Προσομοίωση ανακλαστήρων DFB και πλεγμάτων Bragg με τη μέθοδο της μήτρας μεταφοράς πεπερασμένων διαφορών.
Σε αυτό το εκπαιδευτικό πρόγραμμα, χρησιμοποιούμε τον επιλυτή της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών και της μήτρας μεταφοράς του OghmaNano για να προσομοιώσουμε την ανάκλαση, τη μετάδοση και την οπτική απορρόφηση ενός διανεμημένου ανακλαστικού καθρέφτη (DFB) ή ενός πλέγματος Bragg. Αυτές οι δομές χρησιμοποιούν μια περιοδική διαμόρφωση του δείκτη διάθλασης για να παράγουν ισχυρή, επιλεκτική ανάκλαση ως προς το μήκος κύματος μέσω συνεκτικής διανεμημένης σκέδασης. Στο προηγούμενο εκπαιδευτικό πρόγραμμα για οπτικά φίλτρα, η οπτική δομή οριζόταν μέσω της επιταξίας της συσκευής· εδώ, αντίθετα, χρησιμοποιούμε τη γλώσσα σεναρίων Lua για να κατασκευάσουμε απευθείας το πλέγμα, επιτρέποντας τον ορισμό αυθαίρετων οπτικών στοιβών και γεωμετριών. Το σύστημα σεναρίων περιγράφεται με περισσότερες λεπτομέρειες στην τεκμηρίωση για τον επεξεργαστή βημάτων και τα σενάρια. Στη συνέχεια, εξετάζουμε πώς ένα πλέγμα DFB με δύο περιόδους καθορίζει τα προκύπτοντα φάσματα ανάκλασης, μετάδοσης και απορρόφησης.
1. Ιστορικό
Σε αντίθεση με έναν μεταλλικό καθρέφτη, ο οποίος ανακλά το φως σε μία μόνο επιφάνεια, ένας καθρέφτης DFB ανακλά το φως μέσω επαναλαμβανόμενης σκέδασης από μια περιοδική δομή (βλ. ??). Όταν η περίοδος της περιοδικής δομής ικανοποιεί τη συνθήκη του Bragg, τα ανακλώμενα κύματα προστίθενται σε φάση, δημιουργώντας μια ισχυρή ζώνη ανάκλασης ή ζώνη αποκοπής. Η θέση και το πλάτος αυτής της ζώνης ελέγχονται κυρίως από την περίοδο της περιοδικής δομής, την αντίθεση του δείκτη διάθλασης και τον αριθμό των περιόδων.
Η ζώνη ανάκλασης ενός καθρέφτη DFB είναι κεντραρισμένη στο μήκος κύματος Bragg \(\lambda_B\), το οποίο καθορίζεται από την περίοδο της σχηματογραφίας \(\Lambda\) και τον αποτελεσματικό δείκτη διάθλασης \(n_{\text{eff}}\) της διαδιδόμενης διαμόρφωσης μέσω της δομής.
\[ m\lambda_B = 2 n_{\text{eff}} \Lambda \]όπου \(m\) είναι η διάταξη περίθλασης. Η ισχύς της διαθλαστικής σχάρας περιγράφεται από τον συντελεστή σύζευξης \(\kappa\), ο οποίος μετρά πόσο έντονα συνδέονται τα κύματα που διαδίδονται προς τα εμπρός και προς τα πίσω μέσω της μεταβολής του δείκτη διάθλασης \(\Delta n\). Για μια διαθλαστική σχάρα με περίπου τετραγωνικό προφίλ δείκτη διάθλασης,
\[ \kappa \approx \frac{2\,\Delta n}{\lambda_B} \]Η μέγιστη ανακλαστικότητα ενός ομογενούς πλέγματος μήκους \(L\) προκύπτει από τη θεωρία των συζευγμένων τρόπων ως εξής:
\[ R = \tanh^{2}(\kappa L) \]ώστε η αύξηση είτε της αντίθεσης του δείκτη διάθλασης είτε του μήκους της περιοδικής δομής να αυξάνει την ανακλαστικότητα προς τη μονάδα. Το εύρος της ζώνης αποκοπής κλιμακώνεται με τον συντελεστή σύζευξης.
\[ \Delta\lambda \approx \frac{\lambda_B^{2}\,\kappa}{\pi\, n_{\text{eff}}} \]έτσι, οι πλέγματα με υψηλή αντίθεση παράγουν ευρείες και ισχυρές ζώνες ανάκλασης, ενώ τα πλέγματα με χαμηλή αντίθεση παράγουν στενές ζώνες. Αυτές οι απλές σχέσεις είναι αρκετές για να προσδιοριστεί η ζώνη αποκοπής και να εκτιμηθεί η έντασή της· στη συνέχεια, απαιτείται μια πλήρης ηλεκτρομαγνητική λύση για να αποτυπωθεί η λεπτομερής φασματική μορφή, η κυματιστή συμπεριφορά και η συμπεριφορά εκτός ζώνης.
Η κλασική μέθοδος της μήτρας μεταφοράς υποθέτει μια στοίβα από επίπεδες, άπειρα περιοδικές στρώσεις. Στην πραγματικότητα, ωστόσο, τα πλέγματα σπάνια είναι τέλεια περιοδικά. Για να αντιμετωπιστούν αυθαίρετες, μη περιοδικές ή σκόπιμα διαταραγμένες δομές — όπως το πλέγμα δύο περιόδων που προσομοιώνεται σε αυτό το εκπαιδευτικό πρόγραμμα — το OghmaNano προβάλλει τον φορμαλισμό της μήτρας μεταφοράς σε ένα πλέγμα πεπερασμένων διαφορών. Η οπτική δομή διακριτοποιείται στον χώρο και η προς τα εμπρός και προς τα πίσω διάδοση του πεδίου επιλύεται τμηματικά σε όλο το πλέγμα. Αυτή η προσέγγιση της μήτρας μεταφοράς πεπερασμένων διαφορών διατηρεί τη αριθμητική απόδοση και τη σταθερότητα της κλασικής μεθόδου της μήτρας μεταφοράς, ενώ παράλληλα επιτρέπει την προσομοίωση οποιασδήποτε χωρικής κατανομής του δείκτη διάθλασης, συμπεριλαμβανομένων πλεγμάτων με περισσότερες από μία περιόδους, μεταβολή της περιόδου, αποδιαμόρφωση ή ενσωματωμένη διαταραχή.
2. Ξεκινώντας
Για να ξεκινήσετε την πρώτη σας προσομοίωση DFB, ανοίξτε το παράθυρο "Νέα προσομοίωση" από την καρτέλα "Αρχείο" στο κύριο μενού (δείτε ??). Επιλέξτε την ομάδα "Μέθοδος μεταφοράς" και κάντε διπλό κλικ στο παράδειγμα "Διαταρακτική σχάρα Bragg (1D)" (δείτε ??), και στη συνέχεια αποθηκεύστε την προσομοίωση σε έναν φάκελο στον δίσκο σας. Στη συνέχεια, θα δείτε το κύριο παράθυρο (δείτε ?? και ??) που εμφανίζει μια διαταρακτική σχάρα Bragg με δύο περιόδους. Το παράδειγμα φορτώνει μια διαταρακτική σχάρα Bragg με δύο περιόδους. Η απόσταση μεταξύ των στενότερων σχαρών είναι 140 nm, ενώ η απόσταση μεταξύ των ελαφρώς ευρύτερων σχαρών είναι 218 nm. Η ίδια η σχάρα είναι κατασκευασμένη από SiO2, ενώ το μέσο που την περιβάλλει, σε αυτό το παράδειγμα, είναι ο αέρας. Αφού ανοίξει η προσομοίωση, μπορείτε να επιθεωρήσετε τη δομή στο κύριο παράθυρο (δείτε ??).
3. Εκτέλεση της προσομοίωσης DFB.
Το ?? δείχνει την ίδια συσκευή από μια ελαφρώς διαφορετική οπτική γωνία. Κάντε κλικ στο κουμπί "Εκτέλεση προσομοίωσης" για να υπολογίσετε τα φάσματα (δείτε ??). Όταν ολοκληρωθεί η διαδικασία, τα αποτελέσματα εμφανίζονται στην καρτέλα "Έξοδος" (δείτε ??). Όταν κάνετε κλικ στο "Εκτέλεση προσομοίωσης", ο επιλυτής αρχίζει να διατρέχει το οπτικό φάσμα, υπολογίζοντας ένα μήκος κύματος κάθε φορά (δείτε ??). Κάθε έγχρωμη γραμμή στο τερματικό (Solve optical slice at … nm) αντιστοιχεί σε ένα διαφορετικό μήκος κύματος που υπολογίζεται. Όπως περιγράφεται παραπάνω, η μέθοδος που χρησιμοποιείται εδώ είναι ουσιαστικά μια μέθοδος μεταφοράς πινάκων που προβάλλεται σε ένα πλέγμα πεπερασμένων διαφορών, γεγονός που επιτρέπει την επεξεργασία της αυθαίρετης διπεριοδικής διαθλαστικής σχάρας.
3. Εξέταση του αποτελέσματος.
Αφού ολοκληρωθεί η προσομοίωση, ανοίξτε την καρτέλα "Έξοδος" (δείτε ??) για να δείτε τα αρχεία που δημιουργήθηκαν από τον υπολογισμό. Οι κύριες έξοδοι που χρησιμοποιούνται σε αυτό το σεμινάριο είναι το device.csv, ο φάκελος optical_output και ο φάκελος optical_snapshots. Ξεκινήστε ανοίγοντας το device.csv (δείτε ??). Αυτό εμφανίζει ένα τρισδιάστατο πλέγμα της συσκευής, όπως το βλέπει ο επιλυτής, επιτρέποντάς σας να ελέγξετε ότι η γεωμετρία της διαθλαστικής σχάρας έχει δημιουργηθεί και πλέξει σωστά, πριν εξετάσετε τα οπτικά αποτελέσματα.
Στη συνέχεια, κάντε διπλό κλικ στο optical_output για να ανοίξετε τον Επεξεργαστή Οπτικής Προσομοίωσης. Η καρτέλα "Ρυθμός δημιουργίας" (δείτε ??) δείχνει πού απορροφώνται τα φωτόνια εντός της δομής. Οι περιοχές με μικρή ή καθόλου απορρόφηση αντιστοιχούν κυρίως στον περιβάλλοντα αέρα, ενώ ισχυρότερη απορρόφηση συμβαίνει εντός της διαθλαστικής σχάρας.
Η καρτέλα «Ανακλώμενο φως» (δείτε ??) εμφανίζει τα μήκη κύματος που ανακλώνται από την οπτική σχάρα, με διακριτές ζώνες ανάκλασης που διαχωρίζονται από περιοχές χαμηλότερης ανακλαστικότητας. Η καρτέλα «Διαπερατό φως» (δείτε ??) εμφανίζει το αντίστοιχο φάσμα μετάδοσης, με υψηλή μετάδοση στις περιοχές όπου η ανάκλαση είναι χαμηλή.
4. Επεξεργασία των οπτικών υλικών.
Τα οπτικά υλικά που χρησιμοποιούνται από την περίθλαση μπορούν να ελεγχθούν και να τροποποιηθούν από τον επεξεργαστή απορρόφησης, ο οποίος ανοίγει από την καρτέλα "Δομή συσκευής" στο κύριο παράθυρο. Αυτό ανοίγει τον επεξεργαστή απορρόφησης (δείτε ?? και ??), ο οποίος εμφανίζει τον δείκτη διάθλασης \(n\) και τα δεδομένα απορρόφησης \(\alpha\) τόσο του SiO2 που αποτελεί την περίθλαση όσο και του αέρα που την περιβάλλει. Η καρτέλα "Αντικείμενο" (δείτε ??) εμφανίζει το υλικό της ίδιας της περίθλασης (Oxides/SiO2), ενώ η καρτέλα "Περιβάλλον" (δείτε ??) εμφανίζει το περιβάλλον μέσο (Generic/air). Εδώ μπορείτε να αλλάξετε τα υλικά σε όποια επιθυμείτε, κάνοντας κλικ στο κουμπί "..." στο πεδίο "Οπτικό υλικό".
5. Επεξεργασία της δομής της σχάρας.
Εάν κάνετε δεξί κλικ στην ίδια τη δομή DFB, θα εμφανιστούν μερικές επιλογές, συμπεριλαμβανομένου του επεξεργαστή πλέγματος και του επεξεργαστή κρυστάλλου (δείτε ??). Κάνοντας κλικ στον επεξεργαστή πλέγματος (δείτε ??), εμφανίζονται οι διαστάσεις του ίδιου του κουτιού. Πρέπει να θυμόμαστε ότι η μέθοδος της μεταφορικής μήτρας είναι μια μονοδιάστατη μέθοδος, επομένως δεν έχει μεγάλη σημασία ποιες είναι οι άλλες διαστάσεις της δομής – το μόνο που έχει σημασία είναι το πλάτος κατά μήκος του άξονα διάδοσης, και όχι απαραίτητα οι άλλες διαστάσεις του κουτιού. Εάν εκτελούσατε FDTD σε δύο διαστάσεις, η άλλη διάσταση θα ήταν πιο σημαντική.
Επιλέξτε τον επεξεργαστή Crystal από το ίδιο μενού (δείτε ??) για να δείτε το σενάριο Lua που χρησιμοποιείται για τη δημιουργία της δομής της διαθλαστικής σχάρας. Αντί να ορίζετε κάθε στοιχείο της διαθλαστικής σχάρας χειροκίνητα, ολόκληρη η δομή κατασκευάζεται προγραμματιστικά. Κάνοντας κλικ στην επιλογή "Ανανέωση", εκτελείται ξανά το σενάριο και αναδημιουργείται η γεωμετρία. Σε αυτό το παράδειγμα, το math.random εισάγει μια μικρή μεταβολή στη θέση, έτσι ώστε η διαθλαστική σχάρα να αλλάζει ελαφρώς κάθε φορά που αναδημιουργείται. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να παρατηρηθεί στο ??, όπου η γεωμετρία της διαθλαστικής σχάρας ενημερώνεται κάθε δύο δευτερόλεπτα για να απεικονίσει την τυχαία μεταβολή που εισάγεται στην περίοδο.
clear_points()
N = 200
radius = 1.5e-6
pitch = 3e-6
turns = 6
for i = 1, N do
t = (i / N) * turns * 2 * math.pi
-- first helix strand
x1 = radius * math.cos(t)
y1 = radius * math.sin(t)
z1 = (i / N) * turns * pitch
add_point(x1, y1, z1)
-- second helix strand offset by pi (opposite side)
x2 = radius * math.cos(t + math.pi)
y2 = radius * math.sin(t + math.pi)
add_point(x2, y2, z1)
end 
Το σενάριο ξεκινά διαγράφοντας τυχόν προηγουμένως δημιουργημένα σημεία και στη συνέχεια ορίζει τις παραμέτρους που ελέγχουν τη γεωμετρία. Η κύρια επανάληψη for διατρέχει τη δομή, βήμα προς βήμα. Σε κάθε επανάληψη, η τρέχουσα τιμή του i χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του επόμενου τμήματος της γεωμετρίας, και αυτές οι συντεταγμένες στη συνέχεια προστίθενται στη δομή χρησιμοποιώντας το add_point(). Ένα δεύτερο σύνολο συντεταγμένων υπολογίζεται εντός της ίδιας επανάληψης για να δημιουργηθεί το αντίστοιχο σημείο στην αντίθετη πλευρά. Στο παράδειγμα της διαθλαστικής σχάρας DFB, η ίδια ιδέα χρησιμοποιείται για την τοποθέτηση κάθε στοιχείου της σχάρας με τη σειρά. Αλλάζοντας τις παραμέτρους ή προσθέτοντας όρους όπως το math.random(), το σενάριο μπορεί να δημιουργήσει διαφορετικές περιόδους, διαστάσεις ή ελεγχόμενες παραλλαγές στη σχάρα.
6. Επιλογή της κατεύθυνσης του φωτισμού.
Ένα χρήσιμο χαρακτηριστικό του OghmaNano είναι ότι ο υπολογισμός της μήτρας μεταφοράς δεν περιορίζεται σε μία μόνο κατεύθυνση διάδοσης. Σε πολλές υλοποιήσεις, ο υπολογισμός εφαρμόζεται μόνο κατά μήκος της στοίβας των στρώσεων, για παράδειγμα, κατά μήκος της επιταξίας της συσκευής. Στο OghmaNano, η κατεύθυνση της φωτεινής δέσμης μπορεί να επιλεγεί ρητά, επιτρέποντας την προσομοίωση της ίδιας δομής κατά μήκος οποιουδήποτε από τους κύριους άξονες.
Για να επιλέξετε την κατεύθυνση του φωτισμού, ανοίξτε την καρτέλα "Οπτικά" (δείτε ??) και επιλέξτε "Πηγές Φωτός" για να ανοίξετε τον επεξεργαστή πηγών φωτός (δείτε ??). Στην καρτέλα "Ρυθμίσεις", χρησιμοποιήστε το πεδίο "Φωτισμός από" για να επιλέξετε x0, x1, y0, y1, z0 ή z1.
z0, με την πηγή φωτός στο ένα άκρο της σχάρας.
z1, με την πηγή φωτός να έχει μεταφερθεί στην αντίθετη άκρη.Σε αυτό το παράδειγμα, η αλλαγή του φωτισμού από z0 (βλ. ??) σε z1 (βλ. ??) απλώς μετακινεί την πηγή φωτός στην αντίθετη πλευρά της διαθλαστικής σχάρας. Για αυτή τη συμμετρική δομή, η οπτική απόκριση είναι η ίδια και από τις δύο κατευθύνσεις, αλλά η επιλογή αυτή είναι χρήσιμη κατά τη μελέτη ασύμμετρων δομών ή κατά τη σύγκριση της διάδοσης από τις αντίθετες πλευρές.
7. Συμπέρασμα
Σε αυτό το εκπαιδευτικό πρόγραμμα, χρησιμοποιήσαμε το OghmaNano για να προσομοιώσουμε έναν κατανεμημένο ανακλαστικό καθρέφτη (DFB) και μια σχηματισμένη πλέγμα Bragg με τη μέθοδο της μεταφοράς μήτρας πεπερασμένων διαφορών. Μάθατε πώς να δημιουργείτε μια πλέγμα δύο περιόδων χρησιμοποιώντας σενάρια Lua, να εισάγετε ελεγχόμενη τυχαιότητα για να αναπαραστήσετε τις ανοχές κατασκευής, να εκτελέσετε τον οπτικό υπολογισμό και να ερμηνεύσετε τα προκύπτοντα φάσματα ανάκλασης, μετάδοσης και απορρόφησης. Επίσης, είδατε πώς η κατεύθυνση της φωτεινής δέσμης μπορεί να επιλεγεί κατά μήκος οποιουδήποτε από τους κύριους άξονες, αντί να περιορίζεται σε μια σταθερή επιταξιακή κατεύθυνση. Αυτές οι τεχνικές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη καθρεφτών λέιζερ DFB και DBR, σχηματισμένων πλεγμάτων Bragg σε οπτικές ίνες, οπτικών φίλτρων, διηλεκτρικών καθρεφτών και άλλων φωτονικών δομών που επιλέγουν μήκη κύματος, καθώς και πιο σύνθετων πλεγμάτων που περιέχουν πολλαπλές περιόδους, αταξία ή προσαρμοσμένες γεωμετρίες.