Theorie der Transfermatrixmethode
1. Einleitung
Auf dieser Seite leiten wir die Transfermatrixmethode (TMM) für mehrschichtige dielektrische Strukturen ab, wie in Abbildung ?? dargestellt. Solche Schichtstrukturen ähneln den optischen Schichtsystemen, die in OLEDs, Dünnschicht-Solarzellen und optischen Beschichtungen verwendet werden, wobei die einzelnen Schichtdicken mit der Wellenlänge des Lichts vergleichbar sind und typischerweise von Hunderten von Nanometern bis zu mehreren Mikrometern reichen. Unter diesen Bedingungen beeinflussen optische Interferenz, Reflexion und Absorption die Leistung der Geräte stark und müssen daher mithilfe der Maxwell-Gleichungen und der Wellenoptik und nicht mit einfacher Strahlenoptik behandelt werden. Eine umfassendere Einführung in die Transfermatrixmethode und ihre Anwendungen in der optischen Modellierung finden Sie unter Was ist die Transfermatrixmethode?. Eine praktische Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Verwendung des optischen Transfermatrixmodells in OghmaNano finden Sie unter Optisches Transfermatrixmodell.
2. Ableitung
Unter Berücksichtigung der Grenzfläche zwischen den Schichten 1 und 2 in Abbildung ?? wird das elektrische Feld auf der linken Seite der Grenzfläche wie folgt beschrieben:
\begin{equation} E_{1}=E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \label{eq:efield1} \end{equation}und auf der rechten Seite der Benutzeroberfläche wird das elektrische Feld wie folgt dargestellt:
\begin{equation} E_{2}=E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \label{eq:efield2} \end{equation}Die Maxwell-Gleichungen beschreiben die Beziehung zwischen den elektrischen und magnetischen Feldern einer ebenen Welle.
\begin{equation} \nabla \times \mathbf{E}=-j\omega \mu \mathbf{H} \end{equation}was in einer Dimension zu folgender Form vereinfacht werden kann:
\begin{equation} \frac{\partial E} {\partial z}=-j\omega \mu H \label{eq:maxwell} \end{equation}Wenn wir die Gleichung \eqref{eq:maxwell} auf die Gleichungen \eqref{eq:efield1} und \eqref{eq:efield2} anwenden, erhalten wir das Magnetfeld auf der linken Seite der Grenzfläche.
\begin{equation} -j \mu \omega H^{y}_{1}=-j k_1 E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+j k_1 E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \end{equation}und auf der rechten Seite der Benutzeroberfläche
\begin{equation} -j \mu \omega H^{y}_{2}=-j k_2 E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+j k_2 E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \end{equation}Aufräumen gibt einem ein gutes Gefühl.
\begin{equation} H^{y}_{1}=\frac{k_1}{\omega \mu}E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}-\frac{k_1}{\omega \mu} E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \end{equation} \begin{equation} H^{y}_{2}=\frac{k_2}{\omega \mu}E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}-\frac{k_2}{\omega \mu} E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \end{equation}3. Randbedingungen
Wir wenden nun die elektrischen und magnetischen Randbedingungen an.
\begin{equation} \mathbf{n} \times (\mathbf{E_2}-\mathbf{E_1})=0 \end{equation} \begin{equation} \mathbf{n} \times (\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})=0 \end{equation}Die Analyse der Felder an der Schnittstelle \(z=0\) ergibt
\begin{equation} (E_{2}^{+}+E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}+E_{1}^{-})=0 \label{eq:electric_boundary} \end{equation}und
\begin{equation} \frac{k_2}{\omega \mu}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - \frac{k_1}{\omega \mu}(E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \end{equation}Der Wellenvektor ist definiert als:
\begin{equation} k=\frac{2\pi n}{\lambda} \end{equation}Wir können die magnetische Randbedingung daher wie folgt formulieren:
\begin{equation} n_2 (E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - n_1 (E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \label{eq:mag_boundary} \end{equation}4. Sich vorwärts ausbreitende Welle
Durch Umstellen der Gleichung \eqref{eq:mag_boundary} erhält man:
\begin{equation} E_{1}^{-} = E_{1}^{+} - \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation}Setzt man dies in die Gleichung \eqref{eq:electric_boundary} ein, so erhält man:
\begin{equation} E_{2}^{+}+E_{2}^{-} = E_{1}^{+}+E_{1}^{+} - \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{+} = E_{2}^{+}+E_{2}^{-} + \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{+}\frac{n_1}{n_1+n_2} = E_{2}^{+} + E_{2}^{-}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \end{equation}5. Sich rückwärts ausbreitende Welle
Ordnen Sie die Gleichung \eqref{eq:mag_boundary} so um, dass sie wie folgt lautet:
\begin{equation} E_{1}^{+}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation}Setzt man dies in die Gleichung \eqref{eq:electric_boundary} ein, so erhält man:
\begin{equation} E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})+E_{1}^{-} \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{-}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}- \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{-}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}+E_{2}^{-} \end{equation}Diese Gleichungen lauten dann:
\begin{equation} E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}+E_{2}^{-} \end{equation}und
\begin{equation} E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}r_{12} \end{equation}Wenn wir die Ausbreitung berücksichtigen, können wir Folgendes schreiben.
\begin{equation} E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}r_{12}e^{-\zeta_2 d_1} \end{equation}und
\begin{equation} E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}e^{-\zeta_2 d_1} \end{equation}wo
\begin{equation} \zeta=\frac{2\pi}{\lambda} \bar{n} \end{equation}6. Implementierung der Transfermatrixmethode
Die Transfermatrixmethode kann nun implementiert werden, indem die optischen Felder in jeder Schicht als Vektor dargestellt werden, der die sich vorwärts und rückwärts ausbreitenden Wellen enthält. Der mehrschichtige optische Aufbau wird dann durch wiederholtes Multiplizieren kleiner Matrizen gelöst, die die Ausbreitung durch jede Schicht und die Reflexion/Transmission an jeder Grenzfläche beschreiben. Dieser Ansatz ist recheneffizient und erfordert lediglich einfache Matrixmultiplikationsoperationen, was die numerische Implementierung vereinfacht.
Das optische Feld in der Schicht \(i\) wird wie folgt dargestellt:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+} \\ E_i^{-} \end{pmatrix} \end{equation}wobei \(E_i^{+}\) und \(E_i^{-}\) die sich vorwärts bzw. rückwärts ausbreitenden Wellen darstellen.
An jeder Grenzfläche werden die Fresnel-Reflexions- und -Transmissionskoeffizienten wie folgt angegeben:
\begin{equation} r_{ij}=\frac{n_i-n_j}{n_i+n_j}, \qquad t_{ij}=\frac{2n_i}{n_i+n_j} \end{equation}Die Grenzfläche zwischen den Schichten \(i\) und \(j\) kann daher wie folgt dargestellt werden:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+} \\ E_i^{-} \end{pmatrix} = \frac{1}{t_{ij}} \begin{pmatrix} 1 & r_{ij} \\ r_{ij} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_j^{+} \\ E_j^{-} \end{pmatrix} \end{equation}Die Ausbreitung durch eine Schicht der Dicke \(d_i\) wird wie folgt beschrieben:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+}(z+d_i) \\ E_i^{-}(z+d_i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{\zeta_i d_i} & 0 \\ 0 & e^{-\zeta_i d_i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_i^{+}(z) \\ E_i^{-}(z) \end{pmatrix} \end{equation}wo
\begin{equation} \zeta_i=\frac{2\pi \bar{n}_i}{\lambda} \end{equation}Die Transfermatrix für eine einzelne Schicht erhält man, indem man die Grenzflächenmatrix und die Ausbreitungsmatrix miteinander multipliziert.
\begin{equation} M_i= \frac{1}{t_{ij}} \begin{pmatrix} 1 & r_{ij} \\ r_{ij} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\zeta_i d_i} & 0 \\ 0 & e^{-\zeta_i d_i} \end{pmatrix} \end{equation}Die optische Reaktion des gesamten Multilayer-Bauelements wird dann durch Multiplikation der Matrizen miteinander berechnet.
\begin{equation} M=M_1M_2M_3 \cdots M_n \end{equation}so dass
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_0^{+} \\ E_0^{-} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} E_n^{+} \\ E_n^{-} \end{pmatrix} \end{equation}Für eine Anordnung, bei der keine einfallende Welle von der hinteren Kontaktfläche kommt, \(E_n^{-}=0\). Die reflektierten und transmittierten Felder können dann direkt aus den resultierenden Matrixelementen berechnet werden.
7. Lösung mit einer einzigen großen Matrix
Die oben dargestellte Ableitung beschreibt die klassische Transfermatrixmethode, bei der das optische Feld durch eine Reihe diskreter Schichten mithilfe von Transfermatrizen propagiert wird. Dieser Ansatz ist sehr effizient und funktioniert hervorragend für konventionelle Mehrschichtstrukturen wie Solarzellen, OLEDs, optische Filter und Dünnschichtsensoren, bei denen das Bauelement auf natürliche Weise als eine Anordnung gut definierter Schichten beschrieben werden kann.
In einigen optischen Systemen eignet sich die Geometrie jedoch nicht für eine einfache, schichtweise Beschreibung. Beispiele hierfür sind Strukturen mit abgestuften Brechungsindizes, Bauelemente mit Luftspalten, verteilte Rückkopplungs(DFB)-Gitter und dreidimensionale Strukturen, die auf ein eindimensionales optisches Raster projiziert werden. In solchen Fällen kann es umständlich werden, das System als eine Abfolge diskreter Schichten mit klar definierten Grenzflächen darzustellen.
Um dieses Problem zu lösen, kann OghmaNano die Transfermatrixgleichungen auf ein Finite-Differenzen-Gitter projizieren. Anstatt das optische Feld Schicht für Schicht zu berechnen, wird das gesamte optische System durch eine einzige Matrix dargestellt, die gleichzeitig alle vorwärts- und rückwärtslaufenden Wellenkomponenten enthält. Das resultierende lineare System wird dann durch eine einzige Matrixinversion gelöst.
Für eine Anordnung mit nicht-reflektierenden Rückkontakten nimmt das resultierende System folgende Form an:
\begin{equation} \begin{pmatrix} e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{01}e^{-\zeta d} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{12} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{12}e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & -t_{23} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{23}e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & -t_{34} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{-\zeta d} \\ 0 & r_{12}e^{\zeta d_1} & 0 & 0 & -t_{12} & e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r_{23}e^{\zeta d} & 0 & 0 & -t_{23} & e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{\zeta d} & 0 & 0 & -t_{34} & e^{-\zeta d} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -t_{45} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{1}^{+} \\ E_{2}^{+} \\ E_{3}^{+} \\ E_{4}^{+} \\ E_{1}^{-} \\ E_{2}^{-} \\ E_{3}^{-} \\ E_{4}^{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_{01}E_{external} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation}Der unbekannte Vektor enthält die sich vorwärts und rückwärts ausbreitenden optischen Felder im gesamten Gerät, während die Koeffizientenmatrix die Übertragungs- und Reflexionsbeziehungen zwischen benachbarten Gitterpunkten oder -flächen enthält. Der Vektor auf der rechten Seite stellt das von außen einfallende optische Feld dar.
Bei herkömmlichen mehrschichtigen Bauelementen liefert die Finite-Differenzen-Methode im Allgemeinen Ergebnisse, die denen der klassischen Transfermatrixmethode sehr ähnlich sind. Der Hauptvorteil dieses Ansatzes ist seine Flexibilität: komplexe Geometrien können direkt auf einem Gitter dargestellt werden, ohne dass sie zunächst in eine Sequenz idealisierter Schichten umgewandelt werden müssen. Dies macht die Methode besonders nützlich für Strukturen wie DFB-Gitter, Bauelemente mit abgestuftem Brechungsindex und andere optische Systeme, bei denen sich die Materialeigenschaften kontinuierlich im Raum ändern.
Aus der Sicht des Nutzers liefern die klassische Transfermatrix- und die Finite-Differenzen-Methode ähnliche Ergebnisse, darunter die Photonenflussdichte, die absorbierte Photonenflussdichte sowie die Profile für Reflexion, Transmission und Erzeugung. Die Wahl zwischen den beiden Methoden hängt daher hauptsächlich davon ab, wie natürlich die optische Struktur dargestellt werden kann.
8. Komplexer Brechungsindex und optische Absorption
Die optische Absorption wird im Rahmen der Transfermatrixmethode durch den komplexen Brechungsindex \(n+j\kappa\) berücksichtigt, wobei \(n\) der Brechungsindex und \(\kappa\) der Extinktionskoeffizient ist. Das elektrische Feld, das sich durch ein absorbierendes Medium ausbreitet, wird wie folgt beschrieben:
\begin{equation} E(z,t)=Re(E_0 e^{j(-kz+\omega t)})= Re(E_0 e^{j(\frac{-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z + \omega t)})=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}Re(E_0 e^{\frac{j(-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z +\omega t}) \end{equation}Da die optische Intensität proportional zum Quadrat des elektrischen Feldes ist, wird der Absorptionskoeffizient zu
\begin{equation} e^{-\alpha x}=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}} \end{equation} \begin{equation} \alpha=-\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0} \end{equation}👉 Nächster Schritt: Gehen Sie zu dem Transfer Matrix-Simulationswerkzeug, um zu erfahren, wie TMM in OghmaNano implementiert wird.