La relazione di Einstein nella teoria della diffusione-deriva dei semiconduttoriLa relazione di Einstein nella teoria della diffusione-deriva dei semiconduttori

1. Cosa sono le relazioni di Einstein?1. Cosa sono le relazioni di Einstein?

All’interno di un semiconduttore, le cariche vengono trasportate attraverso due meccanismi: la deriva, causata dai gradienti nelle bande di energia, e la diffusione, causata dai gradienti nella densità delle cariche. Le relazioni di Einstein mettono in relazione le corrispondenti mobilità e i coefficienti di diffusione, in modo che i due meccanismi si bilancino correttamente all’equilibrio termico. Le equazioni di deriva-diffusione per gli elettroni e le lacune sono:All’interno di un semiconduttore, le cariche vengono trasportate attraverso due meccanismi: la deriva, causata dai gradienti nelle bande di energia, e la diffusione, causata dai gradienti nella densità delle cariche. Le relazioni di Einstein mettono in relazione le corrispondenti mobilità e i coefficienti di diffusione, in modo che i due meccanismi si bilancino correttamente all’equilibrio termico. Le equazioni di deriva-diffusione per gli elettroni e le lacune sono:

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{J}_n &= \underbrace{\color{red}{\mu_n n\nabla E_c}}_{\text{drift}} + \underbrace{\color{blue}{qD_n\nabla n}}_{\text{diffusion}},\\[5pt] \boldsymbol{J}_p &= \underbrace{\color{red}{\mu_p p\nabla E_v}}_{\text{drift}} - \underbrace{\color{blue}{qD_p\nabla p}}_{\text{diffusion}}. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \boldsymbol{J}_n &= \underbrace{\color{red}{\mu_n n\nabla E_c}}_{\text{drift}} + \underbrace{\color{blue}{qD_n\nabla n}}_{\text{diffusion}},\\[5pt] \boldsymbol{J}_p &= \underbrace{\color{red}{\mu_p p\nabla E_v}}_{\text{drift}} - \underbrace{\color{blue}{qD_p\nabla p}}_{\text{diffusion}}. \end{aligned} \]

In questo contesto, \(\boldsymbol{J}_n\) e \(\boldsymbol{J}_p\) rappresentano le densità di corrente convenzionali degli elettroni e delle lacune, \(q\) è la carica elementare positiva, \(n\) e \(p\) sono le densità dei portatori di carica liberi, \(\mu_n\) e \(\mu_p\) sono le mobilità e \(D_n\) e \(D_p\) sono i coefficienti di diffusione. \(E_c\) e \(E_v\) rappresentano le energie dei bordi della banda di conduzione e della banda di valenza, espresse in joule; pertanto, i loro gradienti sostituiscono il termine esplicito del campo elettrico. Se i bordi delle bande sono memorizzati in volt (energia divisa per \(q\)), il termine di deriva equivalente è \(q\mu_n n\nabla (E_c/q)\), e lo stesso vale per le lacune. Le espressioni qui presentate presuppongono un trasporto isotermico e una struttura di banda localmente fissa; i gradienti di temperatura e le proprietà dei materiali variabili nello spazio richiedono un’attenzione particolare. Per ulteriori informazioni, si veda Elettrostatica, Mobilità dei portatori di carica e Derivazione completa della deriva-diffusione.In questo contesto, \(\boldsymbol{J}_n\) e \(\boldsymbol{J}_p\) rappresentano le densità di corrente convenzionali degli elettroni e delle lacune, \(q\) è la carica elementare positiva, \(n\) e \(p\) sono le densità dei portatori di carica liberi, \(\mu_n\) e \(\mu_p\) sono le mobilità e \(D_n\) e \(D_p\) sono i coefficienti di diffusione. \(E_c\) e \(E_v\) rappresentano le energie dei bordi della banda di conduzione e della banda di valenza, espresse in joule; pertanto, i loro gradienti sostituiscono il termine esplicito del campo elettrico. Se i bordi delle bande sono memorizzati in volt (energia divisa per \(q\)), il termine di deriva equivalente è \(q\mu_n n\nabla (E_c/q)\), e lo stesso vale per le lacune. Le espressioni qui presentate presuppongono un trasporto isotermico e una struttura di banda localmente fissa; i gradienti di temperatura e le proprietà dei materiali variabili nello spazio richiedono un’attenzione particolare. Per ulteriori informazioni, si veda Elettrostatica, Mobilità dei portatori di carica e Derivazione completa della deriva-diffusione.

Ogni equazione contiene due termini. Il termine «deriva» rosso descrive il trasporto causato dalla pendenza della banda di conduzione; il termine «diffusione» blu descrive il trasporto causato dalle differenze di densità. Nella figura ??, gli elettroni si muovono lungo la pendenza della banda di conduzione e si accumulano a destra. La diffusione li spinge indietro verso la regione a densità inferiore. Sebbene gli elettroni si muovano in direzione opposta alla corrente elettronica convenzionale, i contributi alla corrente sono opposti e si annullano all’equilibrio.Ogni equazione contiene due termini. Il termine «deriva» rosso descrive il trasporto causato dalla pendenza della banda di conduzione; il termine «diffusione» blu descrive il trasporto causato dalle differenze di densità. Nella figura ??, gli elettroni si muovono lungo la pendenza della banda di conduzione e si accumulano a destra. La diffusione li spinge indietro verso la regione a densità inferiore. Sebbene gli elettroni si muovano in direzione opposta alla corrente elettronica convenzionale, i contributi alla corrente sono opposti e si annullano all’equilibrio.

In un dispositivo non illuminato, in equilibrio termico, che include una giunzione p–n con un campo interno, le correnti nette di elettroni e di lacune devono essere nulle in ogni punto:In un dispositivo non illuminato, in equilibrio termico, che include una giunzione p–n con un campo interno, le correnti nette di elettroni e di lacune devono essere nulle in ogni punto:

\[ \boldsymbol{J}_{n,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{n,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}, \qquad \boldsymbol{J}_{p,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{p,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}. \] \[ \boldsymbol{J}_{n,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{n,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}, \qquad \boldsymbol{J}_{p,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{p,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}. \]

Se le relazioni di Einstein sono incoerenti con le statistiche dei portatori di carica, non è necessario che la deriva e la diffusione si annullino a vicenda: una simulazione potrebbe quindi prevedere una corrente di fondo errata a tensione applicata nulla, oppure una deviazione nella curva corrente di fondo-tensione, come illustrato nella Figura ??. Questo è particolarmente problematico quando si simulano correnti molto piccole. L’applicazione di una tensione nulla di per sé non implica l’equilibrio se il dispositivo è illuminato o sottoposto a un’altra sollecitazione; l’affermazione relativa alla corrente nulla qui si riferisce al dispositivo in condizioni di oscurità e in equilibrio termico.Se le relazioni di Einstein sono incoerenti con le statistiche dei portatori di carica, non è necessario che la deriva e la diffusione si annullino a vicenda: una simulazione potrebbe quindi prevedere una corrente di fondo errata a tensione applicata nulla, oppure una deviazione nella curva corrente di fondo-tensione, come illustrato nella Figura ??. Questo è particolarmente problematico quando si simulano correnti molto piccole. L’applicazione di una tensione nulla di per sé non implica l’equilibrio se il dispositivo è illuminato o sottoposto a un’altra sollecitazione; l’affermazione relativa alla corrente nulla qui si riferisce al dispositivo in condizioni di oscurità e in equilibrio termico.

Nel caso standard, non degenere (di Boltzmann), le relazioni di Einstein sono semplicemente:Nel caso standard, non degenere (di Boltzmann), le relazioni di Einstein sono semplicemente:

\[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q},\qquad D_p=\mu_p\frac{k_BT}{q}.} \] \[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q},\qquad D_p=\mu_p\frac{k_BT}{q}.} \]

In questa formula, \(k_B\) rappresenta la costante di Boltzmann e \(T\) la temperatura assoluta. Il rapporto \(k_BT/q\) corrisponde alla tensione termica (circa 25,9 mV a 300 K). Pertanto, una maggiore mobilità richiede un coefficiente di diffusione proporzionalmente più elevato; i due parametri non sono scelte indipendenti in un modello di dispositivo coerente. Nelle sezioni seguenti, verrà derivata questa espressione e spiegato come essa cambia nel caso di bande degenerate o non paraboliche.In questa formula, \(k_B\) rappresenta la costante di Boltzmann e \(T\) la temperatura assoluta. Il rapporto \(k_BT/q\) corrisponde alla tensione termica (circa 25,9 mV a 300 K). Pertanto, una maggiore mobilità richiede un coefficiente di diffusione proporzionalmente più elevato; i due parametri non sono scelte indipendenti in un modello di dispositivo coerente. Nelle sezioni seguenti, verrà derivata questa espressione e spiegato come essa cambia nel caso di bande degenerate o non paraboliche.

2. Una semplice derivazione: la relazione classica di Einstein2. Una semplice derivazione: la relazione classica di Einstein

Si considerino gli elettroni in un semiconduttore uniforme, isotermo e non degenere. In condizioni di equilibrio termico, il livello di Fermi degli elettroni \(E_F\) è costante nello spazio e la densità dei portatori segue la distribuzione di Boltzmann. La differenza tra le distribuzioni di Boltzmann e di Fermi-Dirac è discussa in statistica di Fermi-Dirac rispetto alla statistica di Maxwell-Boltzmann:Si considerino gli elettroni in un semiconduttore uniforme, isotermo e non degenere. In condizioni di equilibrio termico, il livello di Fermi degli elettroni \(E_F\) è costante nello spazio e la densità dei portatori segue la distribuzione di Boltzmann. La differenza tra le distribuzioni di Boltzmann e di Fermi-Dirac è discussa in statistica di Fermi-Dirac rispetto alla statistica di Maxwell-Boltzmann:

\[ n=N_c\exp\!\left(\frac{E_F-E_c}{k_BT}\right). \] \[ n=N_c\exp\!\left(\frac{E_F-E_c}{k_BT}\right). \]

In questo caso, \(E_c\) rappresenta il limite inferiore della banda di conduzione e \(N_c\) la densità degli stati effettiva della banda di conduzione. Mantenendo costanti \(N_c\) e \(T\) e considerando il gradiente spaziale, si ottiene:In questo caso, \(E_c\) rappresenta il limite inferiore della banda di conduzione e \(N_c\) la densità degli stati effettiva della banda di conduzione. Mantenendo costanti \(N_c\) e \(T\) e considerando il gradiente spaziale, si ottiene:

\[ \nabla n=-\frac{n}{k_BT}\nabla E_c. \] \[ \nabla n=-\frac{n}{k_BT}\nabla E_c. \]

Sostituendo direttamente questo gradiente di densità nell’equazione della corrente elettronica, utilizzando la notazione del gradiente della banda di conduzione, si ottiene:Sostituendo direttamente questo gradiente di densità nell’equazione della corrente elettronica, utilizzando la notazione del gradiente della banda di conduzione, si ottiene:

\[ \boldsymbol{J}_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n =\mu_n n\nabla E_c-qD_n\frac{n}{k_BT}\nabla E_c =n\nabla E_c\left(\mu_n-\frac{qD_n}{k_BT}\right). \] \[ \boldsymbol{J}_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n =\mu_n n\nabla E_c-qD_n\frac{n}{k_BT}\nabla E_c =n\nabla E_c\left(\mu_n-\frac{qD_n}{k_BT}\right). \]

Poiché la corrente di equilibrio deve essere nulla anche in presenza di un campo elettrico intrinseco, l’espressione tra parentesi deve essere uguale a zero. PertantoPoiché la corrente di equilibrio deve essere nulla anche in presenza di un campo elettrico intrinseco, l’espressione tra parentesi deve essere uguale a zero. Pertanto

\[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q}.} \] \[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q}.} \]

Ripetendo l’argomentazione relativa ai «buchi», si ottiene \(D_p=\mu_p k_BT/q\). Questa è la nota relazione classica di Einstein. Spesso viene derivata utilizzando bande paraboliche, ma l’approssimazione decisiva in questo caso è la statistica di Boltzmann (non degenere) dei portatori di carica: la concentrazione dei portatori è sufficientemente bassa, per cui l’occupazione degli stati disponibili è minima.Ripetendo l’argomentazione relativa ai «buchi», si ottiene \(D_p=\mu_p k_BT/q\). Questa è la nota relazione classica di Einstein. Spesso viene derivata utilizzando bande paraboliche, ma l’approssimazione decisiva in questo caso è la statistica di Boltzmann (non degenere) dei portatori di carica: la concentrazione dei portatori è sufficientemente bassa, per cui l’occupazione degli stati disponibili è minima.

3. La relazione di Einstein generalizzata3. La relazione di Einstein generalizzata

Il risultato semplice non è sempre valido. Nei materiali fortemente drogati o quando il livello di Fermi si avvicina o entra in una banda, i portatori di carica seguono la statistica di Fermi-Dirac anziché l’approssimazione di Boltzmann. In questi casi, la densità dei portatori non è semplicemente una funzione esponenziale del livello di Fermi. La densità degli stati può anche essere non parabolica, disordinata o ottenuta numericamente da un calcolo della struttura a bande. Il calcolo della densità dei portatori è descritto in Densità dei portatori di carica.Il risultato semplice non è sempre valido. Nei materiali fortemente drogati o quando il livello di Fermi si avvicina o entra in una banda, i portatori di carica seguono la statistica di Fermi-Dirac anziché l’approssimazione di Boltzmann. In questi casi, la densità dei portatori non è semplicemente una funzione esponenziale del livello di Fermi. La densità degli stati può anche essere non parabolica, disordinata o ottenuta numericamente da un calcolo della struttura a bande. Il calcolo della densità dei portatori è descritto in Densità dei portatori di carica.

Si supponga che la densità elettronica dipenda dalla differenza di energia \(\xi_n=E_{Fn}-E_c\), mantenendo costante la temperatura e la densità locale degli stati: \(n=n(\xi_n,T)\). Il livello quasi-Fermi degli elettroni \(E_{Fn}\) è costante all’equilibrio. Pertanto, considerando il gradiente spaziale, si ottiene:Si supponga che la densità elettronica dipenda dalla differenza di energia \(\xi_n=E_{Fn}-E_c\), mantenendo costante la temperatura e la densità locale degli stati: \(n=n(\xi_n,T)\). Il livello quasi-Fermi degli elettroni \(E_{Fn}\) è costante all’equilibrio. Pertanto, considerando il gradiente spaziale, si ottiene:

\[ \nabla n =\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T (\nabla E_{Fn}-\nabla E_c) =-\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T\nabla E_c. \] \[ \nabla n =\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T (\nabla E_{Fn}-\nabla E_c) =-\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T\nabla E_c. \]

Sostituendo questo risultato nell’equazione attuale e imponendo che la corrente di equilibrio sia nulla, si ottiene la relazione di Einstein generalizzata:Sostituendo questo risultato nell’equazione attuale e imponendo che la corrente di equilibrio sia nulla, si ottiene la relazione di Einstein generalizzata:

\[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{n}{q\left(\partial n/\partial\xi_n\right)_T} =\frac{1}{q}\left(\frac{\partial\xi_n}{\partial\ln n}\right)_T. } \] \[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{n}{q\left(\partial n/\partial\xi_n\right)_T} =\frac{1}{q}\left(\frac{\partial\xi_n}{\partial\ln n}\right)_T. } \]

Per quanto riguarda i fori, si definisce \(\xi_p=E_v-E_{Fp}\), che aumenta in proporzione al numero di fori presenti. Quindi, la relazione equivalente è:Per quanto riguarda i fori, si definisce \(\xi_p=E_v-E_{Fp}\), che aumenta in proporzione al numero di fori presenti. Quindi, la relazione equivalente è:

\[ \boxed{ \frac{D_p}{\mu_p} =\frac{p}{q\left(\partial p/\partial\xi_p\right)_T}. } \] \[ \boxed{ \frac{D_p}{\mu_p} =\frac{p}{q\left(\partial p/\partial\xi_p\right)_T}. } \]

Queste equazioni hanno un’interpretazione fisica utile: la derivata ci indica quanto facilmente varia la concentrazione delle cariche in funzione della variazione del potenziale chimico. Una grande variazione di concentrazione per una piccola variazione dell’energia di quasi-Fermi implica una derivata elevata e un valore \(D/\mu\) inferiore. Se gli stati si riempiono e la concentrazione reagisce in modo meno marcato, il rapporto aumenta. Pertanto, la relazione di Einstein è una proprietà della statistica delle cariche e della densità degli stati, e non semplicemente un fattore numerico che moltiplica la mobilità.Queste equazioni hanno un’interpretazione fisica utile: la derivata ci indica quanto facilmente varia la concentrazione delle cariche in funzione della variazione del potenziale chimico. Una grande variazione di concentrazione per una piccola variazione dell’energia di quasi-Fermi implica una derivata elevata e un valore \(D/\mu\) inferiore. Se gli stati si riempiono e la concentrazione reagisce in modo meno marcato, il rapporto aumenta. Pertanto, la relazione di Einstein è una proprietà della statistica delle cariche e della densità degli stati, e non semplicemente un fattore numerico che moltiplica la mobilità.

Per una densità di stati arbitraria nella banda di conduzione \(g_c(E)\), la densità elettronica può essere calcolata come segue:Per una densità di stati arbitraria nella banda di conduzione \(g_c(E)\), la densità elettronica può essere calcolata come segue:

\[ n=\int_{E_c}^{\infty}g_c(E) \frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}\,dE. \] \[ n=\int_{E_c}^{\infty}g_c(E) \frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}\,dE. \]

A parità di struttura a bande e di temperatura, la sua derivata può essere calcolata a partire dagli stessi stati:A parità di struttura a bande e di temperatura, la sua derivata può essere calcolata a partire dagli stessi stati:

\[ \left.\frac{\partial n}{\partial E_{Fn}}\right|_T =\frac{1}{k_BT}\int_{E_c}^{\infty}g_c(E)f(E)[1-f(E)]\,dE, \qquad f(E)=\frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}. \] \[ \left.\frac{\partial n}{\partial E_{Fn}}\right|_T =\frac{1}{k_BT}\int_{E_c}^{\infty}g_c(E)f(E)[1-f(E)]\,dE, \qquad f(E)=\frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}. \]

Poiché \(\partial\xi_n/\partial E_{Fn}=1\) è costante a \(E_c\), questa derivata può essere utilizzata direttamente nella relazione di Einstein generalizzata. Questo approccio funziona anche con una densità di stati numerica non parabolica. Per le lacune, utilizzare la corrispondente densità di stati della banda di valenza e l’occupazione delle lacune \(1-f\), calcolando la derivata rispetto a \(E_v-E_{Fp}\).Poiché \(\partial\xi_n/\partial E_{Fn}=1\) è costante a \(E_c\), questa derivata può essere utilizzata direttamente nella relazione di Einstein generalizzata. Questo approccio funziona anche con una densità di stati numerica non parabolica. Per le lacune, utilizzare la corrispondente densità di stati della banda di valenza e l’occupazione delle lacune \(1-f\), calcolando la derivata rispetto a \(E_v-E_{Fp}\).

4. Bande paraboliche: ripristino del risultato classico4. Bande paraboliche: ripristino del risultato classico

Per una banda parabolica tridimensionale, la densità elettronica può essere espressa tramite un integrale di Fermi-Dirac:Per una banda parabolica tridimensionale, la densità elettronica può essere espressa tramite un integrale di Fermi-Dirac:

\[ n=N_c F_{1/2}(\eta_n), \qquad \eta_n=\frac{E_{Fn}-E_c}{k_BT}. \] \[ n=N_c F_{1/2}(\eta_n), \qquad \eta_n=\frac{E_{Fn}-E_c}{k_BT}. \]

Utilizziamo la definizione normalizzata \(F_j(\eta)=\Gamma(j+1)^{-1} \int_0^\infty x^j/[1+\exp(x-\eta)]\,dx\). Utilizzando \(dF_{1/2}/d\eta=F_{-1/2}\), la relazione di Einstein generalizzata diventa:Utilizziamo la definizione normalizzata \(F_j(\eta)=\Gamma(j+1)^{-1} \int_0^\infty x^j/[1+\exp(x-\eta)]\,dx\). Utilizzando \(dF_{1/2}/d\eta=F_{-1/2}\), la relazione di Einstein generalizzata diventa:

\[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{k_BT}{q} \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. } \] \[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{k_BT}{q} \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. } \]

Un’equazione analoga vale per le lacune con \(\eta_p=(E_v-E_{Fp})/(k_BT)\). Questo risultato è valido per una banda parabolica tridimensionale anche quando è degenere. Il rapporto tra gli integrali di Fermi-Dirac tiene conto dell’effetto del riempimento degli stati.Un’equazione analoga vale per le lacune con \(\eta_p=(E_v-E_{Fp})/(k_BT)\). Questo risultato è valido per una banda parabolica tridimensionale anche quando è degenere. Il rapporto tra gli integrali di Fermi-Dirac tiene conto dell’effetto del riempimento degli stati.

Nel limite non degenere, in cui \(\eta_n\ll-1\), entrambe le integrali di Fermi-Dirac convergono a \(\exp(\eta_n)\). Di conseguenza,Nel limite non degenere, in cui \(\eta_n\ll-1\), entrambe le integrali di Fermi-Dirac convergono a \(\exp(\eta_n)\). Di conseguenza,

\[ \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}\longrightarrow 1, \qquad \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}\longrightarrow\frac{k_BT}{q}.} \] \[ \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}\longrightarrow 1, \qquad \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}\longrightarrow\frac{k_BT}{q}.} \]

Questo dimostra con precisione l’origine dell’espressione che conosciamo. Una singola banda parabolica non è sufficiente: per ottenere \(D/\mu=k_BT/q\), anche i portatori di carica devono essere non degenerati. In una banda parabolica degenere è necessaria la correzione di Fermi-Dirac; per una banda non parabolica generica, l’espressione che deriva dalla densità è solitamente il punto di partenza più utile.Questo dimostra con precisione l’origine dell’espressione che conosciamo. Una singola banda parabolica non è sufficiente: per ottenere \(D/\mu=k_BT/q\), anche i portatori di carica devono essere non degenerati. In una banda parabolica degenere è necessaria la correzione di Fermi-Dirac; per una banda non parabolica generica, l’espressione che deriva dalla densità è solitamente il punto di partenza più utile.

5. Pressione del vettore: un altro modo per comprendere la diffusione.5. Pressione del vettore: un altro modo per comprendere la diffusione.

Esiste un altro metodo utile per capire da dove deriva il termine di diffusione. Nell’equazione dell’equilibrio della quantità di moto, derivata dall’equazione di trasporto di Boltzmann, le cariche esercitano una pressione perché presentano una distribuzione di velocità e quantità di moto. Un gradiente in questa pressione delle cariche genera una forza che spinge le cariche dalle regioni a pressione più alta verso le regioni a pressione più bassa. Questa è l’origine microscopica della diffusione. Per il collegamento con l’equilibrio della quantità di moto, consultare la sezione Derivazione dell’equazione di trasporto di Boltzmann.Esiste un altro metodo utile per capire da dove deriva il termine di diffusione. Nell’equazione dell’equilibrio della quantità di moto, derivata dall’equazione di trasporto di Boltzmann, le cariche esercitano una pressione perché presentano una distribuzione di velocità e quantità di moto. Un gradiente in questa pressione delle cariche genera una forza che spinge le cariche dalle regioni a pressione più alta verso le regioni a pressione più bassa. Questa è l’origine microscopica della diffusione. Per il collegamento con l’equilibrio della quantità di moto, consultare la sezione Derivazione dell’equazione di trasporto di Boltzmann.

Per una banda di conduzione parabolica isotropa tridimensionale, definiamo la pressione degli elettroni \(P_n\) come segue:Per una banda di conduzione parabolica isotropa tridimensionale, definiamo la pressione degli elettroni \(P_n\) come segue:

\[ P_n=\frac{2}{3}\int_{E_c}^{\infty}(E-E_c)g_c(E)f(E)\,dE. \] \[ P_n=\frac{2}{3}\int_{E_c}^{\infty}(E-E_c)g_c(E)f(E)\,dE. \]

In questo caso, \(g_c(E)\) rappresenta la densità degli stati nella banda di conduzione e \(f(E)\) la probabilità di occupazione. Il fattore \(2/3\) deriva dalla dispersione parabolica in tre dimensioni. Nel limite classico, non degenere, questo si riduce alla nota espressione del gas ideale.In questo caso, \(g_c(E)\) rappresenta la densità degli stati nella banda di conduzione e \(f(E)\) la probabilità di occupazione. Il fattore \(2/3\) deriva dalla dispersione parabolica in tre dimensioni. Nel limite classico, non degenere, questo si riduce alla nota espressione del gas ideale.

\[ P_n=nk_BT. \] \[ P_n=nk_BT. \]

Nel caso di un materiale uniforme e isotermo, la corrente elettronica può quindi essere espressa utilizzando un gradiente di pressione anziché un gradiente di densità:Nel caso di un materiale uniforme e isotermo, la corrente elettronica può quindi essere espressa utilizzando un gradiente di pressione anziché un gradiente di densità:

\[ \boldsymbol{J}_n=\mu_n n\nabla E_c+\mu_n\nabla P_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n. \] \[ \boldsymbol{J}_n=\mu_n n\nabla E_c+\mu_n\nabla P_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n. \]

Confrontando i due termini di diffusione, si evince che la grandezza rilevante è la velocità con cui la pressione varia in funzione della densità dei portatori, e non semplicemente il rapporto tra pressione e densità:Confrontando i due termini di diffusione, si evince che la grandezza rilevante è la velocità con cui la pressione varia in funzione della densità dei portatori, e non semplicemente il rapporto tra pressione e densità:

\[ \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{1}{q}\left(\frac{\partial P_n}{\partial n}\right)_T.} \] \[ \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{1}{q}\left(\frac{\partial P_n}{\partial n}\right)_T.} \]

Poiché \(P_n=nk_BT\) nel limite di Boltzmann, \(\partial P_n/\partial n=k_BT\), la relazione classica di Einstein ne consegue immediatamente. Quando il gas di elettroni diventa degenere, la pressione non aumenta più in modo lineare con la densità. Per una banda parabolica tridimensionale, utilizzando le stesse integrali di Fermi-Dirac normalizzate indicate in precedenza, si ottiene:Poiché \(P_n=nk_BT\) nel limite di Boltzmann, \(\partial P_n/\partial n=k_BT\), la relazione classica di Einstein ne consegue immediatamente. Quando il gas di elettroni diventa degenere, la pressione non aumenta più in modo lineare con la densità. Per una banda parabolica tridimensionale, utilizzando le stesse integrali di Fermi-Dirac normalizzate indicate in precedenza, si ottiene:

\[ P_n=N_c k_BT F_{3/2}(\eta_n),\qquad \frac{\partial P_n}{\partial n} =k_BT\frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. \] \[ P_n=N_c k_BT F_{3/2}(\eta_n),\qquad \frac{\partial P_n}{\partial n} =k_BT\frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. \]

In questo modo si ottiene esattamente la relazione di Einstein generalizzata derivata nella Sezione 4. È importante non confondere \(P_n/n=k_BT F_{3/2}(\eta_n)/F_{1/2}(\eta_n)\) con \(\partial P_n/\partial n\): sono uguali solo nel limite classico. Per le bande non paraboliche, la pressione richiede un approccio più generale che tenga conto della velocità e della struttura delle bande; la derivata della densità di portatori nella Sezione 3 è solitamente un metodo più pratico per calcolare la relazione di Einstein all’interno di un modello coerente di deriva-diffusione.In questo modo si ottiene esattamente la relazione di Einstein generalizzata derivata nella Sezione 4. È importante non confondere \(P_n/n=k_BT F_{3/2}(\eta_n)/F_{1/2}(\eta_n)\) con \(\partial P_n/\partial n\): sono uguali solo nel limite classico. Per le bande non paraboliche, la pressione richiede un approccio più generale che tenga conto della velocità e della struttura delle bande; la derivata della densità di portatori nella Sezione 3 è solitamente un metodo più pratico per calcolare la relazione di Einstein all’interno di un modello coerente di deriva-diffusione.

6. Precision numerica: come evitare valori di corrente di equilibrio errati.6. Precision numerica: come evitare valori di corrente di equilibrio errati.

In un simulatore basato sul modello di deriva-diffusione, la relazione generalizzata di Einstein è semplice da esprimere, ma può essere difficile da valutare con precisione. La sfida principale consiste nel calcolo della derivata della densità dei portatori rispetto all’energia di quasi-Fermi. Un’approssimazione comune consiste nell’utilizzare il metodo delle differenze finite:In un simulatore basato sul modello di deriva-diffusione, la relazione generalizzata di Einstein è semplice da esprimere, ma può essere difficile da valutare con precisione. La sfida principale consiste nel calcolo della derivata della densità dei portatori rispetto all’energia di quasi-Fermi. Un’approssimazione comune consiste nell’utilizzare il metodo delle differenze finite:

\[ \frac{\partial n}{\partial E_{Fn}} \approx\frac{n(E_{Fn}+\Delta E)-n(E_{Fn}-\Delta E)}{2\Delta E}. \] \[ \frac{\partial n}{\partial E_{Fn}} \approx\frac{n(E_{Fn}+\Delta E)-n(E_{Fn}-\Delta E)}{2\Delta E}. \]

Se \(\Delta E\) è troppo grande, la derivata risulta imprecisa a causa dell’errore di troncamento. Se è troppo piccola, vengono sottratte due densità di portanti quasi uguali, il che può amplificare l’errore di arrotondamento in virgola mobile o il rumore numerico nei calcoli della struttura a bande e della densità degli stati. L’errore risultante viene quindi amplificato durante la formazione di \(D/\mu=n/[q(\partial n/\partial E_{Fn})]\), in particolare quando la derivata è piccola.Se \(\Delta E\) è troppo grande, la derivata risulta imprecisa a causa dell’errore di troncamento. Se è troppo piccola, vengono sottratte due densità di portanti quasi uguali, il che può amplificare l’errore di arrotondamento in virgola mobile o il rumore numerico nei calcoli della struttura a bande e della densità degli stati. L’errore risultante viene quindi amplificato durante la formazione di \(D/\mu=n/[q(\partial n/\partial E_{Fn})]\), in particolare quando la derivata è piccola.

Anche un piccolo errore relativo può avere un impatto significativo, perché, in condizioni di equilibrio, le correnti di deriva e di diffusione possono essere entrambe consistenti, mentre la loro somma dovrebbe essere esattamente zero. Una piccola discrepanza può lasciare una corrente residua errata. Questo può essere particolarmente evidente nelle simulazioni che coinvolgono bande non paraboliche, densità di stati numeriche, basse densità di portatori o eterostrutture con variazioni marcate.Anche un piccolo errore relativo può avere un impatto significativo, perché, in condizioni di equilibrio, le correnti di deriva e di diffusione possono essere entrambe consistenti, mentre la loro somma dovrebbe essere esattamente zero. Una piccola discrepanza può lasciare una corrente residua errata. Questo può essere particolarmente evidente nelle simulazioni che coinvolgono bande non paraboliche, densità di stati numeriche, basse densità di portatori o eterostrutture con variazioni marcate.

Ove possibile, è preferibile definire analiticamente la funzione di occupazione all’interno dell’integrale della densità degli stati, come descritto nella Sezione 3, piuttosto che utilizzare un metodo alle differenze finite applicato a due densità calcolate separatamente. Per concentrazioni di portatori molto basse, utilizzare, quando appropriato, un’espressione stabile che si approssimi al limite di Boltzmann. È inoltre importante utilizzare metodi di integrazione numerica coerenti, statistiche dei portatori, convenzioni per i bordi delle bande e una discretizzazione coerente per la deriva e la diffusione.Ove possibile, è preferibile definire analiticamente la funzione di occupazione all’interno dell’integrale della densità degli stati, come descritto nella Sezione 3, piuttosto che utilizzare un metodo alle differenze finite applicato a due densità calcolate separatamente. Per concentrazioni di portatori molto basse, utilizzare, quando appropriato, un’espressione stabile che si approssimi al limite di Boltzmann. È inoltre importante utilizzare metodi di integrazione numerica coerenti, statistiche dei portatori, convenzioni per i bordi delle bande e una discretizzazione coerente per la deriva e la diffusione.

Infine, è necessaria una relazione di Einstein corretta, ma da sola non è sufficiente per eliminare le correnti parassite: la discretizzazione spaziale deve preservare anche l’equilibrio. In particolare, le discretizzazioni del flusso dovrebbero rispettare livelli di Fermi di equilibrio costanti; uno schema che preserva l’equilibrio, come quello di Scharfetter–Gummel, è comunemente utilizzato per la simulazione classica del trasporto per deriva e diffusione. Un controllo pratico del simulatore consiste nell’eseguire un calcolo di equilibrio in condizioni di assenza di luce e di polarizzazione nulla e verificare che le correnti di elettroni e lacune si annullino in tutto il dispositivo, entro la tolleranza numerica richiesta, comprese le interfacce tra i materiali. Per il trattamento delle giunzioni e degli spostamenti di banda, consultare Interfaces e The built-in potential.Infine, è necessaria una relazione di Einstein corretta, ma da sola non è sufficiente per eliminare le correnti parassite: la discretizzazione spaziale deve preservare anche l’equilibrio. In particolare, le discretizzazioni del flusso dovrebbero rispettare livelli di Fermi di equilibrio costanti; uno schema che preserva l’equilibrio, come quello di Scharfetter–Gummel, è comunemente utilizzato per la simulazione classica del trasporto per deriva e diffusione. Un controllo pratico del simulatore consiste nell’eseguire un calcolo di equilibrio in condizioni di assenza di luce e di polarizzazione nulla e verificare che le correnti di elettroni e lacune si annullino in tutto il dispositivo, entro la tolleranza numerica richiesta, comprese le interfacce tra i materiali. Per il trattamento delle giunzioni e degli spostamenti di banda, consultare Interfaces e The built-in potential.

La lezione fondamentale è semplice: la relazione di Einstein è ciò che rende coerenti dal punto di vista termodinamico le descrizioni del trasporto per deriva e diffusione. La sua forma classica, ampiamente nota, è facile da utilizzare, ma statistiche più generali sui portatori di carica richiedono una relazione altrettanto generale e numericamente precisa. Un quadro più ampio per la descrizione dei fenomeni di trasporto è sviluppato in Derivazione da Boltzmann alla descrizione del trasporto per deriva e diffusione.La lezione fondamentale è semplice: la relazione di Einstein è ciò che rende coerenti dal punto di vista termodinamico le descrizioni del trasporto per deriva e diffusione. La sua forma classica, ampiamente nota, è facile da utilizzare, ma statistiche più generali sui portatori di carica richiedono una relazione altrettanto generale e numericamente precisa. Un quadro più ampio per la descrizione dei fenomeni di trasporto è sviluppato in Derivazione da Boltzmann alla descrizione del trasporto per deriva e diffusione.