Diffusione acustica dei fononi nei semiconduttoriDiffusione acustica dei fononi nei semiconduttori

1. Cos'è la diffusione dei fononi acustici?1. Cos'è la diffusione dei fononi acustici?

Gli atomi all’interno di un semiconduttore non sono immobili. Essi vibrano attorno alle loro posizioni abituali e queste vibrazioni possono propagarsi attraverso il cristallo in modo simile a come il suono si propaga nell’aria. Nella fisica quantistica, un insieme di vibrazioni reticolari viene definito fonone. Un fonone acustico è la descrizione quantistica di un’onda simile al suono che si propaga attraverso il cristallo.Gli atomi all’interno di un semiconduttore non sono immobili. Essi vibrano attorno alle loro posizioni abituali e queste vibrazioni possono propagarsi attraverso il cristallo in modo simile a come il suono si propaga nell’aria. Nella fisica quantistica, un insieme di vibrazioni reticolari viene definito fonone. Un fonone acustico è la descrizione quantistica di un’onda simile al suono che si propaga attraverso il cristallo.

La figura ?? illustra i due tipi fondamentali di vibrazione acustica. In un’onda acustica longitudinale (LA), gli atomi si muovono in avanti e indietro nella direzione di propagazione dell’onda. Questo crea regioni in movimento in cui il reticolo cristallino viene compresso o allungato. In un’onda acustica trasversale (TA), gli atomi si muovono lateralmente, perpendicolarmente alla direzione di propagazione. Questo produce un movimento di taglio piuttosto che una semplice variazione di volume. Un cristallo tridimensionale presenta normalmente una branca acustica longitudinale e due branche acustiche trasversali; nei materiali anisotropi, i movimenti possono essere combinati.La figura ?? illustra i due tipi fondamentali di vibrazione acustica. In un’onda acustica longitudinale (LA), gli atomi si muovono in avanti e indietro nella direzione di propagazione dell’onda. Questo crea regioni in movimento in cui il reticolo cristallino viene compresso o allungato. In un’onda acustica trasversale (TA), gli atomi si muovono lateralmente, perpendicolarmente alla direzione di propagazione. Questo produce un movimento di taglio piuttosto che una semplice variazione di volume. Un cristallo tridimensionale presenta normalmente una branca acustica longitudinale e due branche acustiche trasversali; nei materiali anisotropi, i movimenti possono essere combinati.

Perché queste vibrazioni sono importanti per un elettrone? Comprimendo, allungando o deformando leggermente un cristallo, si modifica l’ambiente in cui si muovono le sue cariche. Una vibrazione che si propaga, quindi, genera una perturbazione in movimento all’interno dei livelli di energia elettronica del semiconduttore. Un elettrone o una lacuna che interagiscono con questa perturbazione possono modificare la direzione del loro movimento. Questo fenomeno è noto come scattering acustico dei fononi.Perché queste vibrazioni sono importanti per un elettrone? Comprimendo, allungando o deformando leggermente un cristallo, si modifica l’ambiente in cui si muovono le sue cariche. Una vibrazione che si propaga, quindi, genera una perturbazione in movimento all’interno dei livelli di energia elettronica del semiconduttore. Un elettrone o una lacuna che interagiscono con questa perturbazione possono modificare la direzione del loro movimento. Questo fenomeno è noto come scattering acustico dei fononi.

La diffusione non implica necessariamente che un portatore di carica perda molta energia. I fononi acustici spesso scambiano solo una piccola quantità di energia con un elettrone, ma possono comunque modificarne in modo significativo la direzione. Questo è importante perché cambiare ripetutamente direzione rende più difficile per i portatori di carica muoversi in modo uniforme all'interno di un dispositivo, riducendone la mobilità. La figura ??, che sarà presentata più avanti in questo tutorial, illustra perché una variazione significativa della direzione influisce maggiormente sulla mobilità rispetto a una variazione minore.La diffusione non implica necessariamente che un portatore di carica perda molta energia. I fononi acustici spesso scambiano solo una piccola quantità di energia con un elettrone, ma possono comunque modificarne in modo significativo la direzione. Questo è importante perché cambiare ripetutamente direzione rende più difficile per i portatori di carica muoversi in modo uniforme all'interno di un dispositivo, riducendone la mobilità. La figura ??, che sarà presentata più avanti in questo tutorial, illustra perché una variazione significativa della direzione influisce maggiormente sulla mobilità rispetto a una variazione minore.

I fononi acustici sono presenti in materiali come il silicio, il GaAs e il GaN e diffondono i portatori di carica sia nei semiconduttori sfusi sia nei pozzi quantici. Si distinguono dalle vibrazioni ottiche di cui si è parlato in precedenza. Tutorial sull’utilizzo della funzione «Fröhlich scattering»: le onde acustiche sono movimenti reticolari simili al suono, la cui energia diminuisce notevolmente quando la lunghezza d’onda è elevata. Nelle sezioni seguenti viene illustrata in modo quantitativo la fisica di questi fenomeni, partendo da come la deformazione influisce sui livelli energetici della banda elettronica. I fononi acustici sono presenti in materiali come il silicio, il GaAs e il GaN e diffondono i portatori di carica sia nei semiconduttori sfusi sia nei pozzi quantici. Si distinguono dalle vibrazioni ottiche di cui si è parlato in precedenza. Tutorial sull’utilizzo della funzione «Fröhlich scattering»: le onde acustiche sono movimenti reticolari simili al suono, la cui energia diminuisce notevolmente quando la lunghezza d’onda è elevata. Nelle sezioni seguenti viene illustrata in modo quantitativo la fisica di questi fenomeni, partendo da come la deformazione influisce sui livelli energetici della banda elettronica.

2. In che modo una vibrazione reticolare disperde un portatore di carica.2. In che modo una vibrazione reticolare disperde un portatore di carica.

I fononi acustici sono onde simili al suono: lunghezze d’onda maggiori corrispondono a frequenze di vibrazione inferiori. Per lunghezze d’onda sufficientemente ampie, la loro frequenza è approssimativamente proporzionale al loro vettore d’onda. Il meccanismo di scattering acustico più semplice è l’accoppiamento del potenziale di deformazione. Quando il reticolo cristallino viene compresso o allungato, le energie delle bande elettroniche cambiano. Un’onda acustica che lo attraversa crea quindi un potenziale che varia nello spazio e nel tempo e che influenza gli elettroni e le lacune. Per una banda isotropa, questo spostamento di energia può essere rappresentato da:I fononi acustici sono onde simili al suono: lunghezze d’onda maggiori corrispondono a frequenze di vibrazione inferiori. Per lunghezze d’onda sufficientemente ampie, la loro frequenza è approssimativamente proporzionale al loro vettore d’onda. Il meccanismo di scattering acustico più semplice è l’accoppiamento del potenziale di deformazione. Quando il reticolo cristallino viene compresso o allungato, le energie delle bande elettroniche cambiano. Un’onda acustica che lo attraversa crea quindi un potenziale che varia nello spazio e nel tempo e che influenza gli elettroni e le lacune. Per una banda isotropa, questo spostamento di energia può essere rappresentato da:

\[ \Delta E(\mathbf r,t)=D_{\mathrm{ac}}\,\nabla\!\cdot\mathbf u(\mathbf r,t) =D_{\mathrm{ac}}\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon(\mathbf r,t), \]\[ \Delta E(\mathbf r,t)=D_{\mathrm{ac}}\,\nabla\!\cdot\mathbf u(\mathbf r,t) =D_{\mathrm{ac}}\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon(\mathbf r,t), \]

dove \(\mathbf u\) rappresenta lo spostamento reticolare, \(\boldsymbol\varepsilon\) è il tensore di deformazione e \(D_{\mathrm{ac}}\) è il potenziale di deformazione acustica, espresso in unità di energia. Un’onda longitudinale crea una compressione ed espansione localizzate, generando una traccia di deformazione diversa da zero. Un’onda piana puramente trasversale ha una traccia di deformazione pari a zero, quindi non interagisce tramite questo termine scalare idrostatico. Questo non significa che i fononi acustici trasversali non possano mai disperdere i portatori di carica: anche i potenziali di deformazione anisotropi e a più bande possono interagire con la deformazione tangenziale.dove \(\mathbf u\) rappresenta lo spostamento reticolare, \(\boldsymbol\varepsilon\) è il tensore di deformazione e \(D_{\mathrm{ac}}\) è il potenziale di deformazione acustica, espresso in unità di energia. Un’onda longitudinale crea una compressione ed espansione localizzate, generando una traccia di deformazione diversa da zero. Un’onda piana puramente trasversale ha una traccia di deformazione pari a zero, quindi non interagisce tramite questo termine scalare idrostatico. Questo non significa che i fononi acustici trasversali non possano mai disperdere i portatori di carica: anche i potenziali di deformazione anisotropi e a più bande possono interagire con la deformazione tangenziale.

In termini più generali, il tensore delle deformazioni simmetriche è:In termini più generali, il tensore delle deformazioni simmetriche è:

\[ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right). \]\[ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right). \]

L’Hamiltoniana elettronica indotta dalla deformazione può contenere diversi potenziali di deformazione indipendenti anziché un singolo valore costante. Tali descrizioni diventano importanti per le valli anisotrope della banda di conduzione e per le bande di valenza con caratteristiche orbitali e di spin miste.L’Hamiltoniana elettronica indotta dalla deformazione può contenere diversi potenziali di deformazione indipendenti anziché un singolo valore costante. Tali descrizioni diventano importanti per le valli anisotrope della banda di conduzione e per le bande di valenza con caratteristiche orbitali e di spin miste.

3. Occupazione dei fononi e approssimazione elastica3. Occupazione dei fononi e approssimazione elastica

I fononi acustici possono modificare sia l’energia che la direzione di un portatore di carica. La figura ?? illustra questi due effetti prima di presentare la loro descrizione matematica.I fononi acustici possono modificare sia l’energia che la direzione di un portatore di carica. La figura ?? illustra questi due effetti prima di presentare la loro descrizione matematica.

Un portatore di carica può assorbire un fonone acustico, acquisendo energia \(\hbar\omega_\lambda\), oppure emetterlo, perdendo la stessa quantità di energia. Il numero medio di fononi in una determinata modalità a una data temperatura del reticolo \(T\) è dato dalla distribuzione di Bose-Einstein:Un portatore di carica può assorbire un fonone acustico, acquisendo energia \(\hbar\omega_\lambda\), oppure emetterlo, perdendo la stessa quantità di energia. Il numero medio di fononi in una determinata modalità a una data temperatura del reticolo \(T\) è dato dalla distribuzione di Bose-Einstein:

\[ N_{\mathbf q\lambda}= \frac{1}{\exp[\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)/(k_BT)]-1}. \]\[ N_{\mathbf q\lambda}= \frac{1}{\exp[\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)/(k_BT)]-1}. \]

L’assorbimento è proporzionale a \(N_{\mathbf q\lambda}\), mentre l’emissione è proporzionale a \(N_{\mathbf q\lambda}+1\). L’unità aggiuntiva rappresenta l’emissione spontanea. A una temperatura sufficientemente alta, tale da consentire ai fononi che trasportano la maggior parte della quantità di moto di interagire, \(k_BT\gg\hbar\omega_\lambda\), l’occupazione tende aL’assorbimento è proporzionale a \(N_{\mathbf q\lambda}\), mentre l’emissione è proporzionale a \(N_{\mathbf q\lambda}+1\). L’unità aggiuntiva rappresenta l’emissione spontanea. A una temperatura sufficientemente alta, tale da consentire ai fononi che trasportano la maggior parte della quantità di moto di interagire, \(k_BT\gg\hbar\omega_\lambda\), l’occupazione tende a

\[ N_{\mathbf q\lambda}\simeq\frac{k_BT}{\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)}. \]\[ N_{\mathbf q\lambda}\simeq\frac{k_BT}{\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)}. \]

Le energie dei fononi acustici sono spesso inferiori rispetto alle energie dei portatori di carica rilevanti, il che consente di utilizzare l’approssimazione quasi elastica dell’equipartizione \(E_f\simeq E_i\). L’assorbimento e l’emissione contribuiscono quindi alle transizioni tra stati elettronici con energie approssimativamente uguali. Si tratta di un’approssimazione e non di un’affermazione secondo cui i fononi acustici non trasportano energia. Tale approssimazione diventa meno affidabile a basse temperature, a valori elevati del vettore d’onda dei fononi o quando l’energia scambiata è paragonabile all’energia dei portatori di carica.Le energie dei fononi acustici sono spesso inferiori rispetto alle energie dei portatori di carica rilevanti, il che consente di utilizzare l’approssimazione quasi elastica dell’equipartizione \(E_f\simeq E_i\). L’assorbimento e l’emissione contribuiscono quindi alle transizioni tra stati elettronici con energie approssimativamente uguali. Si tratta di un’approssimazione e non di un’affermazione secondo cui i fononi acustici non trasportano energia. Tale approssimazione diventa meno affidabile a basse temperature, a valori elevati del vettore d’onda dei fononi o quando l’energia scambiata è paragonabile all’energia dei portatori di carica.

4. Elemento della matrice del potenziale di deformazione4. Elemento della matrice del potenziale di deformazione

Nel modello isotropo a lunghezza d’onda lunga, un fonone acustico longitudinale interagisce con un portatore di carica attraverso il potenziale di deformazione. Per uno stato elettronico rappresentato da un’onda piana, l’interazione con un singolo fonone ha un’ampiezza standard.Nel modello isotropo a lunghezza d’onda lunga, un fonone acustico longitudinale interagisce con un portatore di carica attraverso il potenziale di deformazione. Per uno stato elettronico rappresentato da un’onda piana, l’interazione con un singolo fonone ha un’ampiezza standard.

\[ |M_{\mathbf q,\mathrm{LA}}|^2= D_{\mathrm{ac}}^2\frac{\hbar|\mathbf q|}{2\rho V v_{\mathrm{LA}}}, \]\[ |M_{\mathbf q,\mathrm{LA}}|^2= D_{\mathrm{ac}}^2\frac{\hbar|\mathbf q|}{2\rho V v_{\mathrm{LA}}}, \]

dove \(\rho\) rappresenta la densità di massa e \(V\) il volume di normalizzazione dei fononi. Per stati elettronici più generali, l’interazione include anche una sovrapposizione tra le funzioni d’onda iniziali e finali. Pertanto, l’intensità dello scattering dipende sia dalle vibrazioni del reticolo cristallino sia dalle caratteristiche della banda elettronica.dove \(\rho\) rappresenta la densità di massa e \(V\) il volume di normalizzazione dei fononi. Per stati elettronici più generali, l’interazione include anche una sovrapposizione tra le funzioni d’onda iniziali e finali. Pertanto, l’intensità dello scattering dipende sia dalle vibrazioni del reticolo cristallino sia dalle caratteristiche della banda elettronica.

La combinazione dell’assorbimento e dell’emissione di fononi nel regime quasi-elastico ad alta temperatura produce un risultato particolarmente utile per il contributo longitudinale isotropo:La combinazione dell’assorbimento e dell’emissione di fononi nel regime quasi-elastico ad alta temperatura produce un risultato particolarmente utile per il contributo longitudinale isotropo:

\[ |M_{\mathrm{LA}}|^2_{\mathrm{thermal}} \simeq\frac{D_{\mathrm{ac}}^2 k_BT}{\rho V v_{\mathrm{LA}}^2} \,\mathcal F_{if}, \]\[ |M_{\mathrm{LA}}|^2_{\mathrm{thermal}} \simeq\frac{D_{\mathrm{ac}}^2 k_BT}{\rho V v_{\mathrm{LA}}^2} \,\mathcal F_{if}, \]

dove \(\mathcal F_{if}\) indica il fattore di sovrapposizione appropriato per lo stato elettronico. Questa espressione illustra perché la diffusione acustica tende a intensificarsi all’aumentare della temperatura. Mostra inoltre che la diffusione dipende dal potenziale di deformazione, dalla densità del cristallo e dalla risposta elastica, e non semplicemente da un parametro di mobilità regolabile.dove \(\mathcal F_{if}\) indica il fattore di sovrapposizione appropriato per lo stato elettronico. Questa espressione illustra perché la diffusione acustica tende a intensificarsi all’aumentare della temperatura. Mostra inoltre che la diffusione dipende dal potenziale di deformazione, dalla densità del cristallo e dalla risposta elastica, e non semplicemente da un parametro di mobilità regolabile.

5. Modi acustici longitudinali, trasversali e anisotropi5. Modi acustici longitudinali, trasversali e anisotropi

In molti semiconduttori, il suono si propaga a velocità diverse a seconda delle diverse direzioni cristallografiche. Le frequenze acustiche e le polarizzazioni di spostamento derivano dal tensore di rigidità elastica del cristallo \(C_{ijkl}\). Nella descrizione continua, si ottengono dall’equazione di Christoffel:In molti semiconduttori, il suono si propaga a velocità diverse a seconda delle diverse direzioni cristallografiche. Le frequenze acustiche e le polarizzazioni di spostamento derivano dal tensore di rigidità elastica del cristallo \(C_{ijkl}\). Nella descrizione continua, si ottengono dall’equazione di Christoffel:

\[ \sum_{j}\Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q})e_j^{(\lambda)} =\rho v_\lambda^2 e_i^{(\lambda)}, \qquad \Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q}) =\sum_{k,l} C_{ikjl}\hat q_k\hat q_l. \]\[ \sum_{j}\Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q})e_j^{(\lambda)} =\rho v_\lambda^2 e_i^{(\lambda)}, \qquad \Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q}) =\sum_{k,l} C_{ikjl}\hat q_k\hat q_l. \]

Gli autovalori determinano le velocità del suono, mentre gli autovettori \(\mathbf e^{(\lambda)}\) determinano le polarizzazioni dei fononi. Queste polarizzazioni specificano quali combinazioni di compressione e taglio vengono prodotte da ciascuna modalità e, di conseguenza, quali accoppiamenti di potenziale di deformazione sono possibili.Gli autovalori determinano le velocità del suono, mentre gli autovettori \(\mathbf e^{(\lambda)}\) determinano le polarizzazioni dei fononi. Queste polarizzazioni specificano quali combinazioni di compressione e taglio vengono prodotte da ciascuna modalità e, di conseguenza, quali accoppiamenti di potenziale di deformazione sono possibili.

Nel caso di un cristallo cubico, la risposta elastica è descritta da tre costanti di rigidità indipendenti, convenzionalmente indicate con \(C_{11}\), \(C_{12}\) e \(C_{44}\). Un cristallo esagonale di tipo wurtzite richiede costanti elastiche indipendenti aggiuntive, poiché la risposta lungo l’asse \(c\) del cristallo differisce generalmente dalla risposta nel piano basale. L’anisotropia elastica può quindi rendere le velocità di scattering e la direzione della mobilità dipendenti dalla direzione, anche prima di considerare l’anisotropia delle bande elettroniche.Nel caso di un cristallo cubico, la risposta elastica è descritta da tre costanti di rigidità indipendenti, convenzionalmente indicate con \(C_{11}\), \(C_{12}\) e \(C_{44}\). Un cristallo esagonale di tipo wurtzite richiede costanti elastiche indipendenti aggiuntive, poiché la risposta lungo l’asse \(c\) del cristallo differisce generalmente dalla risposta nel piano basale. L’anisotropia elastica può quindi rendere le velocità di scattering e la direzione della mobilità dipendenti dalla direzione, anche prima di considerare l’anisotropia delle bande elettroniche.

6. Potenziali di deformazione per le diverse bande elettroniche6. Potenziali di deformazione per le diverse bande elettroniche

Il potenziale di deformazione scalare rappresenta un utile punto di partenza, ma i semiconduttori reali possono presentare più bande, valli e componenti di funzione d’onda. In questi materiali, la deformazione acustica può modificare, separare o combinare gli stati elettronici.Il potenziale di deformazione scalare rappresenta un utile punto di partenza, ma i semiconduttori reali possono presentare più bande, valli e componenti di funzione d’onda. In questi materiali, la deformazione acustica può modificare, separare o combinare gli stati elettronici.

Minimi della banda di conduzione nel silicio: la risposta di un minimo dipende dalla sua orientazione. Una descrizione comune distingue tra un potenziale di deformazione idrostatica \(\Xi_d\) e un termine uniassiale \(\Xi_u\):Minimi della banda di conduzione nel silicio: la risposta di un minimo dipende dalla sua orientazione. Una descrizione comune distingue tra un potenziale di deformazione idrostatica \(\Xi_d\) e un termine uniassiale \(\Xi_u\):

\[ \Delta E_{\nu}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon +\Xi_u\,\hat{\mathbf a}_{\nu}\!\cdot\boldsymbol\varepsilon\!\cdot\hat{\mathbf a}_{\nu}, \]\[ \Delta E_{\nu}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon +\Xi_u\,\hat{\mathbf a}_{\nu}\!\cdot\boldsymbol\varepsilon\!\cdot\hat{\mathbf a}_{\nu}, \]

dove \(\hat{\mathbf a}_{\nu}\) è il vettore unitario che rappresenta l’asse della valle. Di conseguenza, la deformazione può influenzare in modo diverso le valli situate lungo diversi assi cristallini.dove \(\hat{\mathbf a}_{\nu}\) è il vettore unitario che rappresenta l’asse della valle. Di conseguenza, la deformazione può influenzare in modo diverso le valli situate lungo diversi assi cristallini.

Bande di valenza e semiconduttori a più bande: gli stati con lacune pesanti, lacune leggere e accoppiamento spin-orbita reagiscono alla sollecitazione di taglio e alla sollecitazione uniassiale, nonché alla sollecitazione idrostatica. L’hamiltoniana di sollecitazione di Bir-Pikus fornisce una descrizione standard per i sistemi a struttura di tipo zincblenda e sistemi correlati a più bande. La probabilità di scattering tra gli stati \(|i\rangle\) e \(|f\rangle\) è controllata da un elemento di matrice della perturbazione dovuta alla sollecitazione.Bande di valenza e semiconduttori a più bande: gli stati con lacune pesanti, lacune leggere e accoppiamento spin-orbita reagiscono alla sollecitazione di taglio e alla sollecitazione uniassiale, nonché alla sollecitazione idrostatica. L’hamiltoniana di sollecitazione di Bir-Pikus fornisce una descrizione standard per i sistemi a struttura di tipo zincblenda e sistemi correlati a più bande. La probabilità di scattering tra gli stati \(|i\rangle\) e \(|f\rangle\) è controllata da un elemento di matrice della perturbazione dovuta alla sollecitazione.

\[ M_{fi}^{(\lambda)}\propto \langle f|H_{\mathrm{strain}}(\boldsymbol\varepsilon^{(\lambda)})|i\rangle. \]\[ M_{fi}^{(\lambda)}\propto \langle f|H_{\mathrm{strain}}(\boldsymbol\varepsilon^{(\lambda)})|i\rangle. \]

Questo modello consente al meccanismo di accoppiamento indotto dallo sforzo di taglio, alla miscelazione a bande e alle regole di selezione di influenzare la probabilità di scattering. I potenziali di deformazione e l’hamiltoniana di deformazione rilevanti dipendono dalla simmetria e dalla struttura a bande del semiconduttore; una singola costante scalare universale non può descrivere tutti questi casi.Questo modello consente al meccanismo di accoppiamento indotto dallo sforzo di taglio, alla miscelazione a bande e alle regole di selezione di influenzare la probabilità di scattering. I potenziali di deformazione e l’hamiltoniana di deformazione rilevanti dipendono dalla simmetria e dalla struttura a bande del semiconduttore; una singola costante scalare universale non può descrivere tutti questi casi.

7. Diffusione acustica nei pozzi quantici7. Diffusione acustica nei pozzi quantici

In una struttura a pozzo quantico, il movimento degli elettroni è confinato nella direzione di crescita (che in questo caso è \(z\)), mentre le cariche possono muoversi liberamente nel piano. Uno stato elettronico può essere rappresentato schematicamente come il prodotto di un’onda piana nel piano e di una funzione d’onda di inviluppo confinata. La sua risposta a un fonone acustico dipende dalla sovrapposizione degli stati iniziali e finali confinati.In una struttura a pozzo quantico, il movimento degli elettroni è confinato nella direzione di crescita (che in questo caso è \(z\)), mentre le cariche possono muoversi liberamente nel piano. Uno stato elettronico può essere rappresentato schematicamente come il prodotto di un’onda piana nel piano e di una funzione d’onda di inviluppo confinata. La sua risposta a un fonone acustico dipende dalla sovrapposizione degli stati iniziali e finali confinati.

Nel caso di un potenziale di deformazione scalare, il fattore di confinamento rilevante ha la seguente forma:Nel caso di un potenziale di deformazione scalare, il fattore di confinamento rilevante ha la seguente forma:

\[ I_{fi}(q_z)=\int dz\,\psi_f^*(z) D_{\mathrm{ac}}(z)\psi_i(z)e^{iq_z z}. \]\[ I_{fi}(q_z)=\int dz\,\psi_f^*(z) D_{\mathrm{ac}}(z)\psi_i(z)e^{iq_z z}. \]

In questo caso, \(q_z\) rappresenta la componente del vettore d’onda del fonone perpendicolare alla regione di potenziale, mentre \(\psi_i\) e \(\psi_f\) sono funzioni d’onda elettroniche localizzate. Il fattore oscillatorio rappresenta la variazione del fonone all’interno della regione di potenziale. Lo stesso principio fisico si applica anche alle funzioni d’onda a più componenti, in cui il potenziale di deformazione scalare viene sostituito da un appropriato hamiltoniano di deformazione.In questo caso, \(q_z\) rappresenta la componente del vettore d’onda del fonone perpendicolare alla regione di potenziale, mentre \(\psi_i\) e \(\psi_f\) sono funzioni d’onda elettroniche localizzate. Il fattore oscillatorio rappresenta la variazione del fonone all’interno della regione di potenziale. Lo stesso principio fisico si applica anche alle funzioni d’onda a più componenti, in cui il potenziale di deformazione scalare viene sostituito da un appropriato hamiltoniano di deformazione.

I fononi acustici sono vibrazioni tridimensionali anche quando gli stati elettronici sono bidimensionali. Nella descrizione convenzionale dei fononi in un pozzo quantico, una carica può scambiare una quantità di moto nel piano \(\mathbf q_\parallel=\mathbf k'_\parallel-\mathbf k_\parallel\) e, allo stesso tempo, interagire con una componente fononica fuori dal piano \(q_z\). Ciò rende importante la sovrapposizione dovuta al confinamento sia per le transizioni intrasottobanda che per quelle intersottobanda. Potrebbero essere necessarie descrizioni alternative per membrane isolate o altre strutture con fononi fortemente confinati.I fononi acustici sono vibrazioni tridimensionali anche quando gli stati elettronici sono bidimensionali. Nella descrizione convenzionale dei fononi in un pozzo quantico, una carica può scambiare una quantità di moto nel piano \(\mathbf q_\parallel=\mathbf k'_\parallel-\mathbf k_\parallel\) e, allo stesso tempo, interagire con una componente fononica fuori dal piano \(q_z\). Ciò rende importante la sovrapposizione dovuta al confinamento sia per le transizioni intrasottobanda che per quelle intersottobanda. Potrebbero essere necessarie descrizioni alternative per membrane isolate o altre strutture con fononi fortemente confinati.

8. Dalla regola aurea di Fermi a una stima della frequenza di scattering.8. Dalla regola aurea di Fermi a una stima della frequenza di scattering.

La probabilità di una transizione assistita da fononi deriva dalla regola aurea di Fermi. Per uno stato elettronico iniziale \(i\), la velocità di scattering totale si ottiene sommando tutti gli stati finali possibili, i rami dei fononi e i vettori d’onda dei fononi:La probabilità di una transizione assistita da fononi deriva dalla regola aurea di Fermi. Per uno stato elettronico iniziale \(i\), la velocità di scattering totale si ottiene sommando tutti gli stati finali possibili, i rami dei fononi e i vettori d’onda dei fononi:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_i} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{f,\mathbf q,\lambda}|M_{fi}^{(\lambda)}(\mathbf q)|^2 \Big[&N_{\mathbf q\lambda}\, \delta(E_f-E_i-\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\\ &+(N_{\mathbf q\lambda}+1)\, \delta(E_f-E_i+\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\Big]. \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_i} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{f,\mathbf q,\lambda}|M_{fi}^{(\lambda)}(\mathbf q)|^2 \Big[&N_{\mathbf q\lambda}\, \delta(E_f-E_i-\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\\ &+(N_{\mathbf q\lambda}+1)\, \delta(E_f-E_i+\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\Big]. \end{aligned} \]

Il primo termine descrive l’assorbimento, mentre il secondo descrive l’emissione. Le funzioni delta di Dirac impongono la conservazione dell’energia; la quantità di moto del cristallo viene conservata attraverso la relazione tra i vettori d’onda degli elettroni e dei fononi. Nei sistemi degenerati, anche l’occupazione degli stati elettronici finali è importante e introduce fattori di blocco di Pauli.Il primo termine descrive l’assorbimento, mentre il secondo descrive l’emissione. Le funzioni delta di Dirac impongono la conservazione dell’energia; la quantità di moto del cristallo viene conservata attraverso la relazione tra i vettori d’onda degli elettroni e dei fononi. Nei sistemi degenerati, anche l’occupazione degli stati elettronici finali è importante e introduce fattori di blocco di Pauli.

Nell’approssimazione elastica ad alta temperatura, i due contributi convergono verso un unico processo di scattering a energia costante, con l’elemento di matrice termica di cui si è discusso in precedenza. Per una dispersione elettronica generica \(E_b(\mathbf k)\), gli stati finali disponibili si trovano sulla stessa curva o superficie di energia costante:Nell’approssimazione elastica ad alta temperatura, i due contributi convergono verso un unico processo di scattering a energia costante, con l’elemento di matrice termica di cui si è discusso in precedenza. Per una dispersione elettronica generica \(E_b(\mathbf k)\), gli stati finali disponibili si trovano sulla stessa curva o superficie di energia costante:

\[ E_{b_f}(\mathbf k')=E_{b_i}(\mathbf k). \]\[ E_{b_f}(\mathbf k')=E_{b_i}(\mathbf k). \]

Questo mette in risalto una distinzione importante: la diffusione acustica è influenzata dalla densità e dalla geometria degli stati elettronici accessibili, nonché dall’accoppiamento con i fononi. Di conseguenza, le bande non paraboliche o anisotropiche possono presentare tassi di diffusione dipendenti dall’energia, che differiscono notevolmente dai risultati più noti relativi alla massa efficace isotropa.Questo mette in risalto una distinzione importante: la diffusione acustica è influenzata dalla densità e dalla geometria degli stati elettronici accessibili, nonché dall’accoppiamento con i fononi. Di conseguenza, le bande non paraboliche o anisotropiche possono presentare tassi di diffusione dipendenti dall’energia, che differiscono notevolmente dai risultati più noti relativi alla massa efficace isotropa.

9. Tempo di diffusione, tempo di trasporto e mobilità9. Tempo di diffusione, tempo di trasporto e mobilità

Non tutte le collisioni sono ugualmente efficaci nel ridurre la corrente elettrica. Una collisione che modifica a malapena la direzione del movimento può contribuire al tasso di scattering totale, ma influisce solo in minima parte sull’impulso. Nel caso di una banda isotropa, questa distinzione è spesso rappresentata da un fattore di ponderazione per il trasporto:Non tutte le collisioni sono ugualmente efficaci nel ridurre la corrente elettrica. Una collisione che modifica a malapena la direzione del movimento può contribuire al tasso di scattering totale, ma influisce solo in minima parte sull’impulso. Nel caso di una banda isotropa, questa distinzione è spesso rappresentata da un fattore di ponderazione per il trasporto:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf k)} =\sum_{\mathbf k'}W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'} \bigl(1-\cos\theta\bigr), \]\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf k)} =\sum_{\mathbf k'}W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'} \bigl(1-\cos\theta\bigr), \]

dove \(W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'}\) è la velocità di transizione e \(\theta\) è l'angolo di diffusione. La diffusione in avanti ha un effetto limitato sul rilassamento della quantità di moto, mentre la diffusione all'indietro contribuisce in modo più significativo. Per materiali anisotropi o con più bande, un'analisi completa del rilassamento della quantità di moto o della velocità può essere più complessa rispetto a questo semplice fattore angolare.dove \(W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'}\) è la velocità di transizione e \(\theta\) è l'angolo di diffusione. La diffusione in avanti ha un effetto limitato sul rilassamento della quantità di moto, mentre la diffusione all'indietro contribuisce in modo più significativo. Per materiali anisotropi o con più bande, un'analisi completa del rilassamento della quantità di moto o della velocità può essere più complessa rispetto a questo semplice fattore angolare.

Nell’approssimazione elementare del tempo di rilassamento nella banda parabolica, la mobilità èNell’approssimazione elementare del tempo di rilassamento nella banda parabolica, la mobilità è

\[ \mu=\frac{q\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*}. \]\[ \mu=\frac{q\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*}. \]

I dispositivi reali contengono in genere portatori di carica con un ampio intervallo di energie e possono presentare diverse bande o sottobande occupate. La conducibilità dipende quindi dalla distribuzione dei portatori, dalle velocità di gruppo e dal tempo di trasporto, che varia in funzione dell’energia. La diffusione acustica dei fononi è solo uno dei fattori che contribuiscono a limitare la mobilità finale, insieme ad altri come le impurità, la rugosità delle superfici e i fononi ottici. Per una comprensione più ampia della modellizzazione del trasporto nei semiconduttori, consultare la documentazione su struttura a bande e mobilità.I dispositivi reali contengono in genere portatori di carica con un ampio intervallo di energie e possono presentare diverse bande o sottobande occupate. La conducibilità dipende quindi dalla distribuzione dei portatori, dalle velocità di gruppo e dal tempo di trasporto, che varia in funzione dell’energia. La diffusione acustica dei fononi è solo uno dei fattori che contribuiscono a limitare la mobilità finale, insieme ad altri come le impurità, la rugosità delle superfici e i fononi ottici. Per una comprensione più ampia della modellizzazione del trasporto nei semiconduttori, consultare la documentazione su struttura a bande e mobilità.

10. In quali casi il modello acustico semplice risulta inadeguato?10. In quali casi il modello acustico semplice risulta inadeguato?

Le approssimazioni del potenziale di deformazione e dell’equipartizione offrono una descrizione utile della diffusione acustica, ma è importante tenere presente le loro ipotesi di base. A basse temperature, la popolazione dei fononi e l’energia dei fononi in grado di diffondere gli elettroni devono essere trattate con attenzione; il regime di Bloch-Grüneisen può discostarsi notevolmente dal modello valido ad alte temperature. Una forte anisotropia, l’accoppiamento tra più bande e il confinamento quantistico possono modificare le regole di selezione della diffusione. Altre interazioni acustiche, in particolare la diffusione piezoelettrica nei cristalli non centrosimmetrici, derivano da un diverso tipo di accoppiamento fisico e non devono essere confuse con la diffusione dovuta al potenziale di deformazione.Le approssimazioni del potenziale di deformazione e dell’equipartizione offrono una descrizione utile della diffusione acustica, ma è importante tenere presente le loro ipotesi di base. A basse temperature, la popolazione dei fononi e l’energia dei fononi in grado di diffondere gli elettroni devono essere trattate con attenzione; il regime di Bloch-Grüneisen può discostarsi notevolmente dal modello valido ad alte temperature. Una forte anisotropia, l’accoppiamento tra più bande e il confinamento quantistico possono modificare le regole di selezione della diffusione. Altre interazioni acustiche, in particolare la diffusione piezoelettrica nei cristalli non centrosimmetrici, derivano da un diverso tipo di accoppiamento fisico e non devono essere confuse con la diffusione dovuta al potenziale di deformazione.

Il risultato principale è che i fononi acustici disperdono le cariche elettriche generando una deformazione reticolare variabile nel tempo. L’intensità di questa interazione dipende da come gli stati elettronici reagiscono alla deformazione, da come il cristallo propaga le onde sonore, dai possibili stati finali delle cariche e dall’efficacia con cui ogni transizione consente il rilassamento dell’impulso. Questi principi si applicano sia ai semiconduttori sfusi sia ai pozzi quantici e ai sistemi elettronici a più bande.Il risultato principale è che i fononi acustici disperdono le cariche elettriche generando una deformazione reticolare variabile nel tempo. L’intensità di questa interazione dipende da come gli stati elettronici reagiscono alla deformazione, da come il cristallo propaga le onde sonore, dai possibili stati finali delle cariche e dall’efficacia con cui ogni transizione consente il rilassamento dell’impulso. Questi principi si applicano sia ai semiconduttori sfusi sia ai pozzi quantici e ai sistemi elettronici a più bande.