Fabry-Pérot-Hohlraumsimulation unter Verwendung der Transfermatrixmethode (TMM)
1. Einleitung
Ein Fabry-Pérot-Resonator ist eine optische Resonanzstruktur, die entsteht, wenn Licht zwischen zwei teilweise reflektierenden Begrenzungen eingeschlossen wird. Mehrfache Reflexionen innerhalb des Resonators führen dazu, dass die optischen Wellen miteinander interferieren und stehende Wellen bei bestimmten Wellenlängen erzeugen. Wellenlängen, die die Resonanzbedingung des Resonators erfüllen, erfahren eine verstärkte Transmission und eine starke Anreicherung des optischen Feldes innerhalb der Struktur.
Fabry-Pérot-Resonatoren werden in großem Umfang in optischen Filtern, dielektrischen Spiegeln, Interferometern, LEDs und Laserresonatoren eingesetzt. In diesem Tutorial modellieren wir einen einfachen, eindimensionalen Fabry-Pérot-Resonator mithilfe der Transfermatrixmethode (TMM).
Im Gegensatz zur FDTD-Methode, die das elektromagnetische Feld numerisch sowohl im Raum als auch in der Zeit fortpflanzen lässt, geht die Transfermatrixmethode von einer eindimensionalen, schichtweisen Struktur aus und löst die optischen Feldgleichungen analytisch innerhalb jeder Schicht. Das elektromagnetische Feld wird als Superposition von sich vorwärts und rückwärts ausbreitenden Wellen dargestellt, wobei die Felder an den Grenzflächen mithilfe der Maxwell-Randbedingungen miteinander verbunden werden. Bei planaren Mehrschichtsystemen reduziert dies die rechnerische Komplexität erheblich, was die Transfermatrixmethode äußerst effizient für die Analyse von Hohlraumresonanzen und Interferenzerscheinungen in Dünnschichten macht. Eine vollständige Ableitung der Transfermatrixmethode findet sich in Theorie der Transfermatrix.
Bei senkrechtem Einfall ist die Resonanzbedingung des Fabry-Pérot-Interferometers
\(2nL = m\lambda\)
wobei \(n\) der Brechungsindex innerhalb des Resonators ist, \(L\) die Länge des Resonators, \(\lambda\) die Wellenlänge und \(m\) eine ganzzahlige Modenzahl.
Durch die Neuordnung ergeben sich die zulässigen Wellenlängen für den Hohlraum:
\(\lambda_m = \frac{2nL}{m}\)
Das bedeutet, dass nur bestimmte, diskrete Resonanzwellenlängen effizient durch den Hohlraum übertragen werden. In diesem Tutorial werden wir diese Resonanzen direkt in den Transmissions- und Reflexionsspektren beobachten und auch die räumliche Verteilung der Photonen im Inneren des Hohlraums visualisieren.
2. Erstellen einer neuen Simulation
Öffnen Sie das Fenster für die neue Simulation und wählen Sie die Kategorie „Transfermatrix-Methode“ (??) aus. Wählen Sie anschließend das Beispiel für den Fabry-Pérot-Hohlraum (??) aus.
Nach dem Öffnen der Beispieldatei wird die Hauptoberfläche wie in ?? dargestellt angezeigt. Die Simulation besteht aus einem einfachen optischen Resonator, der durch zwei teilweise reflektierende Schichten gebildet wird, die durch einen Luftspalt voneinander getrennt sind.
Der Hohlraum besteht aus zwei dünnen dielektrischen Schichten mit dem Brechungsindex \(n=3\), die durch einen Luftspalt voneinander getrennt sind. Diese beiden Schichten mit hohem Brechungsindex wirken als teilweise reflektierende Spiegel.
Wenn breitbandiges Licht in die Struktur eintritt, kommt es zu mehreren Reflexionen zwischen den Spiegeln. Bei Wellenlängen, die die Resonanzbedingung des Hohlraums erfüllen, interferieren die reflektierten Wellen konstruktiv, wodurch sich das Feld im Inneren des Hohlraums verstärkt und die Transmission durch die Struktur erhöht wird.
3. Durchführung der optischen Simulation
Öffnen Sie das optische Menüband (??) und klicken Sie auf die Schaltfläche „Transfermatrix“. Dadurch wird der Solver für die optische Transfermatrix gestartet.
Die Transfermatrixmethode berechnet die Verteilung des optischen Feldes, das Reflexionsspektrum, das Transmissionsspektrum und die absorbierte Photondichte innerhalb der gesamten Multischichtstruktur. Da diese Methode direkt im Frequenzbereich arbeitet, sind Simulationen in der Regel innerhalb weniger Sekunden abgeschlossen.
Nach Abschluss der Simulation wird die in ?? dargestellte Karte der Photonenverteilung angezeigt. Die horizontale Achse entspricht der Position innerhalb der Kavität, während die vertikale Achse der Wellenlänge entspricht.
Helle Bereiche zeigen die Wellenlängen an, bei denen sich das optische Feld innerhalb der Struktur stark aufbaut. Das auffälligste Merkmal tritt in der Nähe von 450–500 nm auf, was der grundlegenden Fabry-Pérot-Resonanz des Resonators entspricht.
Die oszillatorische räumliche Struktur, die in der Grafik sichtbar ist, stellt das stehende Wellenmuster dar, das durch die Interferenz zwischen sich vorwärts und rückwärts ausbreitenden Wellen innerhalb des Resonators entsteht.
4. Reflexions- und Transmissionsspektren
Der Solver für die Transfermatrix berechnet außerdem die reflektierte und transmittierte optische Leistung. Diese Ergebnisse sind in ?? und ?? dargestellt.
Die Hohlraumresonanz äußert sich als eine deutliche Absenkung im Reflexionsspektrum und ein entsprechendes Maximum im Transmissionsspektrum. Physikalisch gesehen tritt dies auf, weil der Hohlraum optische Energie effizient bei der Resonanzwellenlänge speichert, wodurch Licht die Struktur durchdringen kann, anstatt reflektiert zu werden.
In dieser Struktur beträgt der Abstand zwischen den Hohlräumen etwa 250 nm, und der Brechungsindex der Hohlräume liegt nahe bei 1. Die Resonanzbedingung sagt daher einen Grundmodus in der Nähe von ... voraus.
\(\lambda \approx 2nL \approx 2 \times 1 \times 250 \approx 500\ \text{nm}\)
was mit den zuvor beobachteten Spektren übereinstimmt.
5. Veränderung der Hohlraumlänge
Öffnen Sie den in ?? gezeigten Layer-Editor. Der Hohlraum wird durch zwei dünne dielektrische Schichten gebildet, die durch einen Luftspalt voneinander getrennt sind.
In der ursprünglichen Struktur beträgt die Dicke der Hohlräume etwa 260 nm. Erhöhen Sie diesen Wert auf 300 nm, wie in ?? dargestellt, und führen Sie die optische Simulation erneut aus.
Nach einer erneuten Durchführung der Simulation erhält man die in ?? und ?? dargestellten Spektren.
Eine Erhöhung der Hohlraumlänge verschiebt die Resonanz zu längeren Wellenlängen. Dies ergibt sich direkt aus der Fabry-Pérot-Bedingung:
\(\lambda = \frac{2nL}{m}\)
Da die Resonanzwellenlänge proportional zur Hohlraumlänge ist, führt eine Erhöhung von \(L\) dazu, dass sich der Transmissionspeak systematisch zu größeren Wellenlängen hin verschiebt.
Sie sollten auch auf zusätzliche, schwächere Resonanzen achten, die höheren Resonanzmoden des Hohlraums entsprechen (\(m=2,3,\dots\)).
6. Anzeigen von Momentaufnahmen der Photonenverteilung.
Kehren Sie zum Reiter „Ausgabe“ zurück, der in ?? dargestellt ist. Öffnen Sie das Verzeichnis optical_snapshots, um die Verteilung der Photonenintensität bei einzelnen Wellenlängen zu überprüfen.
Mithilfe der Momentaufnahme-Anzeige lässt sich die Verteilung des optischen Feldes bei bestimmten Wellenlängen innerhalb der gesamten Resonatorstruktur untersuchen. Im Gegensatz zu den zuvor gezeigten Wellenlängen-Positions-Diagrammen bieten diese Momentaufnahmen eine direkte Ansicht des stehenden Wellenmusters, das sich im Inneren des Resonators bei einer einzelnen Wellenlänge bildet.
Beispielhafte Verteilungen der Photonenflussdichte sind in ??–?? dargestellt.
Diese Diagramme zeigen die räumliche Verteilung der Photonenintensität innerhalb der Fabry-Pérot-Resonatorhöhle. Das oszillatorische Verhalten entsteht durch die Interferenz zwischen den beiden Resonatorspiegeln reflektierten, sich vorwärts und rückwärts ausbreitenden optischen Wellen. Bereiche mit hoher Photonenintensität entsprechen den Maxima stehender Wellen, während Minima annähernd den Knoten stehender Wellen entsprechen.
Die in ?? und ?? gezeigten Momentaufnahmen der Photonenverteilung geben einen direkten Einblick, wie sich Licht innerhalb der Fabry-Pérot-Resonatorstruktur verhält. Anstatt die Struktur einfach einmal zu durchqueren, wird die optische Welle wiederholt zwischen den beiden teilweise reflektierenden Spiegeln reflektiert. Diese vielfachen Reflexionen interferieren miteinander und bilden innerhalb des Resonators stehende Wellenmuster.
Die abwechselnden Maxima und Minima, die in den Verteilungen der Photonenanzahl sichtbar sind, entsprechen der Struktur der stehenden Welle des optischen Feldes. Bereiche mit hoher Photonenanzahl sind die Maxima der stehenden Welle, wo die Schwingung des elektrischen Feldes groß ist, während die Minima annähernd den Knoten der stehenden Welle entsprechen, wo destruktive Interferenz das Feld unterdrückt.
In ?? ist das stehende Wellenmuster stark in der Nähe der linken Seite des Resonators konzentriert. Das schmale, hochintensive Merkmal in der Nähe der Grenzfläche deutet darauf hin, dass das optische Feld stark reflektiert und in der Nähe des Spiegels eingeschränkt wird. Wenn man sich durch den Resonator bewegt, oszilliert das Feld und verteilt sich allmählich über die gesamte Struktur. In ?? verteilt sich das optische Feld viel gleichmäßiger über den Resonatorbereich. Bei dieser Wellenlänge befindet sich der Resonator näher an einem Resonanzzustand, wodurch die reflektierten Wellen effizienter verstärkt werden können. Anstatt in der Nähe einer einzelnen Grenzfläche konzentriert zu sein, baut sich die optische Energie im gesamten Resonator auf und erzeugt das breite, stehende Wellenmuster, das in der Abbildung sichtbar ist.
In ?? wird der Abstand zwischen den stehenden Wellen größer, da sich die optische Wellenlänge innerhalb des Resonators erhöht hat. Das Feld erstreckt sich gleichmäßig über fast den gesamten Resonator, wobei es dennoch das charakteristische oszillatorische Verhalten zeigt, das durch die Interferenz zwischen sich vorwärts und rückwärts ausbreitenden Wellen entsteht. Die abrupten vertikalen Übergänge, die in der Nähe der Resonatorgrenzflächen sichtbar sind, entstehen durch Änderungen des Brechungsindex zwischen benachbarten Schichten. An diesen Grenzen muss das elektromagnetische Feld die Maxwell-Randbedingungen erfüllen, was dazu führt, dass sich die Amplituden der sich vorwärts und rückwärts ausbreitenden Wellen an den Grenzflächen plötzlich anpassen.
Diese Zahlen veranschaulichen eine der wichtigsten physikalischen Grundlagen von Fabry-Pérot-Resonatoren: Der Resonator speichert Licht nur bei bestimmten Wellenlängen effizient. Wenn die optische Phasenbedingung erfüllt ist, verstärken sich die reflektierten Wellen gegenseitig, und es bildet sich ein stabiler stehender Wellenmodus innerhalb der Struktur. Bei nicht-resonanten Wellenlängen tritt diese konstruktive Interferenz nicht auf, sodass der Aufbau des optischen Feldes deutlich schwächer wird und ein größerer Teil des einfallenden Lichts vom Resonator reflektiert wird.
7. Veränderung des Kontrasts des Brechungsindex
Die Stärke der Hohlraumresonanz hängt stark von der Reflexionsfähigkeit der Spiegel ab. Bei dielektrischen Fabry-Pérot-Hohlräumen wird diese Reflexionsfähigkeit hauptsächlich durch den Unterschied der Brechungsindizes gesteuert.
Öffnen Sie den Layer-Editor und reduzieren Sie den Brechungsindex der Spiegelschicht von \(n=3\) auf \(n=1.5\), wie in ?? dargestellt.
Nach einer erneuten Durchführung der Simulation entsprechen die Reflexions- und Transmissionsspektren den in ?? und ?? dargestellten Spektren.
Wenn der Unterschied in den Brechungsindizes verringert wird, reflektieren die Spiegel weniger stark. Dadurch wird die Menge des im Resonator eingeschlossenen Lichts reduziert und die Resonanzeigenschaften werden breiter.
Physikalisch gesehen entspricht dies einer Verringerung des Gütefaktors (Q-Faktor) der Resonatorhöhle. Starke Spiegel erzeugen schmale Resonanzen mit einer starken Feldkonzentration, während schwache Spiegel breitere und weniger ausgeprägte Resonanzen erzeugen.