Equazioni di deriva-diffusione per il trasporto di carica nei semiconduttoriEquazioni di deriva-diffusione per il trasporto di carica nei semiconduttori

2. Trasporto delle cariche elettriche2. Trasporto delle cariche elettriche

Le equazioni di deriva-diffusione descrivono il trasporto di carica nei semiconduttori combinando la deriva sotto l’effetto di campi elettrici con la diffusione causata dai gradienti di concentrazione delle cariche. Queste equazioni definiscono le densità di corrente degli elettroni e delle lacune e, insieme alle equazioni di continuità, costituiscono la base per la modellazione dei dispositivi a semiconduttore. Una derivazione dettagliata, basata sui principi fondamentali, a partire dall’equazione di Boltzmann per il trasporto, è presentata in Teoria della deriva-diffusione: dall’equazione di Boltzmann per il trasporto all’equazione del bilancio energetico.Le equazioni di deriva-diffusione descrivono il trasporto di carica nei semiconduttori combinando la deriva sotto l’effetto di campi elettrici con la diffusione causata dai gradienti di concentrazione delle cariche. Queste equazioni definiscono le densità di corrente degli elettroni e delle lacune e, insieme alle equazioni di continuità, costituiscono la base per la modellazione dei dispositivi a semiconduttore. Una derivazione dettagliata, basata sui principi fondamentali, a partire dall’equazione di Boltzmann per il trasporto, è presentata in Teoria della deriva-diffusione: dall’equazione di Boltzmann per il trasporto all’equazione del bilancio energetico.

Nel caso degli elettroni, la densità di corrente è data dalla seguente formula:Nel caso degli elettroni, la densità di corrente è data dalla seguente formula:

\[ \boldsymbol{J_n} = q \mu_e n_f \nabla E_c + q D_n \nabla n_f + q \mu_e n_f \frac{\nabla T}{T}, \] \[ \boldsymbol{J_n} = q \mu_e n_f \nabla E_c + q D_n \nabla n_f + q \mu_e n_f \frac{\nabla T}{T}, \]

e per i fori:e per i fori:

\[ \boldsymbol{J_p} = q \mu_h p_f \nabla E_v - q D_p \nabla p_f - q \mu_h p_f \frac{\nabla T}{T}. \] \[ \boldsymbol{J_p} = q \mu_h p_f \nabla E_v - q D_p \nabla p_f - q \mu_h p_f \frac{\nabla T}{T}. \]

In questo caso, \(q\) rappresenta la carica elementare, \(n_f\) e \(p_f\) sono le densità degli elettroni liberi e delle lacune, \(\mu_e\) e \(\mu_h\) sono le mobilità dei portatori di carica e \(D_n\) e \(D_p\) sono i coefficienti di diffusione. Le quantità \(E_c\) e \(E_v\) indicano le energie locali dei bordi delle bande di conduzione e di valenza. Esprimere la corrente in termini di gradienti dei bordi delle bande anziché del campo elettrico garantisce che le eterogiunzioni e le differenze di potenziale tra i materiali vengano trattate correttamente; per maggiori dettagli, consultare la sezione 5 di derivazione del modello di deriva-diffusione.In questo caso, \(q\) rappresenta la carica elementare, \(n_f\) e \(p_f\) sono le densità degli elettroni liberi e delle lacune, \(\mu_e\) e \(\mu_h\) sono le mobilità dei portatori di carica e \(D_n\) e \(D_p\) sono i coefficienti di diffusione. Le quantità \(E_c\) e \(E_v\) indicano le energie locali dei bordi delle bande di conduzione e di valenza. Esprimere la corrente in termini di gradienti dei bordi delle bande anziché del campo elettrico garantisce che le eterogiunzioni e le differenze di potenziale tra i materiali vengano trattate correttamente; per maggiori dettagli, consultare la sezione 5 di derivazione del modello di deriva-diffusione.

L’ultimo termine in ciascuna espressione rappresenta la forza termica (termodiffusione), che si manifesta naturalmente quando l’equilibrio della quantità di moto viene ridotto in modo coerente. Questo termine viene spesso omesso nei modelli semplificati, ma diventa importante nei dispositivi caratterizzati da forti gradienti di temperatura o riscaldamento dei portatori di carica. La sua origine è discussa nella sezione estensione sul trasporto di energia.L’ultimo termine in ciascuna espressione rappresenta la forza termica (termodiffusione), che si manifesta naturalmente quando l’equilibrio della quantità di moto viene ridotto in modo coerente. Questo termine viene spesso omesso nei modelli semplificati, ma diventa importante nei dispositivi caratterizzati da forti gradienti di temperatura o riscaldamento dei portatori di carica. La sua origine è discussa nella sezione estensione sul trasporto di energia.

La conservazione della carica è garantita dalle equazioni di continuità per i portatori di carica. Per gli elettroni:La conservazione della carica è garantita dalle equazioni di continuità per i portatori di carica. Per gli elettroni:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_n} = q \left( R - G + \frac{\partial n}{\partial t} \right), \] \[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_n} = q \left( R - G + \frac{\partial n}{\partial t} \right), \]

e per i fori:e per i fori:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_p} = - q \left( R - G + \frac{\partial p}{\partial t} \right). \] \[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_p} = - q \left( R - G + \frac{\partial p}{\partial t} \right). \]

Queste equazioni di continuità si ottengono calcolando il momento di ordine zero dell’equazione di trasporto di Boltzmann, come illustrato esplicitamente in sezione 4 della dimostrazione. I termini \(R\) e \(G\) rappresentano rispettivamente la ricombinazione e la generazione, mentre le derivate temporali descrivono l’accumulo e la dissipazione transitoria della carica.Queste equazioni di continuità si ottengono calcolando il momento di ordine zero dell’equazione di trasporto di Boltzmann, come illustrato esplicitamente in sezione 4 della dimostrazione. I termini \(R\) e \(G\) rappresentano rispettivamente la ricombinazione e la generazione, mentre le derivate temporali descrivono l’accumulo e la dissipazione transitoria della carica.

Considerate nel loro insieme, le relazioni tra corrente di deriva e diffusione e le equazioni di continuità costituiscono il nucleo della modellizzazione dei dispositivi a semiconduttore. All’interno di OghmaNano, queste equazioni possono essere risolte in modo autoconsistente insieme all’equazione di Poisson in 1D, 2D o in 3D, e possono essere estese per includere il trasporto di energia (effetti dei portatori caldi) e la dinamica dei livelli di energia non all’equilibrio, quando necessario.Considerate nel loro insieme, le relazioni tra corrente di deriva e diffusione e le equazioni di continuità costituiscono il nucleo della modellizzazione dei dispositivi a semiconduttore. All’interno di OghmaNano, queste equazioni possono essere risolte in modo autoconsistente insieme all’equazione di Poisson in 1D, 2D o in 3D, e possono essere estese per includere il trasporto di energia (effetti dei portatori caldi) e la dinamica dei livelli di energia non all’equilibrio, quando necessario.