dell’impulso e, quando il mescolamento delle bande e le regole di selezione della polarizzazione sono rilevanti, sono necessari modelli multibanda più avanzati. Questi effetti possono essere analizzati nei tutorial GaAs/AlGaAs a otto bande, struttura cristallina sfaldapatite e GaN/AlGaN a otto bande, struttura cristallina wurtzite.

Il fatto che una transizione sia consentita non significa che avverrà.Il fatto che una transizione sia consentita non significa che avverrà.

Anche una transizione che avvenga con l’energia corretta e con un’ampia ampiezza di matrice non può verificarsi a meno che lo stato iniziale non sia occupato e lo stato finale sia disponibile. Sia \(f_c\) la probabilità che lo stato della banda di conduzione in questione contenga un elettrone, e \(f_v\) la probabilità che lo stato della banda di valenza in questione contenga un elettrone. La probabilità che lo stato di valenza contenga una lacuna è quindi \(1-f_v\).Anche una transizione che avvenga con l’energia corretta e con un’ampia ampiezza di matrice non può verificarsi a meno che lo stato iniziale non sia occupato e lo stato finale sia disponibile. Sia \(f_c\) la probabilità che lo stato della banda di conduzione in questione contenga un elettrone, e \(f_v\) la probabilità che lo stato della banda di valenza in questione contenga un elettrone. La probabilità che lo stato di valenza contenga una lacuna è quindi \(1-f_v\).

Le diverse concentrazioni di elettroni disponibili determinano fattori differenti per l’assorbimento e l’emissione:Le diverse concentrazioni di elettroni disponibili determinano fattori differenti per l’assorbimento e l’emissione:

\[ \begin{aligned} \text{Absorption:}\qquad & f_v(1-f_c),\\[4pt] \text{Emission:}\qquad & f_c(1-f_v). \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \text{Absorption:}\qquad & f_v(1-f_c),\\[4pt] \text{Emission:}\qquad & f_c(1-f_v). \end{aligned} \]

L’assorbimento richiede uno stato occupato nella banda di valenza e uno stato vuoto nella banda di conduzione. L’emissione richiede esattamente il contrario: un elettrone nella banda di conduzione e una lacuna nella banda di valenza. Questi fattori di occupazione determineranno se una determinata transizione contribuisce all’assorbimento netto o all’amplificazione ottica netta.L’assorbimento richiede uno stato occupato nella banda di valenza e uno stato vuoto nella banda di conduzione. L’emissione richiede esattamente il contrario: un elettrone nella banda di conduzione e una lacuna nella banda di valenza. Questi fattori di occupazione determineranno se una determinata transizione contribuisce all’assorbimento netto o all’amplificazione ottica netta.

Da una singola transizione a uno spettro ottico.Da una singola transizione a uno spettro ottico.

Un vero e proprio pozzo quantico presenta più di una sottobanda per gli elettroni e per le lacune, e gli elettroni possono occupare diverse direzioni del vettore d’onda nel piano lungo ciascuna parabola. Per calcolare uno spettro, è necessario sommare il contributo di ogni combinazione rilevante di sottobanda degli elettroni \(n\), sottobanda delle lacune \(m\) e vettore d’onda nel piano \(k_{\parallel}\).Un vero e proprio pozzo quantico presenta più di una sottobanda per gli elettroni e per le lacune, e gli elettroni possono occupare diverse direzioni del vettore d’onda nel piano lungo ciascuna parabola. Per calcolare uno spettro, è necessario sommare il contributo di ogni combinazione rilevante di sottobanda degli elettroni \(n\), sottobanda delle lacune \(m\) e vettore d’onda nel piano \(k_{\parallel}\).

In termini generali, il calcolo dell’assorbimento spettrale può essere espresso nella seguente forma:In termini generali, il calcolo dell’assorbimento spettrale può essere espresso nella seguente forma:

\[ \alpha(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 f_v(1-f_c) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right]. \]\[ \alpha(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 f_v(1-f_c) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right]. \]

La somma viene calcolata su coppie di sottobande; l’integrale raccoglie tutti gli stati nel piano. L’elemento della matrice pondera ogni transizione in base alla sua forza ottica, i fattori di occupazione ci indicano se i portatori di carica necessari sono presenti e la funzione delta seleziona le transizioni con l’energia fotonica corretta. La relazione di proporzionalità esclude i fattori di normalizzazione elettromagnetica comuni.La somma viene calcolata su coppie di sottobande; l’integrale raccoglie tutti gli stati nel piano. L’elemento della matrice pondera ogni transizione in base alla sua forza ottica, i fattori di occupazione ci indicano se i portatori di carica necessari sono presenti e la funzione delta seleziona le transizioni con l’energia fotonica corretta. La relazione di proporzionalità esclude i fattori di normalizzazione elettromagnetica comuni.

Per una sottobanda parabolica bidimensionale, il numero di stati disponibili per unità di energia assume una forma particolarmente semplice: la sua densità di stati combinata è costante al di sopra della soglia di transizione nel modello ideale. Di conseguenza, una coppia di sottobande inizia a contribuire quando l’energia del fotone raggiunge il valore minimo consentito per la transizione. Ulteriori coppie di sottobande introducono ulteriori soglie nello spettro.Per una sottobanda parabolica bidimensionale, il numero di stati disponibili per unità di energia assume una forma particolarmente semplice: la sua densità di stati combinata è costante al di sopra della soglia di transizione nel modello ideale. Di conseguenza, una coppia di sottobande inizia a contribuire quando l’energia del fotone raggiunge il valore minimo consentito per la transizione. Ulteriori coppie di sottobande introducono ulteriori soglie nello spettro.

Quando l’assorbimento si trasforma in amplificazione ottica?Quando l’assorbimento si trasforma in amplificazione ottica?

Un fascio incidente può essere sia assorbito sia indurre l’emissione. L’amplificazione ottica è il risultato dell’equilibrio tra questi due processi concorrenti, e non semplicemente della somma del tasso totale di ricombinazione elettrone-lacuna. Sottraendo l’assorbimento dall’emissione indotta, si ottiene una semplificazione particolarmente utile:Un fascio incidente può essere sia assorbito sia indurre l’emissione. L’amplificazione ottica è il risultato dell’equilibrio tra questi due processi concorrenti, e non semplicemente della somma del tasso totale di ricombinazione elettrone-lacuna. Sottraendo l’assorbimento dall’emissione indotta, si ottiene una semplificazione particolarmente utile:

\[ \begin{aligned} f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c) &=f_c-f_v. \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c) &=f_c-f_v. \end{aligned} \]

Pertanto, l’aumento spettrale del guadagno del materiale ha la stessa somma delle transizioni del calcolo dell’assorbimento, ma utilizza la differenza di popolazione:Pertanto, l’aumento spettrale del guadagno del materiale ha la stessa somma delle transizioni del calcolo dell’assorbimento, ma utilizza la differenza di popolazione:

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

Se \(f_v\) è maggiore di \(f_c\), l’assorbimento prevale e il contributo all’amplificazione è negativo. Se \(f_c\) è maggiore di \(f_v\), l’emissione stimolata prevale: si verifica un’inversione di popolazione e la transizione contribuisce positivamente all’amplificazione.Se \(f_v\) è maggiore di \(f_c\), l’assorbimento prevale e il contributo all’amplificazione è negativo. Se \(f_c\) è maggiore di \(f_v\), l’emissione stimolata prevale: si verifica un’inversione di popolazione e la transizione contribuisce positivamente all’amplificazione.

In un calcolo completo, il fattore di proporzionalità include grandezze quali la frequenza ottica, l’indice di rifrazione, le costanti elettromagnetiche e lo spessore utilizzato per normalizzare gli stati del pozzo quantico. È inoltre necessario distinguere l’amplificazione all’interno del materiale attivo dall’amplificazione modale di un laser, che dipende dall’intensità con cui la modalità ottica si sovrappone alla regione del pozzo quantico.In un calcolo completo, il fattore di proporzionalità include grandezze quali la frequenza ottica, l’indice di rifrazione, le costanti elettromagnetiche e lo spessore utilizzato per normalizzare gli stati del pozzo quantico. È inoltre necessario distinguere l’amplificazione all’interno del materiale attivo dall’amplificazione modale di un laser, che dipende dall’intensità con cui la modalità ottica si sovrappone alla regione del pozzo quantico.

E per quanto riguarda l’emissione spontanea?E per quanto riguarda l’emissione spontanea?

L’emissione spontanea utilizza le stesse energie di transizione elettronica e gli stessi elementi di matrice ottica, ma non rappresenta la stessa quantità del guadagno netto. Per comprendere la differenza, immaginiamo che una particolare modalità fotonica contenga già \(N\) fotoni. La velocità di emissione quantomeccanica in tale modalità contiene un fattore pari a \(N+1\):L’emissione spontanea utilizza le stesse energie di transizione elettronica e gli stessi elementi di matrice ottica, ma non rappresenta la stessa quantità del guadagno netto. Per comprendere la differenza, immaginiamo che una particolare modalità fotonica contenga già \(N\) fotoni. La velocità di emissione quantomeccanica in tale modalità contiene un fattore pari a \(N+1\):

\[ \underbrace{(N+1)}_{\text{emission}} =\underbrace{N}_{\text{stimulated}} +\underbrace{1}_{\text{spontaneous}}. \]\[ \underbrace{(N+1)}_{\text{emission}} =\underbrace{N}_{\text{stimulated}} +\underbrace{1}_{\text{spontaneous}}. \]

La parte stimolata cresce in proporzione al numero di fotoni già presenti. L’aggiunta di \(1\) implica che l’emissione può ancora avvenire anche quando il numero iniziale di fotoni è pari a zero. L’assorbimento, al contrario, richiede l’arrivo di un fotone ed è proporzionale a \(N\).La parte stimolata cresce in proporzione al numero di fotoni già presenti. L’aggiunta di \(1\) implica che l’emissione può ancora avvenire anche quando il numero iniziale di fotoni è pari a zero. L’assorbimento, al contrario, richiede l’arrivo di un fotone ed è proporzionale a \(N\).

Per calcolare l’emissione spontanea, sommiamo le probabilità di transizione tra i diversi stati elettronici disponibili e le modalità fotoniche in cui la luce può essere emessa. In termini schematici, lo spettro dell’emissione spontanea èPer calcolare l’emissione spontanea, sommiamo le probabilità di transizione tra i diversi stati elettronici disponibili e le modalità fotoniche in cui la luce può essere emessa. In termini schematici, lo spettro dell’emissione spontanea è

\[ \boxed{ R_{\mathrm{sp}}(\hbar\omega)\ \propto D_{\mathrm{ph}}(\omega) \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |M_{nm}(\omega,k_{\parallel})|^2 f_c(1-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]\[ \boxed{ R_{\mathrm{sp}}(\hbar\omega)\ \propto D_{\mathrm{ph}}(\omega) \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |M_{nm}(\omega,k_{\parallel})|^2 f_c(1-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

In questo caso, \(D_{\mathrm{ph}}\) rappresenta le modalità fotoniche disponibili e \(M_{nm}\) è l’elemento della matrice di interazione elettrone-fotone, opportunamente normalizzato, per l’emissione spontanea. Questa notazione rende esplicito che la densità delle modalità fotoniche e la normalizzazione ottica devono essere incluse nel calcolo della velocità assoluta di emissione dei fotoni.In questo caso, \(D_{\mathrm{ph}}\) rappresenta le modalità fotoniche disponibili e \(M_{nm}\) è l’elemento della matrice di interazione elettrone-fotone, opportunamente normalizzato, per l’emissione spontanea. Questa notazione rende esplicito che la densità delle modalità fotoniche e la normalizzazione ottica devono essere incluse nel calcolo della velocità assoluta di emissione dei fotoni.

Si noti il fattore di occupazione: l’emissione spontanea utilizza \(f_c(1-f_v)\), e non la differenza di popolazione \(f_c-f_v\) utilizzata per ottenere un guadagno netto. Pertanto, una struttura a pozzo quantico può manifestare l’emissione spontanea anche quando la sua risposta ottica netta è di tipo assorbente. Non dovremmo ottenere l’emissione spontanea semplicemente impostando valori di guadagno negativi a zero.Si noti il fattore di occupazione: l’emissione spontanea utilizza \(f_c(1-f_v)\), e non la differenza di popolazione \(f_c-f_v\) utilizzata per ottenere un guadagno netto. Pertanto, una struttura a pozzo quantico può manifestare l’emissione spontanea anche quando la sua risposta ottica netta è di tipo assorbente. Non dovremmo ottenere l’emissione spontanea semplicemente impostando valori di guadagno negativi a zero.

Perché è necessario l’allargamento di Lorentz?Perché è necessario l’allargamento di Lorentz?

Fino a questo punto, la regola aurea di Fermi utilizzava una funzione delta per rappresentare l’esatta conservazione dell’energia. In un semiconduttore reale, tuttavia, le transizioni ottiche non si manifestano come linee infinitamente nitide. La diffusione e il tempo di coerenza finito di una transizione elettronica le conferiscono una larghezza spettrale finita.Fino a questo punto, la regola aurea di Fermi utilizzava una funzione delta per rappresentare l’esatta conservazione dell’energia. In un semiconduttore reale, tuttavia, le transizioni ottiche non si manifestano come linee infinitamente nitide. La diffusione e il tempo di coerenza finito di una transizione elettronica le conferiscono una larghezza spettrale finita.

Un metodo comune per rappresentare questo concetto consiste nel sostituire la funzione delta con una funzione di Lorentz normalizzata:Un metodo comune per rappresentare questo concetto consiste nel sostituire la funzione delta con una funzione di Lorentz normalizzata:

\[ \boxed{ L_{\gamma}(\Delta E)= \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{(\Delta E)^2+\gamma^2} } \]\[ \boxed{ L_{\gamma}(\Delta E)= \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{(\Delta E)^2+\gamma^2} } \]

In questo caso, \(\Delta E\) rappresenta la differenza tra l’energia della transizione elettronica e l’energia del fotone, mentre \(\gamma\) è la larghezza a metà del massimo (HWHM) della curva di Lorentz. La larghezza totale a metà del massimo è \(2\gamma\). Poiché la curva di Lorentz è normalizzata rispetto all’energia, l’allargamento ridistribuisce il contributo spettrale di una transizione, anziché modificarne arbitrariamente il valore integrato.In questo caso, \(\Delta E\) rappresenta la differenza tra l’energia della transizione elettronica e l’energia del fotone, mentre \(\gamma\) è la larghezza a metà del massimo (HWHM) della curva di Lorentz. La larghezza totale a metà del massimo è \(2\gamma\). Poiché la curva di Lorentz è normalizzata rispetto all’energia, l’allargamento ridistribuisce il contributo spettrale di una transizione, anziché modificarne arbitrariamente il valore integrato.

Per ogni transizione, sostituiamo quindi \(\delta(E_{nm}-\hbar\omega)\) con \(L_{\gamma}(E_{nm}-\hbar\omega)\). Ad esempio, lo spettro di guadagno ampliato diventa:Per ogni transizione, sostituiamo quindi \(\delta(E_{nm}-\hbar\omega)\) con \(L_{\gamma}(E_{nm}-\hbar\omega)\). Ad esempio, lo spettro di guadagno ampliato diventa:

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) L_{\gamma}\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) L_{\gamma}\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

La stessa sostituzione viene effettuata nel calcolo dell’emissione spontanea, ma il suo fattore di occupazione rimane \(f_c(1-f_v)\). Un parametro di allargamento maggiore produce caratteristiche spettrali più uniformi e ampie; un valore inferiore preserva soglie di transizione più definite. L’allargamento lorentziano è un modello utile per descrivere l’allargamento omogeneo, piuttosto che una descrizione universale di ogni meccanismo fisico di allargamento.La stessa sostituzione viene effettuata nel calcolo dell’emissione spontanea, ma il suo fattore di occupazione rimane \(f_c(1-f_v)\). Un parametro di allargamento maggiore produce caratteristiche spettrali più uniformi e ampie; un valore inferiore preserva soglie di transizione più definite. L’allargamento lorentziano è un modello utile per descrivere l’allargamento omogeneo, piuttosto che una descrizione universale di ogni meccanismo fisico di allargamento.

Riassumiamo i passaggi del calcolo.Riassumiamo i passaggi del calcolo.

Possiamo ora riassumere come viene costruito lo spettro ottico di una struttura a pozzo quantico a partire dagli stati elettronici:Possiamo ora riassumere come viene costruito lo spettro ottico di una struttura a pozzo quantico a partire dagli stati elettronici:

1. Individuate gli stati confinati. Risolvete l’equazione di Schrödinger per le energie e le funzioni d’onda degli elettroni e delle lacune all’interno del pozzo quantico.Individuate gli stati confinati. Risolvete l’equazione di Schrödinger per le energie e le funzioni d’onda degli elettroni e delle lacune all’interno del pozzo quantico.
2. Definisci le sottobande. Includi il movimento parallelo agli strati per ottenere le energie di transizione elettronica a diversi vettori d’onda nel piano.Definisci le sottobande. Includi il movimento parallelo agli strati per ottenere le energie di transizione elettronica a diversi vettori d’onda nel piano.
3. Calcolare l’accoppiamento ottico. Valutare gli elementi di matrice appropriati, compresa la sovrapposizione delle funzioni d’onda degli elettroni e delle lacune e, se necessario, la polarizzazione della luce.Calcolare l’accoppiamento ottico. Valutare gli elementi di matrice appropriati, compresa la sovrapposizione delle funzioni d’onda degli elettroni e delle lacune e, se necessario, la polarizzazione della luce.
4. Includere le popolazioni di portatori di carica. Utilizzare le funzioni d’onda degli stati elettronici e della banda di valenza per distinguere l’assorbimento, l’emissione stimolata e l’emissione spontanea.Includere le popolazioni di portatori di carica. Utilizzare le funzioni d’onda degli stati elettronici e della banda di valenza per distinguere l’assorbimento, l’emissione stimolata e l’emissione spontanea.
5. Calcola la somma su tutte le transizioni. Aggiungi i contributi provenienti dalle sottobande degli elettroni e delle lacune e dagli stati disponibili nel piano.Calcola la somma su tutte le transizioni. Aggiungi i contributi provenienti dalle sottobande degli elettroni e delle lacune e dagli stati disponibili nel piano.
6. Amplia lo spettro. Sostituisci le transizioni ideali a forma di funzione delta con una forma d’onda appropriata, come una funzione di Lorentz.Amplia lo spettro. Sostituisci le transizioni ideali a forma di funzione delta con una forma d’onda appropriata, come una funzione di Lorentz.

Questi sono i principi che collegano i risolutori elettronici basati su pozzi quantici di OghmaNano ai calcoli del guadagno ottico e dell’emissione spontanea. Il modello parabolico semplificato rende più facile comprendere i concetti fisici; la teoria multibanda k·p amplia gli stati elettronici e gli elementi di matrice ottica quando l’accoppiamento tra le bande e la dipendenza dalla polarizzazione diventano fattori importanti.Questi sono i principi che collegano i risolutori elettronici basati su pozzi quantici di OghmaNano ai calcoli del guadagno ottico e dell’emissione spontanea. Il modello parabolico semplificato rende più facile comprendere i concetti fisici; la teoria multibanda k·p amplia gli stati elettronici e gli elementi di matrice ottica quando l’accoppiamento tra le bande e la dipendenza dalla polarizzazione diventano fattori importanti.