L’equazione di Poisson e l’elettrostatica nei modelli di trasporto-diffusioneL’equazione di Poisson e l’elettrostatica nei modelli di trasporto-diffusione

L’elettrostatica è un elemento fondamentale nella modellazione basata sulla diffusione e sulla deriva, in quanto determina come il potenziale elettrico, la densità di carica e i livelli di energia variano all’interno di un dispositivo. Il potenziale elettrostatico controlla la curvatura delle bande energetiche, la distribuzione dei portatori di carica e, in ultima analisi, i processi di ricombinazione e di trasporto.L’elettrostatica è un elemento fondamentale nella modellazione basata sulla diffusione e sulla deriva, in quanto determina come il potenziale elettrico, la densità di carica e i livelli di energia variano all’interno di un dispositivo. Il potenziale elettrostatico controlla la curvatura delle bande energetiche, la distribuzione dei portatori di carica e, in ultima analisi, i processi di ricombinazione e di trasporto.

1. Definizione1. Definizione

Il diagramma delle bande energetiche mostrato in ?? illustra come i bordi delle bande di conduzione e di valenza variano all’interno di un dispositivo. La linea rossa corrisponde al bordo della banda di conduzione \(E_C\), mentre la linea blu corrisponde al bordo della banda di valenza \(E_V\). La distanza tra le due linee definisce il divario di banda \(E_g\).Il diagramma delle bande energetiche mostrato in ?? illustra come i bordi delle bande di conduzione e di valenza variano all’interno di un dispositivo. La linea rossa corrisponde al bordo della banda di conduzione \(E_C\), mentre la linea blu corrisponde al bordo della banda di valenza \(E_V\). La distanza tra le due linee definisce il divario di banda \(E_g\).

Per definire la scala assoluta dell’energia, introduciamo l’affinità elettronica \(\chi\), che stabilisce la differenza di energia tra il livello del vuoto e il bordo della banda di conduzione in assenza di un potenziale elettrostatico. Questo fornisce un riferimento specifico per il materiale in questione, utile per analizzare la struttura delle bande.Per definire la scala assoluta dell’energia, introduciamo l’affinità elettronica \(\chi\), che stabilisce la differenza di energia tra il livello del vuoto e il bordo della banda di conduzione in assenza di un potenziale elettrostatico. Questo fornisce un riferimento specifico per il materiale in questione, utile per analizzare la struttura delle bande.

In presenza di un potenziale elettrostatico \(\phi(x)\) (causato da una carica), il limite inferiore della banda di conduzione si sposta in base all’energia elettrostatica \(-q\phi(x)\), in modo cheIn presenza di un potenziale elettrostatico \(\phi(x)\) (causato da una carica), il limite inferiore della banda di conduzione si sposta in base all’energia elettrostatica \(-q\phi(x)\), in modo che

\[E_{\mathrm{C}}(x) = -\chi - q\phi(x)\]\[E_{\mathrm{C}}(x) = -\chi - q\phi(x)\]

Il limite superiore della banda di valenza si ottiene quindi sottraendo il divario di banda \(E_g\).Il limite superiore della banda di valenza si ottiene quindi sottraendo il divario di banda \(E_g\).

\[E_{\mathrm{V}}(x) = -\chi - E_g - q\phi(x)\]\[E_{\mathrm{V}}(x) = -\chi - E_g - q\phi(x)\]

La variazione spaziale di \(E_C(x)\) e \(E_V(x)\), illustrata in ??, deriva dalla dipendenza della posizione del potenziale elettrostatico \(\phi(x)\) (in assenza di eterogiunzioni). Questo potenziale viene ottenuto in modo autoconsistente risolvendo l’equazione di Poisson sull’intero dispositivo e determina direttamente la curvatura delle bande, che regola il trasporto e la ricombinazione dei portatori di carica.La variazione spaziale di \(E_C(x)\) e \(E_V(x)\), illustrata in ??, deriva dalla dipendenza della posizione del potenziale elettrostatico \(\phi(x)\) (in assenza di eterogiunzioni). Questo potenziale viene ottenuto in modo autoconsistente risolvendo l’equazione di Poisson sull’intero dispositivo e determina direttamente la curvatura delle bande, che regola il trasporto e la ricombinazione dei portatori di carica.

2. Calcolo del potenziale elettrostatico a partire dalla carica.2. Calcolo del potenziale elettrostatico a partire dalla carica.

Nella fisica dei dispositivi a semiconduttore, il potenziale elettrostatico viene calcolato a partire dall’equazione di Poisson, che mette in relazione la divergenza del campo elettrico con la densità di carica locale:Nella fisica dei dispositivi a semiconduttore, il potenziale elettrostatico viene calcolato a partire dall’equazione di Poisson, che mette in relazione la divergenza del campo elettrico con la densità di carica locale:

\[ \nabla \cdot \bigl( \epsilon_0 \epsilon_r \nabla \phi \bigr) = -q \left( n_f + n_t - p_f - p_t - N_{ad} + N_{ion} + a \right), \] \[ \nabla \cdot \bigl( \epsilon_0 \epsilon_r \nabla \phi \bigr) = -q \left( n_f + n_t - p_f - p_t - N_{ad} + N_{ion} + a \right), \]

dove \(n_f\) e \(p_f\) rappresentano rispettivamente la densità degli elettroni liberi e delle lacune, mentre \(n_t\) e \(p_t\) indicano le corrispondenti densità dei portatori intrappolati. Il termine \(N_{ad}\) rappresenta la densità degli atomi droganti ionizzati, \(N_{ion}\) tiene conto della carica ionica di fondo (ad esempio, ioni fissi negli strati di perovskite) e \(a\) indica gli ioni mobili che possono muoversi in risposta al campo locale. Le permittività \(\epsilon_0\) e \(\epsilon_r\) definiscono l’intensità della risposta elettrostatica.dove \(n_f\) e \(p_f\) rappresentano rispettivamente la densità degli elettroni liberi e delle lacune, mentre \(n_t\) e \(p_t\) indicano le corrispondenti densità dei portatori intrappolati. Il termine \(N_{ad}\) rappresenta la densità degli atomi droganti ionizzati, \(N_{ion}\) tiene conto della carica ionica di fondo (ad esempio, ioni fissi negli strati di perovskite) e \(a\) indica gli ioni mobili che possono muoversi in risposta al campo locale. Le permittività \(\epsilon_0\) e \(\epsilon_r\) definiscono l’intensità della risposta elettrostatica.

Questa formulazione tiene conto di tutti i fattori rilevanti che contribuiscono alla carica spaziale: portatori liberi e intrappolati, drogaggio intenzionale e sia specie ioniche statiche che mobili. È particolarmente importante per i materiali ibridi, come i materiali organici e le perovskiti alogenate, in cui il movimento ionico e gli stati di intrappolamento influenzano notevolmente il potenziale elettrostatico e danno origine a fenomeni quali l’isteresi e le variazioni lente nel tempo.Questa formulazione tiene conto di tutti i fattori rilevanti che contribuiscono alla carica spaziale: portatori liberi e intrappolati, drogaggio intenzionale e sia specie ioniche statiche che mobili. È particolarmente importante per i materiali ibridi, come i materiali organici e le perovskiti alogenate, in cui il movimento ionico e gli stati di intrappolamento influenzano notevolmente il potenziale elettrostatico e danno origine a fenomeni quali l’isteresi e le variazioni lente nel tempo.