Symulacja rezonatora Fabry-Pérota metodą FDTD: samouczek dotyczący jednowymiarowego rezonatora optycznego.

1. Wprowadzenie

A Rezonator Fabry’ego-Pérota jest jedną z najważniejszych struktur rezonansowych w optyce i fotonice. W najprostszej formie jest to obszar ograniczony dwiema powierzchniami odbijającymi, dzięki czemu światło może się odbijać i poruszać w przód i w tył, tworząc... rezonanse fal stojącychDobrze znanym przykładem z mechaniki jest drgająca struna gitary, co przedstawiono w... ??Podobnie jak w przypadku struny o stałej długości, na której możliwe są jedynie określone wzorce drgań, odpowiadające konkretnym długościom fal i częstotliwościom (dźwiękom), w rezonatorze Fabry’ego-Pérota możliwe są jedynie określone tryby optyczne.

Optyczna wersja tej koncepcji została zilustrowana w ??. Światło odbija się wielokrotnie między dwiema powierzchniami, a te wielokrotne odbicia wzajemnie na siebie wpływają. Gdy faza pełnego cyklu odbicia jest odpowiednia, fale interferują ze sobą w sposób koherentny, co prowadzi do powstania rezonansowego stanu wewnątrz rezonatora. Ta prosta zasada stanowi podstawę dla szerokiej gamy urządzeń fotonicznych, w tym filtrów optycznych, zwierciadeł dielektrycznych, interferometrów i rezonatorów laserowych.

W rezonatorze Fabry'ego-Pérota dopuszczalne są tylko fale optyczne, których długość fali odpowiada wymiarom rezonatora. W przypadku padania promienia pod kątem prostym, warunek rezonansu jest spełniony, gdy...

\(2nL = m\lambda\)

gdzie \(n\) to współczynnik załamania światła w obszarze rezonatora, \(L\) to długość rezonatora, \(\lambda\) to długość fali, a \(m\) to liczba kolejnych modów (liczba całkowita). Na rysunku przedstawiono trzy mody: podstawowy (m = 1, jasnoniebieski), drugą harmoniczną (m = 2, niebieski) i trzecią harmoniczną (m = 3, ciemnoniebieski). Oznacza to, że rezonator generuje dyskretny zestaw rozwiązań w postaci fal stojących, a nie dowolny ciąg długości fal.

Równie dobrze, dopuszczalne długości fal można zapisać w następujący sposób:

\(\lambda_m = \dfrac{2nL}{m}\)

Wyższe rzędy modów odpowiadają zatem różnym całkowitym wartościom \(m\), a każda z nich generuje odmienny wzór pola rezonansowego. To właśnie ten mechanizm jest zgodny z analogią fali stojącej i stanowi przyczynę, dla której rezonatory Fabry’ego-Pérota są powszechnie stosowane jako elementy optyczne, selektywne pod względem długości fali oraz w konstrukcjach laserów.

W tym samouczku wykorzystujemy metodę różnic skończonych w dziedzinie czasu (FDTD) do symulacji prostego jednowymiarowego rezonatora Fabry-Pérota. Symulacja obejmuje źródło, dwie warstwy odbijające, przestrzeń między nimi oraz płaszczyzny detektorów, które rejestrują odpowiedź optyczną (??). Uruchamiając ten model, zobaczymy, jak szerokopasmowy impuls wzbudza rezonator, jak tworzą się fale stojące oraz jak transmitowane i odbijane widma ujawniają rezonansowe mody urządzenia.

2. Tworzenie nowej symulacji.

Otwórz okno nowej symulacji i wybierz kategorię przykładów FDTD (??). Następnie wybierz przykład rezonatora Fabry’ego-Pérota (??). Spowoduje to załadowanie głównego interfejsu, który jest przedstawiony na ilustracji ??.

Po załadowaniu symulacji pojawia się główne okno, jak pokazano na ilustracji ??. Struktura jest wyświetlana w widoku 3D w zakładce „Struktura urządzenia”. W tym widoku wyświetlane są wszystkie kluczowe elementy symulacji rezonatora Fabry’ego–Pérota.

Po lewej stronie zielone strzałki oznaczają źródło FDTD, do którego wprowadzany jest impuls optyczny. Cienka, fioletowa linia biegnąca przez strukturę to siatka FDTD. W tym przykładzie symulacja jest w zasadzie jednowymiarowa, dlatego siatka wygląda jak pojedyncza linia przechodząca przez rezonator.

Po prawej stronie źródła znajduje się fioletowa płaszczyzna, która reprezentuje detektor wejściowy, rejestrujący przychodzące i odbite pola. W centrum struktury znajdują się dwie odbijające warstwy, które tworzą rezonator Fabry’ego-Pérota. Po prawej stronie zielona płaszczyzna to detektor wyjściowy, który mierzy światło przechodzące przez rezonator. Detektory nie wpływają na propagację fali; po prostu rejestrują pole elektromagnetyczne w miarę jego zmian w czasie.

Za chwilę uruchomimy symulację i zobaczymy, jak światło przemieszcza się przez strukturę i oddziałuje z przestrzenią wewnętrzną. Zobaczycie, jak fala jest częściowo odbijana, jak jej część wnika do przestrzeni wewnętrznej i gromadzi się między lustrami, oraz jak to zachowanie jest rejestrowane przez dwa detektory znajdujące się po obu stronach struktury.

3. Uruchamianie symulacji.

Po zapisaniu symulacji i zapoznaniu się z jej strukturą kliknij przycisk Uruchom (▶), aby rozpocząć obliczenia. Podczas działania symulacji możesz monitorować jej postęp w zakładce Terminal, widocznej na ??. Wyświetlane są tam informacje, takie jak krok czasowy, zakres długości fal oraz używany silnik obliczeniowy. Na początku symulacji zobaczysz komunikat Searching for OpenCL devices. Są to urządzenia do przyspieszania sprzętowego, które można wykorzystać do zwiększenia szybkości symulacji. Jeśli zostanie znalezione odpowiednie urządzenie OpenCL, jak w przykładzie przedstawionym na ilustracji, OghmaNano automatycznie je wykorzysta i uruchomi symulację na procesorze graficznym (GPU), a nie na procesorze centralnym (CPU).

Po zakończeniu symulacji przejdź do zakładki „Wyniki”, którą można zobaczyć na ilustracji ??. Znajdziesz tam dane wygenerowane podczas symulacji. Kluczowe wyniki dla tego samouczka to detector_0 i detector_1, które zawierają sygnały zarejestrowane przez dwa detektory. Możesz również otworzyć device, aby zobaczyć geometrię 3D, oraz katalog snapshots/, aby sprawdzić, jak pola elektromagnetyczne zmieniają się w czasie. Zauważysz, że ta symulacja działa bardzo szybko. Ponieważ jest to problem jednowymiarowy, typowy czas trwania symulacji wynosi zaledwie kilka sekund. Jeśli symulacja trwa znacznie dłużej, zapoznaj się z uwagą powyżej dotyczącą zapisywania symulacji na szybkim dysku lokalnym.

5. Przeglądanie aktualnych wartości pola elektrycznego.

Otwórz katalog wyjściowy snapshots/ (z zakładki „Wyjście”) i kliknij dwukrotnie, aby uruchomić program do przeglądania migawek. Dzięki temu możesz przeglądać wyniki symulacji w funkcji czasu. Kliknij raz przycisk „+”, aby dodać zestaw danych, a następnie wybierz Ey. W tej symulacji pole jest wzbudzane w kierunku osi Y, więc ten składnik zapewnia najbardziej bezpośredni obraz rozchodzenia się fali. Następnie możesz użyć suwaka, aby przechodzić przez kolejne momenty czasu i obserwować, jak pole się zmienia. Trzy przykładowe migawki przedstawiono na ilustracjach ??–??.

Na początku procesu (lewy panel) można zaobserwować, jak początkowy impuls szerokopasmowy wchodzi do struktury. Pole jest nadal zlokalizowane przestrzennie, a jego przednia krawędź jest wyraźna i odpowiada wprowadzonym pobudzeniu. W miarę upływu czasu (środkowy panel) impuls oddziałuje z obszarem rezonansowym. Kształt fali staje się bardziej złożony i rozciąga się w przestrzeni, co wskazuje, że różne składowe częstotliwości rozprzestrzeniają się z różnymi fazami. Jest to charakterystyczny znak częściowego odbicia i interferencji wewnątrz struktury.

W późniejszych momentach czasu (prawy panel) pole nie przypomina już pojedynczej, przemieszczającej się fali. Zamiast tego, obserwujemy nakładanie się fal o różnych częstotliwościach przestrzennych. Takie zachowanie wynika z faktu, że rezonator selektywnie wzmacnia określone długości fal, podczas gdy inne są odbijane lub przepuszczane. W efekcie powstaje złożony wzór interferencyjny, a nie prosta fala stojąca. Warto zauważyć, że ponieważ symulacja jest inicjowana szerokopasmowym impulsem i obserwowana w dziedzinie czasu, rezonans rezonatora nie pojawia się od razu w postaci wyraźnej fali stojącej. Zamiast tego obserwujemy przejściową ewolucję w kierunku rezonansu, w której liczne odbicia i interferencje stopniowo tworzą składowe częstotliwości, które spełniają warunki rezonatora.

6. Analiza danych z detektorów

Wracając do zakładki „Wyniki” (patrz ??), zobaczymy dwie foldery detektorów: Detector0 i Detector1, które wyglądają jak małe ikony czujników CCD. Detektor Detector0 znajduje się po stronie źródła światła wewnątrz komory, natomiast detektor Detector1 znajduje się po przeciwnej stronie, za strukturą, przez którą przechodzi światło. Jeśli klikniemy dwukrotnie na Detector0, zobaczymy zawartość przedstawioną na ??. W tym folderze znajdują się dwa pliki: lam_E.csv i power.csv. Na razie otwórzmy power.csv, który pokazuje moc przechodzącą przez detektor w funkcji czasu. Wynik jest przedstawiony na ??. To jest moc rejestrowana przez detektor znajdujący się po stronie wejściowej.

Teraz można powtórzyć tę samą procedurę dla detektora Detector1. Otwarcie pliku power.csv w tym folderze daje wynik przedstawiony na ??. W tym przypadku, transmitowany sygnał pojawia się po krótkim opóźnieniu, odpowiadającym czasowi potrzebnemu na przebycie impulsu przez rezonator. W porównaniu z sygnałem wejściowym, transmitowany impuls jest wyraźnie bardziej gładki i regularny. Odzwierciedla to fakt, że rezonator preferencyjnie transmituje węższy zakres składowych częstotliwości, podczas gdy pozostałe są odbijane. W rezultacie, sygnał wyjściowy jest w zasadzie filtrowaną wersją oryginalnego, szerokopasmowego impulsu.

Możemy teraz przejść od analizy sygnałów w dziedzinie czasu do analizy odpowiedzi w dziedzinie częstotliwości. Sygnały, które wcześniej przedstawiliśmy, można poddać transformacji Fouriera, aby uzyskać informacje o spektrum światła przechodzącego przez każdy detektor. Dane dotyczące częstotliwości znajdują się w pliku lam_E.csv w folderach Detector0 i Detector1.

Widmo wejściowe: Widmo po stronie wejściowej przedstawiono na rysunku ??. Jest to widmo zarejestrowane przez detektor po stronie źródła w rezonatorze. Najbardziej wyraźną cechą jest silny pik znajdujący się w pobliżu 400 nm, odpowiadający głównej składowej widmowej wprowadzanego impulsu. Ponieważ detektor ten znajduje się przed rezonatorem, zarejestrowane widmo reprezentuje głównie pole padające, choć może również zawierać niewielki udział światła odbitego od struktury. Z dala od głównego piku sygnał staje się słabszy, a drobne szczegóły w tych obszarach nie powinny być nadmiernie interpretowane.

Widmo wyjściowe: Odpowiadające mu widmo po stronie wyjściowej przedstawiono na ??. Podobnie jak w przypadku widma wejściowego, dominującą cechą jest wyraźny pik w pobliżu 400 nm, co odzwierciedla podstawowe wzbudzenie systemu. Jednak po dłuższych falach od tego piku widoczna jest dodatkowa cecha: mniejszy „bark” w okolicach 500 nm. Ta cecha wynika z reakcji rezonatora Fabry’ego-Pérota, który preferencyjnie przepuszcza określone długości fal. Ponieważ źródło nie jest zogniskowane na tej rezonancji, cecha związana z rezonatorem występuje tylko jako słabszy, drugorzędny składnik, a nie jako dominujący pik.

Współczynnik wejścia/wyjścia: Przedstawione powyżej widma są zdominowane przez profil spektralny źródła, co utrudnia wyraźne zaobserwowanie wpływu rezonatora. Aby wpływ rezonatora był bardziej widoczny, należy w miarę możliwości wyeliminować wpływ widma źródła. Robimy to, dzieląc sygnał wyjściowy przez sygnał wejściowy, co w efekcie normalizuje pole transmitowane względem pola padającego. Ponieważ moc jest proporcjonalna do \(|E|^2\), otrzymujemy przybliżoną funkcję transmisji dla danej struktury: \(T(\lambda) = \frac{|E_{\mathrm{output}}(\lambda)|^2}{|E_{\mathrm{input}}(\lambda)|^2}\). Wynik przedstawiono w ??.

Ta metoda nie eliminuje całkowicie wpływu źródła, ale znacząco go redukuje. W rezultacie cechy związane z rezonatorem stają się bardziej wyraźne. W szczególności rezonans w okolicach 500 nm, który w pierwotnym widmie jest widoczny jedynie jako słaby „bark”, jest teraz wyraźnie wzmocniony w znormalizowanym wyniku. Należy zauważyć, że jeśli sygnał wejściowy jest bardzo słaby, stosunek może być duży i obarczony szumem. Te cechy nie są fizycznymi rezonansami, lecz wynikają z dzielenia przez małą liczbę. Aby uzyskać czystsze widmo transmisyjne, można użyć oddzielnej symulacji referencyjnej bez rezonatora do normalizacji, ale nie jest to konieczne, aby zaobserwować główny efekt.

7. Eksperymentowanie z różnymi wymiarami przestrzeni.

Aby zbadać, w jaki sposób zachowanie interferometru Fabry’ego-Pérota zależy od jego struktury, kliknij prawym przyciskiem myszy na jedno z luster rezonatora i wybierz opcję „Edytuj obiekt”, jak pokazano na ilustracji ??. Otwiera to edytor obiektów, w którym można kontrolować geometrię rezonatora, jak pokazano na ilustracji ??. W tej symulacji rezonator tworzą dwa cienkie lustra, każde o grubości 10 nm, oddzielone szczeliną o szerokości 250 nm. Zamiast definiować dwa niezależne obiekty, OghmaNano wykorzystuje funkcję replikacji: definiowany jest jeden obiekt, a następnie powtarzany wzdłuż wybranej osi. W tym przypadku lustro jest kopiowane wzdłuż osi z. Kontroluje to pole „Liczba obiektów”, które ustawiono na 2 w kierunku osi z. Parametr „Krok” określa następnie odstęp między kolejnymi kopiami obiektu. W tym przypadku krok w kierunku osi z ustawiono na 260 nm. Ta wartość obejmuje zarówno odstęp w rezonatorze, jak i grubość pierwszego lustra. Ponieważ każde lustro ma grubość 10 nm, fizyczna szczelina między dwoma lustrami wynosi \(260 - 10 = 250\) nm, co określa długość rezonatora. Ta konstrukcja pozwala na spójne kontrolowanie obu luster poprzez edycję jednego obiektu.

To change the cavity length, modify the z-step from 260 nm to 360 nm in the object editor. This increases the mirror-to-mirror spacing from 250 nm to 350 nm. After applying this change, the structure should appear as shown in ??, where the cavity region is visibly larger. The resonant wavelengths of a Fabry–Pérot cavity are determined by the round-trip phase condition, \[ 2 n L = m \lambda, \] where \(n\) is the refractive index inside the cavity, \(L\) is the cavity length, and \(m\) is an integer mode number. Rearranging this gives \[ \lambda = \frac{2 n L}{m}. \]

W pierwotnej strukturze, przy długościach \(L = 250\) nm i \(n \approx 1\), podstawowy mod (\(m=1\)) występuje przy \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 250 = 500\ \text{nm}. \]. Po zwiększeniu długości rezonatora do \(L = 350\) nm, odpowiadająca mu długość fali wynosi \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 350 = 700\ \text{nm}. \]. Jest to oczekiwana zmiana w dominującej rezonancji rezonatora.

Uruchom ponownie symulację i przeanalizuj widmo wyjściowe z detektora Detector1. Wynik przedstawiono na ??. Powinieneś zauważyć, że główny element widma, związany z rezonatorem, przesunął się z około 500 nm do wartości bliższej 700 nm, co zgadza się z prostym modelem opisanym powyżej.

Oprócz głównego rezonansu zauważysz również obecność innych, słabszych modów. Odpowiadają one rozwiązaniom wyższych rzędów warunku Fabry’ego–Pérota (\(m = 2, 3, \dots\)). Na przykład, gdy \(m=2\), długość fali wynosi w przybliżeniu \(\lambda = 2 n L / 2 = nL\), co daje mod o krótszej długości fali. Ponieważ wzbudzenie odbywa się w szerokim zakresie częstotliwości, wiele wartości \(m\) może być słabo wzbudzanych, co prowadzi do wystąpienia kilku szczytów w spektrum. Jednak ich intensywność zależy od tego, jak dobrze nakładają się one na zawartość spektralną źródła i jak efektywnie sprzęgają się przez lustra.

9. Rozszerzenie na dwuwymiarowość.

Do tej pory analizowaliśmy jednowymiarową rezonatorową strukturę Fabry’ego-Pérota, w której pola zmieniają się tylko wzdłuż kierunku propagacji. Jedną z zalet metody różnic skończonych w dziedzinie czasu (FDTD) jest możliwość jej naturalnego rozszerzenia na wyższe wymiary. W tej sekcji rozszerzymy symulację do dwóch wymiarów i zaobserwujemy, jak zmienia się zachowanie pola.

Aby to zrobić, otwórz pasek narzędzi „Optyka” (??) i uruchom edytor siatki optycznej. W edytorze siatki (??) włącz wymiar x, aby symulacja uwzględniała zmiany zarówno w osi x, jak i z. Po wprowadzeniu tej zmiany zamknij edytor i uruchom ponownie symulację.

Należy zauważyć, że wprowadzenie dodatkowego wymiaru przestrzennego znacząco zwiększa wymagania obliczeniowe. Czas działania programu może wzrosnąć nawet o rząd wielkości (zazwyczaj do 10 razy), ponieważ liczba punktów siatki i częstotliwość aktualizacji pól gwałtownie rośnie wraz ze wzrostem liczby wymiarów. Jest to ogólna cecha metody FDTD: zwiększenie realizmu fizycznego odbywa się kosztem większego nakładu pracy obliczeniowej.

Po zakończeniu symulacji otwórz folder snapshots/. Przykładowe wyniki przedstawiono na ilustracjach ??–??. Za pomocą suwaka możesz obserwować przebieg symulacji w czasie i analizować, jak fala rozchodzi się od źródła, rozprzestrzenia się na boki i oddziałuje z przestrzenią rezonansową, zanim dotrze do detektora.

W przeciwieństwie do przypadku jednowymiarowego, w tym przypadku czoło fali nie jest już płaskie. Zamiast tego rozprzestrzenia się na boki, tworząc zakrzywione czoła fal i złożone wzory interferencyjne. Oznacza to, że światło może przemieszczać się wewnątrz rezonatora wieloma ścieżkami, a nie tylko bezpośrednio między dwoma lustrami. W rezultacie, efektywna długość optycznej ścieżki nie jest już po prostu równa geometrycznej długości rezonatora.

W przestrzeni jednowymiarowej warunek rezonansu ma postać:

\(2nL = m\lambda\)

Jednak w przestrzeni dwuwymiarowej fala może rozchodzić się pod kątem. Jeśli promień światła porusza się pod kątem \(\theta\) do normalnej, długość jego drogi staje się...

\(L_{\mathrm{eff}} = \frac{L}{\cos\theta}\)

a warunek rezonansu jest modyfikowany do postaci:

\(2n \frac{L}{\cos\theta} = m\lambda\)

Ponieważ \(\cos\theta\) < 1\), the effective cavity length is larger than the physical length. This shifts the resonance to longer wavelengths, which explains why the peak in the 2D simulation appears around 600 nm zamiast wartości przewidywanej przez prosty model jednowymiarowy??).

To podkreśla ważny wniosek: choć symulacje jednowymiarowe oddają podstawowe zasady działania interferometru Fabry’ego-Pérota, symulacje wielowymiarowe wprowadzają dodatkowe efekty, takie jak propagacja w różnych kierunkach, dyfrakcja i struktura przestrzennych modów. Efekty te są kluczowe dla zrozumienia rzeczywistych układów optycznych, w których światło rzadko rozchodzi się wyłącznie w jednym wymiarze.