Modelli termiciModelli termici

OghmaNano supporta la simulazione elettrotermica a diversi livelli di dettaglio fisico, che vanno da una semplice approssimazione a temperatura fissa a modelli completamente accoppiati che tengono conto dell’autoriscaldamento e, in condizioni particolari, del trasporto di energia idrodinamico. Lo scopo di queste opzioni è pratico: molti comportamenti dei dispositivi in condizioni di funzionamento non possono essere spiegati utilizzando un modello puramente elettrico a temperatura fissa quando la dissipazione di potenza diventa significativa.OghmaNano supporta la simulazione elettrotermica a diversi livelli di dettaglio fisico, che vanno da una semplice approssimazione a temperatura fissa a modelli completamente accoppiati che tengono conto dell’autoriscaldamento e, in condizioni particolari, del trasporto di energia idrodinamico. Lo scopo di queste opzioni è pratico: molti comportamenti dei dispositivi in condizioni di funzionamento non possono essere spiegati utilizzando un modello puramente elettrico a temperatura fissa quando la dissipazione di potenza diventa significativa.

In OghmaNano sono disponibili tre opzioni per la simulazione termica: (1) temperatura costante in tutto il dispositivo (300 K come impostazione predefinita); (2) un risolutore termico reticolare che risolve l’equazione del calore in tutto il dispositivo, tenendo conto anche dell’auto-riscaldamento; e (3) un risolutore idrodinamico (basato sul bilancio energetico) che non presuppone che le temperature degli elettroni, delle lacune e del reticolo siano uguali. L’opzione della temperatura costante è consigliata per la maggior parte delle simulazioni a bassa potenza. Il modello termico reticolare viene utilizzato quando si prevede che l’auto-riscaldamento modifichi le curve corrente-tensione (JV), i profili di ricombinazione o la stabilità del dispositivo. Il modello idrodinamico è destinato a casi specifici, come lo scambio energetico intenso nelle eterogiunzioni o campi estremi, in cui i portatori di carica potrebbero non raggiungere localmente la temperatura del reticolo.In OghmaNano sono disponibili tre opzioni per la simulazione termica: (1) temperatura costante in tutto il dispositivo (300 K come impostazione predefinita); (2) un risolutore termico reticolare che risolve l’equazione del calore in tutto il dispositivo, tenendo conto anche dell’auto-riscaldamento; e (3) un risolutore idrodinamico (basato sul bilancio energetico) che non presuppone che le temperature degli elettroni, delle lacune e del reticolo siano uguali. L’opzione della temperatura costante è consigliata per la maggior parte delle simulazioni a bassa potenza. Il modello termico reticolare viene utilizzato quando si prevede che l’auto-riscaldamento modifichi le curve corrente-tensione (JV), i profili di ricombinazione o la stabilità del dispositivo. Il modello idrodinamico è destinato a casi specifici, come lo scambio energetico intenso nelle eterogiunzioni o campi estremi, in cui i portatori di carica potrebbero non raggiungere localmente la temperatura del reticolo.

La configurazione termica è accessibile tramite la barra degli strumenti «Termico», che consente di: abilitare/disabilitare il modello termico, selezionare i termini relativi alla generazione di calore (trasporto/effetto Joule/effetto Peltier, ricombinazione, assorbimento ottico, perdite parassite), impostare le condizioni al contorno termiche, scegliere le impostazioni della griglia termica e modificare i parametri termici dei materiali. Questi comandi sono visualizzati in ??.La configurazione termica è accessibile tramite la barra degli strumenti «Termico», che consente di: abilitare/disabilitare il modello termico, selezionare i termini relativi alla generazione di calore (trasporto/effetto Joule/effetto Peltier, ricombinazione, assorbimento ottico, perdite parassite), impostare le condizioni al contorno termiche, scegliere le impostazioni della griglia termica e modificare i parametri termici dei materiali. Questi comandi sono visualizzati in ??.

Come viene implementata l’interazione tra il risolutore elettrico e quello termico.Come viene implementata l’interazione tra il risolutore elettrico e quello termico.

La simulazione elettrotermica è intrinsecamente un problema multifisico accoppiato. La soluzione elettrica determina la distribuzione spaziale della corrente, del processo di ricombinazione e della dissipazione di potenza; tali quantità diventano fonti di calore nell’equazione di diffusione termica; e il campo di temperatura risultante influenza a sua volta il trasporto, la ricombinazione e le proprietà dei materiali. In OghmaNano, questo accoppiamento è gestito tramite un ciclo iterativo esterno: a un determinato punto di funzionamento, il risolutore elettrico viene eseguito utilizzando la stima corrente della temperatura, vengono valutati i termini di generazione del calore, il risolutore termico aggiorna il campo di temperatura e il processo si ripete finché sia i residui elettrici che quelli termici soddisfano i criteri di convergenza.La simulazione elettrotermica è intrinsecamente un problema multifisico accoppiato. La soluzione elettrica determina la distribuzione spaziale della corrente, del processo di ricombinazione e della dissipazione di potenza; tali quantità diventano fonti di calore nell’equazione di diffusione termica; e il campo di temperatura risultante influenza a sua volta il trasporto, la ricombinazione e le proprietà dei materiali. In OghmaNano, questo accoppiamento è gestito tramite un ciclo iterativo esterno: a un determinato punto di funzionamento, il risolutore elettrico viene eseguito utilizzando la stima corrente della temperatura, vengono valutati i termini di generazione del calore, il risolutore termico aggiorna il campo di temperatura e il processo si ripete finché sia i residui elettrici che quelli termici soddisfano i criteri di convergenza.

Questa è la ragione pratica per cui le simulazioni elettrotermiche sono più lente rispetto alle simulazioni a temperatura fissa: a ogni incremento di tensione, la soluzione numerica delle equazioni elettriche può essere eseguita più volte, alternata a soluzioni termiche, fino a quando la soluzione combinata non si stabilizza. L’obiettivo non è ottenere un «grafico della temperatura», ma raggiungere una soluzione coerente per la corrente e la tensione (JV) e per lo stato interno, in cui la dissipazione e l’estrazione di calore siano bilanciate.Questa è la ragione pratica per cui le simulazioni elettrotermiche sono più lente rispetto alle simulazioni a temperatura fissa: a ogni incremento di tensione, la soluzione numerica delle equazioni elettriche può essere eseguita più volte, alternata a soluzioni termiche, fino a quando la soluzione combinata non si stabilizza. L’obiettivo non è ottenere un «grafico della temperatura», ma raggiungere una soluzione coerente per la corrente e la tensione (JV) e per lo stato interno, in cui la dissipazione e l’estrazione di calore siano bilanciate.

Perché i problemi di natura termica ed elettrica si manifestano su scale di lunghezza diverse?Perché i problemi di natura termica ed elettrica si manifestano su scale di lunghezza diverse?

Una caratteristica strutturale fondamentale della modellazione elettrotermica è la discrepanza tra le diverse scale di lunghezza fisica. Il trasporto elettrico nei dispositivi a film sottile è tipicamente dominato da strutture che vanno da dimensioni nanometriche a micrometriche: strati attivi, regioni di giunzione, zone di iniezione e profili di ricombinazione ristretti. La diffusione termica, al contrario, dipende dall’intero percorso del flusso di calore: contatti, substrati, materiali di incapsulamento, supporti e dissipatori, che spesso hanno dimensioni che vanno da millimetri a centimetri. Tentare di modellare un dissipatore di calore di dimensioni centimetriche con la risoluzione elettrica di un film sottile è un esercizio computazionale inutile.Una caratteristica strutturale fondamentale della modellazione elettrotermica è la discrepanza tra le diverse scale di lunghezza fisica. Il trasporto elettrico nei dispositivi a film sottile è tipicamente dominato da strutture che vanno da dimensioni nanometriche a micrometriche: strati attivi, regioni di giunzione, zone di iniezione e profili di ricombinazione ristretti. La diffusione termica, al contrario, dipende dall’intero percorso del flusso di calore: contatti, substrati, materiali di incapsulamento, supporti e dissipatori, che spesso hanno dimensioni che vanno da millimetri a centimetri. Tentare di modellare un dissipatore di calore di dimensioni centimetriche con la risoluzione elettrica di un film sottile è un esercizio computazionale inutile.

Ecco perché OghmaNano considera la configurazione termica come un elemento di modellazione di primaria importanza, anziché un aspetto secondario: il problema termico non è semplicemente «un aspetto fisico aggiuntivo», ma spesso riguarda un ambito diverso. La griglia termica può estendersi oltre la regione elettricamente attiva e vengono utilizzate le condizioni al contorno per rappresentare l’efficace dissipazione del calore senza dover definire esplicitamente le griglie per i dissipatori macroscopici.Ecco perché OghmaNano considera la configurazione termica come un elemento di modellazione di primaria importanza, anziché un aspetto secondario: il problema termico non è semplicemente «un aspetto fisico aggiuntivo», ma spesso riguarda un ambito diverso. La griglia termica può estendersi oltre la regione elettricamente attiva e vengono utilizzate le condizioni al contorno per rappresentare l’efficace dissipazione del calore senza dover definire esplicitamente le griglie per i dissipatori macroscopici.

Le condizioni al contorno influenzano in larga misura la temperatura massima che il dispositivo raggiunge.Le condizioni al contorno influenzano in larga misura la temperatura massima che il dispositivo raggiunge.

Le condizioni al contorno termiche non si limitano a semplificare i calcoli matematici, ma definiscono il percorso di dissipazione del calore. Un dispositivo con una scarsa capacità di dissipazione del calore può raggiungere rapidamente temperature elevate quando aumenta la potenza dissipata; un dispositivo fissato a un dissipatore efficiente può mantenere una temperatura prossima a quella ambiente anche in presenza di correnti elevate. In condizioni di regime stazionario, l’aumento di temperatura è determinato dall’equilibrio tra il «calore generato» e il «calore dissipato», e le condizioni al contorno specificano in gran parte quest’ultimo.Le condizioni al contorno termiche non si limitano a semplificare i calcoli matematici, ma definiscono il percorso di dissipazione del calore. Un dispositivo con una scarsa capacità di dissipazione del calore può raggiungere rapidamente temperature elevate quando aumenta la potenza dissipata; un dispositivo fissato a un dissipatore efficiente può mantenere una temperatura prossima a quella ambiente anche in presenza di correnti elevate. In condizioni di regime stazionario, l’aumento di temperatura è determinato dall’equilibrio tra il «calore generato» e il «calore dissipato», e le condizioni al contorno specificano in gran parte quest’ultimo.

Un utile paragone fisico è quello di una vasca da bagno. Il rubinetto corrisponde alla generazione di calore, lo scarico alla dissipazione del calore. Se lo scarico è aperto, il livello dell’acqua rimane basso. Se è parzialmente ostruito, il livello dell’acqua aumenta. Se è completamente ostruito e il rubinetto è aperto, la vasca si riempie fino a traboccare. Nel problema termico, il «livello dell’acqua» corrisponde al campo di temperatura: se il calore non può essere dissipato in modo efficace, la temperatura aumenta fino a quando i gradienti termici e il flusso al contorno non riescono a dissipare la potenza generata.Un utile paragone fisico è quello di una vasca da bagno. Il rubinetto corrisponde alla generazione di calore, lo scarico alla dissipazione del calore. Se lo scarico è aperto, il livello dell’acqua rimane basso. Se è parzialmente ostruito, il livello dell’acqua aumenta. Se è completamente ostruito e il rubinetto è aperto, la vasca si riempie fino a traboccare. Nel problema termico, il «livello dell’acqua» corrisponde al campo di temperatura: se il calore non può essere dissipato in modo efficace, la temperatura aumenta fino a quando i gradienti termici e il flusso al contorno non riescono a dissipare la potenza generata.

Nell’editor delle condizioni al contorno, «Neumann (==0)» corrisponde a una condizione al contorno con flusso di calore normale nullo:Nell’editor delle condizioni al contorno, «Neumann (==0)» corrisponde a una condizione al contorno con flusso di calore normale nullo:

\[ -k \nabla T \cdot \hat{n} = 0 \] \[ -k \nabla T \cdot \hat{n} = 0 \]

Dal punto di vista fisico, si tratta di una superficie isolante: al risolutore viene indicato che il calore non si propaga attraverso tale superficie. Ciò non implica che l’intero dispositivo sia termicamente isolato, ma significa che quella particolare superficie non fa parte del percorso previsto per la dissipazione del calore. La dissipazione del calore avviene quindi attraverso il contorno (o i contorni) configurati come dissipatori di calore o mediante altre modalità di trasferimento del calore.Dal punto di vista fisico, si tratta di una superficie isolante: al risolutore viene indicato che il calore non si propaga attraverso tale superficie. Ciò non implica che l’intero dispositivo sia termicamente isolato, ma significa che quella particolare superficie non fa parte del percorso previsto per la dissipazione del calore. La dissipazione del calore avviene quindi attraverso il contorno (o i contorni) configurati come dissipatori di calore o mediante altre modalità di trasferimento del calore.

Parametri termici: conducibilità e tempi di rilassamento dell’energia dei portatori di carica.Parametri termici: conducibilità e tempi di rilassamento dell’energia dei portatori di carica.

Oltre alle condizioni al contorno, un altro fattore determinante per qualsiasi previsione termica è l’insieme dei parametri termici dei materiali, in particolare la conducibilità termica. Questi parametri vengono modificati per ogni strato tramite il controllo dei parametri termici (spesso indicato come \(k\) o \(\kappa\)) nella barra multifunzione Termica (??), che apre l’editor dei parametri termici mostrato in ??.Oltre alle condizioni al contorno, un altro fattore determinante per qualsiasi previsione termica è l’insieme dei parametri termici dei materiali, in particolare la conducibilità termica. Questi parametri vengono modificati per ogni strato tramite il controllo dei parametri termici (spesso indicato come \(k\) o \(\kappa\)) nella barra multifunzione Termica (??), che apre l’editor dei parametri termici mostrato in ??.

Il parametro fondamentale è la conducibilità termica, che determina la facilità con cui il calore si diffonde attraverso ciascun livello e, di conseguenza, l’intensità con cui si creano gradienti di temperatura in presenza di una polarizzazione. L’editor fornisce anche i valori del tempo di rilassamento degli elettroni e dei fori. Questi parametri relativi al tempo di rilassamento sono necessari solo quando si utilizza il modello idrodinamico (basato sull’equilibrio energetico), in cui le cariche possono avere temperature diverse da quella del reticolo. Nel modello termico standard del reticolo, questi parametri non vengono utilizzati.Il parametro fondamentale è la conducibilità termica, che determina la facilità con cui il calore si diffonde attraverso ciascun livello e, di conseguenza, l’intensità con cui si creano gradienti di temperatura in presenza di una polarizzazione. L’editor fornisce anche i valori del tempo di rilassamento degli elettroni e dei fori. Questi parametri relativi al tempo di rilassamento sono necessari solo quando si utilizza il modello idrodinamico (basato sull’equilibrio energetico), in cui le cariche possono avere temperature diverse da quella del reticolo. Nel modello termico standard del reticolo, questi parametri non vengono utilizzati.

Discretizzazione della temperatura e tabelle precalcolateDiscretizzazione della temperatura e tabelle precalcolate

La configurazione della griglia termica comprende anche un intervallo di temperature e un numero di punti di temperatura. Questi non sono punti spaziali della griglia, ma costituiscono una griglia di temperature discrete utilizzata per creare tabelle precalcolate che dipendono dalla temperatura. Molte quantità del modello interno richiedono calcoli complessi e ripetuti in funzione della temperatura (e spesso del livello quasi di Fermi), pertanto OghmaNano le precalcola su una griglia di temperature finite e le interpola durante la risoluzione congiunta. Ciò migliora la stabilità e riduce il costo computazionale dei calcoli ripetuti delle statistiche dipendenti dalla temperatura all’interno del ciclo di accoppiamento elettrotermico.La configurazione della griglia termica comprende anche un intervallo di temperature e un numero di punti di temperatura. Questi non sono punti spaziali della griglia, ma costituiscono una griglia di temperature discrete utilizzata per creare tabelle precalcolate che dipendono dalla temperatura. Molte quantità del modello interno richiedono calcoli complessi e ripetuti in funzione della temperatura (e spesso del livello quasi di Fermi), pertanto OghmaNano le precalcola su una griglia di temperature finite e le interpola durante la risoluzione congiunta. Ciò migliora la stabilità e riduce il costo computazionale dei calcoli ripetuti delle statistiche dipendenti dalla temperatura all’interno del ciclo di accoppiamento elettrotermico.

In pratica, ciò significa che l’intervallo di temperatura dovrebbe comprendere in modo adeguato le temperature previste durante la simulazione. Se un dispositivo si surriscalda autonomamente al di fuori dell’intervallo configurato, l’interpolazione potrebbe trasformarsi in estrapolazione o in un’operazione di limitazione (a seconda della configurazione), il che non è auspicabile per un’analisi quantitativa dell’autoriscaldamento.In pratica, ciò significa che l’intervallo di temperatura dovrebbe comprendere in modo adeguato le temperature previste durante la simulazione. Se un dispositivo si surriscalda autonomamente al di fuori dell’intervallo configurato, l’interpolazione potrebbe trasformarsi in estrapolazione o in un’operazione di limitazione (a seconda della configurazione), il che non è auspicabile per un’analisi quantitativa dell’autoriscaldamento.

Diverse temperature: reticolo cristallino, elettroni e lacune.Diverse temperature: reticolo cristallino, elettroni e lacune.

È inoltre importante riconoscere che la modellazione elettrotermica implica naturalmente l’utilizzo di più temperature. OghmaNano distingue la temperatura del reticolo \(T_L\), la temperatura degli elettroni \(T_e\) e la temperatura delle lacune \(T_h\). Nel modello termico standard del reticolo, si assume che \(T_e\) e \(T_h\) siano uguali a \(T_L\) (i portatori di carica sono termalizzati localmente). Nel modello idrodinamico di bilancio energetico, \(T_e\) e \(T_h\) possono discostarsi da \(T_L\), riflettendo il trasporto di energia dei portatori di carica in condizioni di non equilibrio.È inoltre importante riconoscere che la modellazione elettrotermica implica naturalmente l’utilizzo di più temperature. OghmaNano distingue la temperatura del reticolo \(T_L\), la temperatura degli elettroni \(T_e\) e la temperatura delle lacune \(T_h\). Nel modello termico standard del reticolo, si assume che \(T_e\) e \(T_h\) siano uguali a \(T_L\) (i portatori di carica sono termalizzati localmente). Nel modello idrodinamico di bilancio energetico, \(T_e\) e \(T_h\) possono discostarsi da \(T_L\), riflettendo il trasporto di energia dei portatori di carica in condizioni di non equilibrio.

Pertanto, l’opzione idrodinamica non rappresenta «un modello predefinito più preciso»; si tratta di un modello per regimi particolari in cui la termalizzazione locale del vettore non può essere approssimata in modo adeguato. Nella maggior parte delle simulazioni di dispositivi a film sottile e organici, il modello termico reticolare riesce a descrivere il principale meccanismo di retroazione termica con un costo computazionale ragionevole.Pertanto, l’opzione idrodinamica non rappresenta «un modello predefinito più preciso»; si tratta di un modello per regimi particolari in cui la termalizzazione locale del vettore non può essere approssimata in modo adeguato. Nella maggior parte delle simulazioni di dispositivi a film sottile e organici, il modello termico reticolare riesce a descrivere il principale meccanismo di retroazione termica con un costo computazionale ragionevole.

Modello termico a reticolo.Modello termico a reticolo.

Quando si risolve esclusivamente l’equazione del calore per il reticolo cristallino, il trasferimento e la generazione di calore sono dati da:Quando si risolve esclusivamente l’equazione del calore per il reticolo cristallino, il trasferimento e la generazione di calore sono dati da:

\[0 = \nabla \kappa_{l} \nabla T_{L} +H_j +H_r +H_{optical}+H_{shunt}\]\[0 = \nabla \kappa_{l} \nabla T_{L} +H_j +H_r +H_{optical}+H_{shunt}\]

dove il riscaldamento per effetto Joule (\(H_j\)) è dato dadove il riscaldamento per effetto Joule (\(H_j\)) è dato da

\[H_j= J_{n} \frac{\nabla E_{c}}{q} + J_{h} \frac{\nabla E_{h}}{q} ,\]\[H_j= J_{n} \frac{\nabla E_{c}}{q} + J_{h} \frac{\nabla E_{h}}{q} ,\]

In pratica, questo termine legato al riscaldamento dovuto al trasporto di carica può includere sia il riscaldamento resistivo convenzionale (effetto Joule) sia il riscaldamento/raffreddamento interfacciale di Peltier, quando i bordi delle bande di energia variano notevolmente nello spazio. Il segno e la localizzazione di questo termine possono quindi fornire informazioni fisiche su dove l’energia viene immessa (o estratta) nel reticolo cristallino tramite il trasporto di carica.In pratica, questo termine legato al riscaldamento dovuto al trasporto di carica può includere sia il riscaldamento resistivo convenzionale (effetto Joule) sia il riscaldamento/raffreddamento interfacciale di Peltier, quando i bordi delle bande di energia variano notevolmente nello spazio. Il segno e la localizzazione di questo termine possono quindi fornire informazioni fisiche su dove l’energia viene immessa (o estratta) nel reticolo cristallino tramite il trasporto di carica.

il riscaldamento per ricombinazione (\(H_r\)) è dato da:il riscaldamento per ricombinazione (\(H_r\)) è dato da:

\[H_r=R(E_{c}-E_{v})\]\[H_r=R(E_{c}-E_{v})\]

il riscaldamento dovuto all’assorbimento ottico è dato da:il riscaldamento dovuto all’assorbimento ottico è dato da:

\[H_{optical}\]\[H_{optical}\]

e il riscaldamento dovuto alla resistenza di derivazione è dato da:e il riscaldamento dovuto alla resistenza di derivazione è dato da:

\[H_{shunt}=\frac{J_{shunt} V_{applied}}{d}.\]\[H_{shunt}=\frac{J_{shunt} V_{applied}}{d}.\]

Lo spessore del dispositivo è indicato con «d». Si noti che il riscaldamento dovuto alla resistenza di shunt è presente solo per ottimizzare il risparmio energetico. Nella pratica, la dissipazione parassita in serie/shunt spesso non è localizzata in modo preciso e riconoscibile a livello microscopico, pertanto viene trattata come un contributo termico effettivo necessario per completare il bilancio energetico del dispositivo simulato.Lo spessore del dispositivo è indicato con «d». Si noti che il riscaldamento dovuto alla resistenza di shunt è presente solo per ottimizzare il risparmio energetico. Nella pratica, la dissipazione parassita in serie/shunt spesso non è localizzata in modo preciso e riconoscibile a livello microscopico, pertanto viene trattata come un contributo termico effettivo necessario per completare il bilancio energetico del dispositivo simulato.

Bilancio energetico – modello di trasporto idrodinamicoBilancio energetico – modello di trasporto idrodinamico

Se si attiva il modello elettrico e il modello termico che tiene conto della conducibilità, il termine relativo alla sorgente di calore verrà sostituito da:Se si attiva il modello elettrico e il modello termico che tiene conto della conducibilità, il termine relativo alla sorgente di calore verrà sostituito da:

\[H=\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg ( n (\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) + p (\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{h}})\Bigg) +R(E_{c}-E_{v})\]\[H=\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg ( n (\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) + p (\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{h}})\Bigg) +R(E_{c}-E_{v})\]

e l’equazione del trasporto di energia per gli elettronie l’equazione del trasporto di energia per gli elettroni

\[S_n=-\kappa_n \frac{dT_{n}}{dx}-\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{n}}{q} J_{n}\]\[S_n=-\kappa_n \frac{dT_{n}}{dx}-\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{n}}{q} J_{n}\]

e fori.e fori.

\[S_p=-\kappa_p \frac{dT_{p}}{dx}+\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{p}}{q} J_{p}\]\[S_p=-\kappa_p \frac{dT_{p}}{dx}+\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{p}}{q} J_{p}\]

verrà risolto.verrà risolto.

Anche le equazioni dell’equilibrio energetico saranno risolte per gli elettroni.Anche le equazioni dell’equilibrio energetico saranno risolte per gli elettroni.

\[\frac{dS_{n}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx} J_{n}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{n}+ n(\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]\[\frac{dS_{n}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx} J_{n}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{n}+ n(\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

e per i forie per i fori

\[\frac{dS_{p}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx} J_{p}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{p}+ n(\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]\[\frac{dS_{p}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx} J_{p}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{p}+ n(\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

La conducibilità termica del gas di elettroni è data da:La conducibilità termica del gas di elettroni è data da:

\[\kappa_{n}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_n\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{n} \mu_n n\]\[\kappa_{n}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_n\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{n} \mu_n n\]

e per fori di dimensioni simili,e per fori di dimensioni simili,

\[\kappa_{p}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_p\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{p} \mu_p p\]\[\kappa_{p}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_p\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{p} \mu_p p\]

Questo modello idrodinamico introduce esplicitamente i flussi di energia dei portatori di carica e il meccanismo di rilassamento tra i portatori di carica e il reticolo cristallino tramite \(\tau_e\) e \(\tau_h\). Di conseguenza, è notevolmente più complesso e costoso del modello termico del reticolo e dovrebbe essere utilizzato solo quando le esigenze fisiche lo richiedono. Nella maggior parte degli studi sui dispositivi elettrotermici, l’equazione del calore del reticolo, con condizioni al contorno e conduttività degli strati opportunamente scelte, descrive in modo adeguato il principale ciclo di retroazione dell’auto-riscaldamento.Questo modello idrodinamico introduce esplicitamente i flussi di energia dei portatori di carica e il meccanismo di rilassamento tra i portatori di carica e il reticolo cristallino tramite \(\tau_e\) e \(\tau_h\). Di conseguenza, è notevolmente più complesso e costoso del modello termico del reticolo e dovrebbe essere utilizzato solo quando le esigenze fisiche lo richiedono. Nella maggior parte degli studi sui dispositivi elettrotermici, l’equazione del calore del reticolo, con condizioni al contorno e conduttività degli strati opportunamente scelte, descrive in modo adeguato il principale ciclo di retroazione dell’auto-riscaldamento.

Valori di corrente completi in condizioni non isotermiche.Valori di corrente completi in condizioni non isotermiche.

Le equazioni complete del trasporto per diffusione e deriva, che dipendono dalla temperatura e sono derivate dall’equazione di Boltzmann per i trasporti (BTE), sono le seguenti:Le equazioni complete del trasporto per diffusione e deriva, che dipendono dalla temperatura e sono derivate dall’equazione di Boltzmann per i trasporti (BTE), sono le seguenti:

\[\label{eq:Jnfull} \textbf{J}_n = \mu_e n \nabla E_c +\frac{2}{3} \mu_e n \nabla \bar{W} + \frac{2}{3} \bar{W} \mu_e \nabla n - \mu_e n \bar{W} \frac{\nabla m^*_e}{m^*_e}\]\[\label{eq:Jnfull} \textbf{J}_n = \mu_e n \nabla E_c +\frac{2}{3} \mu_e n \nabla \bar{W} + \frac{2}{3} \bar{W} \mu_e \nabla n - \mu_e n \bar{W} \frac{\nabla m^*_e}{m^*_e}\]

\[\label{eq:Jpfull} \textbf{J}_p = \mu_h p \nabla E_v -\frac{2}{3} \mu_h p \nabla \bar{W} - \frac{2}{3} \bar{W} \mu_h \nabla p + \mu_p p \bar{W} \frac{\nabla m^*_h}{m^*_h}\]\[\label{eq:Jpfull} \textbf{J}_p = \mu_h p \nabla E_v -\frac{2}{3} \mu_h p \nabla \bar{W} - \frac{2}{3} \bar{W} \mu_h \nabla p + \mu_p p \bar{W} \frac{\nabla m^*_h}{m^*_h}\]

dove \(\bar{W}\) rappresenta l’energia cinetica media dei portatori di carica liberi. Se si assume che l’energia media sia \(3/2kT\), queste espressioni si riducono alle classiche equazioni di deriva-diffusione. Si noti che è necessario utilizzare la forma completa di queste equazioni quando non si applicano le statistiche di Maxwell-Boltzmann.dove \(\bar{W}\) rappresenta l’energia cinetica media dei portatori di carica liberi. Se si assume che l’energia media sia \(3/2kT\), queste espressioni si riducono alle classiche equazioni di deriva-diffusione. Si noti che è necessario utilizzare la forma completa di queste equazioni quando non si applicano le statistiche di Maxwell-Boltzmann.