Statistiche sulle cariche mobili libere nei modelli di trasporto-diffusioneStatistiche sulle cariche mobili libere nei modelli di trasporto-diffusione

3. Statistiche sui portatori di carica liberi3. Statistiche sui portatori di carica liberi

Le statistiche dei portatori di carica liberi definiscono la relazione tra i livelli di quasi-Fermi e le densità dei portatori. Per un dato potenziale elettrostatico e livello di quasi-Fermi, esse determinano le concentrazioni locali di elettroni e lacune \(n\) e \(p\). In OghmaNano, questa relazione può essere descritta utilizzando l’approssimazione classica di Maxwell-Boltzmann (MB) o il formalismo completo di Fermi-Dirac (FD), a seconda del grado di degenerazione e della forma della densità degli stati (DOS).Le statistiche dei portatori di carica liberi definiscono la relazione tra i livelli di quasi-Fermi e le densità dei portatori. Per un dato potenziale elettrostatico e livello di quasi-Fermi, esse determinano le concentrazioni locali di elettroni e lacune \(n\) e \(p\). In OghmaNano, questa relazione può essere descritta utilizzando l’approssimazione classica di Maxwell-Boltzmann (MB) o il formalismo completo di Fermi-Dirac (FD), a seconda del grado di degenerazione e della forma della densità degli stati (DOS).

L’approssimazione di mean-field è valida quando i livelli quasi-Fermi si trovano a una distanza significativa l’uno dall’altro. \(kT\) lontano dai bordi della banda, in modo che le probabilità di occupazione siano basse e gli effetti di esclusione di Pauli possano essere trascurati. Sulla base di questa ipotesi, le densità di portatori sono correlate in modo esponenziale ai livelli di quasi-Fermi: L’approssimazione di mean-field è valida quando i livelli quasi-Fermi si trovano a una distanza significativa l’uno dall’altro. \(kT\) lontano dai bordi della banda, in modo che le probabilità di occupazione siano basse e gli effetti di esclusione di Pauli possano essere trascurati. Sulla base di questa ipotesi, le densità di portatori sono correlate in modo esponenziale ai livelli di quasi-Fermi:

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

dove \(N_c\) e \(N_v\) rappresentano le densità di stati effettive nelle bande di conduzione e di valenza, \(F_n\) e \(F_p\) sono i livelli quasi-Fermi per gli elettroni e le lacune, e \(E_c\) e \(E_v\) definiscono i bordi locali delle bande. Questa formulazione presuppone implicitamente una struttura a bande parabolica e una popolazione di portatori in equilibrio termico.dove \(N_c\) e \(N_v\) rappresentano le densità di stati effettive nelle bande di conduzione e di valenza, \(F_n\) e \(F_p\) sono i livelli quasi-Fermi per gli elettroni e le lacune, e \(E_c\) e \(E_v\) definiscono i bordi locali delle bande. Questa formulazione presuppone implicitamente una struttura a bande parabolica e una popolazione di portatori in equilibrio termico.

Quando la concentrazione di portatori di carica raggiunge valori sufficientemente elevati, tali da far sì che il livello di quasi-Fermi si avvicini o entri nella banda di conduzione, oppure quando la densità degli stati si discosta dalla forma parabolica semplice, l’approssimazione di Maxwell-Boltzmann non è più valida e deve essere utilizzato il formalismo completo di Fermi-Dirac. In questo caso, la concentrazione di portatori di carica si ottiene integrando la densità degli stati, ponderata con la funzione di occupazione di Fermi-Dirac:Quando la concentrazione di portatori di carica raggiunge valori sufficientemente elevati, tali da far sì che il livello di quasi-Fermi si avvicini o entri nella banda di conduzione, oppure quando la densità degli stati si discosta dalla forma parabolica semplice, l’approssimazione di Maxwell-Boltzmann non è più valida e deve essere utilizzato il formalismo completo di Fermi-Dirac. In questo caso, la concentrazione di portatori di carica si ottiene integrando la densità degli stati, ponderata con la funzione di occupazione di Fermi-Dirac:

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

dove la distribuzione di Fermi-Dirac è definita come:dove la distribuzione di Fermi-Dirac è definita come:

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

e \(\rho(E)\) rappresenta la densità degli stati. Per una banda parabolica tridimensionale, la densità degli stati assume la seguente forma:e \(\rho(E)\) rappresenta la densità degli stati. Per una banda parabolica tridimensionale, la densità degli stati assume la seguente forma:

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

dove \(m^*\) è la massa efficace delle cariche e \(\hbar\) è la costante di Planck ridotta. Nelle simulazioni pratiche dei dispositivi, \(\rho(E)\) può invece essere specificato esplicitamente per tenere conto delle code esponenziali, della distribuzione gaussiana o di altre caratteristiche non paraboliche tipiche dei sistemi amorfi o organici.dove \(m^*\) è la massa efficace delle cariche e \(\hbar\) è la costante di Planck ridotta. Nelle simulazioni pratiche dei dispositivi, \(\rho(E)\) può invece essere specificato esplicitamente per tenere conto delle code esponenziali, della distribuzione gaussiana o di altre caratteristiche non paraboliche tipiche dei sistemi amorfi o organici.

La descrizione statistica determina anche l’energia media delle cariche mobili, che viene utilizzata nei modelli di diffusione e di ricombinazione. Questa quantità si ottiene comeLa descrizione statistica determina anche l’energia media delle cariche mobili, che viene utilizzata nei modelli di diffusione e di ricombinazione. Questa quantità si ottiene come

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

Nel limite non degenere di MB con una densità degli stati parabolica, questa espressione si riduce a \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\), riflettendo l’equipartizione dell’energia. Tuttavia, nei sistemi con disordine energetico o forte degenerazione, la distribuzione dei portatori di carica si altera e l’energia media si discosta da questo valore classico, influenzando direttamente la cinetica di ricombinazione e i coefficienti di trasporto.Nel limite non degenere di MB con una densità degli stati parabolica, questa espressione si riduce a \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\), riflettendo l’equipartizione dell’energia. Tuttavia, nei sistemi con disordine energetico o forte degenerazione, la distribuzione dei portatori di carica si altera e l’energia media si discosta da questo valore classico, influenzando direttamente la cinetica di ricombinazione e i coefficienti di trasporto.