Statistica di Fermi-Dirac contro statistica di Maxwell-Boltzmann nei semiconduttoriStatistica di Fermi-Dirac contro statistica di Maxwell-Boltzmann nei semiconduttori

Le statistiche di Fermi-Dirac e di Maxwell-Boltzmann vengono utilizzate nella modellizzazione dei dispositivi a semiconduttore per mettere in relazione le densità di portatori con la posizione dei livelli di quasi-Fermi. Queste statistiche determinano come gli elettroni occupano gli stati energetici disponibili all’interno della densità degli stati e, di conseguenza, controllano direttamente le concentrazioni di portatori, l’elettrostatica, i tassi di ricombinazione e il comportamento del trasporto di carica.Le statistiche di Fermi-Dirac e di Maxwell-Boltzmann vengono utilizzate nella modellizzazione dei dispositivi a semiconduttore per mettere in relazione le densità di portatori con la posizione dei livelli di quasi-Fermi. Queste statistiche determinano come gli elettroni occupano gli stati energetici disponibili all’interno della densità degli stati e, di conseguenza, controllano direttamente le concentrazioni di portatori, l’elettrostatica, i tassi di ricombinazione e il comportamento del trasporto di carica.

Questa pagina spiega come le densità di portatori nei semiconduttori vengono ricavate dalla densità degli stati e dalla distribuzione di Fermi-Dirac, per poi presentare l’approssimazione di Maxwell-Boltzmann, comunemente utilizzata nella modellizzazione dei dispositivi a semiconduttore basata sui fenomeni di deriva e diffusione. Vengono quindi analizzate le differenze tra le statistiche di Fermi-Dirac e di Maxwell-Boltzmann, il loro significato fisico, il costo computazionale e la validità nei semiconduttori degenerati e non degenerati.Questa pagina spiega come le densità di portatori nei semiconduttori vengono ricavate dalla densità degli stati e dalla distribuzione di Fermi-Dirac, per poi presentare l’approssimazione di Maxwell-Boltzmann, comunemente utilizzata nella modellizzazione dei dispositivi a semiconduttore basata sui fenomeni di deriva e diffusione. Vengono quindi analizzate le differenze tra le statistiche di Fermi-Dirac e di Maxwell-Boltzmann, il loro significato fisico, il costo computazionale e la validità nei semiconduttori degenerati e non degenerati.

1. La densità degli stati1. La densità degli stati

La densità degli stati indica il numero di stati elettronici disponibili per ogni livello di energia all’interno della banda di conduzione. Ogni stato può ospitare un elettrone, oppure due elettroni se si considera anche lo spin. La distribuzione degli stati disponibili è illustrata schematicamente in ??.La densità degli stati indica il numero di stati elettronici disponibili per ogni livello di energia all’interno della banda di conduzione. Ogni stato può ospitare un elettrone, oppure due elettroni se si considera anche lo spin. La distribuzione degli stati disponibili è illustrata schematicamente in ??.

Per un semiconduttore tridimensionale con una banda di conduzione parabolica, la densità degli stati è data da:Per un semiconduttore tridimensionale con una banda di conduzione parabolica, la densità degli stati è data da:

\[ g_{c}(E)=\frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} \] \[ g_{c}(E)=\frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} \]

dove \(g_{c}(E)\) rappresenta la densità degli stati, \(m_{n}^{*}\) la massa efficace degli elettroni, \(\hbar\) la costante di Planck ridotta e \(E_{c}\) il limite inferiore della banda di conduzione.dove \(g_{c}(E)\) rappresenta la densità degli stati, \(m_{n}^{*}\) la massa efficace degli elettroni, \(\hbar\) la costante di Planck ridotta e \(E_{c}\) il limite inferiore della banda di conduzione.

La densità degli stati è nulla al di sotto del limite inferiore della banda di conduzione, poiché in tale intervallo non esistono stati di conduzione. Al di sopra di \(E_{c}\), il numero di stati disponibili aumenta con l’energia.La densità degli stati è nulla al di sotto del limite inferiore della banda di conduzione, poiché in tale intervallo non esistono stati di conduzione. Al di sopra di \(E_{c}\), il numero di stati disponibili aumenta con l’energia.

2. Statistica di Fermi-Dirac2. Statistica di Fermi-Dirac

Mentre la densità degli stati indica il numero di stati elettronici disponibili per ogni livello di energia, la distribuzione di Fermi-Dirac descrive la probabilità che ciascuno di questi stati sia occupato da un elettrone. Questa distribuzione è illustrata schematicamente in ??.Mentre la densità degli stati indica il numero di stati elettronici disponibili per ogni livello di energia, la distribuzione di Fermi-Dirac descrive la probabilità che ciascuno di questi stati sia occupato da un elettrone. Questa distribuzione è illustrata schematicamente in ??.

\[ f(E)=\frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)} \] \[ f(E)=\frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)} \]

In questo caso, \(f(E)\) rappresenta la probabilità che uno stato di energia \(E\) sia occupato da un elettrone, \(E_{F}\) è il livello di Fermi, \(k_{B}\) è la costante di Boltzmann e \(T\) è la temperatura.In questo caso, \(f(E)\) rappresenta la probabilità che uno stato di energia \(E\) sia occupato da un elettrone, \(E_{F}\) è il livello di Fermi, \(k_{B}\) è la costante di Boltzmann e \(T\) è la temperatura.

Gli stati energetici che si trovano ben al di sotto del livello di Fermi hanno un’alta probabilità di essere occupati, mentre gli stati che si trovano molto al di sopra del livello di Fermi hanno una bassa probabilità di contenere elettroni. In prossimità del livello di Fermi, la probabilità di occupazione varia gradualmente tra gli stati occupati e quelli vuoti.Gli stati energetici che si trovano ben al di sotto del livello di Fermi hanno un’alta probabilità di essere occupati, mentre gli stati che si trovano molto al di sopra del livello di Fermi hanno una bassa probabilità di contenere elettroni. In prossimità del livello di Fermi, la probabilità di occupazione varia gradualmente tra gli stati occupati e quelli vuoti.

3. Densità elettronica nella banda di conduzione, calcolata mediante la statistica di Fermi-Dirac.3. Densità elettronica nella banda di conduzione, calcolata mediante la statistica di Fermi-Dirac.

La densità elettronica nella banda di conduzione si ottiene moltiplicando la densità degli stati per la probabilità di occupazione di Fermi-Dirac e integrando rispetto all’energia, come illustrato in ??.La densità elettronica nella banda di conduzione si ottiene moltiplicando la densità degli stati per la probabilità di occupazione di Fermi-Dirac e integrando rispetto all’energia, come illustrato in ??.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red} f(E)} \,dE \] \[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red} f(E)} \,dE \]

Sostituendo la densità degli stati nella banda di conduzione e la funzione di occupazione di Fermi-Dirac, si ottiene:Sostituendo la densità degli stati nella banda di conduzione e la funzione di occupazione di Fermi-Dirac, si ottiene:

4. Notazione dell’integrale di Fermi-Dirac4. Notazione dell’integrale di Fermi-Dirac

L’integrale completo della densità di portatori di carica, derivato in precedenza, non ammette in genere una soluzione analitica semplice. Invece, viene solitamente riscritto utilizzando la notazione abbreviata dell’integrale di Fermi-Dirac.L’integrale completo della densità di portatori di carica, derivato in precedenza, non ammette in genere una soluzione analitica semplice. Invece, viene solitamente riscritto utilizzando la notazione abbreviata dell’integrale di Fermi-Dirac.

Questa notazione compare frequentemente nella fisica dei semiconduttori perché offre un modo conciso per esprimere le statistiche dei portatori di carica in condizioni degenerate.Questa notazione compare frequentemente nella fisica dei semiconduttori perché offre un modo conciso per esprimere le statistiche dei portatori di carica in condizioni degenerate.

In questo caso, \(F_{1/2}\) rappresenta l’integrale di Fermi-Dirac di ordine uno mezzo, mentre \(N_c\) indica la densità effettiva degli stati della banda di conduzione.In questo caso, \(F_{1/2}\) rappresenta l’integrale di Fermi-Dirac di ordine uno mezzo, mentre \(N_c\) indica la densità effettiva degli stati della banda di conduzione.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue}{ \frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} }} {\color{red}{ \frac{1}{ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right)} }} \,dE \] \[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue}{ \frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} }} {\color{red}{ \frac{1}{ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right)} }} \,dE \]

In questo caso, il termine in blu rappresenta il numero di stati elettronici disponibili per ogni livello di energia, mentre il termine in rosso rappresenta la probabilità che questi stati siano occupati da elettroni.In questo caso, il termine in blu rappresenta il numero di stati elettronici disponibili per ogni livello di energia, mentre il termine in rosso rappresenta la probabilità che questi stati siano occupati da elettroni.

3. Derivazione dell’approssimazione di Maxwell-Boltzmann3. Derivazione dell’approssimazione di Maxwell-Boltzmann

L’approssimazione di Maxwell-Boltzmann è valida quando il semiconduttore non è degenere, il che significa che la densità di elettroni è sufficientemente bassa da far sì che la maggior parte degli stati elettronici nella banda di conduzione rimanga vuota. In queste condizioni, il livello di Fermi si trova a diversi \(k_{B}T\) al di sotto del bordo della banda di conduzione, in modo che \(E-E_{F_n} \gg k_{B}T\) e la probabilità di occupazione soddisfi \(f(E)\ll1\). Fisicamente, ciò significa che gli elettroni sono sufficientemente sparsi, in modo che il principio di esclusione di Pauli non limiti in modo significativo l’occupazione degli stati. In altre parole, gli elettroni si comportano approssimativamente come un gas classico perché ci sono molti più stati disponibili rispetto agli elettroni che li occupano. Questa approssimazione è accurata per la maggior parte dei dispositivi semiconduttori convenzionali che operano a densità di portatori moderate, inclusi molti diodi al silicio, celle solari e dispositivi semiconduttori organici. Tuttavia, inizia a perdere validità a densità di portatori molto elevate, a livelli di drogaggio elevati o in caso di forte accumulo di portatori, quando una frazione significativa degli stati disponibili diventa occupata. In queste condizioni, \[ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \approx \exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \] e la distribuzione di Fermi-Dirac si riduce aL’approssimazione di Maxwell-Boltzmann è valida quando il semiconduttore non è degenere, il che significa che la densità di elettroni è sufficientemente bassa da far sì che la maggior parte degli stati elettronici nella banda di conduzione rimanga vuota. In queste condizioni, il livello di Fermi si trova a diversi \(k_{B}T\) al di sotto del bordo della banda di conduzione, in modo che \(E-E_{F_n} \gg k_{B}T\) e la probabilità di occupazione soddisfi \(f(E)\ll1\). Fisicamente, ciò significa che gli elettroni sono sufficientemente sparsi, in modo che il principio di esclusione di Pauli non limiti in modo significativo l’occupazione degli stati. In altre parole, gli elettroni si comportano approssimativamente come un gas classico perché ci sono molti più stati disponibili rispetto agli elettroni che li occupano. Questa approssimazione è accurata per la maggior parte dei dispositivi semiconduttori convenzionali che operano a densità di portatori moderate, inclusi molti diodi al silicio, celle solari e dispositivi semiconduttori organici. Tuttavia, inizia a perdere validità a densità di portatori molto elevate, a livelli di drogaggio elevati o in caso di forte accumulo di portatori, quando una frazione significativa degli stati disponibili diventa occupata. In queste condizioni, \[ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \approx \exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \] e la distribuzione di Fermi-Dirac si riduce a

\[ f(E)\approx \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) \] \[ f(E)\approx \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) \]

Sostituendo questa espressione nell’integrale che definisce la densità di carica, otteniamo:Sostituendo questa espressione nell’integrale che definisce la densità di carica, otteniamo:

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red}{ \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) }} \,dE \] \[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red}{ \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) }} \,dE \]

Valutazione dei risultati complessivi.Valutazione dei risultati complessivi.

\[ {\color{green} n} = N_{c} \exp\left( \frac{E_{F_n}-E_{c}}{k_{B}T} \right) \qquad N_{c}=2 \left( \frac{2\pi m_{n}^{*}k_{B}T}{h^{2}} \right)^{3/2} \] \[ {\color{green} n} = N_{c} \exp\left( \frac{E_{F_n}-E_{c}}{k_{B}T} \right) \qquad N_{c}=2 \left( \frac{2\pi m_{n}^{*}k_{B}T}{h^{2}} \right)^{3/2} \]

dove \(N_c\) rappresenta la densità effettiva degli stati nella banda di conduzione. Questa è l’equazione standard di Maxwell-Boltzmann per la densità dei portatori di carica, utilizzata nella maggior parte dei modelli di dispositivi semiconduttori basati sul meccanismo di deriva-diffusione.dove \(N_c\) rappresenta la densità effettiva degli stati nella banda di conduzione. Questa è l’equazione standard di Maxwell-Boltzmann per la densità dei portatori di carica, utilizzata nella maggior parte dei modelli di dispositivi semiconduttori basati sul meccanismo di deriva-diffusione.

4. In quali casi dovrei utilizzare la statistica di Maxwell-Boltzmann e in quali casi dovrei utilizzare la statistica di Fermi-Dirac?4. In quali casi dovrei utilizzare la statistica di Maxwell-Boltzmann e in quali casi dovrei utilizzare la statistica di Fermi-Dirac?

La statistica di Maxwell-Boltzmann deve essere utilizzata quando il semiconduttore si trova in uno stato in cui non degenereciò significa che la concentrazione di portatori liberi è sufficientemente bassa da far sì che la maggior parte degli stati nelle bande di conduzione e di valenza rimangano vuoti. In queste condizioni, i livelli di quasi-Fermi rimangono a un valore elevato. \(k_{B}T\) gli effetti di bordo e di riempimento dello stato sono trascurabili, lontano dai bordi della banda. Questa approssimazione è valida per la maggior parte dei dispositivi semiconduttori convenzionali che operano a densità di portatori moderate, tra cui molte giunzioni pn al silicio, simulazioni di deriva-diffusione OLED, dispositivi fotovoltaici organici e celle solari a film sottile che operano lontano dalla condizione di degenerazione. La statistica di Maxwell-Boltzmann deve essere utilizzata quando il semiconduttore si trova in uno stato in cui non degenereciò significa che la concentrazione di portatori liberi è sufficientemente bassa da far sì che la maggior parte degli stati nelle bande di conduzione e di valenza rimangano vuoti. In queste condizioni, i livelli di quasi-Fermi rimangono a un valore elevato. \(k_{B}T\) gli effetti di bordo e di riempimento dello stato sono trascurabili, lontano dai bordi della banda. Questa approssimazione è valida per la maggior parte dei dispositivi semiconduttori convenzionali che operano a densità di portatori moderate, tra cui molte giunzioni pn al silicio, simulazioni di deriva-diffusione OLED, dispositivi fotovoltaici organici e celle solari a film sottile che operano lontano dalla condizione di degenerazione.

Al contrario, per i semiconduttori degenerati è necessario utilizzare la statistica di Fermi-Dirac, poiché la densità dei portatori di carica diventa sufficientemente elevata da far sì che una frazione significativa degli stati elettronici disponibili venga occupata. In queste situazioni, il livello di quasi-Fermi si avvicina o entra in una banda e il principio di esclusione di Pauli influenza notevolmente la distribuzione dei portatori di carica. Esempi in cui la statistica di Fermi-Dirac è spesso necessaria includono i semiconduttori fortemente drogati, le eterostrutture quantiche, i LED con elevata corrente di iniezione, gli strati con forte accumulo di portatori di carica e alcune strutture laser inorganiche.Al contrario, per i semiconduttori degenerati è necessario utilizzare la statistica di Fermi-Dirac, poiché la densità dei portatori di carica diventa sufficientemente elevata da far sì che una frazione significativa degli stati elettronici disponibili venga occupata. In queste situazioni, il livello di quasi-Fermi si avvicina o entra in una banda e il principio di esclusione di Pauli influenza notevolmente la distribuzione dei portatori di carica. Esempi in cui la statistica di Fermi-Dirac è spesso necessaria includono i semiconduttori fortemente drogati, le eterostrutture quantiche, i LED con elevata corrente di iniezione, gli strati con forte accumulo di portatori di carica e alcune strutture laser inorganiche.

Nelle simulazioni numeriche dei semiconduttori, le statistiche di Maxwell-Boltzmann sono generalmente preferite quando possibile, poiché le equazioni risultanti sulla densità dei portatori possono essere risolte analiticamente e in modo molto efficiente. Ciò rende le equazioni più semplici, più veloci e numericamente più stabili. Al contrario, le statistiche di Fermi-Dirac richiedono un tempo di calcolo numerico significativamente maggiore, poiché la densità dei portatori deve solitamente essere ottenuta calcolando esplicitamente l’integrale di Fermi-Dirac. In pratica, ciò spesso richiede un ciclo numerico sull’energia o la ripetuta valutazione di integrali tabulati, il che comporta un notevole aumento del carico computazionale rispetto all’approssimazione analitica di Maxwell-Boltzmann.Nelle simulazioni numeriche dei semiconduttori, le statistiche di Maxwell-Boltzmann sono generalmente preferite quando possibile, poiché le equazioni risultanti sulla densità dei portatori possono essere risolte analiticamente e in modo molto efficiente. Ciò rende le equazioni più semplici, più veloci e numericamente più stabili. Al contrario, le statistiche di Fermi-Dirac richiedono un tempo di calcolo numerico significativamente maggiore, poiché la densità dei portatori deve solitamente essere ottenuta calcolando esplicitamente l’integrale di Fermi-Dirac. In pratica, ciò spesso richiede un ciclo numerico sull’energia o la ripetuta valutazione di integrali tabulati, il che comporta un notevole aumento del carico computazionale rispetto all’approssimazione analitica di Maxwell-Boltzmann.

Pertanto, quando non è necessario modellare le popolazioni di portatori degenerate, è generalmente preferibile utilizzare la statistica di Maxwell-Boltzmann. Tuttavia, quando le popolazioni di portatori degenerate sono rilevanti dal punto di vista fisico, è necessario utilizzare la statistica completa di Fermi-Dirac per descrivere correttamente il riempimento degli stati e gli effetti dell’occupazione dei portatori. La discussione che segue riguarda esclusivamente la statistica delle popolazioni di portatori liberi nelle bande di conduzione e di valenza. In generale, gli stati di trappola molto profondi richiedono l’uso della statistica di occupazione di Fermi-Dirac, indipendentemente dal fatto che i portatori liberi siano degenerati o meno, anche se questo aspetto esula dall’ambito della presente discussione.Pertanto, quando non è necessario modellare le popolazioni di portatori degenerate, è generalmente preferibile utilizzare la statistica di Maxwell-Boltzmann. Tuttavia, quando le popolazioni di portatori degenerate sono rilevanti dal punto di vista fisico, è necessario utilizzare la statistica completa di Fermi-Dirac per descrivere correttamente il riempimento degli stati e gli effetti dell’occupazione dei portatori. La discussione che segue riguarda esclusivamente la statistica delle popolazioni di portatori liberi nelle bande di conduzione e di valenza. In generale, gli stati di trappola molto profondi richiedono l’uso della statistica di occupazione di Fermi-Dirac, indipendentemente dal fatto che i portatori liberi siano degenerati o meno, anche se questo aspetto esula dall’ambito della presente discussione.

5. Esempi di script per la rappresentazione grafica delle statistiche di Fermi-Dirac e di Maxwell-Boltzmann.5. Esempi di script per la rappresentazione grafica delle statistiche di Fermi-Dirac e di Maxwell-Boltzmann.

È possibile analizzare le differenze tra le statistiche dei portatori di carica di Maxwell-Boltzmann e di Fermi-Dirac utilizzando gli script di esempio in Python e MATLAB/Octave riportati di seguito. Questi script riproducono il comportamento illustrato in ?? e consentono di studiare in modo interattivo l’effetto della variazione di temperatura, densità dei portatori e livello di quasi-Fermi.È possibile analizzare le differenze tra le statistiche dei portatori di carica di Maxwell-Boltzmann e di Fermi-Dirac utilizzando gli script di esempio in Python e MATLAB/Octave riportati di seguito. Questi script riproducono il comportamento illustrato in ?? e consentono di studiare in modo interattivo l’effetto della variazione di temperatura, densità dei portatori e livello di quasi-Fermi.

import math
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
k_B = 8.617333262e-5
T = 300.0
Nc = 2.8e19

# Generate energy axis
Ef_minus_Ec = []

x = -0.4

while x <= 0.2:
    Ef_minus_Ec.append(x)
    x += 0.002

# Maxwell-Boltzmann carrier density
n_mb = []

for eta in Ef_minus_Ec:
    n = Nc * math.exp(eta / (k_B * T))
    n_mb.append(n)

# Approximate Fermi-Dirac carrier density
n_fd = []

for eta in Ef_minus_Ec:

    arg = eta / (k_B * T)

    fd = Nc * math.log(1.0 + math.exp(arg))

    n_fd.append(fd)

# Plot
plt.figure(figsize=(7,5))

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_mb,
    color='#d00000',
    linewidth=3,
    label='Maxwell-Boltzmann'
)

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_fd,
    color='#0044ff',
    linewidth=3,
    label='Fermi-Dirac'
)

plt.xlabel(r'$E_{F_n}-E_c$ (eV)')
plt.ylabel(r'Electron density (cm$^{-3}$)')

plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

k_B = 8.617333262e-5;
T = 300.0;
Nc = 2.8e19;

Ef_minus_Ec = -0.4:0.002:0.2;

n_mb = Nc .* exp(Ef_minus_Ec ./ (k_B*T));

arg = Ef_minus_Ec ./ (k_B*T);
n_fd = Nc .* log(1.0 + exp(arg));

semilogy(Ef_minus_Ec, n_mb, 'r', 'LineWidth', 3);
hold on;
semilogy(Ef_minus_Ec, n_fd, 'b', 'LineWidth', 3);

xlabel('E_F - E_c (eV)');
ylabel('Electron density');

legend('Maxwell-Boltzmann', 'Fermi-Dirac');

grid on;