Simulazione di una cavità Fabry–Pérot (FDTD): tutorial su un risonatore ottico unidimensionale.Simulazione di una cavità Fabry–Pérot (FDTD): tutorial su un risonatore ottico unidimensionale.

1. Introduzione1. Introduzione

Una cavità di Fabry–Pérot è una delle strutture risonanti più importanti nell’ottica e nella fotonica. Nella sua forma più semplice, è una regione delimitata da due superfici riflettenti, in modo che la luce possa riflettersi avanti e indietro e formare risonanze di onde stazionarie. Un’analogia meccanica comune è una corda di chitarra vibrante, come mostrato in ??. Proprio come solo determinati schemi di vibrazione sono possibili su una corda fissa, corrispondenti a specifiche lunghezze d’onda e frequenze (note musicali), solo determinati modi ottici sono supportati all’interno di una cavità di Fabry–Pérot.Una cavità di Fabry–Pérot è una delle strutture risonanti più importanti nell’ottica e nella fotonica. Nella sua forma più semplice, è una regione delimitata da due superfici riflettenti, in modo che la luce possa riflettersi avanti e indietro e formare risonanze di onde stazionarie. Un’analogia meccanica comune è una corda di chitarra vibrante, come mostrato in ??. Proprio come solo determinati schemi di vibrazione sono possibili su una corda fissa, corrispondenti a specifiche lunghezze d’onda e frequenze (note musicali), solo determinati modi ottici sono supportati all’interno di una cavità di Fabry–Pérot.

La versione ottica di questa idea è illustrata in ??. La luce si riflette ripetutamente tra due interfacce e queste molteplici riflessioni interagiscono tra loro. Quando la fase del percorso completo è corretta, le onde si sommano in modo coerente e si crea una modalità di risonanza all’interno della cavità. Questo semplice principio è alla base di un’ampia gamma di dispositivi fotonici, tra cui filtri ottici, specchi dielettrici, interferometri e cavità laser.La versione ottica di questa idea è illustrata in ??. La luce si riflette ripetutamente tra due interfacce e queste molteplici riflessioni interagiscono tra loro. Quando la fase del percorso completo è corretta, le onde si sommano in modo coerente e si crea una modalità di risonanza all’interno della cavità. Questo semplice principio è alla base di un’ampia gamma di dispositivi fotonici, tra cui filtri ottici, specchi dielettrici, interferometri e cavità laser.

In un risonatore di Fabry–Pérot, sono consentite solo le modalità ottiche la cui lunghezza d’onda corrisponde alle dimensioni della cavità. In caso di incidenza normale, ciò si verifica quando la condizione di risonanza èIn un risonatore di Fabry–Pérot, sono consentite solo le modalità ottiche la cui lunghezza d’onda corrisponde alle dimensioni della cavità. In caso di incidenza normale, ciò si verifica quando la condizione di risonanza è

\(2nL = m\lambda\) \(2nL = m\lambda\)

dove \(n\) è l’indice di rifrazione della regione della cavità, \(L\) è la lunghezza della cavità, \(\lambda\) è la lunghezza d’onda e \(m\) è un numero intero che indica la modalità. Nella figura sono mostrate tre modalità: la modalità fondamentale (m = 1, azzurro), la seconda armonica (m = 2, blu) e la terza armonica (m = 3, blu scuro). Ciò significa che la cavità supporta un insieme discreto di soluzioni di onde stazionarie, anziché un continuum arbitrario di lunghezze d’onda.dove \(n\) è l’indice di rifrazione della regione della cavità, \(L\) è la lunghezza della cavità, \(\lambda\) è la lunghezza d’onda e \(m\) è un numero intero che indica la modalità. Nella figura sono mostrate tre modalità: la modalità fondamentale (m = 1, azzurro), la seconda armonica (m = 2, blu) e la terza armonica (m = 3, blu scuro). Ciò significa che la cavità supporta un insieme discreto di soluzioni di onde stazionarie, anziché un continuum arbitrario di lunghezze d’onda.

In modo equivalente, le lunghezze d’onda consentite possono essere espresse come:In modo equivalente, le lunghezze d’onda consentite possono essere espresse come:

\(\lambda_m = \dfrac{2nL}{m}\) \(\lambda_m = \dfrac{2nL}{m}\)

Pertanto, le modalità di ordine superiore corrispondono a diversi valori interi di \(m\), ciascuno dei quali genera una diversa configurazione del campo di risonanza. Questo è esattamente il comportamento previsto dall’analogia delle onde stazionarie ed è il motivo per cui le cavità di Fabry–Pérot sono ampiamente utilizzate come risuonatori ottici, elementi selettivi per la lunghezza d’onda e cavità laser.Pertanto, le modalità di ordine superiore corrispondono a diversi valori interi di \(m\), ciascuno dei quali genera una diversa configurazione del campo di risonanza. Questo è esattamente il comportamento previsto dall’analogia delle onde stazionarie ed è il motivo per cui le cavità di Fabry–Pérot sono ampiamente utilizzate come risuonatori ottici, elementi selettivi per la lunghezza d’onda e cavità laser.

In questo tutorial, utilizzeremo il metodo delle differenze finite nel dominio del tempo (FDTD) per simulare una semplice cavità Fabry–Pérot monodimensionale. La simulazione include una sorgente, due regioni riflettenti, una cavità tra queste e piani di rilevamento che registrano la risposta ottica (??). Eseguendo questo modello, potrete osservare come un impulso a banda larga eccita la cavità, come si formano le onde stazionarie e come gli spettri trasmessi e riflessi rivelano le modalità di risonanza del dispositivo.In questo tutorial, utilizzeremo il metodo delle differenze finite nel dominio del tempo (FDTD) per simulare una semplice cavità Fabry–Pérot monodimensionale. La simulazione include una sorgente, due regioni riflettenti, una cavità tra queste e piani di rilevamento che registrano la risposta ottica (??). Eseguendo questo modello, potrete osservare come un impulso a banda larga eccita la cavità, come si formano le onde stazionarie e come gli spettri trasmessi e riflessi rivelano le modalità di risonanza del dispositivo.

2. Creazione di una nuova simulazione2. Creazione di una nuova simulazione

Aprire la finestra della nuova simulazione e selezionare la categoria degli esempi FDTD (??). Quindi, scegliere l’esempio relativo alla cavità di Fabry–Pérot (??). In questo modo si aprirà l’interfaccia principale mostrata in ??.Aprire la finestra della nuova simulazione e selezionare la categoria degli esempi FDTD (??). Quindi, scegliere l’esempio relativo alla cavità di Fabry–Pérot (??). In questo modo si aprirà l’interfaccia principale mostrata in ??.

Dopo aver caricato la simulazione, si apre la finestra principale, come mostrato in ??. La struttura viene visualizzata nella vista 3D all’interno della scheda «Struttura dispositivo». Questa vista mostra tutti i componenti principali della simulazione della cavità di Fabry–Pérot.Dopo aver caricato la simulazione, si apre la finestra principale, come mostrato in ??. La struttura viene visualizzata nella vista 3D all’interno della scheda «Struttura dispositivo». Questa vista mostra tutti i componenti principali della simulazione della cavità di Fabry–Pérot.

A sinistra, le frecce verdi rappresentano la sorgente FDTD, ovvero il punto in cui viene iniettato l’impulso ottico. La sottile linea viola che attraversa la struttura rappresenta la griglia FDTD. In questo esempio, la simulazione è essenzialmente unidimensionale, quindi la griglia appare come una singola linea che attraversa la cavità.A sinistra, le frecce verdi rappresentano la sorgente FDTD, ovvero il punto in cui viene iniettato l’impulso ottico. La sottile linea viola che attraversa la struttura rappresenta la griglia FDTD. In questo esempio, la simulazione è essenzialmente unidimensionale, quindi la griglia appare come una singola linea che attraversa la cavità.

Appena a destra della sorgente, il piano viola rappresenta il rivelatore di ingresso, che registra i campi in arrivo e riflessi. Al centro della struttura si trovano le due regioni riflettenti che costituiscono la cavità di Fabry–Pérot. Sul lato destro, il piano verde è il rivelatore di uscita, che misura la luce trasmessa dopo che questa ha attraversato la cavità. I rivelatori non influenzano la propagazione dell’onda; si limitano a registrare il campo elettromagnetico mentre evolve nel tempo.Appena a destra della sorgente, il piano viola rappresenta il rivelatore di ingresso, che registra i campi in arrivo e riflessi. Al centro della struttura si trovano le due regioni riflettenti che costituiscono la cavità di Fabry–Pérot. Sul lato destro, il piano verde è il rivelatore di uscita, che misura la luce trasmessa dopo che questa ha attraversato la cavità. I rivelatori non influenzano la propagazione dell’onda; si limitano a registrare il campo elettromagnetico mentre evolve nel tempo.

Tra poco avvieremo la simulazione e osserveremo come la luce si propaga attraverso la struttura e interagisce con la cavità. Potrete vedere come l’onda viene parzialmente riflessa, come una parte di essa entra nella cavità e si accumula tra gli specchi, e come questo comportamento viene registrato dai due rilevatori posizionati ai lati della struttura.Tra poco avvieremo la simulazione e osserveremo come la luce si propaga attraverso la struttura e interagisce con la cavità. Potrete vedere come l’onda viene parzialmente riflessa, come una parte di essa entra nella cavità e si accumula tra gli specchi, e come questo comportamento viene registrato dai due rilevatori posizionati ai lati della struttura.

3. Esecuzione della simulazione3. Esecuzione della simulazione

Dopo aver salvato la simulazione ed esaminato la sua struttura, clicca sul pulsante Esegui (▶) per avviare il calcolo. Durante l’esecuzione della simulazione, puoi monitorarne l’avanzamento nella scheda Terminale, mostrata in ??. Questa visualizza informazioni quali l’intervallo di tempo, l’intervallo di lunghezze d’onda e il componente utilizzato. All’inizio dell’esecuzione, vedrai una riga con la scritta Searching for OpenCL devices. Si tratta di dispositivi di accelerazione hardware che possono essere utilizzati per velocizzare la simulazione. Se viene trovato un dispositivo OpenCL adatto, come nell’esempio mostrato nella figura, OghmaNano lo utilizzerà automaticamente ed eseguirà la simulazione sulla GPU anziché sulla CPU.Dopo aver salvato la simulazione ed esaminato la sua struttura, clicca sul pulsante Esegui (▶) per avviare il calcolo. Durante l’esecuzione della simulazione, puoi monitorarne l’avanzamento nella scheda Terminale, mostrata in ??. Questa visualizza informazioni quali l’intervallo di tempo, l’intervallo di lunghezze d’onda e il componente utilizzato. All’inizio dell’esecuzione, vedrai una riga con la scritta Searching for OpenCL devices. Si tratta di dispositivi di accelerazione hardware che possono essere utilizzati per velocizzare la simulazione. Se viene trovato un dispositivo OpenCL adatto, come nell’esempio mostrato nella figura, OghmaNano lo utilizzerà automaticamente ed eseguirà la simulazione sulla GPU anziché sulla CPU.

Una volta completata la simulazione, passare alla scheda «Risultati», mostrata in ??. Qui si troveranno i dati generati durante l’esecuzione. I risultati principali per questo tutorial sono detector_0 e detector_1, che contengono i segnali registrati dai due rivelatori. È inoltre possibile aprire device per visualizzare la geometria 3D e la cartella snapshots/ per vedere come i campi elettromagnetici evolvono nel tempo. Si noterà che questa simulazione viene eseguita molto rapidamente. Poiché si tratta di un problema unidimensionale, i tempi di esecuzione tipici sono di pochi secondi. Se la simulazione richiede un tempo significativamente più lungo, fare riferimento alla nota precedente relativa al salvataggio della simulazione su un disco locale ad alta velocità.Una volta completata la simulazione, passare alla scheda «Risultati», mostrata in ??. Qui si troveranno i dati generati durante l’esecuzione. I risultati principali per questo tutorial sono detector_0 e detector_1, che contengono i segnali registrati dai due rivelatori. È inoltre possibile aprire device per visualizzare la geometria 3D e la cartella snapshots/ per vedere come i campi elettromagnetici evolvono nel tempo. Si noterà che questa simulazione viene eseguita molto rapidamente. Poiché si tratta di un problema unidimensionale, i tempi di esecuzione tipici sono di pochi secondi. Se la simulazione richiede un tempo significativamente più lungo, fare riferimento alla nota precedente relativa al salvataggio della simulazione su un disco locale ad alta velocità.

5. Visualizzazione di immagini istantanee del campo elettrico5. Visualizzazione di immagini istantanee del campo elettrico

Aprire la cartella di output snapshots/ (dalla scheda Output) e fare doppio clic per avviare il visualizzatore delle immagini. In questo modo è possibile visualizzare i risultati della simulazione in funzione del tempo. Fare clic una volta sul pulsante + per aggiungere un set di dati, quindi selezionare Ey. In questa simulazione, il campo viene eccitato nella direzione y, quindi questa componente offre la visualizzazione più diretta della propagazione dell'onda. È quindi possibile utilizzare la barra di scorrimento per avanzare nel tempo e osservare come il campo evolve. Tre immagini rappresentative sono mostrate in ??–??.Aprire la cartella di output snapshots/ (dalla scheda Output) e fare doppio clic per avviare il visualizzatore delle immagini. In questo modo è possibile visualizzare i risultati della simulazione in funzione del tempo. Fare clic una volta sul pulsante + per aggiungere un set di dati, quindi selezionare Ey. In questa simulazione, il campo viene eccitato nella direzione y, quindi questa componente offre la visualizzazione più diretta della propagazione dell'onda. È quindi possibile utilizzare la barra di scorrimento per avanzare nel tempo e osservare come il campo evolve. Tre immagini rappresentative sono mostrate in ??–??.

Nelle prime fasi (pannello a sinistra), si può osservare l’impulso iniziale a banda larga che entra nella struttura. Il campo è ancora localizzato nello spazio, con un fronte d’onda ben definito che corrisponde all’eccitazione iniettata. Man mano che il tempo passa (pannello centrale), l’impulso interagisce con la regione della cavità. La forma d’onda diventa più strutturata e si estende nello spazio, indicando che diverse componenti di frequenza si propagano con fasi diverse. Questo è un segno di riflessione parziale e interferenza all’interno della struttura.Nelle prime fasi (pannello a sinistra), si può osservare l’impulso iniziale a banda larga che entra nella struttura. Il campo è ancora localizzato nello spazio, con un fronte d’onda ben definito che corrisponde all’eccitazione iniettata. Man mano che il tempo passa (pannello centrale), l’impulso interagisce con la regione della cavità. La forma d’onda diventa più strutturata e si estende nello spazio, indicando che diverse componenti di frequenza si propagano con fasi diverse. Questo è un segno di riflessione parziale e interferenza all’interno della struttura.

In una fase successiva (pannello a destra), il campo non assomiglia più a un singolo impulso che si propaga. Invece, si presenta come una sovrapposizione di onde con diverse frequenze spaziali. Questo comportamento deriva dal fatto che la cavità amplifica selettivamente alcune lunghezze d’onda, mentre altre vengono riflesse o trasmesse. Il risultato è uno schema di interferenza complesso, anziché una semplice onda stazionaria. È importante notare che, poiché la simulazione viene attivata con un impulso a banda larga e osservata nel dominio del tempo, la risonanza della cavità non si manifesta immediatamente come una chiara modalità di onda stazionaria. Invece, ciò che si osserva è l’evoluzione transitoria verso la risonanza, in cui molteplici riflessioni e interferenze contribuiscono gradualmente a creare le componenti di frequenza che soddisfano le condizioni della cavità.In una fase successiva (pannello a destra), il campo non assomiglia più a un singolo impulso che si propaga. Invece, si presenta come una sovrapposizione di onde con diverse frequenze spaziali. Questo comportamento deriva dal fatto che la cavità amplifica selettivamente alcune lunghezze d’onda, mentre altre vengono riflesse o trasmesse. Il risultato è uno schema di interferenza complesso, anziché una semplice onda stazionaria. È importante notare che, poiché la simulazione viene attivata con un impulso a banda larga e osservata nel dominio del tempo, la risonanza della cavità non si manifesta immediatamente come una chiara modalità di onda stazionaria. Invece, ciò che si osserva è l’evoluzione transitoria verso la risonanza, in cui molteplici riflessioni e interferenze contribuiscono gradualmente a creare le componenti di frequenza che soddisfano le condizioni della cavità.

6. Visualizzazione dei dati provenienti dai rivelatori6. Visualizzazione dei dati provenienti dai rivelatori

Tornando alla scheda «Output» (vedere ??), si vedranno due cartelle relative ai rivelatori, «Detector0» e «Detector1», che appaiono come piccole icone di sensori CCD. «Detector0» è posizionato sul lato della sorgente all’interno della cavità, mentre «Detector1» è posizionato sul lato opposto, dopo che la luce ha attraversato la struttura. Se si fa doppio clic su «Detector0», si visualizzerà il contenuto mostrato in ??. In questa directory sono presenti due file, lam_E.csv e power.csv. Per ora, aprire power.csv, che mostra la potenza che attraversa il rivelatore in funzione del tempo. Il risultato è mostrato in ??. Questo è il valore di potenza rilevato dal rivelatore sul lato di ingresso.Tornando alla scheda «Output» (vedere ??), si vedranno due cartelle relative ai rivelatori, «Detector0» e «Detector1», che appaiono come piccole icone di sensori CCD. «Detector0» è posizionato sul lato della sorgente all’interno della cavità, mentre «Detector1» è posizionato sul lato opposto, dopo che la luce ha attraversato la struttura. Se si fa doppio clic su «Detector0», si visualizzerà il contenuto mostrato in ??. In questa directory sono presenti due file, lam_E.csv e power.csv. Per ora, aprire power.csv, che mostra la potenza che attraversa il rivelatore in funzione del tempo. Il risultato è mostrato in ??. Questo è il valore di potenza rilevato dal rivelatore sul lato di ingresso.

Ora è possibile ripetere lo stesso procedimento per il rilevatore 1. Aprendo il file power.csv in quella cartella, si ottiene il risultato mostrato in ??. In questo caso, il segnale trasmesso compare dopo un breve ritardo, corrispondente al tempo necessario all’impulso per attraversare la cavità. Rispetto al segnale in ingresso, l’impulso trasmesso risulta notevolmente più uniforme e regolare. Ciò riflette il fatto che la cavità trasmette preferenzialmente una gamma più ristretta di componenti di frequenza, mentre le altre vengono riflesse. Di conseguenza, il segnale in uscita è essenzialmente una versione filtrata dell’impulso originale a banda larga.Ora è possibile ripetere lo stesso procedimento per il rilevatore 1. Aprendo il file power.csv in quella cartella, si ottiene il risultato mostrato in ??. In questo caso, il segnale trasmesso compare dopo un breve ritardo, corrispondente al tempo necessario all’impulso per attraversare la cavità. Rispetto al segnale in ingresso, l’impulso trasmesso risulta notevolmente più uniforme e regolare. Ciò riflette il fatto che la cavità trasmette preferenzialmente una gamma più ristretta di componenti di frequenza, mentre le altre vengono riflesse. Di conseguenza, il segnale in uscita è essenzialmente una versione filtrata dell’impulso originale a banda larga.

Possiamo ora passare dall’analisi dei segnali nel dominio del tempo all’analisi della risposta nel dominio della frequenza. I segnali mostrati in precedenza possono essere trasformati tramite la trasformata di Fourier per ottenere lo spettro del segnale luminoso che attraversa ciascun rivelatore. I dati relativi al dominio della frequenza sono disponibili nel file lam_E.csv, sia all’interno di Detector0 che di Detector1.Possiamo ora passare dall’analisi dei segnali nel dominio del tempo all’analisi della risposta nel dominio della frequenza. I segnali mostrati in precedenza possono essere trasformati tramite la trasformata di Fourier per ottenere lo spettro del segnale luminoso che attraversa ciascun rivelatore. I dati relativi al dominio della frequenza sono disponibili nel file lam_E.csv, sia all’interno di Detector0 che di Detector1.

Spettro di ingresso: lo spettro sul lato di ingresso è mostrato in ??. Si tratta dello spettro rilevato sul lato della sorgente all’interno della cavità. La caratteristica principale è un picco intenso centrato intorno ai 400 nm, che corrisponde al contenuto spettrale principale dell’impulso iniettato. Poiché questo rivelatore è posizionato prima della cavità, lo spettro rilevato rappresenta principalmente il campo incidente, anche se potrebbe contenere una piccola componente di luce riflessa dalla struttura. Lontano dal picco principale, il segnale si indebolisce e le piccole variazioni presenti in queste regioni non devono essere interpretate in modo eccessivo.Spettro di ingresso: lo spettro sul lato di ingresso è mostrato in ??. Si tratta dello spettro rilevato sul lato della sorgente all’interno della cavità. La caratteristica principale è un picco intenso centrato intorno ai 400 nm, che corrisponde al contenuto spettrale principale dell’impulso iniettato. Poiché questo rivelatore è posizionato prima della cavità, lo spettro rilevato rappresenta principalmente il campo incidente, anche se potrebbe contenere una piccola componente di luce riflessa dalla struttura. Lontano dal picco principale, il segnale si indebolisce e le piccole variazioni presenti in queste regioni non devono essere interpretate in modo eccessivo.

Spettro di emissione: lo spettro corrispondente emesso dal dispositivo è mostrato in ??. Come per lo spettro di ingresso, la caratteristica principale è un picco intenso in prossimità dei 400 nm, che riflette l’eccitazione primaria del sistema. Tuttavia, è visibile una caratteristica aggiuntiva sul lato a lunghezza d’onda maggiore di questo picco: una piccola spalla intorno ai 500 nm. Questa caratteristica deriva dalla risposta della cavità di Fabry–Pérot, che trasmette preferenzialmente determinate lunghezze d’onda. Poiché la sorgente non è centrata su questa frequenza di risonanza, la caratteristica legata alla cavità si manifesta solo come un contributo secondario più debole, piuttosto che come un picco dominante.Spettro di emissione: lo spettro corrispondente emesso dal dispositivo è mostrato in ??. Come per lo spettro di ingresso, la caratteristica principale è un picco intenso in prossimità dei 400 nm, che riflette l’eccitazione primaria del sistema. Tuttavia, è visibile una caratteristica aggiuntiva sul lato a lunghezza d’onda maggiore di questo picco: una piccola spalla intorno ai 500 nm. Questa caratteristica deriva dalla risposta della cavità di Fabry–Pérot, che trasmette preferenzialmente determinate lunghezze d’onda. Poiché la sorgente non è centrata su questa frequenza di risonanza, la caratteristica legata alla cavità si manifesta solo come un contributo secondario più debole, piuttosto che come un picco dominante.

Rapporto tra segnale in ingresso e segnale in uscita: gli spettri mostrati in precedenza sono caratterizzati principalmente dal profilo spettrale della sorgente, il che rende difficile individuare chiaramente l’effetto della cavità. Per rendere più evidente la risposta della cavità, è necessario eliminare, per quanto possibile, l’influenza dello spettro della sorgente. A tal fine, dividiamo il segnale in uscita per il segnale in ingresso, normalizzando di fatto il campo trasmesso rispetto al campo incidente. Poiché la potenza è proporzionale a \(|E|^2\), si ottiene una funzione di trasmissione approssimativa della struttura: \(T(\lambda) = \frac{|E_{\mathrm{output}}(\lambda)|^2}{|E_{\mathrm{input}}(\lambda)|^2}\). Il risultato è mostrato in ??.Rapporto tra segnale in ingresso e segnale in uscita: gli spettri mostrati in precedenza sono caratterizzati principalmente dal profilo spettrale della sorgente, il che rende difficile individuare chiaramente l’effetto della cavità. Per rendere più evidente la risposta della cavità, è necessario eliminare, per quanto possibile, l’influenza dello spettro della sorgente. A tal fine, dividiamo il segnale in uscita per il segnale in ingresso, normalizzando di fatto il campo trasmesso rispetto al campo incidente. Poiché la potenza è proporzionale a \(|E|^2\), si ottiene una funzione di trasmissione approssimativa della struttura: \(T(\lambda) = \frac{|E_{\mathrm{output}}(\lambda)|^2}{|E_{\mathrm{input}}(\lambda)|^2}\). Il risultato è mostrato in ??.

Questa procedura non elimina completamente il contributo della cavità, ma ne riduce significativamente l’influenza. Di conseguenza, le caratteristiche associate alla cavità diventano molto più evidenti. In particolare, la risonanza intorno ai 500 nm, che nello spettro di uscita originale appare solo come una debole spalla, ora risulta chiaramente accentuata nel risultato normalizzato. È importante notare che, quando il segnale di ingresso è molto debole, il rapporto può diventare elevato e soggetto a rumore. Queste caratteristiche non sono risonanze fisiche, ma derivano dalla divisione per un numero piccolo. Per ottenere uno spettro di trasmissione più chiaro, è possibile utilizzare una simulazione di riferimento separata, senza la cavità, per la normalizzazione, ma questo non è necessario per osservare l’effetto principale in questione.Questa procedura non elimina completamente il contributo della cavità, ma ne riduce significativamente l’influenza. Di conseguenza, le caratteristiche associate alla cavità diventano molto più evidenti. In particolare, la risonanza intorno ai 500 nm, che nello spettro di uscita originale appare solo come una debole spalla, ora risulta chiaramente accentuata nel risultato normalizzato. È importante notare che, quando il segnale di ingresso è molto debole, il rapporto può diventare elevato e soggetto a rumore. Queste caratteristiche non sono risonanze fisiche, ma derivano dalla divisione per un numero piccolo. Per ottenere uno spettro di trasmissione più chiaro, è possibile utilizzare una simulazione di riferimento separata, senza la cavità, per la normalizzazione, ma questo non è necessario per osservare l’effetto principale in questione.

7. Sperimentazione con le dimensioni della cavità7. Sperimentazione con le dimensioni della cavità

Per analizzare come il comportamento di tipo Fabry-Pérot dipende dalla sua struttura, fare clic con il pulsante destro del mouse su uno degli specchi che delimitano la cavità e selezionare «Modifica oggetto», come mostrato in ??. Si aprirà l'editor dell'oggetto, dove sarà possibile controllare la geometria della cavità, come illustrato in ??. In questa simulazione, la cavità è costituita da due specchi sottili, ciascuno spesso 10 nm, separati da uno spazio di 250 nm. Invece di definire due oggetti indipendenti, OghmaNano utilizza una funzione di replicazione: viene definito un singolo oggetto, che viene poi ripetuto lungo una direzione scelta. In questo caso, lo specchio viene duplicato lungo l'asse z. Questo è controllato dal campo «Numero di oggetti», impostato su 2 nella direzione z. Il parametro «Passo» definisce quindi la distanza tra le copie successive dell'oggetto. In questo caso, il passo nella direzione z è impostato su 260 nm. Questo valore include sia lo spazio della cavità che lo spessore del primo specchio. Poiché ogni specchio è spesso 10 nm, lo spazio fisico tra i due specchi è di \(260 - 10 = 250\) nm, il che definisce la lunghezza della cavità. Questa configurazione consente di controllare entrambi gli specchi in modo coerente modificando un singolo oggetto.Per analizzare come il comportamento di tipo Fabry-Pérot dipende dalla sua struttura, fare clic con il pulsante destro del mouse su uno degli specchi che delimitano la cavità e selezionare «Modifica oggetto», come mostrato in ??. Si aprirà l'editor dell'oggetto, dove sarà possibile controllare la geometria della cavità, come illustrato in ??. In questa simulazione, la cavità è costituita da due specchi sottili, ciascuno spesso 10 nm, separati da uno spazio di 250 nm. Invece di definire due oggetti indipendenti, OghmaNano utilizza una funzione di replicazione: viene definito un singolo oggetto, che viene poi ripetuto lungo una direzione scelta. In questo caso, lo specchio viene duplicato lungo l'asse z. Questo è controllato dal campo «Numero di oggetti», impostato su 2 nella direzione z. Il parametro «Passo» definisce quindi la distanza tra le copie successive dell'oggetto. In questo caso, il passo nella direzione z è impostato su 260 nm. Questo valore include sia lo spazio della cavità che lo spessore del primo specchio. Poiché ogni specchio è spesso 10 nm, lo spazio fisico tra i due specchi è di \(260 - 10 = 250\) nm, il che definisce la lunghezza della cavità. Questa configurazione consente di controllare entrambi gli specchi in modo coerente modificando un singolo oggetto.

To change the cavity length, modify the z-step from 260 nm to 360 nm in the object editor. This increases the mirror-to-mirror spacing from 250 nm to 350 nm. After applying this change, the structure should appear as shown in ??, where the cavity region is visibly larger. The resonant wavelengths of a Fabry–Pérot cavity are determined by the round-trip phase condition, \[ 2 n L = m \lambda, \] where \(n\) is the refractive index inside the cavity, \(L\) is the cavity length, and \(m\) is an integer mode number. Rearranging this gives \[ \lambda = \frac{2 n L}{m}. \]

Nella struttura originale, con \(L = 250\) nm e \(n \approx 1\), la modalità fondamentale (\(m=1\)) si verifica a \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 250 = 500\ \text{nm}. \]. Dopo aver aumentato la lunghezza della cavità a \(L = 350\) nm, la lunghezza d’onda corrispondente diventa \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 350 = 700\ \text{nm}. \]. Questo è lo spostamento previsto nella risonanza dominante della cavità.Nella struttura originale, con \(L = 250\) nm e \(n \approx 1\), la modalità fondamentale (\(m=1\)) si verifica a \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 250 = 500\ \text{nm}. \]. Dopo aver aumentato la lunghezza della cavità a \(L = 350\) nm, la lunghezza d’onda corrispondente diventa \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 350 = 700\ \text{nm}. \]. Questo è lo spostamento previsto nella risonanza dominante della cavità.

Ora esegua nuovamente la simulazione e analizzi lo spettro di uscita del rilevatore 1. Il risultato è mostrato in ??. Si dovrebbe osservare che la caratteristica principale legata alla cavità si è spostata da circa 500 nm a un valore più vicino a 700 nm, in accordo con il modello semplificato descritto in precedenza.Ora esegua nuovamente la simulazione e analizzi lo spettro di uscita del rilevatore 1. Il risultato è mostrato in ??. Si dovrebbe osservare che la caratteristica principale legata alla cavità si è spostata da circa 500 nm a un valore più vicino a 700 nm, in accordo con il modello semplificato descritto in precedenza.

Oltre alla risonanza principale, si noterà anche la presenza di altre modalità, meno intense. Queste corrispondono a soluzioni di ordine superiore della condizione di Fabry–Pérot (\(m = 2, 3, \dots\)). Ad esempio, quando \(m=2\), la lunghezza d’onda è approssimativamente \(\lambda = 2 n L / 2 = nL\), il che determina una modalità a lunghezza d’onda più corta. Poiché l’eccitazione è a banda larga, è possibile eccitare debolmente più valori di \(m\), generando diversi picchi nello spettro. Tuttavia, la loro intensità dipende da quanto bene si sovrappongono al contenuto spettrale della sorgente e da quanto efficacemente interagiscono attraverso gli specchi.Oltre alla risonanza principale, si noterà anche la presenza di altre modalità, meno intense. Queste corrispondono a soluzioni di ordine superiore della condizione di Fabry–Pérot (\(m = 2, 3, \dots\)). Ad esempio, quando \(m=2\), la lunghezza d’onda è approssimativamente \(\lambda = 2 n L / 2 = nL\), il che determina una modalità a lunghezza d’onda più corta. Poiché l’eccitazione è a banda larga, è possibile eccitare debolmente più valori di \(m\), generando diversi picchi nello spettro. Tuttavia, la loro intensità dipende da quanto bene si sovrappongono al contenuto spettrale della sorgente e da quanto efficacemente interagiscono attraverso gli specchi.

9. Estensione al formato 2D.9. Estensione al formato 2D.

Finora, abbiamo considerato una cavità di Fabry–Pérot monodimensionale, in cui i campi variano solo lungo la direzione di propagazione. Uno dei punti di forza del metodo delle differenze finite nel dominio del tempo (FDTD) è che può essere esteso in modo naturale a dimensioni superiori. In questa sezione, estendiamo la simulazione a due dimensioni e osserviamo come cambia il comportamento del campo.Finora, abbiamo considerato una cavità di Fabry–Pérot monodimensionale, in cui i campi variano solo lungo la direzione di propagazione. Uno dei punti di forza del metodo delle differenze finite nel dominio del tempo (FDTD) è che può essere esteso in modo naturale a dimensioni superiori. In questa sezione, estendiamo la simulazione a due dimensioni e osserviamo come cambia il comportamento del campo.

Per farlo, apri la barra multifunzione «Ottica» (??) e avvia l’editor della griglia ottica. Nell’editor della griglia (??), attiva la dimensione x in modo che la simulazione tenga conto delle variazioni sia in x che in z. Dopo aver applicato questa modifica, chiudi l’editor e riesegui la simulazione.Per farlo, apri la barra multifunzione «Ottica» (??) e avvia l’editor della griglia ottica. Nell’editor della griglia (??), attiva la dimensione x in modo che la simulazione tenga conto delle variazioni sia in x che in z. Dopo aver applicato questa modifica, chiudi l’editor e riesegui la simulazione.

È importante sottolineare che l’aggiunta di una dimensione spaziale incrementa notevolmente il costo computazionale. Il tempo di esecuzione può aumentare anche di un ordine di grandezza (in genere fino a 10 volte), poiché il numero di punti della griglia e degli aggiornamenti del campo aumenta rapidamente con la dimensionalità. Questa è una caratteristica generale del metodo FDTD: l’aumento del realismo fisico comporta un maggiore sforzo computazionale.È importante sottolineare che l’aggiunta di una dimensione spaziale incrementa notevolmente il costo computazionale. Il tempo di esecuzione può aumentare anche di un ordine di grandezza (in genere fino a 10 volte), poiché il numero di punti della griglia e degli aggiornamenti del campo aumenta rapidamente con la dimensionalità. Questa è una caratteristica generale del metodo FDTD: l’aumento del realismo fisico comporta un maggiore sforzo computazionale.

Una volta completata la simulazione, aprire la directory snapshots/. Esempi dei risultati sono mostrati in ??–??. Utilizzando la barra di scorrimento, è possibile far avanzare il tempo e osservare come l’onda si propaga dalla sorgente, si diffonde lateralmente e interagisce con la cavità prima di raggiungere il rivelatore.Una volta completata la simulazione, aprire la directory snapshots/. Esempi dei risultati sono mostrati in ??–??. Utilizzando la barra di scorrimento, è possibile far avanzare il tempo e osservare come l’onda si propaga dalla sorgente, si diffonde lateralmente e interagisce con la cavità prima di raggiungere il rivelatore.

A differenza del caso monodimensionale, in questo caso il fronte d’onda non è più planare. Invece, si propaga lateralmente, generando fronti d’onda curvi e schemi di interferenza complessi. Ciò significa che la luce può attraversare la cavità seguendo percorsi multipli, e non solo direttamente tra i due specchi. Di conseguenza, la lunghezza effettiva del percorso ottico non è più semplicemente uguale alla lunghezza geometrica della cavità.A differenza del caso monodimensionale, in questo caso il fronte d’onda non è più planare. Invece, si propaga lateralmente, generando fronti d’onda curvi e schemi di interferenza complessi. Ciò significa che la luce può attraversare la cavità seguendo percorsi multipli, e non solo direttamente tra i due specchi. Di conseguenza, la lunghezza effettiva del percorso ottico non è più semplicemente uguale alla lunghezza geometrica della cavità.

In una dimensione, la condizione di risonanza è:In una dimensione, la condizione di risonanza è:

\(2nL = m\lambda\) \(2nL = m\lambda\)

Tuttavia, in due dimensioni, l’onda può propagarsi con un certo angolo. Se un raggio si propaga con un angolo \(\theta\) rispetto alla normale, la lunghezza del percorso diventaTuttavia, in due dimensioni, l’onda può propagarsi con un certo angolo. Se un raggio si propaga con un angolo \(\theta\) rispetto alla normale, la lunghezza del percorso diventa

\(L_{\mathrm{eff}} = \frac{L}{\cos\theta}\) \(L_{\mathrm{eff}} = \frac{L}{\cos\theta}\)

e la condizione di risonanza viene modificata ine la condizione di risonanza viene modificata in

\(2n \frac{L}{\cos\theta} = m\lambda\) \(2n \frac{L}{\cos\theta} = m\lambda\)

Poiché \(\cos\theta\) < 1\), the effective cavity length is larger than the physical length. This shifts the resonance to longer wavelengths, which explains why the peak in the 2D simulation appears around 600 nm piuttosto che il valore previsto dal semplice modello monodimensionale.??). Poiché \(\cos\theta\) < 1\), the effective cavity length is larger than the physical length. This shifts the resonance to longer wavelengths, which explains why the peak in the 2D simulation appears around 600 nm piuttosto che il valore previsto dal semplice modello monodimensionale.??).

Questo mette in evidenza un risultato importante: sebbene le simulazioni unidimensionali riproducano i principi fondamentali della fisica di Fabry–Pérot, le simulazioni multidimensionali introducono effetti aggiuntivi, come la propagazione angolare, la diffrazione e la struttura dei modi spaziali. Questi effetti sono essenziali per comprendere i sistemi ottici reali, in cui la luce raramente si propaga esclusivamente in una sola dimensione.Questo mette in evidenza un risultato importante: sebbene le simulazioni unidimensionali riproducano i principi fondamentali della fisica di Fabry–Pérot, le simulazioni multidimensionali introducono effetti aggiuntivi, come la propagazione angolare, la diffrazione e la struttura dei modi spaziali. Questi effetti sono essenziali per comprendere i sistemi ottici reali, in cui la luce raramente si propaga esclusivamente in una sola dimensione.