Derivazione dell’equazione di ricombinazione di Shockley-Read-HallDerivazione dell’equazione di ricombinazione di Shockley-Read-Hall

1. Ricombinazione di Shockley-Read-Hall (SRH) nella sua forma più semplice.1. Ricombinazione di Shockley-Read-Hall (SRH) nella sua forma più semplice.

La ricombinazione di Shockley-Read-Hall (SRH), nella sua forma più semplice, può essere interpretata come un processo in due fasi, come illustrato in ??. In primo luogo, una carica mobile viene intrappolata in uno stato di difetto localizzato all’interno del gap di energia, processo (a). Successivamente, una carica mobile di segno opposto si ricombina con la carica intrappolata attraverso lo stesso stato di intrappolamento, processo (b). Questa semplice rappresentazione fisica porta alla classica equazione di ricombinazione SRH, ben nota nella fisica dei dispositivi a semiconduttore:La ricombinazione di Shockley-Read-Hall (SRH), nella sua forma più semplice, può essere interpretata come un processo in due fasi, come illustrato in ??. In primo luogo, una carica mobile viene intrappolata in uno stato di difetto localizzato all’interno del gap di energia, processo (a). Successivamente, una carica mobile di segno opposto si ricombina con la carica intrappolata attraverso lo stesso stato di intrappolamento, processo (b). Questa semplice rappresentazione fisica porta alla classica equazione di ricombinazione SRH, ben nota nella fisica dei dispositivi a semiconduttore:

\[ R_{SRH}= \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)} \] \[ R_{SRH}= \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)} \]

Tuttavia, nell’opera originale di Shockley, Read e Hall, il modello fisico è stato formulato in modo molto più dettagliato. Invece di considerare solo il fenomeno dell’intrappolamento seguito dalla ricombinazione, la teoria definisce quattro diverse velocità di transizione dei portatori di carica, associate ai processi di cattura dei portatori e di emissione termica. Queste transizioni rispettano le condizioni di equilibrio dettagliato in condizioni di equilibrio termico e sono illustrate in ??.Tuttavia, nell’opera originale di Shockley, Read e Hall, il modello fisico è stato formulato in modo molto più dettagliato. Invece di considerare solo il fenomeno dell’intrappolamento seguito dalla ricombinazione, la teoria definisce quattro diverse velocità di transizione dei portatori di carica, associate ai processi di cattura dei portatori e di emissione termica. Queste transizioni rispettano le condizioni di equilibrio dettagliato in condizioni di equilibrio termico e sono illustrate in ??.

Le quattro tariffe sono:Le quattro tariffe sono:

• \(r_{ec}\): cattura di un elettrone nello stato di trappola.\(r_{ec}\): cattura di un elettrone nello stato di trappola.
• \(r_{ee}\): emissione termica di un elettrone dallo stato di intrappolamento.\(r_{ee}\): emissione termica di un elettrone dallo stato di intrappolamento.
• \(r_{hc}\): cattura del difetto nel livello di intrappolamento.\(r_{hc}\): cattura del difetto nel livello di intrappolamento.
• \(r_{he}\): emissione termica di un elettrone da uno stato di intrappolamento.\(r_{he}\): emissione termica di un elettrone da uno stato di intrappolamento.

Utilizzando questi quattro parametri, l’occupazione dello stato di trappola può essere descritta tramite l’equazione relativa alla velocità di intrappolamento delle cariche:Utilizzando questi quattro parametri, l’occupazione dello stato di trappola può essere descritta tramite l’equazione relativa alla velocità di intrappolamento delle cariche:

\[ \frac{dn_t}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \] \[ \frac{dn_t}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]

Risolvendo analiticamente questa equazione nelle condizioni di regime stazionario, Shockley, Read e Hall hanno ottenuto la classica espressione della ricombinazione SRH riportata sopra. La derivazione che segue parte dalle ipotesi fondamentali del modello SRH e procede in modo sistematico fino a raggiungere l’equazione della ricombinazione in regime stazionario. Nel corso di questa derivazione, la forma transitoria o non di equilibrio delle equazioni SRH emerge naturalmente. Questa forma non di equilibrio costituisce la base del modello di intrappolamento implementato in OghmaNano.Risolvendo analiticamente questa equazione nelle condizioni di regime stazionario, Shockley, Read e Hall hanno ottenuto la classica espressione della ricombinazione SRH riportata sopra. La derivazione che segue parte dalle ipotesi fondamentali del modello SRH e procede in modo sistematico fino a raggiungere l’equazione della ricombinazione in regime stazionario. Nel corso di questa derivazione, la forma transitoria o non di equilibrio delle equazioni SRH emerge naturalmente. Questa forma non di equilibrio costituisce la base del modello di intrappolamento implementato in OghmaNano.

2. Processi di cattura ed emissione in uno stato di intrappolamento2. Processi di cattura ed emissione in uno stato di intrappolamento

Il modello di Shockley-Read-Hall (SRH) descrive il processo di ricombinazione attraverso stati di trappola localizzati all’interno del divario di energia del semiconduttore. Consideriamo un singolo livello di trappola all’energia \(E_t\), come illustrato in ??. Questa trappola può scambiare portatori sia con la banda di conduzione sia con la banda di valenza attraverso processi di cattura ed emissione termica.Il modello di Shockley-Read-Hall (SRH) descrive il processo di ricombinazione attraverso stati di trappola localizzati all’interno del divario di energia del semiconduttore. Consideriamo un singolo livello di trappola all’energia \(E_t\), come illustrato in ??. Questa trappola può scambiare portatori sia con la banda di conduzione sia con la banda di valenza attraverso processi di cattura ed emissione termica.

Un elettrone nella banda di conduzione può passare a uno stato di trappola. Allo stesso modo, una lacuna nella banda di valenza può essere catturata dalla trappola. Questi processi di cattura corrispondono al passaggio di portatori di carica da uno stato di energia più elevata a uno stato localizzato di energia inferiore.Un elettrone nella banda di conduzione può passare a uno stato di trappola. Allo stesso modo, una lacuna nella banda di valenza può essere catturata dalla trappola. Questi processi di cattura corrispondono al passaggio di portatori di carica da uno stato di energia più elevata a uno stato localizzato di energia inferiore.

Al contrario, un portatore intrappolato può anche sfuggire termicamente e tornare nella banda di conduzione. L’emissione di elettroni richiede che un elettrone intrappolato acquisisca energia termica sufficiente per muoversi dal livello di intrappolamento verso il bordo della banda di conduzione. Analogamente, l’emissione di lacune corrisponde all’eccitazione dal livello di intrappolamento verso la banda di valenza.Al contrario, un portatore intrappolato può anche sfuggire termicamente e tornare nella banda di conduzione. L’emissione di elettroni richiede che un elettrone intrappolato acquisisca energia termica sufficiente per muoversi dal livello di intrappolamento verso il bordo della banda di conduzione. Analogamente, l’emissione di lacune corrisponde all’eccitazione dal livello di intrappolamento verso la banda di valenza.

I processi che richiedono ai vettori di muoversi con energia in direzione opposta al gradiente termico sono attivati termicamente e, pertanto, avvengono con probabilità simili a quelle di Boltzmann, proporzionali aI processi che richiedono ai vettori di muoversi con energia in direzione opposta al gradiente termico sono attivati termicamente e, pertanto, avvengono con probabilità simili a quelle di Boltzmann, proporzionali a

\[ \exp\!\left(-\frac{\Delta E}{kT}\right), \] \[ \exp\!\left(-\frac{\Delta E}{kT}\right), \]

dove \(\Delta E\) rappresenta la barriera energetica che deve essere superata. Pertanto, barriere energetiche elevate comportano una soppressione esponenziale dell’emissione termica. Al contrario, la cattura di portatori di carica in uno stato di trappola a energia inferiore è energeticamente favorevole e non richiede un’attivazione termica. Di conseguenza, i processi di cattura non presentano un fattore di soppressione esponenziale associato al superamento di una barriera energetica.dove \(\Delta E\) rappresenta la barriera energetica che deve essere superata. Pertanto, barriere energetiche elevate comportano una soppressione esponenziale dell’emissione termica. Al contrario, la cattura di portatori di carica in uno stato di trappola a energia inferiore è energeticamente favorevole e non richiede un’attivazione termica. Di conseguenza, i processi di cattura non presentano un fattore di soppressione esponenziale associato al superamento di una barriera energetica.

Di conseguenza, le trappole profonde tendono a catturare le portatrici di carica in modo efficiente, rilasciandole solo lentamente. Le trappole superficiali, che si trovano più vicino al bordo di una banda di trasporto, scambiano le portatrici di carica con le bande molto più rapidamente.Di conseguenza, le trappole profonde tendono a catturare le portatrici di carica in modo efficiente, rilasciandole solo lentamente. Le trappole superficiali, che si trovano più vicino al bordo di una banda di trasporto, scambiano le portatrici di carica con le bande molto più rapidamente.

I coefficienti di cattura degli elettroni e delle lacune sono espressi come:I coefficienti di cattura degli elettroni e delle lacune sono espressi come:

\[ c_n=v_{th}\sigma_n \quad,\quad c_p=v_{th}\sigma_p, \] \[ c_n=v_{th}\sigma_n \quad,\quad c_p=v_{th}\sigma_p, \]

dove \(v_{th}\) rappresenta la velocità termica, mentre \(\sigma_n\) e \(\sigma_p\) indicano rispettivamente la sezione d’urto per la cattura degli elettroni e dei buchi.dove \(v_{th}\) rappresenta la velocità termica, mentre \(\sigma_n\) e \(\sigma_p\) indicano rispettivamente la sezione d’urto per la cattura degli elettroni e dei buchi.

I coefficienti di emissività termica sono espressi come:I coefficienti di emissività termica sono espressi come:

\[ e_n=v_{th}\sigma_n N_c \exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \] \[ e_n=v_{th}\sigma_n N_c \exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \]

\[ e_p=v_{th}\sigma_p N_v \exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \] \[ e_p=v_{th}\sigma_p N_v \exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]

3. Tassi di occupazione delle trappole e di transizione verso la gestione della salute riproduttiva e sessuale3. Tassi di occupazione delle trappole e di transizione verso la gestione della salute riproduttiva e sessuale

I coefficienti di cattura ed emissione indicati in precedenza descrivono le probabilità di transizione associate a un singolo stato di trappola. Tuttavia, le velocità di transizione effettive dipendono anche dal fatto che la trappola sia occupata o vuota.I coefficienti di cattura ed emissione indicati in precedenza descrivono le probabilità di transizione associate a un singolo stato di trappola. Tuttavia, le velocità di transizione effettive dipendono anche dal fatto che la trappola sia occupata o vuota.

Indichiamo con \(f\) la probabilità di occupazione della trappola. Poiché la trappola rappresenta uno stato elettronico localizzato, la sua occupazione segue la statistica di Fermi-Dirac, assumendo che le cariche possano raggiungere l’equilibrio termico all’interno della distribuzione di energia della trappola:Indichiamo con \(f\) la probabilità di occupazione della trappola. Poiché la trappola rappresenta uno stato elettronico localizzato, la sua occupazione segue la statistica di Fermi-Dirac, assumendo che le cariche possano raggiungere l’equilibrio termico all’interno della distribuzione di energia della trappola:

\[ f(E_t)= \frac{1} {1+\exp\!\left(\frac{E_t-E_F}{kT}\right)}. \] \[ f(E_t)= \frac{1} {1+\exp\!\left(\frac{E_t-E_F}{kT}\right)}. \]

La densità delle trappole occupate è quindiLa densità delle trappole occupate è quindi

\[ n_t=N_t f, \] \[ n_t=N_t f, \]

mentre la densità delle trappole vuote èmentre la densità delle trappole vuote è

\[ N_t(1-f). \] \[ N_t(1-f). \]

La cattura di un elettrone richiede uno stato di trappola libero ed è quindi proporzionale a \(1-f\). La cattura di una lacuna richiede che lo stato di trappola sia già occupato da un elettrone ed è quindi proporzionale a \(f\). Questa dipendenza dall’occupazione è la caratteristica statistica fondamentale del modello SRH.La cattura di un elettrone richiede uno stato di trappola libero ed è quindi proporzionale a \(1-f\). La cattura di una lacuna richiede che lo stato di trappola sia già occupato da un elettrone ed è quindi proporzionale a \(f\). Questa dipendenza dall’occupazione è la caratteristica statistica fondamentale del modello SRH.

Le quattro velocità di transizione elementari indicate in ?? sono quindi espresse come segue:Le quattro velocità di transizione elementari indicate in ?? sono quindi espresse come segue:

\[ r_{ec}=c_n n N_t(1-f) \quad,\quad r_{ee}=e_n N_t f \] \[ r_{ec}=c_n n N_t(1-f) \quad,\quad r_{ee}=e_n N_t f \]

\[ r_{hc}=c_p p N_t f \quad,\quad r_{he}=e_p N_t(1-f). \] \[ r_{hc}=c_p p N_t f \quad,\quad r_{he}=e_p N_t(1-f). \]

4. Equazione per il calcolo del tempo di occupazione di una trappola transitoria4. Equazione per il calcolo del tempo di occupazione di una trappola transitoria

L’equazione transitoria di SRH si ottiene scrivendo l’espressione della velocità di variazione delle trappole occupate. La cattura di un elettrone riempie una trappola, la fuoriuscita di un elettrone la svuota, la cattura di una lacuna la svuota tramite ricombinazione e la fuoriuscita di una lacuna la riempie rimuovendo un elettrone dalla banda di valenza. Pertanto, utilizzando la notazione di ??,L’equazione transitoria di SRH si ottiene scrivendo l’espressione della velocità di variazione delle trappole occupate. La cattura di un elettrone riempie una trappola, la fuoriuscita di un elettrone la svuota, la cattura di una lacuna la svuota tramite ricombinazione e la fuoriuscita di una lacuna la riempie rimuovendo un elettrone dalla banda di valenza. Pertanto, utilizzando la notazione di ??,

La derivazione prosegue ora calcolando i tassi di ricombinazione che compaiono nelle equazioni di continuità del modello drift-diffusion. Questi termini descrivono la perdita e l’aumento netto di portatori di carica tra la banda di conduzione, la banda di valenza e gli stati di trappola, attraverso i processi di ricombinazione SRH derivati in precedenza.La derivazione prosegue ora calcolando i tassi di ricombinazione che compaiono nelle equazioni di continuità del modello drift-diffusion. Questi termini descrivono la perdita e l’aumento netto di portatori di carica tra la banda di conduzione, la banda di valenza e gli stati di trappola, attraverso i processi di ricombinazione SRH derivati in precedenza.

A partire da \(n_t=N_t f\), questo equivale aA partire da \(n_t=N_t f\), questo equivale a

\[ N_t\frac{df}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \] \[ N_t\frac{df}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]

Sostituendo i quattro valori iniziali, si ottiene:Sostituendo i quattro valori iniziali, si ottiene:

\[ N_t\frac{df}{dt} = c_n n N_t(1-f) - e_n N_t f - c_p p N_t f + e_p N_t(1-f). \] \[ N_t\frac{df}{dt} = c_n n N_t(1-f) - e_n N_t f - c_p p N_t f + e_p N_t(1-f). \]

Dividendo per \(N_t\), l’equazione che definisce l’occupazione della trappola diventa:Dividendo per \(N_t\), l’equazione che definisce l’occupazione della trappola diventa:

\[ \frac{df}{dt} = c_n n(1-f) - e_n f - c_p p f + e_p(1-f). \] \[ \frac{df}{dt} = c_n n(1-f) - e_n f - c_p p f + e_p(1-f). \]

Questa è la forma transitoria del modello SRH a singolo livello. Dovrebbe essere utilizzata quando l’occupazione delle trappole è essa stessa una variabile di stato dinamica, ad esempio nelle simulazioni transitorie, nei processi di intrappolamento lenti, nel riempimento delle trappole o nelle simulazioni non all’equilibrio, in cui la carica intrappolata contribuisce all’equazione di Poisson.Questa è la forma transitoria del modello SRH a singolo livello. Dovrebbe essere utilizzata quando l’occupazione delle trappole è essa stessa una variabile di stato dinamica, ad esempio nelle simulazioni transitorie, nei processi di intrappolamento lenti, nel riempimento delle trappole o nelle simulazioni non all’equilibrio, in cui la carica intrappolata contribuisce all’equazione di Poisson.

I corrispondenti termini di ricombinazione transitoria sono:I corrispondenti termini di ricombinazione transitoria sono:

\[ R_n=r_{ec}-r_{ee} = N_t\left[c_n n(1-f)-e_n f\right] \] \[ R_n=r_{ec}-r_{ee} = N_t\left[c_n n(1-f)-e_n f\right] \]

\[ R_p=r_{hc}-r_{he} = N_t\left[c_p p f-e_p(1-f)\right]. \] \[ R_p=r_{hc}-r_{he} = N_t\left[c_p p f-e_p(1-f)\right]. \]

Lontano dalle condizioni di equilibrio, \(R_n\) e \(R_p\) non devono necessariamente essere uguali. La loro differenza modifica la densità di carica intrappolata. Nelle condizioni di equilibrio, il livello di occupazione delle trappole è costante e i due tassi netti diventano uguali.Lontano dalle condizioni di equilibrio, \(R_n\) e \(R_p\) non devono necessariamente essere uguali. La loro differenza modifica la densità di carica intrappolata. Nelle condizioni di equilibrio, il livello di occupazione delle trappole è costante e i due tassi netti diventano uguali.

5. Occupazione stabile delle trappole.5. Occupazione stabile delle trappole.

La parte restante di questa derivazione è dedicata all’ottenimento di una soluzione analitica per lo stato stazionario delle equazioni transitorie di SRH derivate in precedenza. Supponendo che l’occupazione delle trappole non vari più nel tempo, i processi di cattura ed emissione accoppiati possono essere ridotti analiticamente, ottenendo così la classica equazione di ricombinazione di Shockley-Read-Hall, utilizzata in tutta la fisica dei dispositivi a semiconduttore e nella modellazione a deriva-diffusione. Per ottenere la classica equazione di ricombinazione di SRH, ora supponiamo che l’occupazione delle trappole sia in stato stazionario:La parte restante di questa derivazione è dedicata all’ottenimento di una soluzione analitica per lo stato stazionario delle equazioni transitorie di SRH derivate in precedenza. Supponendo che l’occupazione delle trappole non vari più nel tempo, i processi di cattura ed emissione accoppiati possono essere ridotti analiticamente, ottenendo così la classica equazione di ricombinazione di Shockley-Read-Hall, utilizzata in tutta la fisica dei dispositivi a semiconduttore e nella modellazione a deriva-diffusione. Per ottenere la classica equazione di ricombinazione di SRH, ora supponiamo che l’occupazione delle trappole sia in stato stazionario:

\[ \frac{df}{dt}=0. \] \[ \frac{df}{dt}=0. \]

L’equazione che descrive la velocità della reazione transitoria fornisce quindiL’equazione che descrive la velocità della reazione transitoria fornisce quindi

\[ r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \] \[ r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]

Questa uguaglianza implica che il tasso netto di cattura degli elettroni è uguale al tasso netto di cattura delle lacune. In altre parole, in condizioni di equilibrio, la trappola non accumula carica, ma facilita semplicemente il ciclo di ricombinazione illustrato in ??.Questa uguaglianza implica che il tasso netto di cattura degli elettroni è uguale al tasso netto di cattura delle lacune. In altre parole, in condizioni di equilibrio, la trappola non accumula carica, ma facilita semplicemente il ciclo di ricombinazione illustrato in ??.

I coefficienti di emissione termica possono essere riformulati in funzione delle densità di portatori di carica di riferimento all’equilibrio \(n_1\) e \(p_1\):I coefficienti di emissione termica possono essere riformulati in funzione delle densità di portatori di carica di riferimento all’equilibrio \(n_1\) e \(p_1\):

\[ e_n=c_n n_1 \quad,\quad e_p=c_p p_1, \] \[ e_n=c_n n_1 \quad,\quad e_p=c_p p_1, \]

dovedove

\[ n_1=N_c\exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \quad,\quad p_1=N_v\exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \] \[ n_1=N_c\exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \quad,\quad p_1=N_v\exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]

Le quantità \(n_1\) e \(p_1\) rappresentano le densità di portatori di riferimento all’equilibrio, associate all’energia della trappola. Dal punto di vista fisico, esse codificano le barriere di attivazione termica che controllano l’emissione di elettroni e lacune dallo stato di trappola.Le quantità \(n_1\) e \(p_1\) rappresentano le densità di portatori di riferimento all’equilibrio, associate all’energia della trappola. Dal punto di vista fisico, esse codificano le barriere di attivazione termica che controllano l’emissione di elettroni e lacune dallo stato di trappola.

Sostituendo \(e_n=c_n n_1\) e \(e_p=c_p p_1\) nell’equazione della trappola allo stato stazionario, si ottiene:Sostituendo \(e_n=c_n n_1\) e \(e_p=c_p p_1\) nell’equazione della trappola allo stato stazionario, si ottiene:

\[ c_n n(1-f) - c_n n_1 f - c_p p f + c_p p_1(1-f)=0. \] \[ c_n n(1-f) - c_n n_1 f - c_p p f + c_p p_1(1-f)=0. \]

Raggruppando i termini proporzionali a \(1-f\) e \(f\).Raggruppando i termini proporzionali a \(1-f\) e \(f\).

\[ (1-f)(c_n n+c_p p_1) = f(c_n n_1+c_p p). \] \[ (1-f)(c_n n+c_p p_1) = f(c_n n_1+c_p p). \]

Risolvendo per la frazione di trappole occupate, si ottiene:Risolvendo per la frazione di trappole occupate, si ottiene:

\[ f= \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \] \[ f= \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

La frazione di intrappolamento vuota èLa frazione di intrappolamento vuota è

\[ 1-f= \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \] \[ 1-f= \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

6. Ricavare l’equazione classica di SRH per lo stato stazionario6. Ricavare l’equazione classica di SRH per lo stato stazionario

Il tasso di ricombinazione SRH allo stato stazionario può essere espresso utilizzando l’equazione di bilancio degli elettroni oppure l’equazione di bilancio delle lacune:Il tasso di ricombinazione SRH allo stato stazionario può essere espresso utilizzando l’equazione di bilancio degli elettroni oppure l’equazione di bilancio delle lacune:

\[ R_{\mathrm{SRH}}=r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \] \[ R_{\mathrm{SRH}}=r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]

Utilizzando il bilancino elettronico,Utilizzando il bilancino elettronico,

\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t\left[c_n n(1-f)-c_n n_1 f\right]. \] \[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t\left[c_n n(1-f)-c_n n_1 f\right]. \]

Sostituendo i valori di equilibrio di \(f\) e \(1-f\)Sostituendo i valori di equilibrio di \(f\) e \(1-f\)

\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t c_n \left[ n \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} - n_1 \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} \right]. \] \[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t c_n \left[ n \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} - n_1 \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} \right]. \]

I termini \(c_n n n_1\) si annullano a vicenda, lasciandoI termini \(c_n n n_1\) si annullano a vicenda, lasciando

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_1p_1)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \] \[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_1p_1)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

Per un semiconduttore in equilibrio termico,Per un semiconduttore in equilibrio termico,

\[ n_1p_1=n_i^2. \] \[ n_1p_1=n_i^2. \]

In tal modo, la velocità di ricombinazione classica, in condizioni di stato stazionario, secondo il modello di Shockley-Read-Hall, diventa:In tal modo, la velocità di ricombinazione classica, in condizioni di stato stazionario, secondo il modello di Shockley-Read-Hall, diventa:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_i^2)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \] \[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_i^2)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

Infine, definiamo i tempi di vita degli SRH comeInfine, definiamo i tempi di vita degli SRH come

\[ \tau_n=\frac{1}{N_t c_n} = \frac{1}{v_{th}\sigma_n N_t} \quad,\quad \tau_p=\frac{1}{N_t c_p} = \frac{1}{v_{th}\sigma_p N_t}, \] \[ \tau_n=\frac{1}{N_t c_n} = \frac{1}{v_{th}\sigma_n N_t} \quad,\quad \tau_p=\frac{1}{N_t c_p} = \frac{1}{v_{th}\sigma_p N_t}, \]

si ottiene la forma standard del libro di testo:si ottiene la forma standard del libro di testo:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)}. \] \[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)}. \]

Questa espressione finale rappresenta il limite di regime stazionario compatto dell’equazione della velocità mostrata in precedenza. Essa contiene gli stessi principi fisici relativi alla cattura e alla fuoriuscita illustrati in ??, ma con l’eliminazione analitica dell’occupazione della trappola.Questa espressione finale rappresenta il limite di regime stazionario compatto dell’equazione della velocità mostrata in precedenza. Essa contiene gli stessi principi fisici relativi alla cattura e alla fuoriuscita illustrati in ??, ma con l’eliminazione analitica dell’occupazione della trappola.

7. Riferimento storico7. Riferimento storico

Il modello di ricombinazione mediata da trappole presentato in questo testo si basa sull’approccio statistico introdotto da W. Shockley e W. T. Read, Jr. nel loro articolo del 1952 sulla ricombinazione di lacune ed elettroni nei semiconduttori. La derivazione presentata in questa pagina non è una riproduzione del testo originale, ma una derivazione moderna per la simulazione di dispositivi, scritta utilizzando la notazione dei tassi impiegata in altre parti di questo manuale.Il modello di ricombinazione mediata da trappole presentato in questo testo si basa sull’approccio statistico introdotto da W. Shockley e W. T. Read, Jr. nel loro articolo del 1952 sulla ricombinazione di lacune ed elettroni nei semiconduttori. La derivazione presentata in questa pagina non è una riproduzione del testo originale, ma una derivazione moderna per la simulazione di dispositivi, scritta utilizzando la notazione dei tassi impiegata in altre parti di questo manuale.

Riferimento: W. Shockley e W. T. Read, Jr., «Statistica delle ricombinazioni di lacune ed elettroni», Physical Review, vol. 87, n. 5, pp. 835–842, 1952.Riferimento: W. Shockley e W. T. Read, Jr., «Statistica delle ricombinazioni di lacune ed elettroni», Physical Review, vol. 87, n. 5, pp. 835–842, 1952.