Źródła światła w metodzie FDTD
Wprowadzenie
W programie OghmaNano wszystkie efekty świetlne uzyskiwane są za pomocą źródeł światła. Ogólny edytor źródeł światła, w tym źródeł spektralnych, filtrów i opcji orientacji, został szczegółowo opisany na głównej stronie poświęconej źródłom światła ( Źródła światła – konfiguracja i parametry). Niniejsza strona skupia się w szczególności na sposobie wykorzystania źródeł światła w solverze opartym na metodzie różnic skończonych w dziedzinie czasu (FDTD). Do edytora źródeł światła można uzyskać dostęp z paska narzędzi „Optyka” w głównym oknie (patrz Rysunek ??). Na tej stronie wyjaśniono, jak skonfigurować źródła wzbudzające w dziedzinie czasu w symulacji FDTD, w tym wybór kształtu fali, tryb wzbudzenia, kontrolę fazy, sterowanie czasowe i okienkowanie.
Każde źródło światła zdefiniowane w OghmaNano może być wykorzystane w modelu FDTD. W przypadku symulacji FDTD źródło jest konfigurowane w zakładce FDTD edytora źródła światła (patrz Rysunek ??). W tej zakładce definiuje się sposób, w jaki pole elektryczne jest wprowadzane do siatki obliczeniowej, w tym kształt fali wzbudzającej, amplitudę, fazę, modulację czasową oraz wybrane składowe pola \(E_x\), \(E_y\) i \(E_z\).
Oprócz ustawień dotyczących domeny czasowej, fizyczny kształt i położenie źródła definiuje się za pomocą standardowych elementów sterujących, które odpowiadają za rozmiar i umiejscowienie, albo w edytorze urządzenia 3D, albo w edytorze źródła światła. Poprzez regulację tych parametrów przestrzennych można skonfigurować źródło tak, aby emitowało promieniowanie w postaci płaszczyzny, linii, sześcianu lub punktu, co pozwala na bezpośrednią kontrolę geometrii emitowanego pola w symulacji FDTD. Szczegółowe właściwości kształtu fali wzbudzającej oraz jej interakcja z siatką FDTD opisane są w następnych sekcjach.
2. Wzbudzenie metodą FDTD
W przypadku symulacji FDTD źródło światła definiuje się jako sygnał pobudzający w dziedzinie czasu, który wprowadza składowe pola elektrycznego do obszaru symulacji. Zakładka FDTD (??) umożliwia sterowanie kształtem fali \(s(t)\), jej synchronizacją oraz sposobem, w jaki jest ona aplikowana do składowych pola \(E_x, E_y, E_z\) w wybranej powierzchni lub punkcie wprowadzania.
2.1 Rodzaj przebiegu fali
Wybór kształtu fali określa analityczną postać funkcji źródłowej \(s(t)\). Dostępne typy sygnałów wzbudzających to: ciągła fala sinusoidalna (CW), impuls sinusoidalny Gaussa, fala Rickera i impuls Sinca.
We wszystkich przypadkach wprowadzony skalar zapisuje się w następujący sposób:
\[ s(t) = A\,u(t) + s_\mathrm{dc}, \]
gdzie \(u(t)\) to wybrany kształt fali, \(A\) to amplituda, a \(s_\mathrm{dc}\) to składowa stała. Długość fali wzbudzenia jest ustawiana w Edytorze siatki optycznej, a jej częstotliwość kątowa jest powiązana z długością fali za pomocą \( \omega = \dfrac{2\pi c}{\lambda} \). W każdym kroku czasowym metody FDTD, wzbudzenie generuje wartość skalarną \(s(t)\), która jest rozdzielana do wybranych składowych pola za pomocą współczynników \((w_x,w_y,w_z)\):
\[ \Delta E_x(t)=w_x s(t),\quad \Delta E_y(t)=w_y s(t),\quad \Delta E_z(t)=w_z s(t). \]
Przełączniki Excite Ex/Ey/Ez określają, które elementy otrzymują sygnał wejściowy, lub można określić konkretne wartości tych sygnałów.
| Kształt fali. | Postać matematyczna \(u(t)\) | Opis |
|---|---|---|
| Fala sinusoidalna o ciągłej amplitudzie. | \[ u(t) = \sin(\omega t + \phi) \] | Monochromatyczne wzbudzenie w stanie ustalonym przy częstotliwości nośnej. Stosowane w symulacjach pojedynczej częstotliwości lub w stanie ustalonym. |
| Impuls sinusoidalny o rozkładzie Gaussa | \[ u(t)= \exp\!\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2\right) \sin\!\left(\omega (t-t_0)+\phi\right) \] | Sygnał nośny sinusoidalny z obwiednią Gaussa. Krótszy \(\sigma\) generuje szersze spektrum; dłuższy \(\sigma\) zbliża się do ciągłej modulacji. |
| Falklet Ricker | \[ u(t) = (1-2a^2)\exp(-a^2), \quad a=\pi f_0 (t-t_0) \] | Szerokopasmowe, impulsowe wzbudzenie (faletka typu „meksykańskiego kapelusza”). Kompaktowa i symetryczna w czasie; przydatna do analizy odpowiedzi impulsowej. |
| Impuls sinusoidalny | \[ u(t)= \mathrm{sinc}\!\left(2\beta f_0 (t-t_0)\right) \sin\!\left(\omega (t-t_0)+\phi\right) \] | Ograniczone pasmem sygnały wzbudzające o regulowanej szerokości pasma \(\beta\). Zwiększenie \(\beta\) poszerza zakres częstotliwości. |
Wartość przesunięcia DC \( s_{\mathrm{dc}} \) dodaje stałą składową do sygnału wzbudzającego. Kształt fali jest ograniczany w czasie za pomocą parametrów „Czas rozpoczęcia” i „Czas zakończenia”.
\[ s(t)=0 \quad t<t_{\mathrm{start}}, \qquad s(t)=0 \quad t>t_{\mathrm{end}}, \; t_{\mathrm{end}}>0 \]
Jeśli \(t_{\mathrm{end}}=0\) jest aktywne, źródło będzie działać do zakończenia symulacji.
2.2 Etap
Parametr „Faza” wprowadza przesunięcie fazowe w składowej nośnej sygnału wzbudzającego, analizowanej w dziedzinie czasu. Zdefiniowana przez użytkownika wartość w stopniach jest konwertowana na radiany za pomocą \( \phi=\phi_{\mathrm{deg}}\pi/180 \) i stosowana do oscylującej składowej wybranej formy fali. W przypadku obecności wielu spójnych źródeł, parametr ten określa względną fazę między nimi, umożliwiając kontrolowanie konstruktywnej lub destruktywnej interferencji w symulacji FDTD.
2.3 Punkt początkowy impulsu (t0)
W przypadku fal o kształcie impulsowym, oscylacje wyraża się za pomocą
\[ \Delta t = t - t_0, \]
aby szczyt przebiegu fali pozostawał w centrum w określonym momencie trwania impulsu \(t_0\).
2.4 Tryb wstrzykiwania źródła
Tryb „Injection” (wstrzykiwania) określa sposób, w jaki źródło jest aplikowane do elementów pola elektrycznego w komórkach wstrzykiwania.
W trybie „Soft” (addycyjnym) do istniejących wartości pola dodawana jest wartość wzbudzenia:
\[ E_\alpha(t) = E_\alpha(t) + \Delta E_\alpha(t). \]
W trybie „twardym” (zastępowania), wartość pola w komórkach, do których wprowadzane są dane, jest ustawiana na wartość źródłową:
\[ E_\alpha(t) = \Delta E_\alpha(t). \]
Tryb „delikatny” dodaje bodziec do rozwijającego się rozwiązania, natomiast tryb „ostry” bezpośrednio narzuca wartość źródłową w miejscu wprowadzenia.
2.5 Regulacja jasności i kontrastu
Funkcja sterowania rampą/oknem stosuje funkcję multiplikacyjną \( w(t) \) do kształtu impulsu pobudzającego, w wyniku czego wstrzykiwany sygnał przyjmuje postać \( s(t) = A\,u(t)\,w(t) + s_{\mathrm{dc}} \). Ogranicza to czas trwania impulsu i wygładza jego charakterystykę włączania i wyłączania.
Niech \( \tau = t - t_{\mathrm{start}} \) oznacza zmienną określającą czas trwania segmentu, a \( T \) – całkowity czas trwania okna. W przypadku okna o skończonym czasie trwania, sygnał wzbudzający jest aktywny tylko w przedziale \( 0 < \tau < T \), a poza tym przedziałem – w \( w(\tau)=0 \).
W przypadku okna Hanniego funkcja wygląda następująco:
\[ w(\tau) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\left(1-\cos\left(2\pi \tau/T\right)\right), & 0 < \tau < T, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \]
Okno Hann płynnie podnosi wartość sygnału od zera, osiąga maksimum w połowie czasu trwania i następnie płynnie wraca do zera w punkcie \( \tau = T \).
W przypadku okna Blackmana funkcja wygląda następująco:
\[ w(\tau) = \begin{cases} 0.42 -0.5\cos\left(2\pi \tau/T\right) +0.08\cos\left(4\pi \tau/T\right), & 0 < \tau < T, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \]
Okno Blackmana zapewnia skuteczniejsze tłumienie widmowych płatów pobocznych niż okno Hanninga, jednak odbywa się to kosztem nieznacznie szerszego głównego płata.
W przypadku okna Tukeya stosuje się funkcję kosinusową, która obejmuje fragment \( \alpha \in [0,1] \) całkowitego czasu trwania. Definiując znormalizowany czas \( x=\tau/T \), okno to...
\[ w(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}\left(1-\cos\left(\pi x/\frac{\alpha}{2}\right)\right), & 0 < x < \frac{\alpha}{2}, \\[6pt] 1, & \frac{\alpha}{2} \le x \le 1-\frac{\alpha}{2}, \\[6pt] \dfrac{1}{2}\left(1-\cos\left(\pi (1-x)/\frac{\alpha}{2}\right)\right), & 1-\frac{\alpha}{2} < x < 1, \\[6pt] 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \]
Gdy \( \alpha=0 \) wynosi 1, okno Tukeya sprowadza się do okna prostokątnego (bez stopniowania). Gdy \( \alpha=1 \) wynosi 2, staje się ono równoważne oknu Hanninga.
W metodzie FDTD stosowanie funkcji okienkowej jest istotne, ponieważ nagłe obcięcie przebiegu wprowadza składowe wysokiej częstotliwości do jego widma. Gładkie funkcje okienkowe zmniejszają rozprzestrzenianie się widma i tłumią sztuczne szerokopasmowe wzbudzenie, co prowadzi do uzyskania czystszych wyników w dziedzinie częstotliwości, szczególnie przy użyciu monitorów DFT lub podczas analizy odpowiedzi impulsowej.