Derivazione delle equazioni di trasporto-diffusione dall’equazione di Boltzmann.Derivazione delle equazioni di trasporto-diffusione dall’equazione di Boltzmann.

Questa pagina presenta una derivazione, basata su principi fondamentali, delle equazioni di deriva-diffusione utilizzate nella simulazione di dispositivi a semiconduttore, partendo dall’equazione di Boltzmann per il trasporto, con l’approssimazione del tempo di rilassamento. Calcolando successivamente i momenti dell’equazione di Boltzmann, dimostriamo come le equazioni di continuità per elettroni e lacune, le relazioni di corrente di deriva-diffusione e le equazioni di trasporto dell’energia (per i portatori caldi) derivino in un unico quadro coerente. Particolare attenzione è dedicata alle eterogiunzioni, alla sollecitazione al bordo della banda, agli effetti sulla densità degli stati e al trasporto termico, ottenendo le equazioni pronte per essere implementate nel risolutore di OghmaNano.Questa pagina presenta una derivazione, basata su principi fondamentali, delle equazioni di deriva-diffusione utilizzate nella simulazione di dispositivi a semiconduttore, partendo dall’equazione di Boltzmann per il trasporto, con l’approssimazione del tempo di rilassamento. Calcolando successivamente i momenti dell’equazione di Boltzmann, dimostriamo come le equazioni di continuità per elettroni e lacune, le relazioni di corrente di deriva-diffusione e le equazioni di trasporto dell’energia (per i portatori caldi) derivino in un unico quadro coerente. Particolare attenzione è dedicata alle eterogiunzioni, alla sollecitazione al bordo della banda, agli effetti sulla densità degli stati e al trasporto termico, ottenendo le equazioni pronte per essere implementate nel risolutore di OghmaNano.

1. Introduzione1. Introduzione

Il motore elettrico di OghmaNano è un modello di trasporto-diffusione 1D/2D/3D, caratterizzato dalla capacità di gestire stati di trappola dinamici (non in equilibrio). Invece di presupporre che le trappole raggiungano istantaneamente l’equilibrio con i portatori di carica liberi, OghmaNano può simulare esplicitamente l’evoluzione dell’occupazione delle trappole sia in termini di energia che di posizione, il che è fondamentale per modellare correttamente i semiconduttori disordinati e le misurazioni transitorie (ad esempio, ToF, CELIV), nonché il funzionamento in condizioni stabili.Il motore elettrico di OghmaNano è un modello di trasporto-diffusione 1D/2D/3D, caratterizzato dalla capacità di gestire stati di trappola dinamici (non in equilibrio). Invece di presupporre che le trappole raggiungano istantaneamente l’equilibrio con i portatori di carica liberi, OghmaNano può simulare esplicitamente l’evoluzione dell’occupazione delle trappole sia in termini di energia che di posizione, il che è fondamentale per modellare correttamente i semiconduttori disordinati e le misurazioni transitorie (ad esempio, ToF, CELIV), nonché il funzionamento in condizioni stabili.

Esistono diversi approcci validi per descrivere il fenomeno della deriva-diffusione. Ad esempio, è possibile ricavarlo dall’equazione di Boltzmann per il trasporto di carica tramite espansioni di momenti e approssimazioni controllate, oppure dalla termodinamica irreversibile (argomentazioni di Onsager/produzione di entropia), o ancora da un punto di vista basato su processi casuali/equazione di Fokker-Planck, che collega il salto microscopico alla deriva e alla diffusione macroscopiche. Questi approcci producono spesso equazioni che, a prima vista, sembrano simili, ma non sono altrettanto affidabili quando si passa a casi più complessi rispetto al semplice caso del «semiconduttore omogeneo».Esistono diversi approcci validi per descrivere il fenomeno della deriva-diffusione. Ad esempio, è possibile ricavarlo dall’equazione di Boltzmann per il trasporto di carica tramite espansioni di momenti e approssimazioni controllate, oppure dalla termodinamica irreversibile (argomentazioni di Onsager/produzione di entropia), o ancora da un punto di vista basato su processi casuali/equazione di Fokker-Planck, che collega il salto microscopico alla deriva e alla diffusione macroscopiche. Questi approcci producono spesso equazioni che, a prima vista, sembrano simili, ma non sono altrettanto affidabili quando si passa a casi più complessi rispetto al semplice caso del «semiconduttore omogeneo».

In particolare, una volta introdotti eterogiunzioni, densità di stati efficace che varia nello spazio, massa efficace dipendente dalla posizione, gradienti ai bordi delle bande o statistiche non banali, non è più possibile aggiungere semplicemente termini aggiuntivi a un modello di corrente basato sulla deriva e sulla diffusione, sperando che il risultato rimanga coerente. Lo stesso vale quando si inizia a considerare l’effetto della temperatura o si accoppia il trasporto elettrico alla generazione di calore. L’obiettivo è sviluppare un quadro teorico che generi in modo naturale i termini aggiuntivi corretti e fornisca un percorso chiaro per le estensioni, piuttosto che una raccolta di modifiche ad hoc.In particolare, una volta introdotti eterogiunzioni, densità di stati efficace che varia nello spazio, massa efficace dipendente dalla posizione, gradienti ai bordi delle bande o statistiche non banali, non è più possibile aggiungere semplicemente termini aggiuntivi a un modello di corrente basato sulla deriva e sulla diffusione, sperando che il risultato rimanga coerente. Lo stesso vale quando si inizia a considerare l’effetto della temperatura o si accoppia il trasporto elettrico alla generazione di calore. L’obiettivo è sviluppare un quadro teorico che generi in modo naturale i termini aggiuntivi corretti e fornisca un percorso chiaro per le estensioni, piuttosto che una raccolta di modifiche ad hoc.

Per questo motivo, la derivazione presentata in questo testo parte dall’equazione di Boltzmann per il trasporto. Calcolando i momenti dell’equazione di Boltzmann, si ottengono, in modo sistematico, le equazioni di continuità e le relazioni costitutive di deriva-diffusione come limite a bassa inerzia. Inoltre, si dimostra come lo stesso modello possa essere esteso al livello successivo: le equazioni di bilancio energetico (trasporto energetico). Anche se non si risolve l’intero modello idrodinamico, il modello energetico è prezioso perché identifica termini coerenti per le sorgenti di calore elettrico e chiarisce quando è necessario tenere conto del riscaldamento dei portatori di carica. La derivazione riportata di seguito costituisce la base del modello elettrico di OghmaNano.Per questo motivo, la derivazione presentata in questo testo parte dall’equazione di Boltzmann per il trasporto. Calcolando i momenti dell’equazione di Boltzmann, si ottengono, in modo sistematico, le equazioni di continuità e le relazioni costitutive di deriva-diffusione come limite a bassa inerzia. Inoltre, si dimostra come lo stesso modello possa essere esteso al livello successivo: le equazioni di bilancio energetico (trasporto energetico). Anche se non si risolve l’intero modello idrodinamico, il modello energetico è prezioso perché identifica termini coerenti per le sorgenti di calore elettrico e chiarisce quando è necessario tenere conto del riscaldamento dei portatori di carica. La derivazione riportata di seguito costituisce la base del modello elettrico di OghmaNano.

2. Equazione di Boltzmann per il trasporto (RTA)2. Equazione di Boltzmann per il trasporto (RTA)

Al livello più elementare utilizzato nella modellizzazione dei dispositivi, il trasporto di carica viene descritto in termini di una funzione di distribuzione \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Questa funzione rappresenta la probabilità di trovare un portatore di carica in una determinata posizione \(\mathbf{r}\), con un determinato momento cristallino \(\hbar\mathbf{k}\), in un determinato istante \(t\). Tutte le grandezze elettriche macroscopiche – densità dei portatori, densità di corrente, densità di energia – possono essere ottenute calcolando i momenti appropriati di questa distribuzione.Al livello più elementare utilizzato nella modellizzazione dei dispositivi, il trasporto di carica viene descritto in termini di una funzione di distribuzione \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Questa funzione rappresenta la probabilità di trovare un portatore di carica in una determinata posizione \(\mathbf{r}\), con un determinato momento cristallino \(\hbar\mathbf{k}\), in un determinato istante \(t\). Tutte le grandezze elettriche macroscopiche – densità dei portatori, densità di corrente, densità di energia – possono essere ottenute calcolando i momenti appropriati di questa distribuzione.

L’equazione di Boltzmann per il trasporto (BTE) è l’equazione del moto per questa funzione di distribuzione. Si tratta di una legge di conservazione nello spazio delle fasi: descrive come le cariche si muovono nello spazio reale, come il loro momento varia in presenza di forze esterne e come i processi di scattering ridistribuiscono le cariche nello spazio dei momenti. Partendo dalla BTE, si ottiene quindi un quadro di riferimento unico e coerente, dal quale è possibile derivare in modo uniforme i modelli di deriva-diffusione, di trasporto di energia e altri modelli correlati.L’equazione di Boltzmann per il trasporto (BTE) è l’equazione del moto per questa funzione di distribuzione. Si tratta di una legge di conservazione nello spazio delle fasi: descrive come le cariche si muovono nello spazio reale, come il loro momento varia in presenza di forze esterne e come i processi di scattering ridistribuiscono le cariche nello spazio dei momenti. Partendo dalla BTE, si ottiene quindi un quadro di riferimento unico e coerente, dal quale è possibile derivare in modo uniforme i modelli di deriva-diffusione, di trasporto di energia e altri modelli correlati.

Nella sua forma completa, il termine relativo alle collisioni (diffusione) dell’equazione di Boltzmann per i trasporti è complesso e dipende dalle proprietà del materiale. Per la modellizzazione pratica dei dispositivi, è comune utilizzare l’approssimazione del tempo di rilassamento (RTA), in cui si assume che la diffusione induca la distribuzione verso una forma di quasi-equilibrio locale \(f^0\) in un tempo caratteristico \(\tau\). Questa approssimazione preserva gli aspetti fondamentali della fisica del rilassamento dell’impulso e dell’energia, mantenendo al contempo le equazioni gestibili.Nella sua forma completa, il termine relativo alle collisioni (diffusione) dell’equazione di Boltzmann per i trasporti è complesso e dipende dalle proprietà del materiale. Per la modellizzazione pratica dei dispositivi, è comune utilizzare l’approssimazione del tempo di rilassamento (RTA), in cui si assume che la diffusione induca la distribuzione verso una forma di quasi-equilibrio locale \(f^0\) in un tempo caratteristico \(\tau\). Questa approssimazione preserva gli aspetti fondamentali della fisica del rilassamento dell’impulso e dell’energia, mantenendo al contempo le equazioni gestibili.

Utilizzando questa approssimazione, l’equazione di trasporto di Boltzmann semiclassica può essere scritta come segue:Utilizzando questa approssimazione, l’equazione di trasporto di Boltzmann semiclassica può essere scritta come segue:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \] \[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

I tre termini sul lato sinistro hanno un significato fisico ben definito: il primo descrive l’evoluzione temporale esplicita della distribuzione, il secondo descrive il trasporto nello spazio reale con velocità di deriva \(\mathbf{v}\), e il terzo descrive l’accelerazione nello spazio degli impulsi dovuta a una forza applicata \(\mathbf{F}\) (ad esempio \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\) in un campo elettrico). Il lato destro rappresenta la diffusione, che fa evolvere il sistema verso \(f^0\).I tre termini sul lato sinistro hanno un significato fisico ben definito: il primo descrive l’evoluzione temporale esplicita della distribuzione, il secondo descrive il trasporto nello spazio reale con velocità di deriva \(\mathbf{v}\), e il terzo descrive l’accelerazione nello spazio degli impulsi dovuta a una forza applicata \(\mathbf{F}\) (ad esempio \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\) in un campo elettrico). Il lato destro rappresenta la diffusione, che fa evolvere il sistema verso \(f^0\).

La teoria della deriva-diffusione non cerca di risolvere direttamente questa equazione. Invece, procede calcolando i momenti dell’equazione di Boltzmann per i trasporti (BTE), ovvero integrali sullo spazio degli impulsi, per ottenere equazioni di evoluzione per quantità fisicamente significative, come la densità dei portatori di carica, la densità di corrente e la densità di energia. Le sezioni seguenti mostrano come questa procedura porti in modo naturale alle note equazioni di deriva-diffusione e, a un livello successivo, ai modelli di bilancio energetico (per portatori di carica «caldi»).La teoria della deriva-diffusione non cerca di risolvere direttamente questa equazione. Invece, procede calcolando i momenti dell’equazione di Boltzmann per i trasporti (BTE), ovvero integrali sullo spazio degli impulsi, per ottenere equazioni di evoluzione per quantità fisicamente significative, come la densità dei portatori di carica, la densità di corrente e la densità di energia. Le sezioni seguenti mostrano come questa procedura porti in modo naturale alle note equazioni di deriva-diffusione e, a un livello successivo, ai modelli di bilancio energetico (per portatori di carica «caldi»).

3. Calcolo dei momenti dell’equazione di Boltzmann per il trasporto3. Calcolo dei momenti dell’equazione di Boltzmann per il trasporto

L’equazione di Boltzmann per il trasporto descrive la dinamica dei portatori di carica in termini di una funzione di distribuzione \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\), che indica l’occupazione degli stati elettronici in funzione della posizione, della quantità di moto e del tempo. Nello stato di equilibrio, questa distribuzione si riduce alla nota funzione di Fermi-Dirac, mentre, in presenza di una polarizzazione, essa evolve in risposta ai campi elettrici, alle variazioni dei bordi di banda e ai processi di scattering. Per ottenere equazioni utili a livello di dispositivo, non cerchiamo di risolvere direttamente \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Invece, ricaviamo equazioni di evoluzione per quantità macroscopiche, calcolando i momenti dell’intera equazione di Boltzmann e collegando sistematicamente le statistiche microscopiche dei portatori di carica ai modelli di deriva-diffusione, trasporto di energia e modelli correlati.L’equazione di Boltzmann per il trasporto descrive la dinamica dei portatori di carica in termini di una funzione di distribuzione \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\), che indica l’occupazione degli stati elettronici in funzione della posizione, della quantità di moto e del tempo. Nello stato di equilibrio, questa distribuzione si riduce alla nota funzione di Fermi-Dirac, mentre, in presenza di una polarizzazione, essa evolve in risposta ai campi elettrici, alle variazioni dei bordi di banda e ai processi di scattering. Per ottenere equazioni utili a livello di dispositivo, non cerchiamo di risolvere direttamente \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Invece, ricaviamo equazioni di evoluzione per quantità macroscopiche, calcolando i momenti dell’intera equazione di Boltzmann e collegando sistematicamente le statistiche microscopiche dei portatori di carica ai modelli di deriva-diffusione, trasporto di energia e modelli correlati.

Formalmente, un’equazione dei momenti si ottiene moltiplicando l’equazione completa di Boltzmann per un fattore di ponderazione \(A(\mathbf{k})\) e integrando su tutto lo spazio degli impulsi:Formalmente, un’equazione dei momenti si ottiene moltiplicando l’equazione completa di Boltzmann per un fattore di ponderazione \(A(\mathbf{k})\) e integrando su tutto lo spazio degli impulsi:

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \] \[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

Ogni scelta della funzione di ponderazione \(A(\mathbf{k})\) genera un’equazione di bilancio: un’equazione di evoluzione che esprime come una quantità macroscopica viene influenzata e come si stabilizza. Impostando \(A=1\), si ottiene l’equazione di bilancio delle particelle, dalla quale derivano le note equazioni di continuità per gli elettroni e le lacune. Calcolando il primo momento, con \(A=\hbar\mathbf{k}\) (o equivalentemente \(m^\ast\mathbf{v}\)), si ottiene un’equazione di bilancio della quantità di moto che descrive come la quantità di moto delle portatrici di carica risponde alle forze e alla diffusione; la corrente standard di deriva-diffusione si ottiene considerando il limite di smorzamento eccessivo di questa equazione, in cui la quantità di moto si stabilizza rapidamente e i termini inerziali vengono trascurati. Calcolando il momento successivo, con \(A=W(\mathbf{k})\), si ottiene un’equazione di bilancio dell’energia, che descrive il trasporto e la stabilizzazione dell’energia delle portatrici di carica e fornisce l’estensione minima necessaria per modellare le portatrici di carica «calde», la conduzione termica e la generazione di calore elettrico. In questo modo, i modelli di continuità, di deriva-diffusione e di trasporto dell’energia emergono come livelli successivi di approssimazione all’interno di un unico quadro coerente.Ogni scelta della funzione di ponderazione \(A(\mathbf{k})\) genera un’equazione di bilancio: un’equazione di evoluzione che esprime come una quantità macroscopica viene influenzata e come si stabilizza. Impostando \(A=1\), si ottiene l’equazione di bilancio delle particelle, dalla quale derivano le note equazioni di continuità per gli elettroni e le lacune. Calcolando il primo momento, con \(A=\hbar\mathbf{k}\) (o equivalentemente \(m^\ast\mathbf{v}\)), si ottiene un’equazione di bilancio della quantità di moto che descrive come la quantità di moto delle portatrici di carica risponde alle forze e alla diffusione; la corrente standard di deriva-diffusione si ottiene considerando il limite di smorzamento eccessivo di questa equazione, in cui la quantità di moto si stabilizza rapidamente e i termini inerziali vengono trascurati. Calcolando il momento successivo, con \(A=W(\mathbf{k})\), si ottiene un’equazione di bilancio dell’energia, che descrive il trasporto e la stabilizzazione dell’energia delle portatrici di carica e fornisce l’estensione minima necessaria per modellare le portatrici di carica «calde», la conduzione termica e la generazione di calore elettrico. In questo modo, i modelli di continuità, di deriva-diffusione e di trasporto dell’energia emergono come livelli successivi di approssimazione all’interno di un unico quadro coerente.

Il modello standard di deriva-diffusione utilizza esclusivamente l’equazione di bilancio delle particelle e una relazione costitutiva semplificata per la corrente, ottenuta dall’equazione di bilancio della quantità di moto. In tal modo, non preserva l’energia dei portatori di carica.Il modello standard di deriva-diffusione utilizza esclusivamente l’equazione di bilancio delle particelle e una relazione costitutiva semplificata per la corrente, ottenuta dall’equazione di bilancio della quantità di moto. In tal modo, non preserva l’energia dei portatori di carica.

4. Istante iniziale: equilibrio delle particelle (equazione di continuità)4. Istante iniziale: equilibrio delle particelle (equazione di continuità)

Il primo e più importante momento dell’equazione di Boltzmann si ottiene ponendo la funzione di ponderazione uguale a 1 \(A(\mathbf{k}) = 1\). Questo corrisponde al conteggio delle portatrici di carica: integrando l’equazione di Boltzmann completa su tutti i momenti, si ottiene una legge di conservazione per la densità totale delle portatrici di carica in ogni punto dello spazio. Per questo motivo, il momento di ordine zero viene definito equazione di conservazione (o di continuità) delle particelle.Il primo e più importante momento dell’equazione di Boltzmann si ottiene ponendo la funzione di ponderazione uguale a 1 \(A(\mathbf{k}) = 1\). Questo corrisponde al conteggio delle portatrici di carica: integrando l’equazione di Boltzmann completa su tutti i momenti, si ottiene una legge di conservazione per la densità totale delle portatrici di carica in ogni punto dello spazio. Per questo motivo, il momento di ordine zero viene definito equazione di conservazione (o di continuità) delle particelle.

4.1 Derivazione (momento di ordine zero / bilancio delle particelle)4.1 Derivazione (momento di ordine zero / bilancio delle particelle)

Partiamo dalla forma dell’equazione di Boltzmann che considera il tempo di rilassamento:Partiamo dalla forma dell’equazione di Boltzmann che considera il tempo di rilassamento:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \] \[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Moltiplicare per \(A(\mathbf{k})=1\) e integrare rispetto a tutti i valori di \(\mathbf{k}\):Moltiplicare per \(A(\mathbf{k})=1\) e integrare rispetto a tutti i valori di \(\mathbf{k}\):

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \] \[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Il primo termine definisce la densità dei portatori \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] in modo tale che \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \].Il primo termine definisce la densità dei portatori \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] in modo tale che \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \].

Il secondo termine si trasforma in una divergenza nello spazio reale:Il secondo termine si trasforma in una divergenza nello spazio reale:

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \] \[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

dove la velocità media delle portanti è \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \]dove la velocità media delle portanti è \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \]

Il terzo termine (termine relativo alla forza) si annulla, in base alle ipotesi standard, secondo cui la distribuzione diminuisce rapidamente all’aumentare di \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\); di conseguenza, l’integrale di superficie corrispondente nello spazio \(\mathbf{k}\) è pari a zero:Il terzo termine (termine relativo alla forza) si annulla, in base alle ipotesi standard, secondo cui la distribuzione diminuisce rapidamente all’aumentare di \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\); di conseguenza, l’integrale di superficie corrispondente nello spazio \(\mathbf{k}\) è pari a zero:

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \] \[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

Raggruppando i termini, l’equazione del momento zero diventa:Raggruppando i termini, l’equazione del momento zero diventa:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \] \[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Il lato destro rappresenta i processi che creano o eliminano portatori di carica liberi, considerati a livello della diffusione e della deriva: generazione, ricombinazione e, nel caso di materiali con trappole, scambio con gli stati di trappola. Pertanto, possiamo rappresentarlo in forma sintetica come \(G - R\) (includendo la cattura/emissione delle trappole nel termine efficace \(R\) oppure specificandolo esplicitamente nel modello di trappolamento).Il lato destro rappresenta i processi che creano o eliminano portatori di carica liberi, considerati a livello della diffusione e della deriva: generazione, ricombinazione e, nel caso di materiali con trappole, scambio con gli stati di trappola. Pertanto, possiamo rappresentarlo in forma sintetica come \(G - R\) (includendo la cattura/emissione delle trappole nel termine efficace \(R\) oppure specificandolo esplicitamente nel modello di trappolamento).

4.2 Equazione di continuità nella forma di trasporto-diffusione4.2 Equazione di continuità nella forma di trasporto-diffusione

Definendo la densità di corrente elettronica \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \], l’equazione di bilancio delle particelle si trasforma nella nota equazione di continuità per gli elettroni:Definendo la densità di corrente elettronica \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \], l’equazione di bilancio delle particelle si trasforma nella nota equazione di continuità per gli elettroni:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \] \[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

L’equazione corrispondente che descrive la continuità dei fori è:L’equazione corrispondente che descrive la continuità dei fori è:

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \] \[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. Primo istante: equilibrio della quantità di moto → corrente di deriva-diffusione5. Primo istante: equilibrio della quantità di moto → corrente di deriva-diffusione

Le equazioni della corrente di deriva-diffusione si ottengono dalla prima equazione di momento dell’equazione di trasporto di Boltzmann. Tale equazione di momento corrisponde a un bilancio delle quantità di moto, che descrive come la quantità di moto dei portatori di carica sia influenzata da forze quali i campi elettrici e i gradienti di energia, e come tale quantità di moto venga ridotta a causa della diffusione. Invece di risolvere l’equazione completa del bilancio delle quantità di moto, la formulazione standard della deriva-diffusione si ottiene esprimendo direttamente la velocità dei portatori di carica in funzione delle forze locali, senza mantenere un’equazione esplicita per l’evoluzione della quantità di moto o dell’energia. Questa approssimazione è appropriata quando non è necessario considerare gli effetti di ordine superiore sul trasporto della quantità di moto e dell’energia.Le equazioni della corrente di deriva-diffusione si ottengono dalla prima equazione di momento dell’equazione di trasporto di Boltzmann. Tale equazione di momento corrisponde a un bilancio delle quantità di moto, che descrive come la quantità di moto dei portatori di carica sia influenzata da forze quali i campi elettrici e i gradienti di energia, e come tale quantità di moto venga ridotta a causa della diffusione. Invece di risolvere l’equazione completa del bilancio delle quantità di moto, la formulazione standard della deriva-diffusione si ottiene esprimendo direttamente la velocità dei portatori di carica in funzione delle forze locali, senza mantenere un’equazione esplicita per l’evoluzione della quantità di moto o dell’energia. Questa approssimazione è appropriata quando non è necessario considerare gli effetti di ordine superiore sul trasporto della quantità di moto e dell’energia.

5.1 Dal momento iniziale dell’avvio del BTE fino alla corrente di deriva-diffusione.5.1 Dal momento iniziale dell’avvio del BTE fino alla corrente di deriva-diffusione.

Partiamo dall’equazione di Boltzmann per il trasporto, formulata nell’approssimazione del tempo di rilassamento, e la scriviamo utilizzando un tempo di rilassamento dell’impulso \(\tau_p\):Partiamo dall’equazione di Boltzmann per il trasporto, formulata nell’approssimazione del tempo di rilassamento, e la scriviamo utilizzando un tempo di rilassamento dell’impulso \(\tau_p\):

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \] \[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

Per ottenere l’equazione di bilancio della quantità di moto, moltiplicare l’intera equazione per il fattore di ponderazione che rappresenta la quantità di moto \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) (in modo equivalente, \(\hbar\mathbf{k}\) per una banda parabolica) e integrare rispetto allo spazio delle quantità di moto:Per ottenere l’equazione di bilancio della quantità di moto, moltiplicare l’intera equazione per il fattore di ponderazione che rappresenta la quantità di moto \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) (in modo equivalente, \(\hbar\mathbf{k}\) per una banda parabolica) e integrare rispetto allo spazio delle quantità di moto:

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \] \[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 Determinazione del momento della velocità, della corrente e della pressione.5.2 Determinazione del momento della velocità, della corrente e della pressione.

Gli integrali del primo momento introducono le quantità che compaiono nelle equazioni di trasporto a livello del dispositivo. Iniziamo definendo la densità dei portatori di carica e la velocità media dei portatori di carica come segue:Gli integrali del primo momento introducono le quantità che compaiono nelle equazioni di trasporto a livello del dispositivo. Iniziamo definendo la densità dei portatori di carica e la velocità media dei portatori di carica come segue:

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \] \[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

La velocità \(\mathbf{u}\) definita in precedenza è la velocità media (o media) dei portatori di carica. Essa rappresenta la deriva netta della popolazione di portatori di carica in un determinato punto dello spazio. I singoli portatori di carica si muovono in genere molto più velocemente di \(\mathbf{u}\), eseguendo un moto termico casuale che si sovrappone a questa lenta deriva collettiva. Pertanto, la velocità media non è la velocità tipica di un portatore di carica, ma la piccola velocità residua che rimane dopo aver calcolato la media su tutti i movimenti microscopici.La velocità \(\mathbf{u}\) definita in precedenza è la velocità media (o media) dei portatori di carica. Essa rappresenta la deriva netta della popolazione di portatori di carica in un determinato punto dello spazio. I singoli portatori di carica si muovono in genere molto più velocemente di \(\mathbf{u}\), eseguendo un moto termico casuale che si sovrappone a questa lenta deriva collettiva. Pertanto, la velocità media non è la velocità tipica di un portatore di carica, ma la piccola velocità residua che rimane dopo aver calcolato la media su tutti i movimenti microscopici.

Questa distinzione è fondamentale. Il movimento termico casuale non contribuisce alla corrente elettrica perché, nel complesso, si annulla, mentre la velocità media di deriva \(\mathbf{u}\) tiene conto dello squilibrio nel movimento delle cariche causato dai campi elettrici, dai gradienti di concentrazione e dai gradienti di temperatura. È proprio questa velocità media che determina la densità di corrente macroscopica.Questa distinzione è fondamentale. Il movimento termico casuale non contribuisce alla corrente elettrica perché, nel complesso, si annulla, mentre la velocità media di deriva \(\mathbf{u}\) tiene conto dello squilibrio nel movimento delle cariche causato dai campi elettrici, dai gradienti di concentrazione e dai gradienti di temperatura. È proprio questa velocità media che determina la densità di corrente macroscopica.

In base a queste definizioni, il flusso di particelle è \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) e la densità di corrente elettronica èIn base a queste definizioni, il flusso di particelle è \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) e la densità di corrente elettronica è

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \] \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

Sostituendo queste definizioni nella prima equazione dei momenti, è possibile riscrivere completamente gli integrali nello spazio dei momenti in termini di \(n\), \(\mathbf{u}\) e dei momenti di ordine superiore della velocità. In particolare, il termine di collisione si semplifica perché la distribuzione di riferimento \(f^0\) rappresenta uno stato di equilibrio locale con una velocità di deriva media nulla, in modo cheSostituendo queste definizioni nella prima equazione dei momenti, è possibile riscrivere completamente gli integrali nello spazio dei momenti in termini di \(n\), \(\mathbf{u}\) e dei momenti di ordine superiore della velocità. In particolare, il termine di collisione si semplifica perché la distribuzione di riferimento \(f^0\) rappresenta uno stato di equilibrio locale con una velocità di deriva media nulla, in modo che

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \] \[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

Di conseguenza, il termine relativo alle collisioni contribuisce solo con un termine di rilassamento dell’impulso, proporzionale alla velocità media \(\mathbf{u}\).Di conseguenza, il termine relativo alle collisioni contribuisce solo con un termine di rilassamento dell’impulso, proporzionale alla velocità media \(\mathbf{u}\).

Il termine rimanente relativo al trasporto spaziale nell’equazione del primo momento contiene integrali della forma \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\), che rappresentano il flusso di quantità di moto nello spazio. Per rendere più esplicito il significato fisico di questo termine, scomponiamo la velocità del vettore in una componente media e una componente fluttuante:Il termine rimanente relativo al trasporto spaziale nell’equazione del primo momento contiene integrali della forma \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\), che rappresentano il flusso di quantità di moto nello spazio. Per rendere più esplicito il significato fisico di questo termine, scomponiamo la velocità del vettore in una componente media e una componente fluttuante:

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \] \[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

Sostituendo questa decomposizione nella seconda equazione del momento della velocità e utilizzando \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\), si suddivide il flusso della quantità di moto in una componente convettiva e un termine di fluttuazione. La componente di fluttuazione viene identificata come il tensore della pressione (o dello sforzo) di trasporto.Sostituendo questa decomposizione nella seconda equazione del momento della velocità e utilizzando \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\), si suddivide il flusso della quantità di moto in una componente convettiva e un termine di fluttuazione. La componente di fluttuazione viene identificata come il tensore della pressione (o dello sforzo) di trasporto.

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \] \[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

Dal punto di vista fisico, \(\mathbf{P}\) rappresenta il trasporto della quantità di moto associata alle fluttuazioni di velocità rispetto alla velocità media di deriva. La sua divergenza dà origine ai termini di diffusione e di forza termica nelle equazioni di trasporto semplificate.Dal punto di vista fisico, \(\mathbf{P}\) rappresenta il trasporto della quantità di moto associata alle fluttuazioni di velocità rispetto alla velocità media di deriva. La sua divergenza dà origine ai termini di diffusione e di forza termica nelle equazioni di trasporto semplificate.

Una volta raccolti tutti i contributi, la prima equazione dei momenti può essere scritta come segue:Una volta raccolti tutti i contributi, la prima equazione dei momenti può essere scritta come segue:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \] \[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Questa equazione rappresenta l’equazione generale dell’equilibrio della quantità di moto, ottenuta direttamente dal primo momento dell’equazione di Boltzmann per il trasporto. Non sono ancora state formulate ipotesi sulla deriva e sulla diffusione; queste verranno introdotte nella fase successiva, in cui l’equazione dell’equilibrio della quantità di moto verrà semplificata in un’equazione dell’equilibrio delle forze locali.Questa equazione rappresenta l’equazione generale dell’equilibrio della quantità di moto, ottenuta direttamente dal primo momento dell’equazione di Boltzmann per il trasporto. Non sono ancora state formulate ipotesi sulla deriva e sulla diffusione; queste verranno introdotte nella fase successiva, in cui l’equazione dell’equilibrio della quantità di moto verrà semplificata in un’equazione dell’equilibrio delle forze locali.

5.3 Riduzione dell’equazione della quantità di moto a un’equazione delle forze.5.3 Riduzione dell’equazione della quantità di moto a un’equazione delle forze.

Nel modello di deriva-diffusione, non siamo interessati a determinare esplicitamente l’evoluzione temporale o il trasporto spaziale della quantità di moto. Invece, supponiamo che la quantità di moto delle cariche si adatti localmente alle forze applicate, in modo che eventuali effetti transitori o non locali legati al trasporto della quantità di moto possano essere trascurati. Sulla base di questa ipotesi, l’equazione di bilancio della quantità di moto si semplifica eliminando i termini espliciti relativi al trasporto della quantità di moto e all’inerzia, mantenendo invece i termini relativi alla forza e al rilassamento.Nel modello di deriva-diffusione, non siamo interessati a determinare esplicitamente l’evoluzione temporale o il trasporto spaziale della quantità di moto. Invece, supponiamo che la quantità di moto delle cariche si adatti localmente alle forze applicate, in modo che eventuali effetti transitori o non locali legati al trasporto della quantità di moto possano essere trascurati. Sulla base di questa ipotesi, l’equazione di bilancio della quantità di moto si semplifica eliminando i termini espliciti relativi al trasporto della quantità di moto e all’inerzia, mantenendo invece i termini relativi alla forza e al rilassamento.

Con questa approssimazione, l’equazione di bilancio della quantità di moto si riduce a:Con questa approssimazione, l’equazione di bilancio della quantità di moto si riduce a:

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \] \[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Scritta in questo modo, l’equazione va interpretata come un bilancio delle forze in un punto specifico: le forze che determinano il movimento delle cariche sono compensate dalla perdita di quantità di moto dovuta alla diffusione.Scritta in questo modo, l’equazione va interpretata come un bilancio delle forze in un punto specifico: le forze che determinano il movimento delle cariche sono compensate dalla perdita di quantità di moto dovuta alla diffusione.

Il termine rimanente \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) rappresenta il modo in cui la quantità di moto viene ridistribuita dal movimento casuale delle cariche. Il tensore \(\mathbf{P}\) stesso codifica le correlazioni tra le componenti della velocità e, in generale, consente un trasporto anisotropico della quantità di moto. In molti dispositivi a semiconduttore, la distribuzione delle cariche è approssimativamente isotropa nello spazio delle velocità. In questo caso, non esiste una direzione preferenziale per le fluttuazioni di velocità e il tensore di pressione si riduce a una pressione scalare che moltiplica il tensore identità:Il termine rimanente \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) rappresenta il modo in cui la quantità di moto viene ridistribuita dal movimento casuale delle cariche. Il tensore \(\mathbf{P}\) stesso codifica le correlazioni tra le componenti della velocità e, in generale, consente un trasporto anisotropico della quantità di moto. In molti dispositivi a semiconduttore, la distribuzione delle cariche è approssimativamente isotropa nello spazio delle velocità. In questo caso, non esiste una direzione preferenziale per le fluttuazioni di velocità e il tensore di pressione si riduce a una pressione scalare che moltiplica il tensore identità:

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \] \[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

Dal punto di vista fisico, ciò significa che il moto termico casuale contribuisce in egual misura in tutte le direzioni. Quando questa espressione viene sostituita nell’equazione di bilancio della quantità di moto, la divergenza del tensore di pressione si semplifica nella forma del gradiente di una pressione scalare:Dal punto di vista fisico, ciò significa che il moto termico casuale contribuisce in egual misura in tutte le direzioni. Quando questa espressione viene sostituita nell’equazione di bilancio della quantità di moto, la divergenza del tensore di pressione si semplifica nella forma del gradiente di una pressione scalare:

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \] \[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

Questo termine rappresenta l’origine della diffusione e della forza termica nelle equazioni di deriva-diffusione. Nella sezione successiva, questa equazione di equilibrio delle forze viene risolta per ottenere la velocità media dei portatori di carica \(\mathbf{u}\), il che porta direttamente alla corrente di deriva-diffusione.Questo termine rappresenta l’origine della diffusione e della forza termica nelle equazioni di deriva-diffusione. Nella sezione successiva, questa equazione di equilibrio delle forze viene risolta per ottenere la velocità media dei portatori di carica \(\mathbf{u}\), il che porta direttamente alla corrente di deriva-diffusione.

5.4 Dall’equazione di equilibrio delle forze alla corrente di deriva-diffusione5.4 Dall’equazione di equilibrio delle forze alla corrente di deriva-diffusione

Ora torniamo all’equazione semplificata per il bilancio della quantità di moto locale, derivata nella sezione precedente. Per gli elettroni, è utile esprimere la forza motrice in termini del limite inferiore della banda di conduzione \(E_c(\mathbf{r})\), che tiene conto sia del potenziale elettrostatico sia degli spostamenti di energia dovuti alle proprietà del materiale. Pertanto, scriviamo la forza che agisce sugli elettroni come segue:Ora torniamo all’equazione semplificata per il bilancio della quantità di moto locale, derivata nella sezione precedente. Per gli elettroni, è utile esprimere la forza motrice in termini del limite inferiore della banda di conduzione \(E_c(\mathbf{r})\), che tiene conto sia del potenziale elettrostatico sia degli spostamenti di energia dovuti alle proprietà del materiale. Pertanto, scriviamo la forza che agisce sugli elettroni come segue:

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \] \[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

dove \(E_c(\mathbf{r})\) può essere espresso (fino a un termine di riferimento) come \(E_c = \chi - q\phi\), in modo che le variazioni spaziali dell’affinità elettronica o del potenziale elettrostatico contribuiscano naturalmente alla generazione di portatori di carica. Sostituendo questa espressione nell’equazione della quantità di moto ridotta, si ottiene:dove \(E_c(\mathbf{r})\) può essere espresso (fino a un termine di riferimento) come \(E_c = \chi - q\phi\), in modo che le variazioni spaziali dell’affinità elettronica o del potenziale elettrostatico contribuiscano naturalmente alla generazione di portatori di carica. Sostituendo questa espressione nell’equazione della quantità di moto ridotta, si ottiene:

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \] \[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

Questa equazione esprime un equilibrio locale tra la forza che agisce sui bordi della banda di energia, il trasporto indotto dalla pressione e la perdita di quantità di moto dovuta alla diffusione. Risolvendo per la velocità media dei portatori di carica, si ottiene:Questa equazione esprime un equilibrio locale tra la forza che agisce sui bordi della banda di energia, il trasporto indotto dalla pressione e la perdita di quantità di moto dovuta alla diffusione. Risolvendo per la velocità media dei portatori di carica, si ottiene:

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \] \[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

Utilizzando la definizione della densità di corrente elettronica, \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\), otteniamo:Utilizzando la definizione della densità di corrente elettronica, \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\), otteniamo:

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \] \[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

Presentiamo la soluzione di mobilità \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\), che diventaPresentiamo la soluzione di mobilità \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\), che diventa

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \] \[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

A questo punto, la corrente viene espressa in termini del gradiente di pressione \(\nabla p\), e non sono ancora state formulate ipotesi sulle statistiche dei portatori di carica. Per procedere, esprimiamo la pressione e la densità come momenti della funzione di distribuzione sottostante.A questo punto, la corrente viene espressa in termini del gradiente di pressione \(\nabla p\), e non sono ancora state formulate ipotesi sulle statistiche dei portatori di carica. Per procedere, esprimiamo la pressione e la densità come momenti della funzione di distribuzione sottostante.

La densità e la pressione dei portatori di carica possono essere espresse come:La densità e la pressione dei portatori di carica possono essere espresse come:

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \] \[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

dove \(g(E)\) rappresenta la densità degli stati e \(f(E)\) la distribuzione di Fermi-Dirac. Nel caso di una banda parabolica, questi integrali si riducono agli integrali standard di Fermi-Dirac.dove \(g(E)\) rappresenta la densità degli stati e \(f(E)\) la distribuzione di Fermi-Dirac. Nel caso di una banda parabolica, questi integrali si riducono agli integrali standard di Fermi-Dirac.

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \] \[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

con un potenziale chimico ridotto \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\) e \(F_j(\eta)\) rappresenta l’integrale completo di Fermi-Dirac di ordine \(j\).con un potenziale chimico ridotto \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\) e \(F_j(\eta)\) rappresenta l’integrale completo di Fermi-Dirac di ordine \(j\).

Calcolando il gradiente della pressione, si ottiene:Calcolando il gradiente della pressione, si ottiene:

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \] \[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

Sostituendo questa espressione nell’equazione attuale, si dimostra che la diffusione e la forza termica sono regolate da una relazione di Einstein generalizzata.Sostituendo questa espressione nell’equazione attuale, si dimostra che la diffusione e la forza termica sono regolate da una relazione di Einstein generalizzata.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \] \[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

Questa espressione è valida per una banda parabolica e rimane tale, sia nel caso di degenerazione nulla che in quello di forte degenerazione. Nel limite di degenerazione nulla (\(\eta \ll -1\), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\)), la relazione di Einstein generalizzata si riduce alla forma nota.Questa espressione è valida per una banda parabolica e rimane tale, sia nel caso di degenerazione nulla che in quello di forte degenerazione. Nel limite di degenerazione nulla (\(\eta \ll -1\), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\)), la relazione di Einstein generalizzata si riduce alla forma nota.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \] \[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

Il primo termine rappresenta la deriva causata dalle variazioni spaziali del bordo della banda di conduzione, e comprende sia i campi elettrostatici sia gli spostamenti di banda nelle eterogiunzioni. Il secondo termine, che tiene conto del gradiente di pressione, è all’origine della diffusione e della forza termica.Il primo termine rappresenta la deriva causata dalle variazioni spaziali del bordo della banda di conduzione, e comprende sia i campi elettrostatici sia gli spostamenti di banda nelle eterogiunzioni. Il secondo termine, che tiene conto del gradiente di pressione, è all’origine della diffusione e della forza termica.

Nel caso non degenere, la pressione del portante è \(p = n k_B T\), quindiNel caso non degenere, la pressione del portante è \(p = n k_B T\), quindi

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \] \[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

Sostituendo questa espressione nell’equazione attuale, otteniamo:Sostituendo questa espressione nell’equazione attuale, otteniamo:

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \] \[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

Utilizzando la relazione di Einstein per i portatori non degenerati, \(D_n = \mu_n k_B T / q\), la corrente può essere espressa nella nota forma di deriva-diffusione, con un termine esplicito che rappresenta la forza termica:Utilizzando la relazione di Einstein per i portatori non degenerati, \(D_n = \mu_n k_B T / q\), la corrente può essere espressa nella nota forma di deriva-diffusione, con un termine esplicito che rappresenta la forza termica:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}}. \] \[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}}. \]

Nelle eterostrutture, la densità effettiva degli stati \(N_c(\mathbf{r},T)\) può variare a seconda della posizione a causa delle variazioni dei parametri della struttura a bande, come la massa effettiva. Una successiva riduzione, ottenuta in modo autoconsistente, genera un termine aggiuntivo, legato alle proprietà del materiale, proporzionale a \(\nabla\ln N_c\).Nelle eterostrutture, la densità effettiva degli stati \(N_c(\mathbf{r},T)\) può variare a seconda della posizione a causa delle variazioni dei parametri della struttura a bande, come la massa effettiva. Una successiva riduzione, ottenuta in modo autoconsistente, genera un termine aggiuntivo, legato alle proprietà del materiale, proporzionale a \(\nabla\ln N_c\).

Tenendo conto di questo contributo, la corrente di deriva-diffusione utilizzata nei simulatori di dispositivi può essere espressa come segue:Tenendo conto di questo contributo, la corrente di deriva-diffusione utilizzata nei simulatori di dispositivi può essere espressa come segue:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{DOS / effective-mass driving}}. \] \[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{DOS / effective-mass driving}}. \]

Quando espressi in questa forma, tutti i meccanismi di funzionamento derivano naturalmente dallo stesso principio di equilibrio della quantità di moto. I campi elettrostatici, le differenze di livello energetico nelle eterogiunzioni, i gradienti di temperatura e le variazioni spaziali dei parametri dei materiali entrano in gioco esattamente allo stesso modo.Quando espressi in questa forma, tutti i meccanismi di funzionamento derivano naturalmente dallo stesso principio di equilibrio della quantità di moto. I campi elettrostatici, le differenze di livello energetico nelle eterogiunzioni, i gradienti di temperatura e le variazioni spaziali dei parametri dei materiali entrano in gioco esattamente allo stesso modo.

Una derivazione del tutto analoga si applica anche ai fori. Ripetendo gli stessi passaggi utilizzando il limite della banda di valenza \(E_v(\mathbf{r})\) e le statistiche dei fori, si ottiene la densità di corrente dei fori.Una derivazione del tutto analoga si applica anche ai fori. Ripetendo gli stessi passaggi utilizzando il limite della banda di valenza \(E_v(\mathbf{r})\) e le statistiche dei fori, si ottiene la densità di corrente dei fori.

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{band-edge drift}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{diffusion}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{DOS / effective-mass driving}}, \] \[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{band-edge drift}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{diffusion}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{DOS / effective-mass driving}}, \]

dove \(N_v(\mathbf{r},T)\) rappresenta la densità effettiva degli stati nella banda di valenza. I segni opposti dei termini relativi alla diffusione e alla conduzione termica riflettono la carica positiva delle lacune.dove \(N_v(\mathbf{r},T)\) rappresenta la densità effettiva degli stati nella banda di valenza. I segni opposti dei termini relativi alla diffusione e alla conduzione termica riflettono la carica positiva delle lacune.

• Effetto termico (termodiffusione/termine analogo all’effetto Seebeck): le variazioni spaziali della temperatura dei portatori di carica modificano la distribuzione locale di quasi-equilibrio e generano un flusso netto di portatori di carica proporzionale a \(\nabla T\), anche in assenza di un campo elettrico.Effetto termico (termodiffusione/termine analogo all’effetto Seebeck): le variazioni spaziali della temperatura dei portatori di carica modificano la distribuzione locale di quasi-equilibrio e generano un flusso netto di portatori di carica proporzionale a \(\nabla T\), anche in assenza di un campo elettrico.
• Effetto della densità degli stati/massa efficace: nelle eterostrutture o nei materiali con proprietà variabili nello spazio, i gradienti nei parametri della struttura a bande (come la massa efficace) determinano gradienti in \(N_c\) e \(N_v\). Questi termini sono fondamentali nelle interfacce tra i materiali e garantiscono che il trasporto delle cariche rimanga coerente con le statistiche e la struttura a bande sottostanti.Effetto della densità degli stati/massa efficace: nelle eterostrutture o nei materiali con proprietà variabili nello spazio, i gradienti nei parametri della struttura a bande (come la massa efficace) determinano gradienti in \(N_c\) e \(N_v\). Questi termini sono fondamentali nelle interfacce tra i materiali e garantiscono che il trasporto delle cariche rimanga coerente con le statistiche e la struttura a bande sottostanti.

7. Trasporto di energia / estensione dei portatori di carica caldi7. Trasporto di energia / estensione dei portatori di carica caldi

Nel modello di deriva-diffusione descritto in precedenza, il trasporto delle cariche è rappresentato dalla continuità delle particelle e da un bilancio della quantità di moto ridotto a una legge algebrica per la corrente. Si assume che l’energia delle cariche si disperda rapidamente nel reticolo cristallino, pertanto non viene risolta alcuna equazione esplicita per descriverne il comportamento.Nel modello di deriva-diffusione descritto in precedenza, il trasporto delle cariche è rappresentato dalla continuità delle particelle e da un bilancio della quantità di moto ridotto a una legge algebrica per la corrente. Si assume che l’energia delle cariche si disperda rapidamente nel reticolo cristallino, pertanto non viene risolta alcuna equazione esplicita per descriverne il comportamento.

Quando questa ipotesi viene abbandonata, è necessario mantenere la seguente equazione nella gerarchia dei momenti di Boltzmann: l’equazione dell’equilibrio energetico. Questa equazione regola il modo in cui i portatori di carica acquisiscono energia dai campi elettrici e dai gradienti di energia nella banda di conduzione, la trasportano attraverso il dispositivo e la dissipano nel reticolo cristallino.Quando questa ipotesi viene abbandonata, è necessario mantenere la seguente equazione nella gerarchia dei momenti di Boltzmann: l’equazione dell’equilibrio energetico. Questa equazione regola il modo in cui i portatori di carica acquisiscono energia dai campi elettrici e dai gradienti di energia nella banda di conduzione, la trasportano attraverso il dispositivo e la dissipano nel reticolo cristallino.

7.1 Secondo momento dell’equazione di Boltzmann7.1 Secondo momento dell’equazione di Boltzmann

Il bilancio energetico si ottiene moltiplicando l’equazione di Boltzmann per l’energia di una singola particella \(W(\mathbf{k})\) e integrando rispetto allo spazio degli impulsi. Per gli elettroni, l’energia di uno stato viene espressa come:Il bilancio energetico si ottiene moltiplicando l’equazione di Boltzmann per l’energia di una singola particella \(W(\mathbf{k})\) e integrando rispetto allo spazio degli impulsi. Per gli elettroni, l’energia di uno stato viene espressa come:

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \] \[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

dove \(E_c(\mathbf{r})\) rappresenta il limite inferiore della banda di conduzione e \(\varepsilon(\mathbf{k})\) è l’energia cinetica relativa al limite della banda (nel caso di una banda parabolica, \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).dove \(E_c(\mathbf{r})\) rappresenta il limite inferiore della banda di conduzione e \(\varepsilon(\mathbf{k})\) è l’energia cinetica relativa al limite della banda (nel caso di una banda parabolica, \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).

Definiamo l’energia media trasportata da ciascuna particella come:Definiamo l’energia media trasportata da ciascuna particella come:

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \] \[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

la corrispondente densità di energia è \(n\bar W\). Questa grandezza svolge la stessa funzione per l’energia che \(n\) svolge per il numero di particelle.la corrispondente densità di energia è \(n\bar W\). Questa grandezza svolge la stessa funzione per l’energia che \(n\) svolge per il numero di particelle.

7.2 Flusso di energia e sua relazione con le correnti di deriva e diffusione7.2 Flusso di energia e sua relazione con le correnti di deriva e diffusione

Il termine relativo al trasporto spaziale nel secondo momento contiene integrali della forma \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), il che giustifica la definizione del flusso di energia.Il termine relativo al trasporto spaziale nel secondo momento contiene integrali della forma \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), il che giustifica la definizione del flusso di energia.

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \] \[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Questa quantità è direttamente analoga al flusso di particelle \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) e, di conseguenza, alla densità di corrente \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\). Il trasporto di energia è quindi naturalmente legato al trasporto delle cariche.Questa quantità è direttamente analoga al flusso di particelle \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) e, di conseguenza, alla densità di corrente \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\). Il trasporto di energia è quindi naturalmente legato al trasporto delle cariche.

7.3 Lavoro svolto dal campo elettrico e gradienti ai bordi delle bande.7.3 Lavoro svolto dal campo elettrico e gradienti ai bordi delle bande.

Il termine relativo alla forza nell’equazione di Boltzmann produce un contributo specifico nel secondo momento. Utilizzando l’integrazione per parti nello spazio degli impulsi e l’identità \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\), si ottiene:Il termine relativo alla forza nell’equazione di Boltzmann produce un contributo specifico nel secondo momento. Utilizzando l’integrazione per parti nello spazio degli impulsi e l’identità \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\), si ottiene:

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \] \[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

Scrivendo la forza esercitata sugli elettroni come \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\), questo termine diventaScrivendo la forza esercitata sugli elettroni come \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\), questo termine diventa

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \] \[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

Questo è il lavoro elettrico svolto sulla popolazione di portatori di carica. Nel caso particolare in cui \(E_c=-q\phi\), si riduce al noto termine dell’effetto Joule \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\).Questo è il lavoro elettrico svolto sulla popolazione di portatori di carica. Nel caso particolare in cui \(E_c=-q\phi\), si riduce al noto termine dell’effetto Joule \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\).

7.4 Equazione dell’equilibrio energetico e sua relazione con il modello di deriva-diffusione7.4 Equazione dell’equilibrio energetico e sua relazione con il modello di deriva-diffusione

Una volta raccolti tutti i contributi, l’equazione del secondo momento può essere scritta come:Una volta raccolti tutti i contributi, l’equazione del secondo momento può essere scritta come:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \] \[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

Questa equazione è direttamente collegata al modello di deriva-diffusione tramite la densità di corrente \(\mathbf{J}_n\). Non sono necessari termini aggiuntivi ad hoc per la dissipazione del calore: la dissipazione della potenza elettrica emerge naturalmente dallo stesso meccanismo che determina il comportamento ai bordi della banda, e che compare nella legge della corrente.Questa equazione è direttamente collegata al modello di deriva-diffusione tramite la densità di corrente \(\mathbf{J}_n\). Non sono necessari termini aggiuntivi ad hoc per la dissipazione del calore: la dissipazione della potenza elettrica emerge naturalmente dallo stesso meccanismo che determina il comportamento ai bordi della banda, e che compare nella legge della corrente.

7.5 Rapporto con il limite standard di deriva-diffusione7.5 Rapporto con il limite standard di deriva-diffusione

Per capire come questo si ricollega ai modelli di diffusione-deriva più noti, consideriamo il caso non degenere, prossimo all’equilibrio. Il contributo cinetico all’energia media èPer capire come questo si ricollega ai modelli di diffusione-deriva più noti, consideriamo il caso non degenere, prossimo all’equilibrio. Il contributo cinetico all’energia media è

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \] \[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

affinché, in modo che, così cheaffinché, in modo che, così che

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \] \[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

Nel modello di deriva-diffusione in condizioni di stato stazionario, con rapido rilassamento energetico, i termini \(T_e \approx T_L\) e \(\bar W \approx \bar W_0\) si annullano, la derivata temporale \(\partial_t(n\bar W)\) diventa nulla e l’equazione dell’energia si riduce a un equilibrio tra il riscaldamento elettrico e la dissipazione di energia nel reticolo cristallino.Nel modello di deriva-diffusione in condizioni di stato stazionario, con rapido rilassamento energetico, i termini \(T_e \approx T_L\) e \(\bar W \approx \bar W_0\) si annullano, la derivata temporale \(\partial_t(n\bar W)\) diventa nulla e l’equazione dell’energia si riduce a un equilibrio tra il riscaldamento elettrico e la dissipazione di energia nel reticolo cristallino.

Mantenendo valida l’equazione dell’equilibrio energetico, si elimina questa limitazione. La temperatura del materiale conduttore \(T_e\) diventa una variabile dinamica, consentendo al modello di tenere conto del riscaldamento dovuto al campo elettrico, dell’eccesso di velocità e del trasporto non all’equilibrio, pur rimanendo pienamente compatibile con il modello di deriva-diffusione precedentemente definito.Mantenendo valida l’equazione dell’equilibrio energetico, si elimina questa limitazione. La temperatura del materiale conduttore \(T_e\) diventa una variabile dinamica, consentendo al modello di tenere conto del riscaldamento dovuto al campo elettrico, dell’eccesso di velocità e del trasporto non all’equilibrio, pur rimanendo pienamente compatibile con il modello di deriva-diffusione precedentemente definito.

Considerando tutti gli elementi, l’equazione del bilancio energetico implementata in un risolutore basato sul modello di deriva-diffusione può essere espressa nella seguente forma:Considerando tutti gli elementi, l’equazione del bilancio energetico implementata in un risolutore basato sul modello di deriva-diffusione può essere espressa nella seguente forma:

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \] \[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

In questa formula, \(T_e\) rappresenta la temperatura dei portatori di carica (elettroni), \(T_L\) la temperatura del reticolo cristallino, \(\kappa\) la conducibilità termica dei portatori di carica e \(\tau_W\) il tempo di rilassamento energetico. Questa equazione viene risolta in modo autoconsistente insieme all’equazione di Poisson, alle equazioni di continuità dei portatori di carica e alle relazioni di corrente di deriva-diffusione.In questa formula, \(T_e\) rappresenta la temperatura dei portatori di carica (elettroni), \(T_L\) la temperatura del reticolo cristallino, \(\kappa\) la conducibilità termica dei portatori di carica e \(\tau_W\) il tempo di rilassamento energetico. Questa equazione viene risolta in modo autoconsistente insieme all’equazione di Poisson, alle equazioni di continuità dei portatori di carica e alle relazioni di corrente di deriva-diffusione.

8. Modello finale accoppiato, risolto in OghmaNano.8. Modello finale accoppiato, risolto in OghmaNano.

OghmaNano risolve un sistema di equazioni differenziali parziali accoppiate. L’insieme preciso di equazioni dipende dal modello fisico selezionato (solo deriva-diffusione, oppure deriva-diffusione con trasporto di energia). La tabella seguente riassume le equazioni e indica quando vengono utilizzate.OghmaNano risolve un sistema di equazioni differenziali parziali accoppiate. L’insieme preciso di equazioni dipende dal modello fisico selezionato (solo deriva-diffusione, oppure deriva-diffusione con trasporto di energia). La tabella seguente riassume le equazioni e indica quando vengono utilizzate.