Θεωρία της μεθόδου της μήτρας μετασχηματισμού.
1. Εισαγωγή
Σε αυτή τη σελίδα, παρουσιάζουμε την εξαγωγή της μεθόδου της μήτρας μεταφοράς (TMM) για πολυεπίπεδες διηλεκτρικές δομές, όπως φαίνεται στην εικόνα ??. Τέτοιες πολυεπίπεδες δομές μοιάζουν με τις οπτικές στοίβες που βρίσκονται σε OLED, λεπτές ηλιακές κυψέλες και οπτικές επιστρώσεις, όπου τα μεμονωμένα πάχη των στρώσεων είναι συγκρίσιμα με το μήκος κύματος του φωτός, συνήθως κυμαίνονται από εκατοντάδες νανόμετρα έως αρκετά μικρόμετρα. Υπό αυτές τις συνθήκες, η οπτική συμβολή, η ανάκλαση και η απορρόφηση επηρεάζουν σημαντικά την απόδοση της συσκευής και, ως εκ τούτου, πρέπει να αντιμετωπιστούν χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις του Maxwell και την κυματική οπτική αντί για την απλή οπτική ακτίνων. Για μια ευρύτερη εισαγωγή στη μέθοδο της μήτρας μεταφοράς και τις εφαρμογές της στην οπτική μοντελοποίηση, δείτε Τι είναι η μέθοδος της μήτρας μεταφοράς;. Για έναν πρακτικό, βήμα προς βήμα οδηγό που δείχνει πώς να χρησιμοποιήσετε το οπτικό μοντέλο της μήτρας μεταφοράς στο OghmaNano, δείτε Οπτικό μοντέλο της μήτρας μεταφοράς.
2. Παραγωγή
Λαμβάνοντας υπόψη τη διεπαφή μεταξύ των στρωμάτων 1 και 2 στην εικόνα ??, το ηλεκτρικό πεδίο στην αριστερή πλευρά της διεπαφής δίνεται από:
\begin{equation} E_{1}=E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \label{eq:efield1} \end{equation}και στη δεξιά πλευρά της διεπαφής, το ηλεκτρικό πεδίο δίνεται από:
\begin{equation} E_{2}=E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \label{eq:efield2} \end{equation}Οι εξισώσεις του Μάξγουελ δίνουν τη σχέση μεταξύ των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων για ένα επίπεδο κύμα.
\begin{equation} \nabla \times \mathbf{E}=-j\omega \mu \mathbf{H} \end{equation}το οποίο σε μία διάσταση απλοποιείται σε
\begin{equation} \frac{\partial E} {\partial z}=-j\omega \mu H \label{eq:maxwell} \end{equation}Εφαρμόζοντας την εξίσωση \eqref{eq:maxwell} στις εξισώσεις \eqref{eq:efield1} και \eqref{eq:efield2}, λαμβάνουμε το μαγνητικό πεδίο στην αριστερή πλευρά της διεπιφάνειας.
\begin{equation} -j \mu \omega H^{y}_{1}=-j k_1 E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+j k_1 E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \end{equation}και στην δεξιά πλευρά της διεπαφής.
\begin{equation} -j \mu \omega H^{y}_{2}=-j k_2 E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+j k_2 E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \end{equation}Το να τακτοποιείς δίνει,
\begin{equation} H^{y}_{1}=\frac{k_1}{\omega \mu}E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}-\frac{k_1}{\omega \mu} E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \end{equation} \begin{equation} H^{y}_{2}=\frac{k_2}{\omega \mu}E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}-\frac{k_2}{\omega \mu} E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \end{equation}3. Οριακές συνθήκες
Εφαρμόζουμε τώρα τις οριακές συνθήκες για τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία.
\begin{equation} \mathbf{n} \times (\mathbf{E_2}-\mathbf{E_1})=0 \end{equation} \begin{equation} \mathbf{n} \times (\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})=0 \end{equation}Η αξιολόγηση των πεδίων στη διασύνδεση \(z=0\) δίνει
\begin{equation} (E_{2}^{+}+E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}+E_{1}^{-})=0 \label{eq:electric_boundary} \end{equation}και
\begin{equation} \frac{k_2}{\omega \mu}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - \frac{k_1}{\omega \mu}(E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \end{equation}Ο διανυσματικός αριθμός κύματος δίνεται από:
\begin{equation} k=\frac{2\pi n}{\lambda} \end{equation}Επομένως, μπορούμε να γράψουμε την μαγνητική συνοριακή συνθήκη ως εξής:
\begin{equation} n_2 (E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - n_1 (E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \label{eq:mag_boundary} \end{equation}4. Κύμα που διαδίδεται προς τα εμπρός.
Αναδιατάσσοντας την εξίσωση \eqref{eq:mag_boundary}, παίρνουμε:
\begin{equation} E_{1}^{-} = E_{1}^{+} - \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation}Αντικαθιστώντας στην εξίσωση \eqref{eq:electric_boundary}, παίρνουμε:
\begin{equation} E_{2}^{+}+E_{2}^{-} = E_{1}^{+}+E_{1}^{+} - \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{+} = E_{2}^{+}+E_{2}^{-} + \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{+}\frac{n_1}{n_1+n_2} = E_{2}^{+} + E_{2}^{-}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \end{equation}5. Κυματική διαταραχή που διαδίδεται προς τα πίσω.
Αναδιατάξτε την εξίσωση \eqref{eq:mag_boundary} ώστε να προκύψει:
\begin{equation} E_{1}^{+}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation}Αντικαθιστώντας στην εξίσωση \eqref{eq:electric_boundary}, προκύπτει:
\begin{equation} E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})+E_{1}^{-} \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{-}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}- \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{-}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}+E_{2}^{-} \end{equation}Αυτές οι εξισώσεις γίνονται:
\begin{equation} E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}+E_{2}^{-} \end{equation}και
\begin{equation} E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}r_{12} \end{equation}Λαμβάνοντας υπόψη τη διάδοση, μπορούμε να γράψουμε.
\begin{equation} E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}r_{12}e^{-\zeta_2 d_1} \end{equation}και
\begin{equation} E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}e^{-\zeta_2 d_1} \end{equation}πού
\begin{equation} \zeta=\frac{2\pi}{\lambda} \bar{n} \end{equation}6. Εφαρμογή της μεθόδου της μεταφορικής μήτρας.
Η μέθοδος της μήτρας μεταφοράς μπορεί πλέον να εφαρμοστεί γράφοντας τα οπτικά πεδία σε κάθε στρώση ως ένα διάνυσμα που περιέχει τις κυματικές συναρτήσεις που διαδίδονται προς τα εμπρός και προς τα πίσω. Στη συνέχεια, η πολυστρωματική οπτική στοίβα επιλύεται επαναλαμβάνοντας την πολλαπλασιασμό μικρών μητρών που περιγράφουν τη διάδοση μέσω κάθε στρώσης και την ανάκλαση/διαπερατότητα σε κάθε διεπιφάνεια. Αυτή η προσέγγιση είναι υπολογιστικά αποδοτική και απαιτεί μόνο απλές πράξεις πολλαπλασιασμού μητρών, καθιστώντας την εύκολη στην αριθμητική εφαρμογή.
Το οπτικό πεδίο στο στρώμα \(i\) εκφράζεται ως εξής:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+} \\ E_i^{-} \end{pmatrix} \end{equation}όπου \(E_i^{+}\) και \(E_i^{-}\) είναι τα κύματα που διαδίδονται προς τα εμπρός και προς τα πίσω, αντίστοιχα.
Σε κάθε διεπιφάνεια, οι συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης Fresnel δίνονται από:
\begin{equation} r_{ij}=\frac{n_i-n_j}{n_i+n_j}, \qquad t_{ij}=\frac{2n_i}{n_i+n_j} \end{equation}Η διεπαφή μεταξύ των στρωμάτων \(i\) και \(j\) μπορεί επομένως να γραφτεί ως εξής:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+} \\ E_i^{-} \end{pmatrix} = \frac{1}{t_{ij}} \begin{pmatrix} 1 & r_{ij} \\ r_{ij} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_j^{+} \\ E_j^{-} \end{pmatrix} \end{equation}Η διάδοση μέσω ενός στρώματος πάχους \(d_i\) περιγράφεται από:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+}(z+d_i) \\ E_i^{-}(z+d_i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{\zeta_i d_i} & 0 \\ 0 & e^{-\zeta_i d_i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_i^{+}(z) \\ E_i^{-}(z) \end{pmatrix} \end{equation}πού
\begin{equation} \zeta_i=\frac{2\pi \bar{n}_i}{\lambda} \end{equation}Η μήτρα μεταφοράς για μια μεμονωμένη στρώση προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό της μήτρας διεπιφάνειας με τη μήτρα διάδοσης.
\begin{equation} M_i= \frac{1}{t_{ij}} \begin{pmatrix} 1 & r_{ij} \\ r_{ij} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\zeta_i d_i} & 0 \\ 0 & e^{-\zeta_i d_i} \end{pmatrix} \end{equation}Η οπτική απόκριση της πλήρους πολυεπίπεδης διάταξης λαμβάνεται στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας τις μήτρες μεταξύ τους.
\begin{equation} M=M_1M_2M_3 \cdots M_n \end{equation}ώστε να, με τέτοιο τρόπο ώστε, έτσι ώστε
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_0^{+} \\ E_0^{-} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} E_n^{+} \\ E_n^{-} \end{pmatrix} \end{equation}Για μια συσκευή χωρίς εισερχόμενο κύμα από την οπίσθια επαφή, \(E_n^{-}=0\). Τα ανακλώμενα και διαπερατά πεδία μπορούν στη συνέχεια να υπολογιστούν άμεσα από τα στοιχεία της προκύπτουσας μήτρας.
7. Επίλυση με τη χρήση ενός μεγάλου πίνακα.
Η παραπάνω παράγωγη περιγράφει την κλασική μέθοδο της μήτρας μεταφοράς, όπου το οπτικό πεδίο διαδίδεται μέσω μιας ακολουθίας διακριτών στρώσεων χρησιμοποιώντας μήτρες μεταφοράς. Αυτή η προσέγγιση είναι ιδιαίτερα αποδοτική και λειτουργεί εξαιρετικά καλά για συμβατικές πολυστρωματικές δομές, όπως τα ηλιακά κύτταρα, οι OLED, τα οπτικά φίλτρα και οι αισθητήρες λεπτών υμενίων, όπου η συσκευή μπορεί να περιγραφεί φυσικά ως μια στοίβα καλά καθορισμένων στρώσεων.
Σε ορισμένα οπτικά συστήματα, ωστόσο, η γεωμετρία δεν επιτρέπει μια απλή περιγραφή σε επίπεδα. Παραδείγματα αποτελούν οι δομές με σταδιακή μεταβολή του δείκτη διάθλασης, οι συσκευές που περιέχουν κενά αέρα, οι διανεμητικές οπτικές πλέγματα ανάδρασης (DFB) και οι τρισδιάστατες δομές που προβάλλονται σε ένα μονοδιάστατο οπτικό πλέγμα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορεί να καταστεί δυσχερής η αναπαράσταση του συστήματος ως μια ακολουθία διακριτών επιπέδων με σαφώς καθορισμένες διεπαφές.
Για να αντιμετωπιστεί αυτό το πρόβλημα, το OghmaNano μπορεί να προβάλει τις εξισώσεις της μήτρας μεταφοράς σε ένα πλέγμα πεπερασμένων διαφορών. Αντί να διαδίδει το οπτικό πεδίο στρώμα προς στρώμα, ολόκληρο το οπτικό σύστημα αναπαρίσταται από μια ενιαία μήτρα που περιέχει ταυτόχρονα όλες τις συνιστώσες των κυμάτων που διαδίδονται προς τα εμπρός και προς τα πίσω. Το προκύπτον γραμμικό σύστημα στη συνέχεια επιλύεται με μια ενιαία αντιστροφή μήτρας.
Για μια συσκευή με μη ανακλαστικές οπίσθιες επαφές, το προκύπτον σύστημα έχει την εξής μορφή:
\begin{equation} \begin{pmatrix} e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{01}e^{-\zeta d} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{12} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{12}e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & -t_{23} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{23}e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & -t_{34} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{-\zeta d} \\ 0 & r_{12}e^{\zeta d_1} & 0 & 0 & -t_{12} & e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r_{23}e^{\zeta d} & 0 & 0 & -t_{23} & e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{\zeta d} & 0 & 0 & -t_{34} & e^{-\zeta d} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -t_{45} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{1}^{+} \\ E_{2}^{+} \\ E_{3}^{+} \\ E_{4}^{+} \\ E_{1}^{-} \\ E_{2}^{-} \\ E_{3}^{-} \\ E_{4}^{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_{01}E_{external} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation}Το άγνωστο διάνυσμα περιέχει τα οπτικά πεδία που διαδίδονται προς τα εμπρός και προς τα πίσω σε όλη τη συσκευή, ενώ η μήτρα των συντελεστών περιέχει τις σχέσεις μετάδοσης και ανάκλασης μεταξύ των γειτονικών σημείων του πλέγματος ή των διεπαφών. Το διάνυσμα της δεξιάς πλευράς αντιπροσωπεύει το εξωτερικά προσπίπτον οπτικό πεδίο.
Για τις συμβατικές πολυεπίπεδες διατάξεις, η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών συνήθως παράγει αποτελέσματα πολύ παρόμοια με αυτά που λαμβάνονται με τη χρήση της κλασικής μεθόδου της μήτρας μεταφοράς. Το κύριο πλεονέκτημα αυτής της προσέγγισης είναι η ευελιξία της: πολύπλοκες γεωμετρίες μπορούν να αναπαρασταθούν απευθείας σε ένα πλέγμα χωρίς να χρειάζεται πρώτα να μετατραπούν σε μια ακολουθία ιδανικών στρωμάτων. Αυτό καθιστά τη μέθοδο ιδιαίτερα χρήσιμη για δομές όπως οι πλέγματα DFB, οι διατάξεις με βαθμιδωτό δείκτη διάθλασης και άλλα οπτικά συστήματα όπου οι ιδιότητες του υλικού μεταβάλλονται συνεχώς στο χώρο.
Από την οπτική γωνία του χρήστη, οι κλασικές μέθοδοι της μήτρας μεταφοράς και των πεπερασμένων διαφορών παράγουν παρόμοια αποτελέσματα, συμπεριλαμβανομένων των προφίλ της πυκνότητας φωτονίων, της απορροφούμενης πυκνότητας φωτονίων, της ανάκλασης, της μετάδοσης και της παραγωγής. Επομένως, η επιλογή μεταξύ των δύο μεθόδων καθορίζεται κυρίως από το πόσο εύκολα μπορεί να αναπαρασταθεί η οπτική δομή.
8. Σύνθετος δείκτης διάθλασης και οπτική απορρόφηση.
Η οπτική απορρόφηση στη μέθοδο της μήτρας μεταφοράς ενσωματώνεται μέσω του μιγαδικού δείκτη διάθλασης \(n+j\kappa\), όπου \(n\) είναι ο δείκτης διάθλασης και \(\kappa\) είναι ο συντελεστής απορρόφησης. Το ηλεκτρικό πεδίο που διαδίδεται μέσω ενός απορροφητικού μέσου δίνεται από:
\begin{equation} E(z,t)=Re(E_0 e^{j(-kz+\omega t)})= Re(E_0 e^{j(\frac{-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z + \omega t)})=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}Re(E_0 e^{\frac{j(-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z +\omega t}) \end{equation}Επειδή η οπτική ένταση είναι ανάλογη του τετραγώνου του ηλεκτρικού πεδίου, ο συντελεστής απορρόφησης γίνεται
\begin{equation} e^{-\alpha x}=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}} \end{equation} \begin{equation} \alpha=-\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0} \end{equation}👉 Επόμενο βήμα: Συνεχίστε στο Εργαλείο προσομοίωσης της Μεταφορικής Μήτρας για να μάθετε πώς υλοποιείται η TMM στο OghmaNano.