Οριακές συνθήκες FDTD
1. Εισαγωγή
Στις προσομοιώσεις πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (FDTD), οι οριακές συνθήκες καθορίζουν πώς συμπεριφέρονται τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία στα εξωτερικά όρια του υπολογιστικού πεδίου. Με φυσικούς όρους, καθορίζουν τι συμβαίνει όταν ένα κύμα φτάνει στην άκρη του κελιού προσομοίωσης. Αυτό είναι ένα από τα πιο σημαντικά στοιχεία ενός μοντέλου FDTD, επειδή το αριθμητικό πεδίο είναι πάντα πεπερασμένο, ενώ το φυσικό πρόβλημα συχνά αντιπροσωπεύει τη διάδοση σε ανοιχτό χώρο, επαναλαμβανόμενες δομές ή περιορισμένα κενά. Ο ρόλος της οριακής συνθήκης είναι, επομένως, να επιβάλλει τη σωστή μαθηματική συνέχεια των πεδίων πέρα από το περικομμένο πλέγμα.
Εάν μια οριακή συνθήκη επιλεγεί ακατάλληλα, τα κύματα ανακλώνται πίσω στο πλέγμα, παρεμβαίνουν στη φυσική λύση και μπορούν να δημιουργήσουν έντονα τεχνητά φαινόμενα σταθερών κυμάτων. Στη χειρότερη περίπτωση, η ενέργεια παγιδεύεται μέσα στον όγκο της προσομοίωσης και η υπολογιζόμενη κατανομή πεδίου δεν αντιπροσωπεύει πλέον την προβλεπόμενη συσκευή. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό σε ανοιχτές φωτονικές δομές, προβλήματα σκέδασης, συστήματα ακτινοβολίας και υπολογισμούς απόκρισης παλμών, όπου τα εξερχόμενα κύματα πρέπει να απομακρύνονται καθαρά από τον τομέα. Αντίθετα, στις περιοδικές δομές, η σωστή συμπεριφορά δεν είναι η απορρόφηση αλλά η επανάληψη, και σε ορισμένα προβλήματα δοκιμής είναι επιθυμητό να καθοριστούν ρητά τα πεδία στην οριακή συνθήκη. Επομένως, η επιλογή της οριακής συνθήκης πρέπει να ταιριάζει με τη φυσική του μοντέλου.
Μαθηματικά, οι εξισώσεις στροβιλισμού του Maxwell επιλύονται σε ένα πεπερασμένο πλέγμα Yee. Για μια ισότροπη περιοχή χωρίς πηγές, αυτές μπορούν να γραφτούν ως εξής:
\[ \mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E}, \qquad \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{H}. \]
Οι εξισώσεις για την εσωτερική ανανέωση προκύπτουν άμεσα από αυτές τις σχέσεις, αλλά στα εξωτερικά κελιά το πρότυπο υπερβαίνει τα όρια του αποθηκευμένου πλέγματος. Η οριακή συνθήκη παρέχει τις απαραίτητες πληροφορίες για την ολοκλήρωση της ανανέωσης. Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι σε κάθε εξωτερική επιφάνεια του υπολογιστικού χώρου πρέπει να αντιστοιχιστεί ένας αριθμητικός κανόνας, ο οποίος καθορίζει εάν τα εφαπτομενικά πεδία είναι σταθερά, απορροφώνται, επαναλαμβάνονται περιοδικά ή εξασθενούν μέσω μιας κατάλληλης απορροφητικής στρώσης.
Στο OghmaNano, οι οριακές συνθήκες διαμορφώνονται μέσω του κουμπιού «Οριακές Συνθήκες» στην καρτέλα «Οπτικά» (δείτε Εικ. ??). Ο αντίστοιχος επεξεργαστής (δείτε Εικ. ??) επιτρέπει την ανάθεση διαφορετικής συνθήκης σε κάθε εξωτερική επιφάνεια της περιοχής FDTD. Οι διαθέσιμοι τύποι οριακών συνθηκών είναι οι Dirichlet, Mur ABC, Περιοδικές και PML.
Οι έξι επιλέξιμες επιφάνειες αντιστοιχούν στις έξι πλευρές του καρτεσιανού πλαισίου προσομοίωσης. Στη προεπιλεγμένη διαμόρφωση προβολής που χρησιμοποιεί το OghmaNano, το \(y_0\) είναι η άνω επιφάνεια της περιοχής προσομοίωσης, το \(y_1\) είναι η κάτω επιφάνεια, το \(x_0\) είναι η αριστερή επιφάνεια, το \(x_1\) είναι η δεξιά επιφάνεια, το \(z_0\) είναι η επιφάνεια που βρίσκεται πιο κοντά στον χρήστη και το \(z_1\) είναι η επιφάνεια που βρίσκεται πιο μακριά από τον χρήστη. Η κατεύθυνση αντιστοίχισης απεικονίζεται στο Εικόνα ??.
Ο επεξεργαστής οριακών συνθηκών εκχωρεί έναν κανόνα σε καθεμία από αυτές τις έξι έδρες ανεξάρτητα. Αυτό καθιστά δυνατή τη δημιουργία μικτών περιοχών, για παράδειγμα με περιοδικά όρια στις πλευρικές κατευθύνσεις και απορροφητικά όρια στην κατεύθυνση διάδοσης, ή με PML σε όλες τις έδρες για ακτινοβολία στον ελεύθερο χώρο. Όταν επιλεγεί το PML, διατίθεται μια επιπλέον παράμετρος βάθους για αυτήν την έδρα. Αυτό το βάθος δίνεται σε κελιά πλέγματος και καθορίζει πόσες εξωτερικές στρώσεις FDTD προορίζονται για το απορροφητικό μέσο.
2. Επεξεργαστής οριακών συνθηκών
Ο επεξεργαστής οριακών συνθηκών παρέχει ξεχωριστό έλεγχο για τις επιφάνειες \(y_{\min}\), \(y_{\max}\), \(x_{\min}\), \(x_{\max}\), \(z_{\min}\) και \(z_{\max}\), οι οποίες αντιστοιχούν στις \(y_0\), \(y_1\), \(x_0\), \(x_1\), \(z_0\) και \(z_1\) αντίστοιχα, σύμφωνα με τη σύμβαση κατεύθυνσης που εμφανίζεται στην Εικόνα ??. Για κάθε επιφάνεια, η επιλεγμένη επιλογή καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο ενημερώνονται τα εφαπτομενικά ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία στην εξωτερική άκρη του πλέγματος.
3. Οριακή συνθήκη Dirichlet
Μια συνθήκη Dirichlet ορίζει την τιμή του πεδίου στην οριακή επιφάνεια σε μια προκαθορισμένη τιμή. Στη συνήθη χρήση της μεθόδου FDTD, αυτή η τιμή είναι συνήθως μηδέν, οπότε η οριακή επιφάνεια επιβάλλει
\[ \mathbf{E}_{\mathrm{tan}} = 0 \qquad \text{on the selected face,} \]
Ως εκ τούτου, το όριο συμπεριφέρεται σαν ένα τέλειο ανακλαστικό τοίχωμα για το ηλεκτρικό πεδίο, και κάθε εξερχόμενο κύμα ανακλάται πίσω στην περιοχή της προσομοίωσης.
3. Οριακή συνθήκη Mur ABC.
Οι απορροφητικές οριακές συνθήκες σχεδιάζονται για να μειώνουν τις ανακλάσεις, προσεγγίζοντας τη συμπεριφορά ενός κύματος που διαδίδεται προς τα έξω στο όριο του υπολογιστικού πεδίου. Η ιδέα είναι να ικανοποιείται μια μονοκατευθυντική εξίσωση κύματος κάθετη προς το όριο, έτσι ώστε η ενέργεια που εξέρχεται από το πλέγμα να συνεχίζει να διαδίδεται προς τα έξω και όχι να ανακλάται πίσω.
Για ένα μονοδιάστατο κύμα που διαδίδεται προς την κατεύθυνση \(+x\), η ακριβής σχέση για την εξερχόμενη κυματική συνάρτηση είναι:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial u}{\partial t}=0. \]
Η προσέγγιση της Mur για τις απορροφητικές συνοριακές συνθήκες πρώτης τάξης προκύπτει διακριτοποιώντας αυτή την εξίσωση στο πλέγμα FDTD. Στην αριστερή πλευρά, χρησιμοποιείται μια τυπική μορφή.
\[ u_0^{n+1} = u_1^{n} + \frac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x} \left( u_1^{n+1}-u_0^{n} \right), \]
με μια παρόμοια έκφραση στην αντίθετη πλευρά. Εδώ, το \(u_i^n\) υποδηλώνει το πεδίο στον χωρικό δείκτη \(i\) και τον χρονικό δείκτη \(n\), το \(\Delta x\) είναι το βήμα του πλέγματος και το \(\Delta t\) είναι το χρονικό βήμα της μεθόδου FDTD.
Οι απορροφητικές οριακές συνθήκες είναι υπολογιστικά οικονομικές και απαιτούν πολύ λίγη επιπλέον μνήμη, γεγονός που τις καθιστά ελκυστικές για απλές προσομοιώσεις ή διερευνητικούς υπολογισμούς. Στόχος τους είναι να προσεγγίσουν ένα εξερχόμενο κύμα, έτσι ώστε η ενέργεια να μπορεί να απομακρυνθεί από τον τομέα της προσομοίωσης αντί να ανακλάται από την εξωτερική οριακή γραμμή.
Επειδή η συνθήκη Mur είναι απλώς μια προσέγγιση, κάποια ανάκλαση παραμένει πάντα. Η ακρίβεια μειώνεται για πλάγιες προσπτώσεις, ευρυζωνικά παλμικά σήματα και σύνθετα πολυδιάστατα πεδία σκέδασης. Επομένως, οι οριακές συνθήκες Mur είναι καταλληλότερες για απλά προβλήματα διάδοσης, όπου τα κύματα πλησιάζουν την οριακή επιφάνεια περίπου κάθετα και δεν απαιτείται πολύ υψηλή ακρίβεια.
Για απαιτητικές οπτικές προσομοιώσεις, ακτινοβολούσες δομές ή περιπτώσεις όπου τα κύματα προσκρούουν στην οριακή επιφάνεια από πολλαπλές γωνίες, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν τέλειες προσαρμοσμένες στρώσεις (PML). Οι οριακές επιφάνειες PML εισάγουν μια απορροφητική περιοχή που απομακρύνει τα εξερχόμενα κύματα πολύ πιο αποτελεσματικά και με σημαντικά χαμηλότερη ανάκλαση σε σύγκριση με τις συνθήκες Mur.
4. Περιοδική οριακή συνθήκη
Μια περιοδική οριακή συνθήκη ταυτίζει μια πλευρά της περιοχής προσομοίωσης με την αντίθετη πλευρά, έτσι ώστε το πεδίο που εξέρχεται από τη μία πλευρά να εισέρχεται ξανά από την άλλη. Αυτό είναι κατάλληλο όταν η φυσική δομή επαναλαμβάνεται επ' άπειρον στον χώρο και το υπολογιστικό κελί αντιπροσωπεύει μια μεμονωμένη μονάδα αυτού του επαναλαμβανόμενου γεωμετρικού σχήματος.
Στην απλούστερη μορφή του, η περιοδικότητα επιβάλλει
\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t), \qquad \mathbf{H}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{H}(x,y,z,t), \]
και παρομοίως στις κατευθύνσεις \(y\) ή \(z\) όταν αυτά τα όρια ορίζονται ως περιοδικά. Αριθμητικά, οι τιμές του πεδίου που απαιτούνται ακριβώς πέρα από τη μία πλευρά του πεδίου λαμβάνονται από την αντίθετη πλευρά. Επομένως, οι αντίθετες επιφάνειες πρέπει να αντιμετωπίζονται ως ένα ζεύγος. Φυσικά, αυτό σημαίνει ότι η λύση δεν αντιστοιχεί σε ένα απομονωμένο αντικείμενο, αλλά σε μια άπειρη πλέγμα αντιγράφων του προσομοιωμένου κελιού.
Οι περιοδικές οριακές συνθήκες χρησιμοποιούνται συνήθως για δομές που επαναλαμβάνονται στον χώρο, όπως οι δέσμες περίθλασης, οι φωτονικές κρύσταλλοι, οι κυψέλες των μεταϋλικών και οι περιοδικές γεωμετρίες οπτικών αγωγών. Μοντελοποιώντας μόνο μία κυψέλη, το υπολογιστικό κόστος μπορεί να μειωθεί σημαντικά, διατηρώντας παράλληλα την αναπαράσταση της συμπεριφοράς της πλήρους επαναλαμβανόμενης δομής, υπό την προϋπόθεση ότι η πηγή και η γεωμετρία είναι συμβατές με την υποτιθέμενη περιοδικότητα.
Σε περιπτώσεις περιοδικών ορίων, τα πεδία που εξέρχονται από τη μία πλευρά του πεδίου προσομοίωσης επανεισέρχονται από την αντίθετη πλευρά. Ως εκ τούτου, η ενέργεια δεν απορροφάται, αλλά κυκλοφορεί εντός του υπολογιστικού πεδίου. Συνεπώς, τα περιοδικά όρια δεν πρέπει να χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση ανοιχτού χώρου. Εάν εφαρμοστούν περιοδικά όρια σε όλες τις πλευρές της περιοχής προσομοίωσης, καμία ενέργεια δεν μπορεί να εξέλθει από το πεδίο και η συνολική ηλεκτρομαγνητική ενέργεια μπορεί να συσσωρευτεί με την πάροδο του χρόνου. Σε πολλές πρακτικές προσομοιώσεις FDTD, τα περιοδικά όρια εφαρμόζονται επομένως στις εγκάρσιες κατευθύνσεις, ενώ απορροφητικά όρια, όπως το PML, χρησιμοποιούνται στην κατεύθυνση διάδοσης.
Στη γενικότερη περίπτωση, τα περιοδικά πεδία μπορεί να περιλαμβάνουν μια μετατόπιση φάσης μεταξύ των γειτονικών κυψελών. Αυτό περιγράφεται από τη συνθήκη του Bloch.
\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t)e^{ik_xL_x}, \]
με μια ανάλογη σχέση για το μαγνητικό πεδίο. Η τυπική περιοδική οριακή συνθήκη που εφαρμόζεται εδώ αντιστοιχεί στην ειδική περίπτωση \(k_x=0\), που σημαίνει ότι τα πεδία επαναλαμβάνονται ακριβώς στις αντίθετες πλευρές του πεδίου προσομοίωσης.
5. Οριακή συνθήκη PML.
Η ιδανικά προσαρμοσμένη στρώση (PML) είναι η τυπική, υψηλής απόδοσης απορροφητική οριακή συνθήκη που χρησιμοποιείται στις σύγχρονες προσομοιώσεις FDTD. Σκοπός της είναι η εξάλειψη των εξερχόμενων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με ελάχιστη ανάκλαση σε ένα ευρύ φάσμα συχνοτήτων και για ένα μεγάλο εύρος γωνιών. Αντί να επιβάλλεται μια απλή οριακή εξίσωση στην εξωτερική άκρη, η PML εισάγει ένα τεχνητό απορροφητικό μέσο που περιβάλλει την φυσική περιοχή προσομοίωσης. Τα κύματα που εισέρχονται σε αυτή τη στρώση υφίστανται εξασθένηση χωρίς να αντιμετωπίζουν μια απότομη ασυμφωνία σύνθετης αντίστασης στην διεπιφάνεια.
Η βασική ιδέα είναι ότι το PML (Perfectly Matched Layer) προσαρμόζεται στο εσωτερικό μέσο στο επίπεδο εισόδου, έτσι ώστε ένα εισερχόμενο κύμα να μην συναντά μια ασυνέχεια που θα δημιουργούσε αντανακλάσεις. Μόλις βρεθεί μέσα στο στρώμα, τα πεδία εξασθενούν εκθετικά. Σε συνεχή μορφή, αυτό μπορεί να ερμηνευτεί μέσω μιας σύνθετης επέκτασης συντεταγμένων, για παράδειγμα.
\[ x \;\rightarrow\; \int_0^x s_x(\xi)\,d\xi, \qquad s_x(\xi)=\kappa_x(\xi)+\frac{\sigma_x(\xi)}{j\omega\varepsilon_0}, \]
με τις αντίστοιχες παραμέτρους διαστολής στις άλλες κατευθύνσεις. Εδώ, το \(\sigma_x\) είναι ένα τεχνητό προφίλ αγωγιμότητας και το \(\kappa_x\) είναι ένας παράγοντας κλιμάκωσης που χρησιμοποιείται στις διατυπώσεις PML με διατεταγμένες. Το αποτέλεσμα είναι ότι τα πεδία που διαδίδονται εξασθενούν καθώς διασχίζουν το στρώμα, ενώ παραμένουν κατά προσέγγιση ανακλαστικά στην διεπαφή με τον φυσικό τομέα.
Στο OghmaNano, η επιλογή του PML για μια συγκεκριμένη επιφάνεια ενεργοποιεί αυτή την απορροφητική στρώση στην αντίστοιχη πλευρά της περιοχής προσομοίωσης. Η σχετική παράμετρος βάθους PML καθορίζει τον αριθμό των στοιχείων του πλέγματος που διατίθενται για τη στρώση. Ένα παχύτερο PML παρέχει γενικά ισχυρότερη εξασθένηση, επειδή το πεδίο έχει μεγαλύτερη απόσταση για να εξασθενήσει. Εάν το PML είναι πολύ λεπτό, μέρος της ενέργειας μπορεί να φτάσει στην εξωτερική περιοχή και να ανακλαστεί. Εάν είναι αρκετά παχύ, το εξερχόμενο πεδίο εξασθενεί σε ένα αμελητέο επίπεδο πριν φτάσει στην εξωτερική άκρη.
Ένας εύκολος τρόπος για να κατανοήσουμε την εξάρτηση από το πάχος είναι να παρατηρήσουμε ότι ένα στοιχείο του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου μέσα σε ένα απορροφητικό μέσο μειώνεται κατά προσέγγιση ως εξής:
\[ E(d)\sim E(0)\exp(-\alpha d), \]
όπου \(d\) είναι η απόσταση που διανύεται μέσα στο PML και \(\alpha\) είναι ένας αποτελεσματικός συντελεστής εξασθένησης που καθορίζεται από την κλίμακα της αγωγιμότητας. Επομένως, η αύξηση του αριθμού των κυψελών του PML μειώνει το υπόλοιπο πλάτος που φτάνει στην εξωτερική διακοπή. Στην πράξη, το βάθος του PML θα πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο ώστε οι ανακλάσεις από το πίσω μέρος της στρώσης να είναι αμελητέες σε σύγκριση με το φυσικό σήμα που μας ενδιαφέρει.
Η PML είναι συνήθως η προτιμώμενη οριακή συνθήκη για ανοιχτές φωτονικές και ηλεκτρομαγνητικές προσομοιώσεις, συμπεριλαμβανομένης της ακτινοβολίας οπτικών αγωγών, της σκέδασης από απομονωμένα αντικείμενα, της εκπομπής που μοιάζει με κεραία και της προσωρινής διάδοσης παλμών. Είναι πολύ πιο αξιόπιστη από τις απλές απορροφητικές οριακές συνθήκες όταν τα πεδία προσκρούουν στην οριακή επιφάνεια υπό γωνία ή περιέχουν ευρύ φάσμα συχνοτήτων. Για αυτόν τον λόγο, η PML είναι η προεπιλεγμένη επιλογή σε πολλά μοντέλα FDTD όπου αναμένεται να διαδίδονται τα κύματα έξω από τον υπολογιστικό χώρο.
Ακόμη και με τη χρήση PML, η εφαρμογή καλών πρακτικών μοντελοποίησης παραμένει σημαντική. Το απορροφητικό στρώμα δεν πρέπει να τοποθετείται πολύ κοντά σε μια περιοχή με έντονη εξασθένηση ή υψηλό συντονισμό, επειδή τα μη διαδιδόμενα πεδία μπορούν να αλληλεπιδράσουν με το απορροφητικό υλικό και να αλλάξουν τη λύση. Γενικά, η φυσική δομή θα πρέπει να διαχωρίζεται από την PML με αρκετό κενό χώρο, ώστε το εξερχόμενο μετωπικό κύμα να διαμορφώνεται καθαρά. Όταν χρησιμοποιείται με αυτόν τον τρόπο, η PML παρέχει την πλησιέστερη προσέγγιση στην FDTD ενός ανοιχτού, μη ανακλαστικού εξωτερικού πεδίου.