Simulação de espelhos DFB e redes de Bragg com o método da matriz de transferência de diferenças finitas.
Neste tutorial, utilizamos o solucionador de matriz de transferência por diferenças finitas da OghmaNano para simular a reflexão, a transmissão e a absorção ótica de um espelho de retroalimentação distribuída (DFB) ou de uma rede de Bragg. Estas estruturas utilizam uma modulação periódica do índice de refração para produzir uma reflexão forte e seletiva em comprimento de onda, através de dispersão distribuída coerente. No nosso tutorial anterior tutorial sobre filtros óticos, a estrutura ótica foi definida através da epitaxia do dispositivo; aqui, em vez disso, utilizamos a linguagem de script Lua para construir a rede diretamente, permitindo que sejam definidas configurações e geometrias óticas arbitrárias. O sistema de script é descrito com mais detalhes em editor de passos e documentação de script. Em seguida, analisamos como uma rede DFB de dois períodos determina os espectros resultantes de reflexão, transmissão e absorção.
1. Contexto
Ao contrário de um espelho metálico, que reflete a luz numa única superfície, um espelho DFB reflete a luz através de dispersões repetidas numa estrutura periódica (ver ??). Quando o período da estrutura satisfaz a condição de Bragg, as ondas refletidas combinam-se em fase, produzindo uma banda de reflexão forte, ou banda de interrupção. A posição e a largura desta banda são controladas principalmente pelo período da estrutura, pelo contraste do índice de refração e pelo número de períodos.
A faixa de reflexão de um espelho DFB está centrada no comprimento de onda de Bragg \(\lambda_B\), que é determinado pelo período da grelha \(\Lambda\) e pelo índice de refração efetivo \(n_{\text{eff}}\) do modo que se propaga através da estrutura.
\[ m\lambda_B = 2 n_{\text{eff}} \Lambda \]onde \(m\) é a ordem de difração. A intensidade da rede de difração é descrita pelo coeficiente de acoplamento \(\kappa\), que mede o grau de acoplamento entre as ondas que se propagam para a frente e para trás, devido à modulação do índice de refração \(\Delta n\). Para uma rede de difração com um perfil de índice de refração aproximadamente quadrado,
\[ \kappa \approx \frac{2\,\Delta n}{\lambda_B} \]O valor máximo de refletividade de uma rede uniforme de comprimento \(L\) pode então ser determinado pela teoria dos modos acoplados, sendo expresso por:
\[ R = \tanh^{2}(\kappa L) \]de modo que o aumento do contraste do índice ou do comprimento do gradiente leva a um aumento da refletividade, aproximando-a de 1. A largura da banda de rejeição varia em proporção ao coeficiente de acoplamento.
\[ \Delta\lambda \approx \frac{\lambda_B^{2}\,\kappa}{\pi\, n_{\text{eff}}} \]portanto, as estruturas de alto contraste produzem bandas de reflexão amplas e intensas, enquanto as estruturas de baixo contraste produzem bandas estreitas. Estas relações simples são suficientes para determinar a banda de interrupção e estimar a sua intensidade; é então necessária uma solução eletromagnética completa para captar a forma espectral detalhada, a ondulação e o comportamento fora da banda.
O método clássico da matriz de transferência assume uma pilha de camadas planas com periodicidade infinita. No entanto, os difratórios reais raramente apresentam uma periodicidade perfeita. Para lidar com estruturas arbitrárias, aperiódicas ou deliberadamente perturbadas — como o difratório de dois períodos simulado neste tutorial —, o OghmaNano projeta o formalismo da matriz de transferência numa grelha de diferenças finitas. A estrutura ótica é discretizada no espaço e a propagação dos campos direto e retrogrado é resolvida em cada seção da grelha. Esta abordagem da matriz de transferência com diferenças finitas mantém a eficiência e a estabilidade numérica do método clássico da matriz de transferência, permitindo simultaneamente simular qualquer distribuição espacial do índice de refração, incluindo difratórios com mais de um período, variação gradual, atenuação ou desordem incorporada.
2. Primeiros passos
Para iniciar o seu primeiro cálculo de reflexão DFB, abra a janela «Nova simulação» na faixa de opções «Ficheiro» no menu principal (veja ??). Selecione o grupo «Método da matriz de transferência» e clique duas vezes no exemplo de rede de Bragg (1D) (veja ??) e, em seguida, guarde a simulação numa pasta no seu disco. Em seguida, verá a janela principal (veja ?? e ??), que mostra uma rede de Bragg com dois períodos. O exemplo carrega uma rede de Bragg com dois períodos. O espaçamento entre as redes mais estreitas é de 140 nm, enquanto o espaçamento entre as redes ligeiramente mais largas é de 218 nm. A própria rede é feita de SiO2, enquanto o meio que a envolve é, neste exemplo, ar. Depois de a simulação ser aberta, pode examinar a estrutura na janela principal (veja ??).
3. Executar a simulação do DFB.
?? mostra o mesmo dispositivo, mas a partir de um ângulo ligeiramente diferente. Clique no botão «Executar simulação» (reproduzir) para calcular os espectros (veja ??); quando terminar, os resultados aparecerão no separador «Resultados» (veja ??). Ao clicar em «Executar simulação», o solucionador começa a percorrer o espectro ótico, calculando um comprimento de onda de cada vez (veja ??). Cada linha colorida no terminal (Solve optical slice at … nm) corresponde a um comprimento de onda diferente que está a ser calculado. Como descrito acima, o método utilizado aqui é, na prática, um método de matriz de transferência projetado numa grelha de diferenças finitas, o que permite tratar a rede de dois períodos arbitrários.
3. Análise dos resultados.
Após a execução da simulação, abra a guia «Resultados» (consulte ??) para visualizar os ficheiros gerados pelo cálculo. Os principais resultados utilizados neste tutorial são device.csv, a pasta optical_output e a pasta optical_snapshots. Comece por abrir device.csv (consulte ??). Isto mostra uma malha tridimensional do dispositivo, tal como é vista pelo solucionador, permitindo-lhe verificar se a geometria da grelha foi gerada e estruturada corretamente antes de analisar os resultados óticos.
Em seguida, clique duas vezes em «optical_output» para abrir o Editor de Simulação Óptica. O separador «Taxa de geração» (ver ??) mostra onde os fotões são absorvidos dentro da estrutura. As regiões com pouca ou nenhuma absorção correspondem principalmente ao ar circundante, enquanto uma absorção mais intensa ocorre dentro da grade.
O separador «Luz refletida» (ver ??) apresenta os comprimentos de onda que são refletidos pela grelha, com bandas de reflexão bem definidas, separadas por regiões de menor refletividade. O separador «Luz transmitida» (ver ??) apresenta o respetivo espetro de transmissão, com alta transmissão nas áreas onde a reflexão é baixa.
4. Edição dos materiais óticos
Os materiais óticos utilizados na estrutura difrativa podem ser inspecionados e alterados a partir do editor de Absorção, que é aberto na guia «Estrutura do dispositivo» na janela principal. Isso abre o editor de absorção (ver ?? e ??), que mostra o índice de refração \(n\) e os dados de absorção \(\alpha\) tanto do SiO2 que compõe a estrutura difrativa quanto do ar que a envolve. A guia «Objeto» (ver ??) exibe o material da própria estrutura difrativa (Oxides/SiO2), enquanto a guia «Ambiente» (ver ??) exibe o meio circundante (Generic/air). Aqui, pode alterar os materiais para os que desejar, clicando no botão «…» no campo «Material ótico».
5. Editar a estrutura da grelha.
Se clicar com o botão direito do rato na própria estrutura DFB, serão apresentadas algumas opções, incluindo o editor de malha e o editor de cristal (ver ??). Ao clicar no editor de malha (ver ??), são apresentadas as dimensões da própria caixa. É importante lembrar que o método da matriz de transferência é um método unidimensional, pelo que não é realmente relevante quais são as outras dimensões da estrutura — o único aspeto importante é a largura ao longo do eixo de propagação, não necessariamente as outras dimensões da caixa. Se estivesse a realizar uma simulação FDTD em duas dimensões, a outra dimensão seria mais importante.
Selecione o editor Crystal no mesmo menu (veja ??) para visualizar o script Lua utilizado para gerar a estrutura de difração. Em vez de definir cada elemento da estrutura de difração manualmente, a estrutura completa é construída de forma programática. Ao clicar em «Atualizar», o script é executado novamente e a geometria é regenerada. Neste exemplo, math.random introduz uma pequena variação posicional, de modo que a estrutura de difração muda ligeiramente a cada vez que é regenerada. Este efeito pode ser visto em ??, onde a geometria da estrutura de difração é atualizada a cada dois segundos para ilustrar a variação aleatória introduzida no período.
clear_points()
N = 200
radius = 1.5e-6
pitch = 3e-6
turns = 6
for i = 1, N do
t = (i / N) * turns * 2 * math.pi
-- first helix strand
x1 = radius * math.cos(t)
y1 = radius * math.sin(t)
z1 = (i / N) * turns * pitch
add_point(x1, y1, z1)
-- second helix strand offset by pi (opposite side)
x2 = radius * math.cos(t + math.pi)
y2 = radius * math.sin(t + math.pi)
add_point(x2, y2, z1)
end 
O script começa por eliminar todos os pontos gerados anteriormente e, em seguida, define os parâmetros que controlam a geometria. O ciclo principal for percorre a estrutura, um elemento de cada vez. Em cada iteração, o valor atual de i é utilizado para calcular as coordenadas da parte seguinte da geometria, e essas coordenadas são, então, adicionadas à estrutura, utilizando add_point(). Um segundo conjunto de coordenadas é calculado no mesmo ciclo para gerar o ponto correspondente no lado oposto. No exemplo da grelha DFB, a mesma ideia é utilizada para posicionar cada elemento da grelha em sequência. Ao alterar os parâmetros ou adicionar termos como math.random(), o script pode gerar diferentes períodos, dimensões ou variações controladas na grelha.
6. Escolher a direção da iluminação
Uma característica útil do OghmaNano é que o cálculo da matriz de transferência não se limita a uma única direção de propagação. Em muitas implementações, o cálculo é aplicado apenas ao longo da pilha de camadas, por exemplo, através da epitaxia do dispositivo. No OghmaNano, a direção da iluminação pode ser selecionada explicitamente, permitindo que a mesma estrutura seja simulada ao longo de qualquer um dos eixos principais.
Para escolher a direção da iluminação, abra a faixa de opções «Ótico» (consulte ??) e selecione «Fontes de luz» para abrir o editor de fontes de luz (consulte ??). Na guia «Configurar», utilize o campo «Iluminar a partir de» para selecionar x0, x1, y0, y1, z0 ou z1.
z0, com a fonte de luz numa das extremidades da grelha.
z1, com a fonte de luz deslocada para a extremidade oposta.Neste exemplo, alterar a iluminação de z0 (ver ??) para z1 (ver ??) simplesmente desloca a fonte de luz para o lado oposto da grade. Para esta estrutura recíproca, a resposta ótica é a mesma em ambos os sentidos, mas esta opção é útil ao estudar estruturas assimétricas ou ao comparar a propagação a partir de lados opostos.
7. Conclusão
Neste tutorial, utilizamos o OghmaNano para simular um espelho de retroalimentação distribuída (DFB) e uma rede de Bragg com o método da matriz de transferência de diferenças finitas. Aprendeu como gerar uma rede de dois períodos utilizando a linguagem de script Lua, introduzir aleatoriedade controlada para representar as tolerâncias de fabrico, executar o cálculo ótico e interpretar os espectros de reflexão, transmissão e absorção resultantes. Também viu como a direção da iluminação pode ser selecionada ao longo de qualquer um dos eixos principais, em vez de ser limitada a uma direção epitaxial fixa. Estas técnicas podem ser utilizadas para estudar espelhos laser DFB e DBR, redes de Bragg em fibra ótica, filtros óticos, espelhos dielétricos e outras estruturas fotónicas seletivas em comprimento de onda, bem como redes mais complexas que contêm múltiplos períodos, desordem ou geometrias personalizadas.