Potenziale intrinseco nelle simulazioni di deriva-diffusionePotenziale intrinseco nelle simulazioni di deriva-diffusione

Il potenziale intrinseco, $V_{bi}$, è il potenziale elettrostatico interno che si forma quando due contatti o regioni semiconduttrici con diverse posizioni del livello di Fermi vengono messi in contatto elettrico. Nelle simulazioni di deriva-diffusione, il potenziale intrinseco determina la curvatura della banda all’equilibrio, stabilisce il campo elettrico iniziale e definisce il punto di partenza per la risoluzione dell’equazione di Poisson e delle equazioni di continuità dei portatori di carica.Il potenziale intrinseco, $V_{bi}$, è il potenziale elettrostatico interno che si forma quando due contatti o regioni semiconduttrici con diverse posizioni del livello di Fermi vengono messi in contatto elettrico. Nelle simulazioni di deriva-diffusione, il potenziale intrinseco determina la curvatura della banda all’equilibrio, stabilisce il campo elettrico iniziale e definisce il punto di partenza per la risoluzione dell’equazione di Poisson e delle equazioni di continuità dei portatori di carica.

La figura ?? illustra la formazione di un potenziale intrinseco dovuto all’allineamento dei livelli di Fermi. Nel riquadro (a), i due materiali sono isolati. Il materiale a sinistra contiene un’alta concentrazione di lacune, mentre il materiale a destra contiene un’alta concentrazione di elettroni. Poiché i due materiali non sono ancora in contatto elettrico, i loro potenziali elettrochimici sono indipendenti e i loro livelli di Fermi non devono essere allineati.La figura ?? illustra la formazione di un potenziale intrinseco dovuto all’allineamento dei livelli di Fermi. Nel riquadro (a), i due materiali sono isolati. Il materiale a sinistra contiene un’alta concentrazione di lacune, mentre il materiale a destra contiene un’alta concentrazione di elettroni. Poiché i due materiali non sono ancora in contatto elettrico, i loro potenziali elettrochimici sono indipendenti e i loro livelli di Fermi non devono essere allineati.

Quando i due materiali vengono messi a contatto, come illustrato schematicamente nel riquadro (b), le cariche possono ridistribuirsi tra di essi. Gli elettroni si spostano dal materiale con il potenziale chimico degli elettroni più elevato verso il materiale con il potenziale chimico degli elettroni più basso, mentre le lacune si ridistribuiscono nella direzione opposta. Questo trasferimento di carica non può continuare indefinitamente: lascia dietro di sé cariche ionizzate e genera un campo elettrico interno. All’equilibrio termodinamico, la forza motrice netta per il movimento delle cariche si annulla e il livello di Fermi diventa spazialmente costante in tutta la struttura combinata.Quando i due materiali vengono messi a contatto, come illustrato schematicamente nel riquadro (b), le cariche possono ridistribuirsi tra di essi. Gli elettroni si spostano dal materiale con il potenziale chimico degli elettroni più elevato verso il materiale con il potenziale chimico degli elettroni più basso, mentre le lacune si ridistribuiscono nella direzione opposta. Questo trasferimento di carica non può continuare indefinitamente: lascia dietro di sé cariche ionizzate e genera un campo elettrico interno. All’equilibrio termodinamico, la forza motrice netta per il movimento delle cariche si annulla e il livello di Fermi diventa spazialmente costante in tutta la struttura combinata.

Built-in potential formation from Fermi level alignment showing band bending and Vbi in a drift-diffusion device — (a) Due materiali isolati, uno con un’elevata densità di lacune (a sinistra) e l’altro con un’elevata densità di elettroni (a destra), ciascuno caratterizzato dal proprio livello di quasi-Fermi. (b) Al contatto, l’equilibrio termodinamico richiede l’allineamento dei livelli di Fermi ($F_n = F_p$), il che determina una ridistribuzione delle cariche. (c) La conseguente curvatura delle bande produce un potenziale elettrostatico che varia nello spazio, dando origine al potenziale intrinseco $\Phi_i$. Questo illustra come le differenze nei livelli di Fermi iniziali dei due materiali si traducano in un campo elettrico interno, come si verificherebbe nei punti di contatto di un dispositivo.(a) Due materiali isolati, uno con un’elevata densità di lacune (a sinistra) e l’altro con un’elevata densità di elettroni (a destra), ciascuno caratterizzato dal proprio livello di quasi-Fermi. (b) Al contatto, l’equilibrio termodinamico richiede l’allineamento dei livelli di Fermi ($F_n = F_p$), il che determina una ridistribuzione delle cariche. (c) La conseguente curvatura delle bande produce un potenziale elettrostatico che varia nello spazio, dando origine al potenziale intrinseco $\Phi_i$. Questo illustra come le differenze nei livelli di Fermi iniziali dei due materiali si traducano in un campo elettrico interno, come si verificherebbe nei punti di contatto di un dispositivo.

Il diagramma (c) mostra lo schema delle bande corrispondente dopo che è stato raggiunto l’equilibrio. Il bordo della banda di conduzione, $E_C$, e il bordo della banda di valenza, $E_V$, si incurvano nella zona di giunzione perché il potenziale elettrostatico varia in funzione della posizione. Il potenziale di contatto, $\Phi_i$, è la differenza di potenziale elettrostatico necessaria per allineare i livelli di Fermi dei due materiali inizialmente separati. In altre parole, è la differenza di potenziale associata al campo elettrico interno che si forma a seguito della ridistribuzione delle cariche.Il diagramma (c) mostra lo schema delle bande corrispondente dopo che è stato raggiunto l’equilibrio. Il bordo della banda di conduzione, $E_C$, e il bordo della banda di valenza, $E_V$, si incurvano nella zona di giunzione perché il potenziale elettrostatico varia in funzione della posizione. Il potenziale di contatto, $\Phi_i$, è la differenza di potenziale elettrostatico necessaria per allineare i livelli di Fermi dei due materiali inizialmente separati. In altre parole, è la differenza di potenziale associata al campo elettrico interno che si forma a seguito della ridistribuzione delle cariche.

Si tratta dello stesso meccanismo fisico che genera la tensione intrinseca in una giunzione a semiconduttore o tra due contatti asimmetrici in un dispositivo. Prima del contatto, le due estremità possono avere diverse funzioni di lavoro, densità di portatori o posizioni del livello di Fermi. Dopo il contatto, l’equilibrio richiede un unico livello di Fermi e la differenza viene compensata mediante la curvatura delle bande e un potenziale elettrostatico interno. Nelle simulazioni di deriva-diffusione, questo potenziale intrinseco viene introdotto attraverso il potenziale elettrostatico e, di conseguenza, modifica le densità locali di portatori, il flusso di corrente e le barriere di iniezione nei contatti.Si tratta dello stesso meccanismo fisico che genera la tensione intrinseca in una giunzione a semiconduttore o tra due contatti asimmetrici in un dispositivo. Prima del contatto, le due estremità possono avere diverse funzioni di lavoro, densità di portatori o posizioni del livello di Fermi. Dopo il contatto, l’equilibrio richiede un unico livello di Fermi e la differenza viene compensata mediante la curvatura delle bande e un potenziale elettrostatico interno. Nelle simulazioni di deriva-diffusione, questo potenziale intrinseco viene introdotto attraverso il potenziale elettrostatico e, di conseguenza, modifica le densità locali di portatori, il flusso di corrente e le barriere di iniezione nei contatti.

2. Calcolo del potenziale intrinseco2. Calcolo del potenziale intrinseco

La derivazione riportata di seguito illustra l’equazione del potenziale intrinseco utilizzata nella simulazione, che si basa sulle densità di elettroni e lacune presenti nel punto di contatto, anziché sulle concentrazioni di droganti. Questa formulazione è utile per i semiconduttori organici, le celle solari a film sottile, gli OLED e altri dispositivi in cui le densità di portatori di carica al confine sono specificate direttamente.La derivazione riportata di seguito illustra l’equazione del potenziale intrinseco utilizzata nella simulazione, che si basa sulle densità di elettroni e lacune presenti nel punto di contatto, anziché sulle concentrazioni di droganti. Questa formulazione è utile per i semiconduttori organici, le celle solari a film sottile, gli OLED e altri dispositivi in cui le densità di portatori di carica al confine sono specificate direttamente.

Nelle simulazioni basate sul modello di deriva-diffusione, il primo passo consiste nel determinare il potenziale intrinseco della struttura del dispositivo. Questo deriva dal requisito che il livello di Fermi debba essere costante nello spazio allo stato di equilibrio (cfr. ??). Se i due contatti impongono densità di portatori diverse, questa condizione può essere soddisfatta solo attraverso la formazione di un potenziale elettrostatico interno. In questo caso, i bordi delle bande sono indicati con $E_C$ e $E_V$; nei semiconduttori organici, questi sono rappresentati in modo equivalente dai livelli LUMO e HOMO, $E_{LUMO}$ e $E_{HOMO}$.Nelle simulazioni basate sul modello di deriva-diffusione, il primo passo consiste nel determinare il potenziale intrinseco della struttura del dispositivo. Questo deriva dal requisito che il livello di Fermi debba essere costante nello spazio allo stato di equilibrio (cfr. ??). Se i due contatti impongono densità di portatori diverse, questa condizione può essere soddisfatta solo attraverso la formazione di un potenziale elettrostatico interno. In questo caso, i bordi delle bande sono indicati con $E_C$ e $E_V$; nei semiconduttori organici, questi sono rappresentati in modo equivalente dai livelli LUMO e HOMO, $E_{LUMO}$ e $E_{HOMO}$.

Nelle equazioni seguenti, $\phi$ indica la variazione del potenziale elettrostatico e $V_{bi}$ indica il potenziale totale intrinseco presente nel dispositivo.Nelle equazioni seguenti, $\phi$ indica la variazione del potenziale elettrostatico e $V_{bi}$ indica il potenziale totale intrinseco presente nel dispositivo.

Per valutare il potenziale intrinseco, sono necessarie le seguenti quantità:Per valutare il potenziale intrinseco, sono necessarie le seguenti quantità:

Le concentrazioni di portatori di carica nei punti di contatto, $n$ e $p$.Le concentrazioni di portatori di carica nei punti di contatto, $n$ e $p$.
Le densità di stati effettive, $N_c$ e $N_v$.Le densità di stati effettive, $N_c$ e $N_v$.
Il divario di energia efficace, $E_g$.Il divario di energia efficace, $E_g$.

Si considera il contatto sul lato sinistro come riferimento, con un potenziale elettrostatico di $0$ V. Di conseguenza, i bordi di banda corrispondenti sono i seguenti:Si considera il contatto sul lato sinistro come riferimento, con un potenziale elettrostatico di $0$ V. Di conseguenza, i bordi di banda corrispondenti sono i seguenti:

\[ E_C = -\chi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g \] \[ E_C = -\chi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g \]

Supponendo di utilizzare la statistica di Maxwell-Boltzmann, le concentrazioni di portatori sul lato sinistro sono:Supponendo di utilizzare la statistica di Maxwell-Boltzmann, le concentrazioni di portatori sul lato sinistro sono:

\[ n_l = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_l = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \] \[ n_l = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_l = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \]

All’equilibrio, il livello di Fermi $F$ è costante in tutto il dispositivo. Se il contatto sul lato destro impone densità di portatori diverse, questa condizione viene soddisfatta modificando i bordi delle bande tramite un potenziale elettrostatico $\phi$:All’equilibrio, il livello di Fermi $F$ è costante in tutto il dispositivo. Se il contatto sul lato destro impone densità di portatori diverse, questa condizione viene soddisfatta modificando i bordi delle bande tramite un potenziale elettrostatico $\phi$:

\[ E_C = -\chi - q\phi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g - q\phi \] \[ E_C = -\chi - q\phi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g - q\phi \]

Le concentrazioni di portatori di carica sul lato destro diventano quindiLe concentrazioni di portatori di carica sul lato destro diventano quindi

\[ n_r = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_r = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \] \[ n_r = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_r = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \]

Il potenziale intrinseco presente nel modello di deriva-diffusione è quindi lo spostamento elettrostatico necessario per conciliare le densità di portatori di carica imposte al contorno con un unico livello di Fermi, costante nello spazio. L’espressione esplicita per $\phi$ deriva direttamente da questa condizione.Il potenziale intrinseco presente nel modello di deriva-diffusione è quindi lo spostamento elettrostatico necessario per conciliare le densità di portatori di carica imposte al contorno con un unico livello di Fermi, costante nello spazio. L’espressione esplicita per $\phi$ deriva direttamente da questa condizione.

2.1 Equazione del potenziale integrata, derivata dalle densità di carica.2.1 Equazione del potenziale integrata, derivata dalle densità di carica.

Rielaborando l’espressione della densità elettronica,Rielaborando l’espressione della densità elettronica,

\[ n = N_c \exp\!\left(\frac{F-E_C}{kT}\right) \quad \Rightarrow \quad F - E_C = kT \ln\!\left(\frac{n}{N_c}\right) \] \[ n = N_c \exp\!\left(\frac{F-E_C}{kT}\right) \quad \Rightarrow \quad F - E_C = kT \ln\!\left(\frac{n}{N_c}\right) \]

Valutando questo aspetto ad ogni contatto (prima dell’allineamento elettrostatico) si ottiene:Valutando questo aspetto ad ogni contatto (prima dell’allineamento elettrostatico) si ottiene:

\[ F_l = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \quad,\quad F_r = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) \] \[ F_l = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \quad,\quad F_r = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) \]

All’equilibrio, i livelli di Fermi devono coincidere, quindi la loro differenza iniziale si trasforma in una differenza di potenziale elettrostatico:All’equilibrio, i livelli di Fermi devono coincidere, quindi la loro differenza iniziale si trasforma in una differenza di potenziale elettrostatico:

\[ qV_{bi} = F_r - F_l \] \[ qV_{bi} = F_r - F_l \]

Sostituendo, si ottiene:Sostituendo, si ottiene:

\[ qV_{bi} = kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) - kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \] \[ qV_{bi} = kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) - kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \]

e di conseguenzae di conseguenza

\[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{n_r}{n_l}\right) \] \[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{n_r}{n_l}\right) \]

In modo analogo, utilizzando la densità dei difetti,In modo analogo, utilizzando la densità dei difetti,

\[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{p_l}{p_r}\right) \] \[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{p_l}{p_r}\right) \]

Questa forma dell’equazione del potenziale intrinseco è quella utilizzata internamente nelle simulazioni di trasporto per deriva e diffusione, in cui le densità di carica nei punti di contatto sono specificate direttamente.Questa forma dell’equazione del potenziale intrinseco è quella utilizzata internamente nelle simulazioni di trasporto per deriva e diffusione, in cui le densità di carica nei punti di contatto sono specificate direttamente.

Questa procedura determina sia il potenziale intrinseco sia le densità dei portatori di carica minoritari presenti nei punti di contatto. Si assume una velocità di ricombinazione infinita, in modo che le densità dei portatori di carica siano determinate dall’equilibrio locale. Velocità di ricombinazione finite introducono parametri aggiuntivi e, in genere, non sono necessarie per riprodurre le caratteristiche sperimentali del dispositivo.Questa procedura determina sia il potenziale intrinseco sia le densità dei portatori di carica minoritari presenti nei punti di contatto. Si assume una velocità di ricombinazione infinita, in modo che le densità dei portatori di carica siano determinate dall’equilibrio locale. Velocità di ricombinazione finite introducono parametri aggiuntivi e, in genere, non sono necessarie per riprodurre le caratteristiche sperimentali del dispositivo.

Qual è l’importanza del potenziale intrinseco?Qual è l’importanza del potenziale intrinseco?

Il potenziale intrinseco determina il campo elettrico interno del dispositivo e, di conseguenza, controlla la separazione, l’iniezione e l’estrazione delle cariche. Gli errori nel suo calcolo si ripercuotono direttamente sulle caratteristiche previste della curva corrente-tensione e sui profili di ricombinazione.Il potenziale intrinseco determina il campo elettrico interno del dispositivo e, di conseguenza, controlla la separazione, l’iniezione e l’estrazione delle cariche. Gli errori nel suo calcolo si ripercuotono direttamente sulle caratteristiche previste della curva corrente-tensione e sui profili di ricombinazione.

Conoscendo il potenziale intrinseco, possiamo effettuare una stima preliminare del profilo potenziale sull’intero dispositivo utilizzando un’approssimazione lineare. Da questa stima, si ottengono valori approssimativi della densità dei portatori di carica, che vengono utilizzati come valori iniziali per il principale risolutore di Newton, il quale calcola quindi il potenziale e la distribuzione dei portatori in modo autoconsistente. Il risolutore di Newton è descritto nella sezione successiva.Conoscendo il potenziale intrinseco, possiamo effettuare una stima preliminare del profilo potenziale sull’intero dispositivo utilizzando un’approssimazione lineare. Da questa stima, si ottengono valori approssimativi della densità dei portatori di carica, che vengono utilizzati come valori iniziali per il principale risolutore di Newton, il quale calcola quindi il potenziale e la distribuzione dei portatori in modo autoconsistente. Il risolutore di Newton è descritto nella sezione successiva.