La necessità di prevedere stati di intrappolamento nei modelli di dispositivi organiciLa necessità di prevedere stati di intrappolamento nei modelli di dispositivi organici

In questa sezione viene spiegato perché è necessario tenere conto degli stati di intrappolamento quando si simulano materiali disordinati, come le miscele di polimeri e fullereni, i sistemi a piccole molecole o i semiconduttori amorfi. Senza una trattazione esplicita dei processi di intrappolamento e rilascio, qualsiasi modello di dispositivo non sarà in grado di descrivere correttamente la fisica del trasporto e della ricombinazione delle cariche. Pertanto, l’utilizzo del formalismo completo di ricombinazione e intrappolamento di Shockley–Read–Hall (SRH) è essenziale per ottenere risultati fisicamente significativi.In questa sezione viene spiegato perché è necessario tenere conto degli stati di intrappolamento quando si simulano materiali disordinati, come le miscele di polimeri e fullereni, i sistemi a piccole molecole o i semiconduttori amorfi. Senza una trattazione esplicita dei processi di intrappolamento e rilascio, qualsiasi modello di dispositivo non sarà in grado di descrivere correttamente la fisica del trasporto e della ricombinazione delle cariche. Pertanto, l’utilizzo del formalismo completo di ricombinazione e intrappolamento di Shockley–Read–Hall (SRH) è essenziale per ottenere risultati fisicamente significativi.

1. La struttura fisica ed energetica dei materiali disordinati1. La struttura fisica ed energetica dei materiali disordinati

I semiconduttori inorganici tradizionali, come il silicio cristallino o l’arseniuro di gallio, presentano un elevato grado di ordine e un’estrema purezza, raggiungendo spesso un livello di purezza del 99,9999999% («nove nove»). I semiconduttori organici, al contrario, raramente superano il 99,9% di purezza, il che li rende circa un milione di volte più suscettibili alla presenza di difetti rispetto ai loro omologhi inorganici. Dal punto di vista strutturale, la differenza è altrettanto marcata: i semiconduttori inorganici formano reticoli cristallini regolari, come biglie disposte in modo ordinato su una tavola da gioco (??). Il silicio stesso assume la struttura cubica del diamante, un reticolo quasi perfetto (??). I materiali organici, al contrario, sono sistemi molecolari «flessibili», con polimeri intrecciati che ricordano un piatto di spaghetti alla bolognese: gli spaghetti rappresentano le catene polimeriche e il sugo le piccole molecole (??). Le simulazioni di miscele organiche confermano questo quadro, mostrando un impacchettamento dei polimeri simile a degli spaghetti, con derivati del fullerene dispersi in tutto il materiale (??).I semiconduttori inorganici tradizionali, come il silicio cristallino o l’arseniuro di gallio, presentano un elevato grado di ordine e un’estrema purezza, raggiungendo spesso un livello di purezza del 99,9999999% («nove nove»). I semiconduttori organici, al contrario, raramente superano il 99,9% di purezza, il che li rende circa un milione di volte più suscettibili alla presenza di difetti rispetto ai loro omologhi inorganici. Dal punto di vista strutturale, la differenza è altrettanto marcata: i semiconduttori inorganici formano reticoli cristallini regolari, come biglie disposte in modo ordinato su una tavola da gioco (??). Il silicio stesso assume la struttura cubica del diamante, un reticolo quasi perfetto (??). I materiali organici, al contrario, sono sistemi molecolari «flessibili», con polimeri intrecciati che ricordano un piatto di spaghetti alla bolognese: gli spaghetti rappresentano le catene polimeriche e il sugo le piccole molecole (??). Le simulazioni di miscele organiche confermano questo quadro, mostrando un impacchettamento dei polimeri simile a degli spaghetti, con derivati del fullerene dispersi in tutto il materiale (??).

Queste differenze strutturali danno origine a scenari energetici molto diversi. Nei semiconduttori cristallini, gli elettroni e le lacune si muovono liberamente in bande di conduzione e di valenza ben definite, riscontrando solo una modesta resistenza sotto l’effetto di un campo applicato. Questo tipo di trasporto a bande è illustrato in ??. Nei semiconduttori organici disordinati, invece, le impurità e il disordine strutturale introducono una fitta distribuzione di stati di trappola localizzati all’interno del gap di banda. Invece di propagarsi liberamente attraverso stati estesi, i portatori di carica devono saltare termicamente tra le trappole. Questo tipo di trasporto, dominato dalle trappole, è illustrato schematicamente in ??.Queste differenze strutturali danno origine a scenari energetici molto diversi. Nei semiconduttori cristallini, gli elettroni e le lacune si muovono liberamente in bande di conduzione e di valenza ben definite, riscontrando solo una modesta resistenza sotto l’effetto di un campo applicato. Questo tipo di trasporto a bande è illustrato in ??. Nei semiconduttori organici disordinati, invece, le impurità e il disordine strutturale introducono una fitta distribuzione di stati di trappola localizzati all’interno del gap di banda. Invece di propagarsi liberamente attraverso stati estesi, i portatori di carica devono saltare termicamente tra le trappole. Questo tipo di trasporto, dominato dalle trappole, è illustrato schematicamente in ??.

Le implicazioni sono chiare: sebbene gli stati di trappola possano spesso essere trascurati nei semiconduttori ordinati, essi dominano la fisica dei sistemi disordinati. Pertanto, qualsiasi modello di dispositivo realistico deve includere una descrizione dettagliata delle distribuzioni di trappola e della cinetica di Shockley–Read–Hall. OghmaNano fa esattamente questo, consentendo di simulare sistemi disordinati come le celle solari organiche, i transistor OFET e i materiali perovskitici con precisione fisica.Le implicazioni sono chiare: sebbene gli stati di trappola possano spesso essere trascurati nei semiconduttori ordinati, essi dominano la fisica dei sistemi disordinati. Pertanto, qualsiasi modello di dispositivo realistico deve includere una descrizione dettagliata delle distribuzioni di trappola e della cinetica di Shockley–Read–Hall. OghmaNano fa esattamente questo, consentendo di simulare sistemi disordinati come le celle solari organiche, i transistor OFET e i materiali perovskitici con precisione fisica.

Per capire perché questo aspetto è importante, analizzeremo ora la relazione tra la densità dei portatori di carica e il livello di Fermi, esaminando alcuni esempi concreti.Per capire perché questo aspetto è importante, analizzeremo ora la relazione tra la densità dei portatori di carica e il livello di Fermi, esaminando alcuni esempi concreti.

2. Perché gli stati di intrappolamento sono importanti per la modellizzazione dei dispositivi (senza formule matematiche).2. Perché gli stati di intrappolamento sono importanti per la modellizzazione dei dispositivi (senza formule matematiche).

Una caratteristica fondamentale dei semiconduttori organici e di altri semiconduttori disordinati è che la densità dei portatori di carica dipende in modo significativo sia dalla tensione applicata che dall’intensità della luce. All’aumentare della tensione di polarizzazione o dell’intensità della luce, una maggiore quantità di carica viene immessa o generata fotoelettricamente nel dispositivo. Poiché questi materiali presentano un elevato numero di stati di trappola all’interno del gap di banda, i portatori di carica riempiono inizialmente queste trappole prima di occupare gli stati estesi. Questo riempimento delle trappole significa che anche piccole variazioni di tensione possono produrre grandi variazioni nella densità dei portatori liberi.Una caratteristica fondamentale dei semiconduttori organici e di altri semiconduttori disordinati è che la densità dei portatori di carica dipende in modo significativo sia dalla tensione applicata che dall’intensità della luce. All’aumentare della tensione di polarizzazione o dell’intensità della luce, una maggiore quantità di carica viene immessa o generata fotoelettricamente nel dispositivo. Poiché questi materiali presentano un elevato numero di stati di trappola all’interno del gap di banda, i portatori di carica riempiono inizialmente queste trappole prima di occupare gli stati estesi. Questo riempimento delle trappole significa che anche piccole variazioni di tensione possono produrre grandi variazioni nella densità dei portatori liberi.

Questo è importante perché il processo di ricombinazione all’interno del dispositivo dipende direttamente dalla densità dei portatori di carica. La formula generale del tasso di ricombinazione è:Questo è importante perché il processo di ricombinazione all’interno del dispositivo dipende direttamente dalla densità dei portatori di carica. La formula generale del tasso di ricombinazione è:

\[ R = k_r \, n(V)\, p(V), \]\[ R = k_r \, n(V)\, p(V), \]

dove \(k_r\) è la costante di ricombinazione, e \(n(V)\) e \(p(V)\) sono le densità di elettroni e lacune, che dipendono dalla tensione. Se la forma funzionale di \(n(V)\) (e di \(p(V)\)) è errata perché non sono stati presi in considerazione gli stati di trappola, allora anche la velocità di ricombinazione sarà errata. Ciò porta direttamente a previsioni imprecise della tensione a circuito aperto (\(V_{OC}\)) e di altre caratteristiche fondamentali del dispositivo.dove \(k_r\) è la costante di ricombinazione, e \(n(V)\) e \(p(V)\) sono le densità di elettroni e lacune, che dipendono dalla tensione. Se la forma funzionale di \(n(V)\) (e di \(p(V)\)) è errata perché non sono stati presi in considerazione gli stati di trappola, allora anche la velocità di ricombinazione sarà errata. Ciò porta direttamente a previsioni imprecise della tensione a circuito aperto (\(V_{OC}\)) e di altre caratteristiche fondamentali del dispositivo.

Anche la mobilità è influenzata in modo simile. Nei sistemi disordinati, la mobilità effettiva dei portatori di carica dipende dall’equilibrio tra i portatori liberi e quelli intrappolati. Un’espressione semplice è:Anche la mobilità è influenzata in modo simile. Nei sistemi disordinati, la mobilità effettiva dei portatori di carica dipende dall’equilibrio tra i portatori liberi e quelli intrappolati. Un’espressione semplice è:

\[ \mu_e(n) = \frac{\mu_e^0 \, n_{\text{free}}}{n_{\text{free}} + n_{\text{trap}}}, \]\[ \mu_e(n) = \frac{\mu_e^0 \, n_{\text{free}}}{n_{\text{free}} + n_{\text{trap}}}, \]

dove \(\mu_e^0\) è la mobilità intrinseca degli elettroni, \(n_{\text{free}}\) è la densità dei portatori di carica mobili e \(n_{\text{trap}}\) è la densità dei portatori di carica intrappolati. Se la relazione tra densità e tensione è errata, anche la dipendenza prevista tra mobilità e tensione sarà errata. Nel complesso, questi errori comportano che la curva J–V simulata non corrisponderà ai risultati sperimentali, anche se i parametri relativi alla ricombinazione o alla mobilità sono altrimenti plausibili.dove \(\mu_e^0\) è la mobilità intrinseca degli elettroni, \(n_{\text{free}}\) è la densità dei portatori di carica mobili e \(n_{\text{trap}}\) è la densità dei portatori di carica intrappolati. Se la relazione tra densità e tensione è errata, anche la dipendenza prevista tra mobilità e tensione sarà errata. Nel complesso, questi errori comportano che la curva J–V simulata non corrisponderà ai risultati sperimentali, anche se i parametri relativi alla ricombinazione o alla mobilità sono altrimenti plausibili.

3. Perché gli stati di intrappolamento sono importanti per la modellizzazione dei dispositivi (con formule matematiche).3. Perché gli stati di intrappolamento sono importanti per la modellizzazione dei dispositivi (con formule matematiche).

Per descrivere correttamente le densità di portatori, è necessario tenere conto della densità di stati sottostante. La figura ?? illustra la densità di stati corrispondente alle strutture a bande ordinate e disordinate mostrate in precedenza nelle figure ?? e ??. In un semiconduttore ordinato, la densità di stati presenta un bordo di banda ben definito (a forma di parabola) e la distribuzione di Fermi-Dirac si trova al di sopra del bordo della banda di conduzione. In un semiconduttore disordinato, invece, la densità di stati presenta una «coda» di stati di trappola localizzati che si estende in profondità nel divario di banda (generalmente modellata con una funzione esponenziale o gaussiana). Di conseguenza, i portatori occupano distribuzioni fondamentalmente diverse nei due casi.Per descrivere correttamente le densità di portatori, è necessario tenere conto della densità di stati sottostante. La figura ?? illustra la densità di stati corrispondente alle strutture a bande ordinate e disordinate mostrate in precedenza nelle figure ?? e ??. In un semiconduttore ordinato, la densità di stati presenta un bordo di banda ben definito (a forma di parabola) e la distribuzione di Fermi-Dirac si trova al di sopra del bordo della banda di conduzione. In un semiconduttore disordinato, invece, la densità di stati presenta una «coda» di stati di trappola localizzati che si estende in profondità nel divario di banda (generalmente modellata con una funzione esponenziale o gaussiana). Di conseguenza, i portatori occupano distribuzioni fondamentalmente diverse nei due casi.

Formalmente, la densità elettronica totale si ottiene integrando la densità degli stati, ponderata con la funzione di occupazione di Fermi-Dirac:Formalmente, la densità elettronica totale si ottiene integrando la densità degli stati, ponderata con la funzione di occupazione di Fermi-Dirac:

\[ n(E_f,T) = \int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_f,T)\, dE, \]\[ n(E_f,T) = \int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_f,T)\, dE, \]

dove \(E_f\) è il livello quasi-Fermi, \(\rho(E)\) è la densità degli stati, e \(f(E,E_f,T)\) è la distribuzione di Fermi-Dirac. Nei materiali ordinati, \(\rho(E)\) è ben definita, quindi contribuiscono solo gli stati al di sopra del bordo della banda di conduzione. Nei materiali disordinati, \(\rho(E)\) include ampie «code» di trappole, quindi le cariche possono essere accumulate in prossimità del livello di Fermi, producendo densità di carica da uno a due ordini di grandezza superiori rispetto a quelle di un cristallo ordinato sottoposto alla stessa polarizzazione. Questo viene osservato direttamente negli esperimenti di estrazione di carica.dove \(E_f\) è il livello quasi-Fermi, \(\rho(E)\) è la densità degli stati, e \(f(E,E_f,T)\) è la distribuzione di Fermi-Dirac. Nei materiali ordinati, \(\rho(E)\) è ben definita, quindi contribuiscono solo gli stati al di sopra del bordo della banda di conduzione. Nei materiali disordinati, \(\rho(E)\) include ampie «code» di trappole, quindi le cariche possono essere accumulate in prossimità del livello di Fermi, producendo densità di carica da uno a due ordini di grandezza superiori rispetto a quelle di un cristallo ordinato sottoposto alla stessa polarizzazione. Questo viene osservato direttamente negli esperimenti di estrazione di carica.

La conclusione è semplice: è fondamentale definire correttamente la dipendenza della densità dei portatori di carica; non è un aspetto secondario. In assenza di un modello che tenga conto degli stati di intrappolamento, sia il processo di ricombinazione sia la mobilità risulterebbero errati in funzione della tensione, e non sarebbe possibile riprodurre curve caratteristiche realistiche (J–V). OghmaNano include esplicitamente questi stati di intrappolamento, consentendo una modellazione accurata di dispositivi disordinati come le miscele PM6:Y6 e P3HT:PCBM, nonché di semiconduttori più ordinati quando gli stati di intrappolamento sono disattivati.La conclusione è semplice: è fondamentale definire correttamente la dipendenza della densità dei portatori di carica; non è un aspetto secondario. In assenza di un modello che tenga conto degli stati di intrappolamento, sia il processo di ricombinazione sia la mobilità risulterebbero errati in funzione della tensione, e non sarebbe possibile riprodurre curve caratteristiche realistiche (J–V). OghmaNano include esplicitamente questi stati di intrappolamento, consentendo una modellazione accurata di dispositivi disordinati come le miscele PM6:Y6 e P3HT:PCBM, nonché di semiconduttori più ordinati quando gli stati di intrappolamento sono disattivati.

4. Perché non si dovrebbe utilizzare il meccanismo di ricombinazione di Langevin nei modelli di dispositivi.4. Perché non si dovrebbe utilizzare il meccanismo di ricombinazione di Langevin nei modelli di dispositivi.

La velocità di ricombinazione classica di Langevin è definita come:La velocità di ricombinazione classica di Langevin è definita come:

\[ R_{\text{free}} = q \, k_r \, \frac{\mu_e + \mu_h}{2 \, \epsilon_0 \epsilon_r} \, n p , \]\[ R_{\text{free}} = q \, k_r \, \frac{\mu_e + \mu_h}{2 \, \epsilon_0 \epsilon_r} \, n p , \]

dove \(R_{\text{free}}\) è il tasso di ricombinazione, \(k_r\) è il fattore di riduzione empirico di Langevin, \(\mu_e\) e \(\mu_h\) sono le mobilità degli elettroni e delle lacune, \(n\) e \(p\) sono le densità dei portatori di carica e \(\epsilon_0 \epsilon_r\) è la permittività dielettrica. A prima vista, questo sembra fisicamente plausibile: si assume che la ricombinazione avvenga ogni volta che un elettrone e una lacuna si avvicinano abbastanza da interagire, in seguito a un moto browniano, e risentono reciprocamente del campo di Coulomb. Questo modello è appropriato per i portatori di carica perfettamente liberi in liquidi semplici o conduttori ionici. Tuttavia, nei dispositivi fotovoltaici organici (OPV) e in altri semiconduttori disordinati, le ipotesi alla base del modello di Langevin non sono più valide.dove \(R_{\text{free}}\) è il tasso di ricombinazione, \(k_r\) è il fattore di riduzione empirico di Langevin, \(\mu_e\) e \(\mu_h\) sono le mobilità degli elettroni e delle lacune, \(n\) e \(p\) sono le densità dei portatori di carica e \(\epsilon_0 \epsilon_r\) è la permittività dielettrica. A prima vista, questo sembra fisicamente plausibile: si assume che la ricombinazione avvenga ogni volta che un elettrone e una lacuna si avvicinano abbastanza da interagire, in seguito a un moto browniano, e risentono reciprocamente del campo di Coulomb. Questo modello è appropriato per i portatori di carica perfettamente liberi in liquidi semplici o conduttori ionici. Tuttavia, nei dispositivi fotovoltaici organici (OPV) e in altri semiconduttori disordinati, le ipotesi alla base del modello di Langevin non sono più valide.

Perché non funziona? Studi sperimentali, in particolare quelli condotti all’inizio degli anni 2010, hanno dimostrato rapidamente che la ricombinazione di Langevin non era in grado di riprodurre in modo coerente le curve J–V sia in condizioni di oscurità che di illuminazione. Il modello sovrastimava sistematicamente i tassi di ricombinazione, spesso di diversi ordini di grandezza. Per rendere possibili le simulazioni, i ricercatori hanno introdotto un «fattore di riduzione di Langevin» \(k_r\), talvolta anche molto piccolo, pari a 10−3. Sebbene questa modifica fosse pratica, in realtà rappresentava l’ammissione che il meccanismo stesso non era valido in questi sistemi.Perché non funziona? Studi sperimentali, in particolare quelli condotti all’inizio degli anni 2010, hanno dimostrato rapidamente che la ricombinazione di Langevin non era in grado di riprodurre in modo coerente le curve J–V sia in condizioni di oscurità che di illuminazione. Il modello sovrastimava sistematicamente i tassi di ricombinazione, spesso di diversi ordini di grandezza. Per rendere possibili le simulazioni, i ricercatori hanno introdotto un «fattore di riduzione di Langevin» \(k_r\), talvolta anche molto piccolo, pari a 10−3. Sebbene questa modifica fosse pratica, in realtà rappresentava l’ammissione che il meccanismo stesso non era valido in questi sistemi.

I problemi diventano evidenti quando analizziamo più attentamente l’equazione:I problemi diventano evidenti quando analizziamo più attentamente l’equazione:

• La dipendenza dalla densità dei portatori di carica è errata. La velocità varia in modo strettamente proporzionale a \(np\), ovvero secondo una legge di secondo ordine. Negli esperimenti, la ricombinazione nelle celle fotovoltaiche organiche spesso segue leggi di potenza non intere, come \((np)^{1.5}\), riflettendo una dinamica limitata dalla presenza di trappole e la distribuzione degli stati localizzati. La forma di Langevin semplicemente non è in grado di descrivere questo fenomeno.La dipendenza dalla densità dei portatori di carica è errata. La velocità varia in modo strettamente proporzionale a \(np\), ovvero secondo una legge di secondo ordine. Negli esperimenti, la ricombinazione nelle celle fotovoltaiche organiche spesso segue leggi di potenza non intere, come \((np)^{1.5}\), riflettendo una dinamica limitata dalla presenza di trappole e la distribuzione degli stati localizzati. La forma di Langevin semplicemente non è in grado di descrivere questo fenomeno.
• Trattamento errato della mobilità. L’equazione presuppone valori di mobilità fissi \(\mu_e\) e \(\mu_h\). In realtà, la mobilità nei semiconduttori disordinati dipende fortemente dalla densità dei portatori di carica (vedere la discussione precedente). L’utilizzo di una dipendenza errata della mobilità altera ulteriormente la velocità di ricombinazione prevista.Trattamento errato della mobilità. L’equazione presuppone valori di mobilità fissi \(\mu_e\) e \(\mu_h\). In realtà, la mobilità nei semiconduttori disordinati dipende fortemente dalla densità dei portatori di carica (vedere la discussione precedente). L’utilizzo di una dipendenza errata della mobilità altera ulteriormente la velocità di ricombinazione prevista.
• Ignora le trappole e il disordine. Il meccanismo di Langevin considera tutti i portatori di carica come liberi. Nei dispositivi OPV e in materiali simili, la maggior parte dei portatori di carica trascorre del tempo intrappolata in stati localizzati e contribuisce alla conduzione solo in modo intermittente. Pertanto, la ricombinazione dipende dalla distribuzione delle trappole e non solo dal movimento dei portatori di carica liberi.Ignora le trappole e il disordine. Il meccanismo di Langevin considera tutti i portatori di carica come liberi. Nei dispositivi OPV e in materiali simili, la maggior parte dei portatori di carica trascorre del tempo intrappolata in stati localizzati e contribuisce alla conduzione solo in modo intermittente. Pertanto, la ricombinazione dipende dalla distribuzione delle trappole e non solo dal movimento dei portatori di carica liberi.

Considerando tutti questi aspetti, si può concludere che la ricombinazione di Langevin, nel migliore dei casi, rappresenta solo un’approssimazione grossolana e, nel peggiore, un modello fuorviante. Anche utilizzando un fattore di riduzione calibrato \(k_r\), non riesce a descrivere correttamente la fisica della ricombinazione assistita da trappole e la dipendenza della mobilità dalla tensione. Pertanto, l’utilizzo della ricombinazione di Langevin nei modelli di dispositivi è come cercare di inserire un oggetto quadrato in un foro rotondo: può fornire un valore numerico, ma non produrrà risultati fisicamente significativi.Considerando tutti questi aspetti, si può concludere che la ricombinazione di Langevin, nel migliore dei casi, rappresenta solo un’approssimazione grossolana e, nel peggiore, un modello fuorviante. Anche utilizzando un fattore di riduzione calibrato \(k_r\), non riesce a descrivere correttamente la fisica della ricombinazione assistita da trappole e la dipendenza della mobilità dalla tensione. Pertanto, l’utilizzo della ricombinazione di Langevin nei modelli di dispositivi è come cercare di inserire un oggetto quadrato in un foro rotondo: può fornire un valore numerico, ma non produrrà risultati fisicamente significativi.

5. In che modo è possibile implementare efficacemente il meccanismo di ricombinazione di Langevin nei modelli di dispositivi.5. In che modo è possibile implementare efficacemente il meccanismo di ricombinazione di Langevin nei modelli di dispositivi.

I principali problemi della ricombinazione di Langevin classica sono la sua dipendenza errata dalla densità dei portatori di carica e la necessità di un fattore di riduzione arbitrario. Un modo in cui i ricercatori hanno cercato di rendere la ricombinazione di Langevin «funzionante» è stato quello di introdurre una dipendenza dalla densità dei portatori di carica nelle stesse mobilità, come segue:I principali problemi della ricombinazione di Langevin classica sono la sua dipendenza errata dalla densità dei portatori di carica e la necessità di un fattore di riduzione arbitrario. Un modo in cui i ricercatori hanno cercato di rendere la ricombinazione di Langevin «funzionante» è stato quello di introdurre una dipendenza dalla densità dei portatori di carica nelle stesse mobilità, come segue:

\[ R_{\text{free}} = q \, k_r \, \frac{\alpha \mu_e(n) + \beta \mu_h(n)}{2 \, \epsilon_0 \epsilon_r} \, n_{\text{tot}} p_{\text{tot}} , \]\[ R_{\text{free}} = q \, k_r \, \frac{\alpha \mu_e(n) + \beta \mu_h(n)}{2 \, \epsilon_0 \epsilon_r} \, n_{\text{tot}} p_{\text{tot}} , \]

In questo contesto, si definisce una soglia di mobilità: i portatori di carica che si trovano al di sopra di tale soglia contribuiscono alla conduzione, mentre quelli che si trovano al di sotto sono considerati intrappolati. Le mobilità medie possono quindi essere espresse come:In questo contesto, si definisce una soglia di mobilità: i portatori di carica che si trovano al di sopra di tale soglia contribuiscono alla conduzione, mentre quelli che si trovano al di sotto sono considerati intrappolati. Le mobilità medie possono quindi essere espresse come:

\[ \mu_e(n) = \frac{\mu_e^0 \, n_{\text{free}}}{n_{\text{free}} + n_{\text{trap}}}, \qquad \mu_h(p) = \frac{\mu_h^0 \, p_{\text{free}}}{p_{\text{free}} + p_{\text{trap}}}. \]\[ \mu_e(n) = \frac{\mu_e^0 \, n_{\text{free}}}{n_{\text{free}} + n_{\text{trap}}}, \qquad \mu_h(p) = \frac{\mu_h^0 \, p_{\text{free}}}{p_{\text{free}} + p_{\text{trap}}}. \]

Se la densità dei portatori di carica liberi è molto inferiore alla densità dei portatori di carica intrappolati, ciò determina un tasso di ricombinazione efficace pari a:Se la densità dei portatori di carica liberi è molto inferiore alla densità dei portatori di carica intrappolati, ciò determina un tasso di ricombinazione efficace pari a:

\[ R(n,p) = q \, k_r \, \frac{\alpha \mu_e^0 \, n_{\text{free}} p_{\text{trap}} + \beta \mu_h^0 \, p_{\text{free}} n_{\text{trap}}} {2 \, \epsilon_0 \epsilon_r}. \]\[ R(n,p) = q \, k_r \, \frac{\alpha \mu_e^0 \, n_{\text{free}} p_{\text{trap}} + \beta \mu_h^0 \, p_{\text{free}} n_{\text{trap}}} {2 \, \epsilon_0 \epsilon_r}. \]

In questo modo, il processo di ricombinazione di Langevin viene reinterpretato in termini di interazioni tra portatori liberi e portatori intrappolati (\(n_{\text{free}}p_{\text{trap}}\) e \(p_{\text{free}}n_{\text{trap}}\)). In sostanza, questo equivale al modello di ricombinazione di Shockley–Read–Hall (SRH): portatori liberi che si ricombinano con portatori intrappolati.In questo modo, il processo di ricombinazione di Langevin viene reinterpretato in termini di interazioni tra portatori liberi e portatori intrappolati (\(n_{\text{free}}p_{\text{trap}}\) e \(p_{\text{free}}n_{\text{trap}}\)). In sostanza, questo equivale al modello di ricombinazione di Shockley–Read–Hall (SRH): portatori liberi che si ricombinano con portatori intrappolati.

Sebbene questo approccio funzioni in modo accettabile in condizioni stabili, si basa su un presupposto fondamentale: che tutti i portatori di carica in una determinata posizione condividano un unico livello quasi-Fermi, ovvero che si trovino in equilibrio locale con una velocità di termalizzazione infinita. Questo potrebbe essere plausibile in condizioni stabili, quando i portatori di carica hanno il tempo di raggiungere l’equilibrio, ma non è valido nel dominio del tempo. In realtà, la densa distribuzione degli stati di trappola nei semiconduttori organici rende improbabile che i portatori di carica possano comportarsi come un unico gas in equilibrio. Al contrario, il formalismo SRH evita questo presupposto ed è quindi una descrizione più accurata dal punto di vista fisico dei processi di ricombinazione e intrappolamento nei materiali disordinati.Sebbene questo approccio funzioni in modo accettabile in condizioni stabili, si basa su un presupposto fondamentale: che tutti i portatori di carica in una determinata posizione condividano un unico livello quasi-Fermi, ovvero che si trovino in equilibrio locale con una velocità di termalizzazione infinita. Questo potrebbe essere plausibile in condizioni stabili, quando i portatori di carica hanno il tempo di raggiungere l’equilibrio, ma non è valido nel dominio del tempo. In realtà, la densa distribuzione degli stati di trappola nei semiconduttori organici rende improbabile che i portatori di carica possano comportarsi come un unico gas in equilibrio. Al contrario, il formalismo SRH evita questo presupposto ed è quindi una descrizione più accurata dal punto di vista fisico dei processi di ricombinazione e intrappolamento nei materiali disordinati.