Teoria metody macierzy przenoszenia
1. Wprowadzenie
Na tej stronie przedstawiamy metodę macierzy przenoszenia (TMM) dla wielowarstwowych struktur dielektrycznych, jak pokazano na rysunku ??. Takie warstwowe struktury przypominają układy optyczne stosowane w OLED-ach, cienkowarstwowych ogniwach słonecznych i powłokach optycznych, gdzie grubość poszczególnych warstw jest porównywalna z długością fali światła, zazwyczaj w zakresie od setek nanometrów do kilku mikrometrów. W takich warunkach interferencja, odbicie i absorpcja światła mają istotny wpływ na działanie urządzenia i dlatego należy je analizować za pomocą równań Maxwella i optyki falowej, a nie prostej optyki geometrycznej. Bardziej obszerne wprowadzenie do metody macierzy przenoszenia i jej zastosowań w modelowaniu optycznym można znaleźć w Czym jest metoda macierzy przenoszenia?. Praktyczny przewodnik krok po kroku, pokazujący, jak używać modelu macierzy przenoszenia optycznego w OghmaNano, znajduje się w Model macierzy przenoszenia optycznego.
2. Pochodzenie/Wyprowadzenie
Analizując interakcję między warstwami 1 i 2 na przedstawionym schemacie. ??pole elektryczne po lewej stronie powierzchni styku wyraża się wzorem:
\begin{equation} E_{1}=E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \label{eq:efield1} \end{equation}a po prawej stronie interfejsu przedstawiono pole elektryczne, które wyraża się wzorem:
\begin{equation} E_{2}=E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \label{eq:efield2} \end{equation}Równania Maxwella opisują związek między polami elektrycznym i magnetycznym dla fali płaskiej.
\begin{equation} \nabla \times \mathbf{E}=-j\omega \mu \mathbf{H} \end{equation}co w jednym wymiarze upraszcza się do
\begin{equation} \frac{\partial E} {\partial z}=-j\omega \mu H \label{eq:maxwell} \end{equation}Stosując równanie \eqref{eq:maxwell} do równań \eqref{eq:efield1} i \eqref{eq:efield2}, otrzymujemy wartość pola magnetycznego po lewej stronie powierzchni styku.
\begin{equation} -j \mu \omega H^{y}_{1}=-j k_1 E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+j k_1 E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \end{equation}oraz po prawej stronie interfejsu.
\begin{equation} -j \mu \omega H^{y}_{2}=-j k_2 E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+j k_2 E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \end{equation}Sprzątanie daje poczucie, że...
\begin{equation} H^{y}_{1}=\frac{k_1}{\omega \mu}E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}-\frac{k_1}{\omega \mu} E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \end{equation} \begin{equation} H^{y}_{2}=\frac{k_2}{\omega \mu}E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}-\frac{k_2}{\omega \mu} E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \end{equation}3. Warunki brzegowe
Teraz stosujemy warunki brzegowe dotyczące pola elektrycznego i magnetycznego.
\begin{equation} \mathbf{n} \times (\mathbf{E_2}-\mathbf{E_1})=0 \end{equation} \begin{equation} \mathbf{n} \times (\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})=0 \end{equation}Analiza pól w obszarze interfejsu \(z=0\) pozwala uzyskać
\begin{equation} (E_{2}^{+}+E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}+E_{1}^{-})=0 \label{eq:electric_boundary} \end{equation}i
\begin{equation} \frac{k_2}{\omega \mu}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - \frac{k_1}{\omega \mu}(E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \end{equation}Wektor falowy wyraża się wzorem:
\begin{equation} k=\frac{2\pi n}{\lambda} \end{equation}W związku z tym możemy zapisać warunek brzegowy dla pola magnetycznego w następujący sposób:
\begin{equation} n_2 (E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - n_1 (E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \label{eq:mag_boundary} \end{equation}4. Fala rozchodząca się do przodu.
Przekształcenie równania \eqref{eq:mag_boundary} daje:
\begin{equation} E_{1}^{-} = E_{1}^{+} - \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation}Podstawiając do równania \eqref{eq:electric_boundary}, otrzymujemy:
\begin{equation} E_{2}^{+}+E_{2}^{-} = E_{1}^{+}+E_{1}^{+} - \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{+} = E_{2}^{+}+E_{2}^{-} + \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{+}\frac{n_1}{n_1+n_2} = E_{2}^{+} + E_{2}^{-}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \end{equation}5. Fala rozchodząca się w kierunku przeciwnym do jej źródła.
Przekształćmy równanie \eqref{eq:mag_boundary}, aby otrzymać:
\begin{equation} E_{1}^{+}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation}Wstawiając do równania \eqref{eq:electric_boundary}, otrzymujemy:
\begin{equation} E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})+E_{1}^{-} \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{-}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}- \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) \end{equation} \begin{equation} 2E_{1}^{-}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}+E_{2}^{-} \end{equation}Te równania przyjmują następującą postać:
\begin{equation} E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}+E_{2}^{-} \end{equation}i
\begin{equation} E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}r_{12} \end{equation}Uwzględniając propagację, możemy zapisać:
\begin{equation} E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}r_{12}e^{-\zeta_2 d_1} \end{equation}i
\begin{equation} E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}e^{-\zeta_2 d_1} \end{equation}gdzie
\begin{equation} \zeta=\frac{2\pi}{\lambda} \bar{n} \end{equation}6. Implementacja metody macierzy przenoszenia
Metodę macierzy przenoszenia można teraz zaimplementować, zapisując pola optyczne w każdej warstwie jako wektor zawierający fale rozchodzące się w kierunku do przodu i do tyłu. Następnie rozwiązuje się problem dla wielowarstwowej struktury optycznej, wielokrotnie mnożąc małe macierze opisujące propagację przez każdą warstwę oraz odbicie/przesyłanie na każdym interfejsie. To podejście jest wydajne obliczeniowo i wymaga jedynie prostych operacji mnożenia macierzy, co ułatwia jego implementację numeryczną.
Pole optyczne w warstwie \(i\) można zapisać w następujący sposób:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+} \\ E_i^{-} \end{pmatrix} \end{equation}gdzie \(E_i^{+}\) i \(E_i^{-}\) oznaczają odpowiednio falę rozchodzącą się w kierunku przodu i falę rozchodzącą się w kierunku tyłu.
Na każdym z elementów granicznych współczynniki odbicia i przepuszczalności Fresnela wyrażają się wzorem:
\begin{equation} r_{ij}=\frac{n_i-n_j}{n_i+n_j}, \qquad t_{ij}=\frac{2n_i}{n_i+n_j} \end{equation}Granicę między warstwami \(i\) i \(j\) można zatem zapisać w następujący sposób:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+} \\ E_i^{-} \end{pmatrix} = \frac{1}{t_{ij}} \begin{pmatrix} 1 & r_{ij} \\ r_{ij} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_j^{+} \\ E_j^{-} \end{pmatrix} \end{equation}Rozprzestrzenianie się przez warstwę o grubości \(d_i\) opisuje równanie:
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_i^{+}(z+d_i) \\ E_i^{-}(z+d_i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{\zeta_i d_i} & 0 \\ 0 & e^{-\zeta_i d_i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_i^{+}(z) \\ E_i^{-}(z) \end{pmatrix} \end{equation}gdzie
\begin{equation} \zeta_i=\frac{2\pi \bar{n}_i}{\lambda} \end{equation}Macierz transformacji dla pojedynczej warstwy uzyskiwana jest przez pomnożenie macierzy interfejsu i macierzy propagacji.
\begin{equation} M_i= \frac{1}{t_{ij}} \begin{pmatrix} 1 & r_{ij} \\ r_{ij} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\zeta_i d_i} & 0 \\ 0 & e^{-\zeta_i d_i} \end{pmatrix} \end{equation}Następnie uzyskuje się ogólną charakterystykę optyczną całej warstwowej struktury, mnożąc odpowiednie macierze.
\begin{equation} M=M_1M_2M_3 \cdots M_n \end{equation}tak, że
\begin{equation} \begin{pmatrix} E_0^{+} \\ E_0^{-} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} E_n^{+} \\ E_n^{-} \end{pmatrix} \end{equation}W przypadku urządzenia, do którego z tylnego kontaktu nie dociera żadna fala, \(E_n^{-}=0\). Odbite i transmitowane pola można następnie obliczyć bezpośrednio na podstawie uzyskanych elementów macierzy.
7. Rozwiązywanie za pomocą jednej dużej macierzy.
Powyższe wyprowadzenie opisuje klasyczną metodę macierzy przenoszenia, w której pole elektromagnetyczne jest propagowane przez sekwencję dyskretnych warstw za pomocą macierzy przenoszenia. To podejście jest bardzo wydajne i doskonale sprawdza się w przypadku konwencjonalnych struktur wielowarstwowych, takich jak ogniwa słoneczne, diody OLED, filtry optyczne i cienkowarstwowe czujniki, gdzie urządzenie można naturalnie opisać jako stos dobrze zdefiniowanych warstw.
W niektórych układach optycznych geometria nie pozwala jednak na proste opisanie ich w postaci warstw. Przykłady takich układów to struktury o stopniowo zmieniającym się współczynniku załamania, urządzenia zawierające szczeliny powietrzne, dyfrakcyjne siatki z rozproszonym sprzężeniem zwrotnym oraz trójwymiarowe struktury rzutowane na jednowymiarową siatkę optyczną. W takich przypadkach przedstawienie układu jako sekwencji dyskretnych warstw z wyraźnie zdefiniowanymi powierzchniami styku może być skomplikowane.
Aby rozwiązać ten problem, OghmaNano może zastosować równania macierzy przenoszenia do siatki różnic skończonych. Zamiast propagować pole optyczne warstwa po warstwie, cały układ optyczny jest reprezentowany przez jedną macierz, która zawiera jednocześnie wszystkie składowe fal propagujących się w kierunku do przodu i do tyłu. Otrzymany liniowy układ jest następnie rozwiązywany poprzez pojedyncze odwrócenie macierzy.
W przypadku urządzenia z nieodbijającymi światło tylnymi kontaktami, uzyskany układ ma następującą postać:
\begin{equation} \begin{pmatrix} e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{01}e^{-\zeta d} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{12} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{12}e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & -t_{23} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{23}e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & -t_{34} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{-\zeta d} \\ 0 & r_{12}e^{\zeta d_1} & 0 & 0 & -t_{12} & e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r_{23}e^{\zeta d} & 0 & 0 & -t_{23} & e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{\zeta d} & 0 & 0 & -t_{34} & e^{-\zeta d} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -t_{45} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{1}^{+} \\ E_{2}^{+} \\ E_{3}^{+} \\ E_{4}^{+} \\ E_{1}^{-} \\ E_{2}^{-} \\ E_{3}^{-} \\ E_{4}^{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_{01}E_{external} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation}Nieznany wektor zawiera pola optyczne rozchodzące się w kierunku do przodu i do tyłu w całym urządzeniu, natomiast macierz współczynników zawiera zależności między transmisją i odbiciem w sąsiednich punktach siatki lub na granicach. Wektor po prawej stronie reprezentuje zewnętrzne pole optyczne.
W przypadku konwencjonalnych wielowarstwowych urządzeń, metoda różnic skończonych zazwyczaj daje wyniki bardzo zbliżone do tych, które uzyskuje się przy użyciu klasycznej metody macierzy przenoszenia. Główną zaletą tego podejścia jest jego elastyczność: skomplikowane geometrie można przedstawiać bezpośrednio na siatce, bez konieczności wcześniejszego przekształcania ich w sekwencję idealizowanych warstw. Dzięki temu metoda ta jest szczególnie przydatna w przypadku struktur, takich jak siatki DFB, urządzenia o stopniowanym współczynniku załamania oraz inne systemy optyczne, w których właściwości materiału zmieniają się w sposób ciągły w przestrzeni.
Z punktu widzenia użytkownika klasyczna metoda macierzy przenoszenia i metoda różnic skończonych dają podobne wyniki, w tym rozkłady gęstości fotonów, gęstości zaabsorbowanych fotonów, odbicia, transmisji i generacji. Wybór między tymi dwiema metodami jest zatem przede wszystkim podyktowany tym, jak naturalnie można przedstawić daną strukturę optyczną.
8. Złożony współczynnik załamania i absorpcja światła
W metodzie macierzy przenoszenia, absorpcja optyczna uwzględniana jest poprzez zastosowanie zespolonego współczynnika załamania \(n+j\kappa\), gdzie \(n\) oznacza współczynnik załamania, a \(\kappa\) – współczynnik absorpcji. Pole elektryczne rozprzestrzeniające się w ośrodku absorbującym wyraża się wzorem:
\begin{equation} E(z,t)=Re(E_0 e^{j(-kz+\omega t)})= Re(E_0 e^{j(\frac{-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z + \omega t)})=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}Re(E_0 e^{\frac{j(-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z +\omega t}) \end{equation}Ponieważ natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu pola elektrycznego, współczynnik absorpcji staje się
\begin{equation} e^{-\alpha x}=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}} \end{equation} \begin{equation} \alpha=-\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0} \end{equation}👉 Następny krok: przejdź do narzędzia do symulacji macierzy transferowej, aby dowiedzieć się, w jaki sposób TMM jest wdrażane w OghmaNano.