Προσομοίωση κοιλότητας Fabry–Pérot (FDTD): Εκπαιδευτικό πρόγραμμα για οπτικούς συντονιστές 1D.

1. Εισαγωγή

Η κοιλότητα Fabry–Pérot είναι μία από τις σημαντικότερες συντονιστικές δομές στην οπτική και τη φωτονική. Στην απλούστερη μορφή της, είναι μια περιοχή που ορίζεται από δύο ανακλαστικές επιφάνειες, έτσι ώστε το φως να μπορεί να ανακλάται εμπρός και πίσω και να σχηματίζει συντονιστικές κυματοστατικές συνθέσεις. Μια οικεία μηχανική αναλογία είναι μια δονούμενη χορδή κιθάρας, όπως φαίνεται στο ??. Όπως μόνο ορισμένα πρότυπα δόνησης επιτρέπονται σε μια σταθερή χορδή, που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένα μήκη κύματος και συχνότητες (μουσικές νότες), έτσι και μόνο ορισμένες οπτικές συνθέσεις υποστηρίζονται μέσα σε μια κοιλότητα Fabry–Pérot.

Η οπτική εκδοχή αυτής της ιδέας απεικονίζεται στο ??. Το φως ανακλάται επανειλημμένα μεταξύ δύο διεπαφών και αυτές οι πολλαπλές ανακλάσεις παρεμβαίνουν μεταξύ τους. Όταν η φάση της πλήρους διαδρομής είναι σωστή, τα κύματα προστίθενται συνεκτικά και δημιουργείται μια συντονισμένη κατάσταση μέσα στην κοιλότητα. Αυτή η απλή αρχή αποτελεί τη βάση για ένα ευρύ φάσμα φωτονικών συσκευών, συμπεριλαμβανομένων των οπτικών φίλτρων, των διηλεκτρικών καθρεφτών, των συμβολομέτρων και των οπτικών κοιλοτήτων λέιζερ.

Στον συντονιστή Fabry–Pérot, επιτρέπονται μόνο οι οπτικές διαμορφώσεις των οποίων το μήκος κύματος ταιριάζει με την κοιλότητα. Σε κάθετη πρόσπτωση, αυτό συμβαίνει όταν ικανοποιείται η συνθήκη συντονισμού.

\(2nL = m\lambda\)

όπου \(n\) είναι ο δείκτης διάθλασης της περιοχής της κοιλότητας, \(L\) είναι το μήκος της κοιλότητας, \(\lambda\) είναι το μήκος κύματος και \(m\) είναι ένας ακέραιος αριθμός που αντιστοιχεί στην αρμονική. Στο σχήμα, απεικονίζονται τρεις αρμονικές: η θεμελιώδης αρμονική (m = 1, ανοιχτό μπλε), η δεύτερη αρμονική (m = 2, μπλε) και η τρίτη αρμονική (m = 3, σκούρο μπλε). Αυτό σημαίνει ότι η κοιλότητα υποστηρίζει ένα διακριτό σύνολο στατικών κυμάτων και όχι ένα αυθαίρετο συνεχές μήκους κύματος.

Εναλλακτικά, τα επιτρεπόμενα μήκη κύματος μπορούν να γραφτούν ως εξής:

\(\lambda_m = \dfrac{2nL}{m}\)

Επομένως, οι ανώτερες τάξεις λειτουργίας αντιστοιχούν σε διαφορετικές ακέραιες τιμές του \(m\), καθεμία από τις οποίες δημιουργεί ένα διαφορετικό πρότυπο επαγόμενου πεδίου. Αυτή ακριβώς είναι η συμπεριφορά που υποδεικνύεται από την αναλογία των στάσιμων κυμάτων και αποτελεί τον λόγο για τον οποίο οι κοιλότητες Fabry–Pérot χρησιμοποιούνται ευρέως ως οπτικοί συντονιστές, στοιχεία επιλεκτικά ως προς το μήκος κύματος και κοιλότητες λέιζερ.

Σε αυτό το εκπαιδευτικό πρόγραμμα, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (FDTD) για να προσομοιώσουμε μια απλή μονοδιάστατη κοιλότητα Fabry–Pérot. Η προσομοίωση περιλαμβάνει μια πηγή, δύο ανακλαστικές περιοχές, μια κοιλότητα μεταξύ τους και επίπεδα ανιχνευτή που καταγράφουν την οπτική απόκριση (??). Εκτελώντας αυτό το μοντέλο, θα δείτε πώς ένας ευρυζωνικός παλμός διεγείρει την κοιλότητα, πώς σχηματίζονται στάσιμα κύματα και πώς τα μεταδιδόμενα και ανακλώμενα φάσματα αποκαλύπτουν τις συντονιστικές λειτουργίες της συσκευής.

2. Δημιουργία μιας νέας προσομοίωσης.

Ανοίξτε το παράθυρο της νέας προσομοίωσης και επιλέξτε την κατηγορία παραδειγμάτων FDTD (??). Στη συνέχεια, επιλέξτε το παράδειγμα κοιλότητας Fabry–Pérot (??). Αυτό φορτώνει την κύρια διεπαφή που εμφανίζεται στην εικόνα ??.

Αφού φορτωθεί η προσομοίωση, εμφανίζεται το κύριο παράθυρο, όπως φαίνεται στην εικόνα ??. Η δομή εμφανίζεται στην τρισδιάστατη προβολή εντός της καρτέλας «Δομή συσκευής». Αυτή η προβολή εμφανίζει όλα τα βασικά στοιχεία της προσομοίωσης της κοιλότητας Fabry–Pérot.

Στην αριστερή πλευρά, τα πράσινα βέλη αντιπροσωπεύουν την πηγή FDTD, όπου εισάγεται ο οπτικός παλμός. Η λεπτή μωβ γραμμή που διατρέχει τη δομή είναι το πλέγμα FDTD. Σε αυτό το παράδειγμα, η προσομοίωση είναι ουσιαστικά μονοδιάστατη, επομένως το πλέγμα εμφανίζεται ως μια απλή γραμμή που διασχίζει την κοιλότητα.

Ακριβώς στα δεξιά της πηγής, το μωβ επίπεδο αντιπροσωπεύει τον αισθητήρα εισόδου, ο οποίος καταγράφει τα εισερχόμενα και ανακλώμενα πεδία. Στο κέντρο της δομής βρίσκονται οι δύο ανακλαστικές περιοχές που σχηματίζουν την κοιλότητα Fabry–Pérot. Στη δεξιά πλευρά, το πράσινο επίπεδο είναι ο αισθητήρας εξόδου, ο οποίος μετρά το φως που μεταδίδεται αφού περάσει από την κοιλότητα. Οι αισθητήρες δεν επηρεάζουν τη διάδοση του κύματος· απλώς καταγράφουν το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο καθώς εξελίσσεται με την πάροδο του χρόνου.

Σε λίγο, θα εκτελέσουμε την προσομοίωση και θα παρατηρήσουμε πώς το φως διαδίδεται μέσα από τη δομή και αλληλεπιδρά με την κοιλότητα. Θα δείτε πώς το κύμα ανακλάται εν μέρει, πώς ένα μέρος του εισέρχεται στην κοιλότητα και συσσωρεύεται ανάμεσα στους καθρέφτες, και πώς αυτή η συμπεριφορά καταγράφεται από τους δύο ανιχνευτές που βρίσκονται στις δύο πλευρές της δομής.

3. Εκτέλεση της προσομοίωσης.

Αφού αποθηκεύσετε την προσομοίωση και εξερευνήσετε τη δομή, κάντε κλικ στο κουμπί Εκτέλεση (▶) για να ξεκινήσει ο υπολογισμός. Κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης, μπορείτε να παρακολουθείτε την πρόοδό της στην καρτέλα Τερματικό, όπως φαίνεται στην εικόνα ??. Εκεί εμφανίζονται πληροφορίες όπως το βήμα χρόνου, το εύρος μήκους κύματος και το backend που χρησιμοποιείται. Στην αρχή της εκτέλεσης, θα δείτε μια γραμμή που αναφέρει Searching for OpenCL devices. Αυτές είναι συσκευές επιτάχυνσης υλικού που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να επιταχυνθεί η προσομοίωση. Εάν βρεθεί μια κατάλληλη συσκευή OpenCL, όπως στο παράδειγμα που φαίνεται στην εικόνα, το OghmaNano θα τη χρησιμοποιήσει αυτόματα και θα εκτελέσει την προσομοίωση στην GPU αντί για την CPU.

Όταν ολοκληρωθεί η προσομοίωση, μεταβείτε στην καρτέλα "Έξοδος", όπως φαίνεται στην εικόνα ??. Εκεί θα βρείτε τα δεδομένα που δημιουργήθηκαν κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης. Οι βασικές έξοδοι για αυτό το σεμινάριο είναι τα αρχεία detector_0 και detector_1, τα οποία περιέχουν τα σήματα που καταγράφηκαν από τους δύο ανιχνευτές. Μπορείτε επίσης να ανοίξετε το αρχείο device για να δείτε τη τρισδιάστατη γεωμετρία και τον φάκελο snapshots/ για να δείτε πώς εξελίσσονται τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία με την πάροδο του χρόνου. Θα παρατηρήσετε ότι αυτή η προσομοίωση εκτελείται πολύ γρήγορα. Επειδή πρόκειται για ένα μονοδιάστατο πρόβλημα, ο τυπικός χρόνος εκτέλεσης είναι μόνο λίγα δευτερόλεπτα. Εάν η προσομοίωση διαρκεί σημαντικά περισσότερο, ανατρέξτε στην παραπάνω σημείωση σχετικά με την αποθήκευση της προσομοίωσης σε έναν γρήγορο τοπικό δίσκο.

5. Προβολή στιγμιότυπων του ηλεκτρικού πεδίου.

Ανοίξτε τον φάκελο εξόδου snapshots/ (από την καρτέλα "Έξοδος") και κάντε διπλό κλικ για να ανοίξετε το πρόγραμμα προβολής στιγμιότυπων. Αυτό σας επιτρέπει να δείτε τα αποτελέσματα της προσομοίωσης ως συνάρτηση του χρόνου. Κάντε κλικ στο κουμπί "+" μία φορά για να προσθέσετε ένα σύνολο δεδομένων και, στη συνέχεια, επιλέξτε Ey. Σε αυτήν την προσομοίωση, το πεδίο διεγείρεται στην κατεύθυνση y, επομένως αυτή η συνιστώσα παρέχει την πιο άμεση εικόνα της διάδοσης του κύματος. Στη συνέχεια, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη ρυθμιστική μπάρα για να μετακινηθείτε στον χρόνο και να παρατηρήσετε πώς εξελίσσεται το πεδίο. Τρία αντιπροσωπευτικά στιγμιότυπα εμφανίζονται στις εικόνες ??–??.

Στα πρώτα στάδια (αριστερό πλαίσιο), μπορείτε να δείτε τον αρχικό παλμό ευρείας ζώνης να εισέρχεται στη δομή. Το πεδίο εξακολουθεί να είναι χωρικά εντοπισμένο, με μια απότομη εμπρόσθια άκρη που αντιστοιχεί στην εισαγόμενη διέγερση. Καθώς περνάει ο χρόνος (μεσαίο πλαίσιο), ο παλμός έχει αλληλεπιδράσει με την περιοχή της κοιλότητας. Η μορφή του παλμού γίνεται πιο δομημένη και εκτείνεται στο χώρο, υποδεικνύοντας ότι πολλαπλές συχνοτικές συνιστώσες διαδίδονται με διαφορετικές φάσεις. Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό της μερικής ανάκλασης και της συμβολής εντός της δομής.

Σε μεταγενέστερες χρονικές στιγμές (δεξιά εικόνα), το πεδίο δεν μοιάζει πλέον με έναν απλό, κινούμενο παλμό. Αντίθετα, εμφανίζεται ως μια υπέρθεση κυμάτων με διαφορετικές χωρικές συχνότητες. Αυτή η συμπεριφορά προκύπτει επειδή η κοιλότητα ενισχύει επιλεκτικά ορισμένα μήκη κύματος, ενώ άλλα ανακλώνται ή μεταδίδονται. Το αποτέλεσμα είναι ένα πολύπλοκο πρότυπο συμβολής και όχι ένα απλό στάσιμο κύμα. Αξίζει να σημειωθεί ότι, επειδή η προσομοίωση διεγείρεται με έναν παλμό ευρείας ζώνης και παρατηρείται στον χρονικό τομέα, η συντονισμός της κοιλότητας δεν εμφανίζεται αμέσως ως μια καθαρή λειτουργία στάσιμου κύματος. Αντίθετα, αυτό που παρατηρείτε είναι η παροδική εξέλιξη προς τον συντονισμό, όπου πολλαπλές ανακλάσεις και συμβολές δημιουργούν σταδιακά τις συστατικές συχνότητες που ικανοποιούν την συνθήκη της κοιλότητας.

6. Προβολή των αποτελεσμάτων του ανιχνευτή.

Επιστρέφοντας στην καρτέλα "Έξοδος" (δείτε ??), θα δείτε δύο φακέλους ανιχνευτών, τους "Detector0" και "Detector1", οι οποίοι εμφανίζονται ως μικρές εικόνες αισθητήρων CCD. Ο "Detector0" βρίσκεται στην πλευρά της πηγής της κοιλότητας, ενώ ο "Detector1" βρίσκεται στην απέναντι πλευρά, μετά την οποία το φως έχει διαπεράσει τη δομή. Εάν κάνετε διπλό κλικ στον "Detector0", θα δείτε το περιεχόμενο που εμφανίζεται στην ??. Σε αυτόν τον κατάλογο υπάρχουν δύο αρχεία, τα lam_E.csv και power.csv. Για την ώρα, ανοίξτε το power.csv, το οποίο δείχνει την ισχύ που περνά μέσα από τον ανιχνευτή ως συνάρτηση του χρόνου. Το αποτέλεσμα εμφανίζεται στην ??. Αυτή είναι η ισχύς που καταγράφηκε στον ανιχνευτή στην πλευρά εισόδου.

Μπορείτε πλέον να επαναλάβετε την ίδια διαδικασία για τον ανιχνευτή Detector1. Ανοίγοντας το αρχείο power.csv σε αυτόν τον φάκελο, θα δείτε το αποτέλεσμα που εμφανίζεται στο ??. Σε αυτή την περίπτωση, το μεταδιδόμενο σήμα εμφανίζεται μετά από μια μικρή καθυστέρηση, η οποία αντιστοιχεί στον χρόνο που χρειάζεται για να διασχίσει ο παλμός την κοιλότητα. Σε σύγκριση με το σήμα εισόδου, ο μεταδιδόμενος παλμός είναι αισθητά πιο ομαλός και πιο σταθερός. Αυτό αντανακλά το γεγονός ότι η κοιλότητα μεταδίδει προτιμησιακά ένα στενότερο εύρος συχνοτικών συνιστωσών, ενώ οι υπόλοιπες ανακλώνται. Ως αποτέλεσμα, το σήμα εξόδου είναι ουσιαστικά μια φιλτραρισμένη έκδοση του αρχικού σήματος ευρείας ζώνης.

Τώρα μπορούμε να μεταβούμε από τα σήματα στον χρονικό τομέα στην απόκριση στον τομέα της συχνότητας. Τα σήματα που παρουσιάστηκαν προηγουμένως μπορούν να υποβληθούν σε μετασχηματισμό Fourier, ώστε να προκύψει το φασματικό περιεχόμενο του φωτός που διέρχεται από κάθε ανιχνευτή. Τα δεδομένα στον τομέα της συχνότητας μπορούν να βρεθούν στο αρχείο lam_E.csv τόσο στον φάκελο του Detector0 όσο και στον φάκελο του Detector1.

Φάσμα εισόδου: Το φάσμα της πλευράς εισόδου εμφανίζεται στην ??. Αυτό είναι το φάσμα που καταγράφηκε στον ανιχνευτή στην πλευρά της πηγής της κοιλότητας. Το κυρίαρχο χαρακτηριστικό είναι μια ισχυρή κορυφή που βρίσκεται περίπου στα 400 nm, η οποία αντιστοιχεί στην κύρια φασματική περιεχομένη του παλμού που εισάγεται. Επειδή αυτός ο ανιχνευτής είναι τοποθετημένος πριν από την κοιλότητα, το καταγεγραμμένο φάσμα είναι κυρίως το εισερχόμενο πεδίο, αν και μπορεί επίσης να περιέχει μια μικρή συνεισφορά από το φως που ανακλάται από τη δομή. Μακριά από την κύρια κορυφή, το σήμα γίνεται ασθενές και μικρά χαρακτηριστικά σε αυτές τις περιοχές δεν θα πρέπει να ερμηνεύονται υπερβολικά.

Φάσμα εξόδου: Το αντίστοιχο φάσμα στην πλευρά της εξόδου εμφανίζεται στην ??. Όπως και στο φάσμα εισόδου, το κυρίαρχο χαρακτηριστικό είναι μια ισχυρή κορυφή κοντά στα 400 nm, η οποία αντικατοπτρίζει την κύρια διέγερση του συστήματος. Ωστόσο, ένα επιπλέον χαρακτηριστικό είναι ορατό στην πλευρά με τα μεγαλύτερα μήκη κύματος αυτής της κορυφής: μια μικρότερη προεξοχή γύρω στα 500 nm. Αυτό το χαρακτηριστικό προέρχεται από την απόκριση της κοιλότητας Fabry–Pérot, η οποία μεταδίδει προτιμησιακά ορισμένα μήκη κύματος. Επειδή η πηγή δεν είναι κεντραρισμένη σε αυτή τη συντονισμένη συχνότητα, το χαρακτηριστικό που σχετίζεται με την κοιλότητα εμφανίζεται μόνο ως μια ασθενέστερη δευτερεύουσα συνεισφορά και όχι ως μια κυρίαρχη κορυφή.

Λόγος εισόδου/εξόδου: Τα φάσματα που εμφανίζονται παραπάνω κυριαρχούνται από το φασματικό προφίλ της πηγής, γεγονός που δυσκολεύει την σαφή απεικόνιση της επίδρασης της κοιλότητας. Για να καταστεί η απόκριση της κοιλότητας πιο ευδιάκριτη, πρέπει να αφαιρέσουμε, όσο το δυνατόν περισσότερο, την επίδραση του φάσματος της πηγής. Αυτό το επιτυγχάνουμε διαιρώντας το σήμα εξόδου με το σήμα εισόδου, κανονικοποιώντας έτσι αποτελεσματικά το διαπερατό πεδίο με το προσπίπτον πεδίο. Δεδομένου ότι η ισχύς είναι ανάλογη του \(|E|^2\), αυτό μας δίνει μια κατά προσέγγιση συνάρτηση μετάδοσης της δομής: \(T(\lambda) = \frac{|E_{\mathrm{output}}(\lambda)|^2}{|E_{\mathrm{input}}(\lambda)|^2}\). Το αποτέλεσμα εμφανίζεται στο ??.

Αυτή η διαδικασία δεν αφαιρεί τέλεια τη συνεισφορά της πηγής, αλλά μειώνει σημαντικά την επίδρασή της. Ως αποτέλεσμα, τα χαρακτηριστικά που σχετίζονται με την κοιλότητα γίνονται πολύ πιο εμφανή. Συγκεκριμένα, η συντονιστική συχνότητα γύρω στα 500 nm, η οποία εμφανίζεται μόνο ως μια ασθενής καμπύλη στο αρχικό φάσμα εξόδου, ενισχύεται πλέον σαφώς στο κανονικοποιημένο αποτέλεσμα. Πρέπει να σημειωθεί ότι όταν το εισερχόμενο σήμα είναι πολύ μικρό, ο λόγος μπορεί να γίνει μεγάλος και θορυβώδης. Αυτά τα χαρακτηριστικά δεν είναι φυσικές συντονιστικές συχνότητες, αλλά προκύπτουν από τη διαίρεση με έναν μικρό αριθμό. Για ένα καθαρότερο φάσμα μετάδοσης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια ξεχωριστή προσομοίωση αναφοράς χωρίς την κοιλότητα για την κανονικοποίηση, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο για να παρατηρηθεί το κύριο αποτέλεσμα εδώ.

7. Πειραματισμός με τις διαστάσεις της κοιλότητας.

Για να εξερευνήσετε πώς η συμπεριφορά Fabry–Pérot εξαρτάται από τη δομή της, κάντε δεξί κλικ σε έναν από τους καθρέφτες της κοιλότητας και επιλέξτε Επεξεργασία αντικειμένου, όπως φαίνεται στην εικόνα ??. Αυτό ανοίγει τον επεξεργαστή αντικειμένων, όπου μπορεί να ελεγχθεί η γεωμετρία της κοιλότητας, όπως φαίνεται στην εικόνα ??. Σε αυτήν την προσομοίωση, η κοιλότητα σχηματίζεται από δύο λεπτούς καθρέφτες, ο καθένας με πάχος 10 nm, που διαχωρίζονται από ένα κενό 250 nm. Αντί να ορίζονται δύο ανεξάρτητα αντικείμενα, το OghmaNano χρησιμοποιεί μια λειτουργία αναπαραγωγής: ορίζεται ένα μόνο αντικείμενο και στη συνέχεια επαναλαμβάνεται κατά μήκος μιας επιλεγμένης κατεύθυνσης. Σε αυτήν την περίπτωση, ο καθρέφτης αντιγράφεται κατά μήκος του άξονα z. Αυτό ελέγχεται από το πεδίο Αριθμός αντικειμένων, το οποίο έχει οριστεί σε 2 στην κατεύθυνση z. Η παράμετρος βήματος καθορίζει στη συνέχεια την απόσταση μεταξύ των διαδοχικών αντιγράφων του αντικειμένου. Εδώ, το βήμα στην κατεύθυνση z έχει οριστεί σε 260 nm. Αυτή η τιμή περιλαμβάνει τόσο το κενό της κοιλότητας όσο και το πάχος του πρώτου καθρέφτη. Δεδομένου ότι κάθε καθρέφτης έχει πάχος 10 nm, το φυσικό κενό μεταξύ των δύο καθρεφτών είναι \(260 - 10 = 250\) nm, το οποίο καθορίζει το μήκος της κοιλότητας. Αυτή η κατασκευή επιτρέπει και στους δύο καθρέφτες να ελέγχονται με συνέπεια μέσω της επεξεργασίας ενός μόνο αντικειμένου.

To change the cavity length, modify the z-step from 260 nm to 360 nm in the object editor. This increases the mirror-to-mirror spacing from 250 nm to 350 nm. After applying this change, the structure should appear as shown in ??, where the cavity region is visibly larger. The resonant wavelengths of a Fabry–Pérot cavity are determined by the round-trip phase condition, \[ 2 n L = m \lambda, \] where \(n\) is the refractive index inside the cavity, \(L\) is the cavity length, and \(m\) is an integer mode number. Rearranging this gives \[ \lambda = \frac{2 n L}{m}. \]

Στην αρχική δομή, με \(L = 250\) nm και \(n \approx 1\), η θεμελιώδης συχνότητα (\(m=1\)) εμφανίζεται στα \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 250 = 500\ \text{nm}. \]. Μετά την αύξηση του μήκους της κοιλότητας στα \(L = 350\) nm, το αντίστοιχο μήκος κύματος γίνεται \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 350 = 700\ \text{nm}. \]. Αυτή είναι η αναμενόμενη μετατόπιση στην κυρίαρχη συντονιστική συχνότητα της κοιλότητας.

Εκτελέστε ξανά την προσομοίωση και ελέγξτε το φάσμα εξόδου από τον ανιχνευτή Detector1. Το αποτέλεσμα εμφανίζεται στην εικόνα ??. Θα πρέπει να παρατηρήσετε ότι το κύριο χαρακτηριστικό που σχετίζεται με την κοιλότητα έχει μετατοπιστεί από περίπου τα 500 nm σε μια τιμή πιο κοντά στα 700 nm, σε συμφωνία με το απλό μοντέλο που περιγράφεται παραπάνω.

Εκτός από τη βασική συντονιστική συχνότητα, θα παρατηρήσετε επίσης την παρουσία άλλων, ασθενέστερων τρόπων. Αυτοί αντιστοιχούν σε λύσεις υψηλότερης τάξης της συνθήκης Fabry–Pérot (\(m = 2, 3, \dots\)). Για παράδειγμα, όταν \(m=2\), το μήκος κύματος είναι περίπου \(\lambda = 2 n L / 2 = nL\), δίνοντας έναν τρόπο με μικρότερο μήκος κύματος. Επειδή η διέγερση είναι ευρυζωνική, πολλαπλές τιμές του \(m\) μπορούν να διεγερθούν ασθενώς, οδηγώντας σε αρκετά μέγιστα στο φάσμα. Ωστόσο, η έντασή τους εξαρτάται από το πόσο καλά επικαλύπτονται με το φασματικό περιεχόμενο της πηγής και από το πόσο αποτελεσματικά συνδέονται μέσω των κατόπτρων.

9. Επέκταση σε 2D

Μέχρι στιγμής, εξετάσαμε μια μονοδιάστατη κοιλότητα Fabry–Pérot, όπου τα πεδία μεταβάλλονται μόνο κατά μήκος της κατεύθυνσης διάδοσης. Ένα από τα πλεονεκτήματα της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (FDTD) είναι ότι μπορεί να επεκταθεί εύκολα σε υψηλότερες διαστάσεις. Σε αυτή την ενότητα, επεκτείνουμε την προσομοίωση σε δύο διαστάσεις και παρατηρούμε πώς αλλάζει η συμπεριφορά του πεδίου.

Για να το κάνετε αυτό, ανοίξτε την καρτέλα "Οπτικά" (??) και εκκινήστε τον επεξεργαστή οπτικού πλέγματος. Στον επεξεργαστή πλέγματος (??), ενεργοποιήστε τη διάσταση x, έτσι ώστε η προσομοίωση να υπολογίζει τις μεταβολές τόσο στην x όσο και στην z. Αφού εφαρμόσετε αυτήν την αλλαγή, κλείστε τον επεξεργαστή και εκτελέστε ξανά την προσομοίωση.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η προσθήκη μιας επιπλέον χωρικής διάστασης αυξάνει σημαντικά το υπολογιστικό κόστος. Ο χρόνος εκτέλεσης μπορεί να αυξηθεί έως και κατά μία τάξη μεγέθους (συνήθως έως και 10 φορές περισσότερο), επειδή ο αριθμός των σημείων του πλέγματος και οι ενημερώσεις πεδίου αυξάνονται ραγδαία με την αύξηση των διαστάσεων. Αυτό είναι ένα γενικό χαρακτηριστικό της μεθόδου FDTD: η αύξηση του φυσικού ρεαλισμού συνεπάγεται αυξημένο υπολογιστικό κόστος.

Αφού ολοκληρωθεί η προσομοίωση, ανοίξτε τον φάκελο snapshots/. Παραδείγματα αποτελεσμάτων εμφανίζονται στις εικόνες ??–??. Χρησιμοποιώντας τη διαφάνεια, μπορείτε να προχωρήσετε βήμα-βήμα στο χρόνο και να παρατηρήσετε πώς το κύμα διαδίδεται από την πηγή, εξαπλώνεται πλευρικά και αλληλεπιδρά με την κοιλότητα πριν φτάσει στον ανιχνευτή.

Σε αντίθεση με την περίπτωση μιας διάστασης, το μέτωπο του κύματος δεν είναι πλέον επίπεδο. Αντίθετα, διαχέεται πλευρικά, δημιουργώντας καμπύλα μέτωπα κύματος και πολύπλοκα πρότυπα συμβολής. Αυτό σημαίνει ότι το φως μπορεί να διανύσει την απόσταση μέσα στην κοιλότητα ακολουθώντας πολλαπλές διαδρομές, και όχι μόνο την ευθεία διαδρομή μεταξύ των δύο καθρεπτών. Ως αποτέλεσμα, το αποτελεσματικό οπτικό μήκος διαδρομής δεν είναι πλέον απλώς το γεωμετρικό μήκος της κοιλότητας.

Σε μία διάσταση, η συνθήκη συντονισμού είναι:

\(2nL = m\lambda\)

Ωστόσο, σε δύο διαστάσεις, το κύμα μπορεί να διαδοθεί υπό γωνία. Εάν μια ακτίνα ταξιδεύει υπό γωνία \(\theta\) σε σχέση με την κάθετο, το μήκος της διαδρομής γίνεται

\(L_{\mathrm{eff}} = \frac{L}{\cos\theta}\)

και η συνθήκη συντονισμού τροποποιείται σε

\(2n \frac{L}{\cos\theta} = m\lambda\)

Επειδή \(\cos\theta\) < 1\), the effective cavity length is larger than the physical length. This shifts the resonance to longer wavelengths, which explains why the peak in the 2D simulation appears around 600 nm παρά την τιμή που προβλέπεται από το απλό μοντέλο 1D.??).

Αυτό αναδεικνύει ένα σημαντικό αποτέλεσμα: ενώ οι προσομοιώσεις 1D αποτυπώνουν τις βασικές αρχές της φυσικής του Fabry–Pérot, οι προσομοιώσεις σε υψηλότερες διαστάσεις εισάγουν πρόσθετα φαινόμενα, όπως η γωνιακή διάδοση, η περίθλαση και η χωρική δομή των κυμάτων. Αυτά τα φαινόμενα είναι απαραίτητα για την κατανόηση των πραγματικών οπτικών συστημάτων, όπου το φως σπάνια διαδίδεται αποκλειστικά σε μία διάσταση.