Simulation de miroirs DFB et de réseaux de Bragg à l’aide de la méthode de la matrice de transfert par différences finies.
Dans ce tutoriel, nous allons utiliser OghmaNanode solveur par la méthode des différences finies et la matrice de transfert pour simuler la réflexion, la transmission et l’absorption optique d’un… miroir à rétroaction distribuée ou réseau de BraggCes structures utilisent une modulation périodique de l’indice de réfraction pour produire une réflexion intense et sélective en fonction de la longueur d’onde, grâce à une diffusion cohérente et répartie. Dans nos travaux précédents, tutoriel sur les filtres optiquesla structure optique a été définie par épitaxie du dispositif ; dans le présent cas, nous utilisons plutôt Script Lua pour fabriquer la structure diffractante directement, ce qui permet de définir des configurations et des géométries optiques arbitraires. Le système de script est décrit plus en détail dans le éditeur d’étapes et documentation sur les scriptsNous allons ensuite étudier comment une structure à réseau de Bragg distribué sur deux périodes détermine les spectres de réflexion, de transmission et d’absorption obtenus.
1. Contexte
Contrairement à un miroir métallique, qui réfléchit la lumière à une seule interface, un miroir DFB réfléchit la lumière par diffusion répétée sur une structure périodique (voir ??). Lorsque la période du réseau satisfait la condition de Bragg, les ondes réfléchies s’additionnent en phase pour produire une bande de réflexion intense, ou une bande interdite. La position et la largeur de cette bande sont principalement contrôlées par la période du réseau, le contraste d’indice de réfraction et le nombre de périodes.
La bande de réflexion d’un miroir DFB est centrée sur la longueur d’onde de Bragg \(\lambda_B\), qui est déterminée par la période du réseau \(\Lambda\) et l’indice de réfraction effectif \(n_{\text{eff}}\) du mode se propageant dans la structure.
\[ m\lambda_B = 2 n_{\text{eff}} \Lambda \]où \(m\) représente l’ordre de diffraction. L’efficacité du réseau est décrite par le coefficient de couplage \(\kappa\), qui mesure l’intensité du couplage entre les ondes se propageant dans le sens direct et dans le sens inverse, ce couplage étant induit par la modulation de l’indice de réfraction \(\Delta n\). Pour un réseau dont le profil d’indice de réfraction est approximativement carré,
\[ \kappa \approx \frac{2\,\Delta n}{\lambda_B} \]La réflectivité maximale d’une grille uniforme de longueur \(L\) peut alors être déterminée à l’aide de la théorie des modes couplés, et elle est donnée par :
\[ R = \tanh^{2}(\kappa L) \]de sorte qu’en augmentant soit le contraste d’indice, soit la longueur du réseau, on augmente la réflectivité jusqu’à ce qu’elle atteigne l’unité. La largeur de la bande interdite est proportionnelle au coefficient de couplage.
\[ \Delta\lambda \approx \frac{\lambda_B^{2}\,\kappa}{\pi\, n_{\text{eff}}} \]Ainsi, les réseaux à fort contraste produisent des bandes de réflexion larges et intenses, tandis que les réseaux à faible contraste produisent des bandes étroites. Ces relations simples suffisent à déterminer la position de la bande interdite et à estimer son intensité ; une solution électromagnétique complète est ensuite nécessaire pour déterminer la forme spectrale détaillée, les ondulations et le comportement en dehors de la bande.
La méthode classique de la matrice de transfert suppose une pile de couches planes et infiniment périodiques. Or, dans la réalité, les réseaux de diffraction ne sont que rarement parfaitement périodiques. Pour prendre en compte des structures arbitraires, apériodiques ou délibérément perturbées – comme le réseau à deux périodes simulé dans ce tutoriel – OghmaNano projette le formalisme de la matrice de transfert sur une grille à différences finies. La structure optique est discrétisée dans l’espace, et la propagation des champs dans le sens direct et inverse est résolue étape par étape sur la grille. Cette approche de la matrice de transfert à différences finies conserve l’efficacité numérique et la stabilité de la méthode classique de la matrice de transfert, tout en permettant de simuler n’importe quelle distribution spatiale de l’indice de réfraction, y compris les réseaux de diffraction avec plus d’une période, les réseaux à modulation de fréquence, les réseaux à atténuation progressive ou les réseaux présentant un désordre intégré.
2. Premiers pas
Pour lancer votre première simulation de calcul de miroir DFB, ouvrez la fenêtre « Nouvelle simulation » dans le ruban « Fichier » du menu principal (voir ??). Accédez au groupe « Méthode de la matrice de transfert » et double-cliquez sur l’exemple de réseau de Bragg (1D) (voir ??), puis enregistrez la simulation dans un dossier de votre disque dur. Vous verrez alors la fenêtre principale (voir ?? et ??) affichant un réseau de Bragg à deux périodes. L’exemple charge un réseau de Bragg à deux périodes. L’espacement entre les réseaux les plus étroits est de 140 nm, tandis que l’espacement entre les réseaux légèrement plus larges est de 218 nm. Le réseau lui-même est constitué de SiO2, tandis que le milieu qui l’entoure est, dans cet exemple, de l’air. Une fois la simulation ouverte, vous pouvez examiner la structure dans la fenêtre principale (voir ??).
3. Lancer la simulation DFB.
?? présente le même dispositif, mais sous un angle légèrement différent. Cliquez sur le bouton « Lancer la simulation » pour calculer les spectres (voir ??) ; une fois le calcul terminé, les résultats s’affichent dans l’onglet « Résultats » (voir ??). Lorsque vous cliquez sur « Lancer la simulation », le solveur commence à parcourir le spectre optique, en calculant une longueur d’onde à la fois (voir ??). Chaque ligne colorée dans la fenêtre de sortie (Solve optical slice at … nm) correspond à une longueur d’onde différente en cours de calcul. Comme décrit ci-dessus, la méthode utilisée ici est en réalité une méthode de matrice de transfert projetée sur une grille de différences finies, ce qui permet de traiter une structure périodique à deux périodes arbitraires.
3. Analyse des résultats.
Une fois la simulation terminée, ouvrez l’onglet « Résultats » (voir ??) pour afficher les fichiers générés par le calcul. Les principaux fichiers utilisés dans ce tutoriel sont device.csv, le dossier optical_output et le dossier optical_snapshots. Commencez par ouvrir device.csv (voir ??). Cela affiche une représentation en maillage tridimensionnel du dispositif, telle qu’elle est perçue par le solveur, ce qui vous permet de vérifier que la géométrie du réseau de diffraction a été correctement générée et maillée avant d’examiner les résultats optiques.
Ensuite, double-cliquez sur « optical_output » pour ouvrir l’éditeur de simulation optique. L’onglet « Taux de génération » (voir ??) indique les zones où les photons sont absorbés dans la structure. Les zones où l’absorption est faible ou inexistante correspondent principalement à l’air ambiant, tandis qu’une absorption plus forte se produit à l’intérieur de la grille.
L’onglet « Lumière réfléchie » (voir ??) affiche les longueurs d’onde qui sont réfléchies par le réseau, avec des bandes de réflexion bien définies, séparées par des zones de faible réflectivité. L’onglet « Lumière transmise » (voir ??) affiche le spectre de transmission correspondant, avec une transmission élevée là où la réflexion est faible.
4. Modification des matériaux optiques
Les matériaux optiques utilisés pour le réseau peuvent être inspectés et modifiés à partir de l’éditeur d’absorption, qui s’ouvre à partir de l’onglet « Structure de l’appareil » dans la fenêtre principale. Cela ouvre l’éditeur d’absorption (voir ?? et ??), qui affiche l’indice de réfraction \(n\) et les données d’absorption \(\alpha\) du SiO2 constituant le réseau, ainsi que de l’air qui l’entoure. L’onglet « Objet » (voir ??) affiche le matériau du réseau lui-même (Oxides/SiO2), tandis que l’onglet « Environnement » (voir ??) affiche le milieu environnant (Generic/air). Vous pouvez modifier les matériaux en cliquant sur le bouton « … » dans le champ « Matériau optique » pour choisir ceux qui vous intéressent.
5. Modification de la structure de la grille.
Si vous faites un clic droit sur la structure DFB elle-même, plusieurs options s’offrent à vous, notamment l’éditeur de maillage et l’éditeur de cristaux (voir ??). En cliquant sur l’éditeur de maillage (voir ??), vous pouvez afficher les dimensions du volume lui-même. Il est important de se rappeler que la méthode de la matrice de transfert est une méthode unidimensionnelle, de sorte que les autres dimensions de la structure n’ont pas vraiment d’importance ; seule la largeur le long de l’axe de propagation est importante, et non nécessairement les autres dimensions du volume. Si vous utilisiez la méthode FDTD en deux dimensions, l’autre dimension serait plus importante.
Sélectionnez l’éditeur Crystal dans le même menu (voir ??) pour afficher le script Lua utilisé pour générer la structure de diffraction. Au lieu de définir manuellement chaque élément de la structure de diffraction, la structure complète est construite de manière programmatique. En cliquant sur « Actualiser », le script est relancé et la géométrie est régénérée. Dans cet exemple, math.random introduit une légère variation de position, de sorte que la structure de diffraction change légèrement à chaque régénération. Cet effet est visible dans ??, où la géométrie de la structure de diffraction est mise à jour toutes les deux secondes pour illustrer la variation aléatoire introduite dans la période.
clear_points()
N = 200
radius = 1.5e-6
pitch = 3e-6
turns = 6
for i = 1, N do
t = (i / N) * turns * 2 * math.pi
-- first helix strand
x1 = radius * math.cos(t)
y1 = radius * math.sin(t)
z1 = (i / N) * turns * pitch
add_point(x1, y1, z1)
-- second helix strand offset by pi (opposite side)
x2 = radius * math.cos(t + math.pi)
y2 = radius * math.sin(t + math.pi)
add_point(x2, y2, z1)
end 
Le script commence par supprimer tous les points précédemment générés, puis définit les paramètres qui contrôlent la géométrie. La boucle principale for parcourt la structure, en traitant chaque position une par une. À chaque itération, la valeur actuelle de i est utilisée pour calculer les coordonnées de la partie suivante de la géométrie, et ces coordonnées sont ensuite ajoutées à la structure à l’aide de add_point(). Un deuxième ensemble de coordonnées est calculé dans la même boucle afin de générer le point correspondant sur le côté opposé. Dans l’exemple de la grille DFB, la même approche est utilisée pour placer chaque élément de la grille en séquence. En modifiant les paramètres ou en ajoutant des termes tels que math.random(), le script peut générer différentes périodes, dimensions ou variations contrôlées dans la grille.
6. Choisir la direction de l’éclairage.
Une caractéristique intéressante d’OghmaNano est que le calcul de la matrice de transfert n’est pas limité à une seule direction de propagation. Dans de nombreuses implémentations, le calcul est appliqué uniquement le long de la pile de couches, par exemple lors de la croissance épitaxiale du dispositif. Dans OghmaNano, la direction de l’illumination peut être sélectionnée explicitement, ce qui permet de simuler la même structure le long de n’importe lequel des axes principaux.
Pour choisir la direction de l’éclairage, ouvrez l’onglet « Optique » (voir ??) et sélectionnez « Sources de lumière » pour ouvrir l’éditeur de sources de lumière (voir ??). Dans l’onglet « Configuration », utilisez le champ « Éclairer à partir de » pour sélectionner x0, x1, y0, y1, z0 ou z1.
z0, la source lumineuse étant située à une extrémité de la grille.
z1, la source lumineuse ayant été déplacée à l’extrémité opposée.Dans cet exemple, en modifiant l’éclairage en passant de z0 (voir ??) à z1 (voir ??), on déplace simplement la source lumineuse vers le côté opposé de la grille. Pour cette structure réciproque, la réponse optique est la même, quelle que soit la direction, mais cette option est utile pour étudier les structures asymétriques ou pour comparer la propagation à partir de côtés opposés.
7. Conclusion
Dans ce tutoriel, nous avons utilisé OghmaNano pour simuler un miroir à contre-réaction distribuée (DFB) et une grille de Bragg à l’aide de la méthode de la matrice de transfert par différences finies. Vous avez appris à générer une grille à deux périodes à l’aide du langage de script Lua, à introduire une aléatoire contrôlée pour représenter les tolérances de fabrication, à exécuter le calcul optique et à interpréter les spectres de réflexion, de transmission et d’absorption obtenus. Vous avez également vu comment la direction de l’éclairage peut être sélectionnée le long de n’importe lequel des axes principaux, plutôt que d’être limitée à une direction épitaxiale fixe. Ces techniques peuvent être utilisées pour étudier les miroirs laser DFB et DBR, les grilles de Bragg en fibre optique, les filtres optiques, les miroirs diélectriques et d’autres structures photoniques sélectives en longueur d’onde, ainsi que des grilles plus complexes contenant plusieurs périodes, un désordre ou des géométries personnalisées.