Condizioni al contorno per il metodo FDTDCondizioni al contorno per il metodo FDTD

1. Introduzione1. Introduzione

Nelle simulazioni basate sul metodo delle differenze finite nel dominio del tempo (FDTD), le condizioni al contorno definiscono il comportamento dei campi elettromagnetici ai limiti esterni del dominio computazionale. In termini fisici, esse determinano cosa accade quando un’onda raggiunge il bordo della cella di simulazione. Questo è uno degli aspetti più importanti di un modello FDTD, poiché il dominio numerico è sempre finito, mentre il problema fisico spesso rappresenta la propagazione in uno spazio aperto, strutture ripetitive o cavità confinate. Pertanto, il ruolo della condizione al contorno è quello di imporre la corretta estensione matematica dei campi oltre la griglia troncata.Nelle simulazioni basate sul metodo delle differenze finite nel dominio del tempo (FDTD), le condizioni al contorno definiscono il comportamento dei campi elettromagnetici ai limiti esterni del dominio computazionale. In termini fisici, esse determinano cosa accade quando un’onda raggiunge il bordo della cella di simulazione. Questo è uno degli aspetti più importanti di un modello FDTD, poiché il dominio numerico è sempre finito, mentre il problema fisico spesso rappresenta la propagazione in uno spazio aperto, strutture ripetitive o cavità confinate. Pertanto, il ruolo della condizione al contorno è quello di imporre la corretta estensione matematica dei campi oltre la griglia troncata.

Se viene scelta una condizione al contorno inadeguata, le onde si riflettono all’interno della griglia, interferiscono con la soluzione fisica e possono generare artefatti dovuti a forti onde stazionarie. Nel peggiore dei casi, l’energia rimane intrappolata all’interno del volume di simulazione e la distribuzione del campo calcolata non rappresenta più il dispositivo desiderato. Questo è particolarmente importante nelle strutture fotoniche aperte, nei problemi di scattering, nei sistemi radianti e nei calcoli della risposta impulsiva, dove le onde in uscita devono propagarsi al di fuori del dominio in modo pulito. Al contrario, nelle strutture periodiche, il comportamento corretto non è l’assorbimento, ma la ripetizione, e in alcuni problemi di test è auspicabile fissare esplicitamente i campi al contorno. Pertanto, la scelta della condizione al contorno deve essere coerente con la fisica del modello.Se viene scelta una condizione al contorno inadeguata, le onde si riflettono all’interno della griglia, interferiscono con la soluzione fisica e possono generare artefatti dovuti a forti onde stazionarie. Nel peggiore dei casi, l’energia rimane intrappolata all’interno del volume di simulazione e la distribuzione del campo calcolata non rappresenta più il dispositivo desiderato. Questo è particolarmente importante nelle strutture fotoniche aperte, nei problemi di scattering, nei sistemi radianti e nei calcoli della risposta impulsiva, dove le onde in uscita devono propagarsi al di fuori del dominio in modo pulito. Al contrario, nelle strutture periodiche, il comportamento corretto non è l’assorbimento, ma la ripetizione, e in alcuni problemi di test è auspicabile fissare esplicitamente i campi al contorno. Pertanto, la scelta della condizione al contorno deve essere coerente con la fisica del modello.

Dal punto di vista matematico, le equazioni di Maxwell, espresse in forma differenziale, vengono risolte su una griglia di Yee finita. Per una regione isotropa priva di sorgenti, queste equazioni possono essere scritte come segue:Dal punto di vista matematico, le equazioni di Maxwell, espresse in forma differenziale, vengono risolte su una griglia di Yee finita. Per una regione isotropa priva di sorgenti, queste equazioni possono essere scritte come segue:

\[ \mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E}, \qquad \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{H}. \] \[ \mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E}, \qquad \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{H}. \]

Le equazioni per l’aggiornamento dei valori interni derivano direttamente da queste relazioni, ma nelle celle più esterne lo schema di calcolo si estende oltre la griglia memorizzata. La condizione al contorno fornisce le informazioni mancanti necessarie per completare l’aggiornamento. In pratica, ciò significa che a ciascuna faccia esterna del volume di simulazione deve essere assegnata una regola numerica che determini se i campi tangenziali devono essere fissati, assorbiti, ripetuti periodicamente o attenuati tramite uno strato di assorbimento adeguato.Le equazioni per l’aggiornamento dei valori interni derivano direttamente da queste relazioni, ma nelle celle più esterne lo schema di calcolo si estende oltre la griglia memorizzata. La condizione al contorno fornisce le informazioni mancanti necessarie per completare l’aggiornamento. In pratica, ciò significa che a ciascuna faccia esterna del volume di simulazione deve essere assegnata una regola numerica che determini se i campi tangenziali devono essere fissati, assorbiti, ripetuti periodicamente o attenuati tramite uno strato di assorbimento adeguato.

In OghmaNano, le condizioni al contorno vengono configurate tramite il pulsante «Condizioni al contorno» presente nella barra multifunzione «Ottica» (vedere Figura ??). L’editor corrispondente (vedere Figura ??) consente di assegnare una condizione diversa a ciascuna faccia esterna della regione FDTD. I tipi di condizione al contorno disponibili sono Dirichlet, Mur ABC, periodica e PML.In OghmaNano, le condizioni al contorno vengono configurate tramite il pulsante «Condizioni al contorno» presente nella barra multifunzione «Ottica» (vedere Figura ??). L’editor corrispondente (vedere Figura ??) consente di assegnare una condizione diversa a ciascuna faccia esterna della regione FDTD. I tipi di condizione al contorno disponibili sono Dirichlet, Mur ABC, periodica e PML.

Le sei superfici selezionabili corrispondono alle sei facce del volume di simulazione cartesiano. Nella configurazione di visualizzazione predefinita utilizzata da OghmaNano, \(y_0\) rappresenta la faccia superiore della regione di simulazione, \(y_1\) la faccia inferiore, \(x_0\) la faccia sinistra, \(x_1\) la faccia destra, \(z_0\) la faccia più vicina all’utente e \(z_1\) la faccia più lontana dall’utente. La mappatura direzionale è illustrata in Figura ??.Le sei superfici selezionabili corrispondono alle sei facce del volume di simulazione cartesiano. Nella configurazione di visualizzazione predefinita utilizzata da OghmaNano, \(y_0\) rappresenta la faccia superiore della regione di simulazione, \(y_1\) la faccia inferiore, \(x_0\) la faccia sinistra, \(x_1\) la faccia destra, \(z_0\) la faccia più vicina all’utente e \(z_1\) la faccia più lontana dall’utente. La mappatura direzionale è illustrata in Figura ??.

L’editor delle condizioni al contorno assegna una regola a ciascuna di queste sei facce in modo indipendente. In questo modo è possibile creare domini misti, ad esempio con confini periodici nelle direzioni laterali e confini assorbenti nella direzione di propagazione, oppure con un livello di assorbimento (PML) su tutte le facce per la radiazione nello spazio libero. Quando viene selezionato il livello di assorbimento (PML), è disponibile un parametro di profondità aggiuntivo per quella faccia. Questa profondità è espressa in celle della griglia e determina quante celle esterne del metodo FDTD sono riservate al mezzo assorbente.L’editor delle condizioni al contorno assegna una regola a ciascuna di queste sei facce in modo indipendente. In questo modo è possibile creare domini misti, ad esempio con confini periodici nelle direzioni laterali e confini assorbenti nella direzione di propagazione, oppure con un livello di assorbimento (PML) su tutte le facce per la radiazione nello spazio libero. Quando viene selezionato il livello di assorbimento (PML), è disponibile un parametro di profondità aggiuntivo per quella faccia. Questa profondità è espressa in celle della griglia e determina quante celle esterne del metodo FDTD sono riservate al mezzo assorbente.

2. Editor per la definizione delle condizioni al contorno2. Editor per la definizione delle condizioni al contorno

L’editor delle condizioni al contorno prevede un controllo separato per le facce \(y_{\min}\), \(y_{\max}\), \(x_{\min}\), \(x_{\max}\), \(z_{\min}\) e \(z_{\max}\), che corrispondono rispettivamente a \(y_0\), \(y_1\), \(x_0\), \(x_1\), \(z_0\) e \(z_1\) secondo la convenzione di direzione mostrata in Figura ??. Per ciascuna faccia, l’opzione selezionata determina come vengono aggiornati i campi elettrici e magnetici tangenziali sul bordo esterno della griglia.L’editor delle condizioni al contorno prevede un controllo separato per le facce \(y_{\min}\), \(y_{\max}\), \(x_{\min}\), \(x_{\max}\), \(z_{\min}\) e \(z_{\max}\), che corrispondono rispettivamente a \(y_0\), \(y_1\), \(x_0\), \(x_1\), \(z_0\) e \(z_1\) secondo la convenzione di direzione mostrata in Figura ??. Per ciascuna faccia, l’opzione selezionata determina come vengono aggiornati i campi elettrici e magnetici tangenziali sul bordo esterno della griglia.

3. Condizione al contorno di Dirichlet3. Condizione al contorno di Dirichlet

Una condizione al contorno di Dirichlet fissa il valore del campo sul contorno a un valore predefinito. Nell’uso più comune del metodo FDTD, questo valore è zero, quindi il contorno impone cheUna condizione al contorno di Dirichlet fissa il valore del campo sul contorno a un valore predefinito. Nell’uso più comune del metodo FDTD, questo valore è zero, quindi il contorno impone che

\[ \mathbf{E}_{\mathrm{tan}} = 0 \qquad \text{on the selected face,} \] \[ \mathbf{E}_{\mathrm{tan}} = 0 \qquad \text{on the selected face,} \]

Pertanto, il confine si comporta come una parete perfettamente riflettente per il campo elettrico e qualsiasi onda che si propaga verso l’esterno viene riflessa e riportata all’interno dell’area di simulazione.Pertanto, il confine si comporta come una parete perfettamente riflettente per il campo elettrico e qualsiasi onda che si propaga verso l’esterno viene riflessa e riportata all’interno dell’area di simulazione.

3. Condizione al contorno di Mur ABC3. Condizione al contorno di Mur ABC

Le condizioni al contorno di tipo «Mur» sono progettate per ridurre la riflessione, simulando il comportamento di un’onda che si propaga verso l’esterno al bordo del dominio computazionale. L’obiettivo è soddisfare un’equazione delle onde unidirezionale, normale al contorno, in modo che l’energia che lascia la griglia continui a propagarsi verso l’esterno anziché riflettersi.Le condizioni al contorno di tipo «Mur» sono progettate per ridurre la riflessione, simulando il comportamento di un’onda che si propaga verso l’esterno al bordo del dominio computazionale. L’obiettivo è soddisfare un’equazione delle onde unidirezionale, normale al contorno, in modo che l’energia che lascia la griglia continui a propagarsi verso l’esterno anziché riflettersi.

Per un’onda monodimensionale che si propaga nella direzione \(+x\), la relazione esatta per l’onda uscente è:Per un’onda monodimensionale che si propaga nella direzione \(+x\), la relazione esatta per l’onda uscente è:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial u}{\partial t}=0. \] \[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial u}{\partial t}=0. \]

La condizione al contorno assorbente di primo ordine di Mur si ottiene discretizzando questa equazione sulla griglia FDTD. Sul bordo sinistro, viene utilizzata una forma standard.La condizione al contorno assorbente di primo ordine di Mur si ottiene discretizzando questa equazione sulla griglia FDTD. Sul bordo sinistro, viene utilizzata una forma standard.

\[ u_0^{n+1} = u_1^{n} + \frac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x} \left( u_1^{n+1}-u_0^{n} \right), \] \[ u_0^{n+1} = u_1^{n} + \frac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x} \left( u_1^{n+1}-u_0^{n} \right), \]

sull’altro lato si osserva un’espressione analoga. In questo caso, \(u_i^n\) indica il campo nel punto dello spazio con indice \(i\) e nell’istante di tempo con indice \(n\), \(\Delta x\) rappresenta la dimensione delle celle della griglia e \(\Delta t\) è l’intervallo di tempo utilizzato nel metodo FDTD.sull’altro lato si osserva un’espressione analoga. In questo caso, \(u_i^n\) indica il campo nel punto dello spazio con indice \(i\) e nell’istante di tempo con indice \(n\), \(\Delta x\) rappresenta la dimensione delle celle della griglia e \(\Delta t\) è l’intervallo di tempo utilizzato nel metodo FDTD.

Le condizioni al contorno di Mur sono efficienti dal punto di vista computazionale e richiedono una quantità minima di memoria aggiuntiva, il che le rende adatte a simulazioni leggere o a calcoli preliminari. Esse mirano ad approssimare un’onda in uscita in modo che l’energia possa propagarsi al di fuori del dominio di simulazione anziché essere riflessa dal contorno esterno.Le condizioni al contorno di Mur sono efficienti dal punto di vista computazionale e richiedono una quantità minima di memoria aggiuntiva, il che le rende adatte a simulazioni leggere o a calcoli preliminari. Esse mirano ad approssimare un’onda in uscita in modo che l’energia possa propagarsi al di fuori del dominio di simulazione anziché essere riflessa dal contorno esterno.

Poiché la condizione di Mur è solo un’approssimazione, una certa riflessione persiste sempre. La precisione diminuisce in caso di incidenza obliqua, impulsi a banda larga e campi di diffusione multidimensionali complessi. Pertanto, i bordi di Mur sono più adatti per problemi di propagazione semplici, in cui le onde si avvicinano al bordo approssimativamente perpendicolarmente alla superficie e non è richiesta un’elevata precisione.Poiché la condizione di Mur è solo un’approssimazione, una certa riflessione persiste sempre. La precisione diminuisce in caso di incidenza obliqua, impulsi a banda larga e campi di diffusione multidimensionali complessi. Pertanto, i bordi di Mur sono più adatti per problemi di propagazione semplici, in cui le onde si avvicinano al bordo approssimativamente perpendicolarmente alla superficie e non è richiesta un’elevata precisione.

Per simulazioni ottiche complesse, strutture radianti o situazioni in cui le onde colpiscono il confine da più angolazioni, è preferibile utilizzare strati perfettamente adattati (PML). I confini PML introducono una regione assorbente che elimina le onde in uscita in modo molto più efficace e con una riflessione significativamente inferiore rispetto alle condizioni di Mur.Per simulazioni ottiche complesse, strutture radianti o situazioni in cui le onde colpiscono il confine da più angolazioni, è preferibile utilizzare strati perfettamente adattati (PML). I confini PML introducono una regione assorbente che elimina le onde in uscita in modo molto più efficace e con una riflessione significativamente inferiore rispetto alle condizioni di Mur.

4. Condizione al contorno periodica4. Condizione al contorno periodica

Una condizione al contorno periodica identifica una faccia della regione di simulazione con la faccia opposta, in modo che il campo che esce da un lato rientri dall’altro. Questa impostazione è appropriata quando la struttura fisica si ripete indefinitamente nello spazio e la cella di calcolo rappresenta una singola cella elementare di tale geometria ripetitiva.Una condizione al contorno periodica identifica una faccia della regione di simulazione con la faccia opposta, in modo che il campo che esce da un lato rientri dall’altro. Questa impostazione è appropriata quando la struttura fisica si ripete indefinitamente nello spazio e la cella di calcolo rappresenta una singola cella elementare di tale geometria ripetitiva.

Nella sua forma più semplice, la periodicità implica che...Nella sua forma più semplice, la periodicità implica che...

\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t), \qquad \mathbf{H}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{H}(x,y,z,t), \] \[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t), \qquad \mathbf{H}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{H}(x,y,z,t), \]

Analogamente, nelle direzioni \(y\) o \(z\), quando tali confini sono definiti come periodici. Dal punto di vista numerico, i valori del campo necessari immediatamente oltre un lato del dominio vengono presi dal lato opposto. Pertanto, le facce opposte devono essere trattate come una coppia corrispondente. Fisicamente, ciò significa che la soluzione non si riferisce a un oggetto isolato, ma a una griglia infinita di copie della cella simulata.Analogamente, nelle direzioni \(y\) o \(z\), quando tali confini sono definiti come periodici. Dal punto di vista numerico, i valori del campo necessari immediatamente oltre un lato del dominio vengono presi dal lato opposto. Pertanto, le facce opposte devono essere trattate come una coppia corrispondente. Fisicamente, ciò significa che la soluzione non si riferisce a un oggetto isolato, ma a una griglia infinita di copie della cella simulata.

Le condizioni al contorno periodiche sono comunemente utilizzate per le strutture che si ripetono nello spazio, come i reticoli di diffrazione, i cristalli fotonici, le celle unitarie dei metamateriali e le geometrie periodiche delle guide d’onda. Modellando solo una singola cella unitaria, è possibile ridurre notevolmente il costo computazionale, mantenendo comunque una rappresentazione del comportamento dell’intera struttura ripetuta, a condizione che la sorgente e la geometria siano coerenti con la periodicità assunta.Le condizioni al contorno periodiche sono comunemente utilizzate per le strutture che si ripetono nello spazio, come i reticoli di diffrazione, i cristalli fotonici, le celle unitarie dei metamateriali e le geometrie periodiche delle guide d’onda. Modellando solo una singola cella unitaria, è possibile ridurre notevolmente il costo computazionale, mantenendo comunque una rappresentazione del comportamento dell’intera struttura ripetuta, a condizione che la sorgente e la geometria siano coerenti con la periodicità assunta.

Quando si utilizzano confini periodici, i campi che escono da un lato del dominio di simulazione rientrano dal lato opposto. Di conseguenza, l’energia non viene assorbita, ma ricircola all’interno della cella di calcolo. Pertanto, i confini periodici non dovrebbero essere utilizzati per rappresentare uno spazio aperto. Se i confini periodici vengono applicati su tutte le facce della regione di simulazione, nessuna energia può uscire dal dominio e l’energia elettromagnetica totale può accumularsi nel tempo. In molte simulazioni FDTD pratiche, i confini periodici vengono quindi applicati nelle direzioni trasversali, mentre vengono utilizzati confini assorbenti, come i PML, nella direzione di propagazione.Quando si utilizzano confini periodici, i campi che escono da un lato del dominio di simulazione rientrano dal lato opposto. Di conseguenza, l’energia non viene assorbita, ma ricircola all’interno della cella di calcolo. Pertanto, i confini periodici non dovrebbero essere utilizzati per rappresentare uno spazio aperto. Se i confini periodici vengono applicati su tutte le facce della regione di simulazione, nessuna energia può uscire dal dominio e l’energia elettromagnetica totale può accumularsi nel tempo. In molte simulazioni FDTD pratiche, i confini periodici vengono quindi applicati nelle direzioni trasversali, mentre vengono utilizzati confini assorbenti, come i PML, nella direzione di propagazione.

Nel caso più generale, i campi periodici possono presentare una differenza di fase tra le celle adiacenti. Tale fenomeno è descritto dalla condizione di Bloch.Nel caso più generale, i campi periodici possono presentare una differenza di fase tra le celle adiacenti. Tale fenomeno è descritto dalla condizione di Bloch.

\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t)e^{ik_xL_x}, \] \[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t)e^{ik_xL_x}, \]

si può stabilire una relazione analoga per il campo magnetico. Le condizioni al contorno periodiche standard implementate in questo caso corrispondono al caso speciale \(k_x=0\), il che significa che i campi si ripetono in modo identico sulle facce opposte del dominio di simulazione.si può stabilire una relazione analoga per il campo magnetico. Le condizioni al contorno periodiche standard implementate in questo caso corrispondono al caso speciale \(k_x=0\), il che significa che i campi si ripetono in modo identico sulle facce opposte del dominio di simulazione.

5. Condizione al contorno di PML5. Condizione al contorno di PML

Lo strato perfettamente adattato (PML) è il metodo standard per creare un confine assorbente ad alte prestazioni, utilizzato nelle simulazioni FDTD moderne. Il suo scopo è quello di eliminare le onde elettromagnetiche in uscita, minimizzando la riflessione su un ampio intervallo di frequenze e per un'ampia gamma di angoli. Invece di imporre una formula di confine a gradino sul bordo esterno, il PML introduce un mezzo assorbente artificiale che circonda la regione fisica della simulazione. Le onde che entrano in questo strato subiscono un'attenuazione senza riscontrare una brusca variazione di impedenza all'interfaccia.Lo strato perfettamente adattato (PML) è il metodo standard per creare un confine assorbente ad alte prestazioni, utilizzato nelle simulazioni FDTD moderne. Il suo scopo è quello di eliminare le onde elettromagnetiche in uscita, minimizzando la riflessione su un ampio intervallo di frequenze e per un'ampia gamma di angoli. Invece di imporre una formula di confine a gradino sul bordo esterno, il PML introduce un mezzo assorbente artificiale che circonda la regione fisica della simulazione. Le onde che entrano in questo strato subiscono un'attenuazione senza riscontrare una brusca variazione di impedenza all'interfaccia.

L’idea fondamentale è che la PML sia adattata al mezzo interno nel piano di ingresso, in modo che un’onda in arrivo non incontri una discontinuità che genererebbe a sua volta una riflessione. Una volta all’interno dello strato, i campi elettromagnetici diminuiscono esponenzialmente. In forma continua, questo può essere interpretato attraverso un’estensione complessa delle coordinate, ad esempio.L’idea fondamentale è che la PML sia adattata al mezzo interno nel piano di ingresso, in modo che un’onda in arrivo non incontri una discontinuità che genererebbe a sua volta una riflessione. Una volta all’interno dello strato, i campi elettromagnetici diminuiscono esponenzialmente. In forma continua, questo può essere interpretato attraverso un’estensione complessa delle coordinate, ad esempio.

\[ x \;\rightarrow\; \int_0^x s_x(\xi)\,d\xi, \qquad s_x(\xi)=\kappa_x(\xi)+\frac{\sigma_x(\xi)}{j\omega\varepsilon_0}, \] \[ x \;\rightarrow\; \int_0^x s_x(\xi)\,d\xi, \qquad s_x(\xi)=\kappa_x(\xi)+\frac{\sigma_x(\xi)}{j\omega\varepsilon_0}, \]

con i corrispondenti fattori di allungamento nelle altre direzioni. In questo caso, \(\sigma_x\) rappresenta un profilo di conducibilità artificiale e \(\kappa_x\) è un fattore di scala utilizzato nelle formulazioni PML con coordinate allungate. L’effetto è che i campi elettromagnetici in propagazione vengono attenuati mentre attraversano lo strato, mantenendo al contempo un’approssimativa assenza di riflessioni all’interfaccia con il dominio fisico.con i corrispondenti fattori di allungamento nelle altre direzioni. In questo caso, \(\sigma_x\) rappresenta un profilo di conducibilità artificiale e \(\kappa_x\) è un fattore di scala utilizzato nelle formulazioni PML con coordinate allungate. L’effetto è che i campi elettromagnetici in propagazione vengono attenuati mentre attraversano lo strato, mantenendo al contempo un’approssimativa assenza di riflessioni all’interfaccia con il dominio fisico.

In OghmaNano, selezionando PML per una determinata faccia, si attiva questo strato assorbente sul lato corrispondente dell’area di simulazione. Il parametro associato alla profondità del PML definisce il numero di celle della griglia assegnate allo strato. In generale, un PML più spesso offre un’attenuazione maggiore, poiché il campo ha a disposizione una distanza maggiore per dissiparsi. Se il PML è troppo sottile, parte dell’energia può raggiungere il bordo esterno e riflettersi. Se è sufficientemente spesso, il campo in uscita viene attenuato fino a un valore trascurabile prima di raggiungere il bordo esterno.In OghmaNano, selezionando PML per una determinata faccia, si attiva questo strato assorbente sul lato corrispondente dell’area di simulazione. Il parametro associato alla profondità del PML definisce il numero di celle della griglia assegnate allo strato. In generale, un PML più spesso offre un’attenuazione maggiore, poiché il campo ha a disposizione una distanza maggiore per dissiparsi. Se il PML è troppo sottile, parte dell’energia può raggiungere il bordo esterno e riflettersi. Se è sufficientemente spesso, il campo in uscita viene attenuato fino a un valore trascurabile prima di raggiungere il bordo esterno.

Un modo pratico per comprendere la dipendenza dallo spessore è osservare che una componente del campo all’interno di un mezzo assorbente diminuisce approssimativamente secondo la seguente proporzione:Un modo pratico per comprendere la dipendenza dallo spessore è osservare che una componente del campo all’interno di un mezzo assorbente diminuisce approssimativamente secondo la seguente proporzione:

\[ E(d)\sim E(0)\exp(-\alpha d), \] \[ E(d)\sim E(0)\exp(-\alpha d), \]

dove \(d\) rappresenta la distanza percorsa all’interno del PML e \(\alpha\) è un coefficiente di attenuazione efficace, definito dalla variazione della conducibilità. Pertanto, aumentando il numero di celle del PML, si riduce l’ampiezza residua che raggiunge il limite esterno. In termini pratici, la profondità del PML dovrebbe essere sufficientemente ampia da rendere trascurabili le riflessioni provenienti dalla parte posteriore dello strato rispetto al segnale fisico di interesse.dove \(d\) rappresenta la distanza percorsa all’interno del PML e \(\alpha\) è un coefficiente di attenuazione efficace, definito dalla variazione della conducibilità. Pertanto, aumentando il numero di celle del PML, si riduce l’ampiezza residua che raggiunge il limite esterno. In termini pratici, la profondità del PML dovrebbe essere sufficientemente ampia da rendere trascurabili le riflessioni provenienti dalla parte posteriore dello strato rispetto al segnale fisico di interesse.

In genere, la PML (Perfectly Matched Layer) è la condizione al contorno preferita per le simulazioni aperte di sistemi fotonici ed elettromagnetici, tra cui la radiazione delle guide d’onda, la diffusione da oggetti isolati, l’emissione simile a quella di un’antenna e la propagazione di impulsi transitori. È molto più efficace delle semplici condizioni al contorno assorbenti quando i campi colpiscono il contorno in modo obliquo o contengono un ampio spettro di frequenze. Per questo motivo, la PML è la scelta predefinita in molti modelli FDTD (Finite-Difference Time-Domain) in cui si prevede che le onde escano dal dominio di calcolo.In genere, la PML (Perfectly Matched Layer) è la condizione al contorno preferita per le simulazioni aperte di sistemi fotonici ed elettromagnetici, tra cui la radiazione delle guide d’onda, la diffusione da oggetti isolati, l’emissione simile a quella di un’antenna e la propagazione di impulsi transitori. È molto più efficace delle semplici condizioni al contorno assorbenti quando i campi colpiscono il contorno in modo obliquo o contengono un ampio spettro di frequenze. Per questo motivo, la PML è la scelta predefinita in molti modelli FDTD (Finite-Difference Time-Domain) in cui si prevede che le onde escano dal dominio di calcolo.

Anche in presenza di un dominio a perfetta corrispondenza (PML), è comunque importante seguire le buone pratiche di modellazione. Lo strato assorbente non deve essere posizionato troppo vicino a una regione di campo fortemente evanescente o altamente risonante, poiché i campi prossimi non propaganti possono interagire con il materiale assorbente e alterare la soluzione. In generale, la struttura fisica deve essere separata dal PML da uno spazio libero sufficiente affinché l’onda in uscita si formi in modo chiaro. Utilizzato in questo modo, il PML fornisce l’approssimazione più accurata, nel contesto del metodo FDTD, di un dominio esterno aperto e non riflettente.Anche in presenza di un dominio a perfetta corrispondenza (PML), è comunque importante seguire le buone pratiche di modellazione. Lo strato assorbente non deve essere posizionato troppo vicino a una regione di campo fortemente evanescente o altamente risonante, poiché i campi prossimi non propaganti possono interagire con il materiale assorbente e alterare la soluzione. In generale, la struttura fisica deve essere separata dal PML da uno spazio libero sufficiente affinché l’onda in uscita si formi in modo chiaro. Utilizzato in questo modo, il PML fornisce l’approssimazione più accurata, nel contesto del metodo FDTD, di un dominio esterno aperto e non riflettente.